常见的二次曲面
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不论z=h为何值
总有截痕曲线存在，
且当|h|越大时，截
痕椭圆的长、短轴
越大.
用Oyz坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
y2 z2 1, 2 2 b c x 0. 用平行于Oyz坐标面的平面x=h截所给曲面，得截
痕为
2 y2 z2 h 2 2 1 2 , b c a xh
用平行于Oxy面的平面z=h截所给曲面，截痕为
x2 y2 1, 2 ph 2qh z h.
当h<0时，是实轴与y轴平行的双曲线.
用Oxz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
2 x 2 pz, y 0. 它是以z轴为对称轴，开口朝上的抛物线.
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
(1)
所确定的曲面称为椭球面.
用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截
痕为椭圆
x2 y2 h2 2 2 1 2 , a b c z h.
x y 当h=±c时，截痕为 2 2 0，即截痕缩为一 a b 点.当|h|>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面
当|h|<a时，截痕为双曲线.它的实轴平行于y轴， 虚轴平行于z轴.
当|h|>a时，截痕为双曲线，它的实轴平行于z轴，
虚轴平行于y轴.
当|h|=a时，截痕为两条直线
y z y z 0, 0. b c b c
用Oxz坐标面截 所给曲面的截痕也为 双曲线，其方程为
x2 z2 2 2 1, a c y 0.
因此，椭球面介于 b y b .
用Oyz面截所给曲面的截痕为椭圆
y2 z2 1, 2 2 b c x 0. 用平行于Oyz面的
平面x=h截所给曲面，
截痕为椭圆
2 y2 z2 h 2 2 1 2 , b c a x h. 当h=±a时，截痕缩为一点：当|h|>a时，无截痕.
方程
x2 y2 z ( p, q同号) 2 p 2q
(5)
所确定的曲面为椭圆抛物面. 若p>0，q>0.利用截痕法可作出其图形.
六、双曲抛物面
x2 y2 z ( p, q同号) 方程 2 p 2q
确定的曲面为双曲抛物面.
(6)
设p>0，q>0.
用Oxy坐标面截所给曲面，截痕为两条直线
因此，椭球面介于 a x a .
二、单叶双曲面
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 a b c
所确定的曲面称为单叶双曲面.
(2)
用平行于Oxy坐标面的平面截所给曲面，得截 痕为椭圆
x2 y2 h2 1 2 , 2 2 a b c z h.
用y=h的平面截所给曲面的截痕为：
2 x2 z2 h 2 2 1 2 , c b a y h.
当|h|<b时，截痕为双曲线，它的实轴平行于x轴， 虚轴平行于z轴; 当|h|>b时,截痕为双曲线，它wk.baidu.com实轴平行于z轴，
虚轴平行于x轴；
当|h|=b时，截痕为两条直线.
三、双叶双曲面
第八节 常见的二次曲面
一、椭球面
三、双叶双曲面 五、椭圆抛物面
二、单叶双曲面
四、二次锥面 六、双曲抛物面
称二次方程表示的曲面为二次曲面. 截痕法 用三组平行于坐标面的平面截割所给曲面，然
后由截痕曲线的几何特性分析曲面的几何特性的方法
称为截痕法.
一、椭球面
方程
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
当|h|=a时，截痕为一个点；
当|h|<a时为虚椭圆，即无图形. 可见所给图形介于| x | a 的范围内，因此图形为
两支. 常称(a,0,0)和(–a,0,0)为双叶双曲面的顶点.
用Oxz坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 z 2 2 2 1, a c y 0.
由方程
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
(3)
所确定的曲面称为双叶双曲面.
用Oxy坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平面z=h截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 h2 2 2 1 2 , a b c z h.
y y x x 0, 0, 和 2p 2q 2q 2p z 0. z 0.
用平行于Oxy面的平面z=h截所给曲面，截痕为
2 x2 y 1, 2 ph 2qh z h.
当h>0时，是实轴与x轴平行的双曲线；
用平面y=h截所给曲面，得截痕为双曲线
2 x2 z 2 h 2 2 1 2 , a c b y h.
由上述截痕的分析，可画出双叶双曲面的图形.
四、二次锥面
x2 y2 z 2 方程 2 2 0 2 a b c 所确定的曲面称为二次锥面. (4)
五、椭圆抛物面
z=|h|(|h|>c)不相交. 因此椭球面介于 c z c 的范围内.
2
2
同理，用Oxz面截所给曲面的截痕为椭圆
x2 z 2 2 2 1, a c y 0. 用平行于Oxz面的平
面y=h截所给曲面，截痕
为椭圆
x2 z 2 h2 2 2 1 2 , a c b y h. 当h=±b时，截痕缩为一点：当|h|>b时，无截痕.
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕方程为
y2 z2 2 2 1, b c x 0.
无图形.
用平面x=h截所给曲面，其截痕方程为
y 2 z 2 h2 2 2 2 1, b c a x h.
b 2 当|h|>a时，其图形为椭圆，半轴分别为 h a2 a c 2 2 和 h a ； a
总有截痕曲线存在，
且当|h|越大时，截
痕椭圆的长、短轴
越大.
用Oyz坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
y2 z2 1, 2 2 b c x 0. 用平行于Oyz坐标面的平面x=h截所给曲面，得截
痕为
2 y2 z2 h 2 2 1 2 , b c a xh
用平行于Oxy面的平面z=h截所给曲面，截痕为
x2 y2 1, 2 ph 2qh z h.
当h<0时，是实轴与y轴平行的双曲线.
用Oxz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
2 x 2 pz, y 0. 它是以z轴为对称轴，开口朝上的抛物线.
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
(1)
所确定的曲面称为椭球面.
用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截
痕为椭圆
x2 y2 h2 2 2 1 2 , a b c z h.
x y 当h=±c时，截痕为 2 2 0，即截痕缩为一 a b 点.当|h|>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面
当|h|<a时，截痕为双曲线.它的实轴平行于y轴， 虚轴平行于z轴.
当|h|>a时，截痕为双曲线，它的实轴平行于z轴，
虚轴平行于y轴.
当|h|=a时，截痕为两条直线
y z y z 0, 0. b c b c
用Oxz坐标面截 所给曲面的截痕也为 双曲线，其方程为
x2 z2 2 2 1, a c y 0.
因此，椭球面介于 b y b .
用Oyz面截所给曲面的截痕为椭圆
y2 z2 1, 2 2 b c x 0. 用平行于Oyz面的
平面x=h截所给曲面，
截痕为椭圆
2 y2 z2 h 2 2 1 2 , b c a x h. 当h=±a时，截痕缩为一点：当|h|>a时，无截痕.
方程
x2 y2 z ( p, q同号) 2 p 2q
(5)
所确定的曲面为椭圆抛物面. 若p>0，q>0.利用截痕法可作出其图形.
六、双曲抛物面
x2 y2 z ( p, q同号) 方程 2 p 2q
确定的曲面为双曲抛物面.
(6)
设p>0，q>0.
用Oxy坐标面截所给曲面，截痕为两条直线
因此，椭球面介于 a x a .
二、单叶双曲面
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 a b c
所确定的曲面称为单叶双曲面.
(2)
用平行于Oxy坐标面的平面截所给曲面，得截 痕为椭圆
x2 y2 h2 1 2 , 2 2 a b c z h.
用y=h的平面截所给曲面的截痕为：
2 x2 z2 h 2 2 1 2 , c b a y h.
当|h|<b时，截痕为双曲线，它的实轴平行于x轴， 虚轴平行于z轴; 当|h|>b时,截痕为双曲线，它wk.baidu.com实轴平行于z轴，
虚轴平行于x轴；
当|h|=b时，截痕为两条直线.
三、双叶双曲面
第八节 常见的二次曲面
一、椭球面
三、双叶双曲面 五、椭圆抛物面
二、单叶双曲面
四、二次锥面 六、双曲抛物面
称二次方程表示的曲面为二次曲面. 截痕法 用三组平行于坐标面的平面截割所给曲面，然
后由截痕曲线的几何特性分析曲面的几何特性的方法
称为截痕法.
一、椭球面
方程
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
当|h|=a时，截痕为一个点；
当|h|<a时为虚椭圆，即无图形. 可见所给图形介于| x | a 的范围内，因此图形为
两支. 常称(a,0,0)和(–a,0,0)为双叶双曲面的顶点.
用Oxz坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 z 2 2 2 1, a c y 0.
由方程
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
(3)
所确定的曲面称为双叶双曲面.
用Oxy坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平面z=h截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 h2 2 2 1 2 , a b c z h.
y y x x 0, 0, 和 2p 2q 2q 2p z 0. z 0.
用平行于Oxy面的平面z=h截所给曲面，截痕为
2 x2 y 1, 2 ph 2qh z h.
当h>0时，是实轴与x轴平行的双曲线；
用平面y=h截所给曲面，得截痕为双曲线
2 x2 z 2 h 2 2 1 2 , a c b y h.
由上述截痕的分析，可画出双叶双曲面的图形.
四、二次锥面
x2 y2 z 2 方程 2 2 0 2 a b c 所确定的曲面称为二次锥面. (4)
五、椭圆抛物面
z=|h|(|h|>c)不相交. 因此椭球面介于 c z c 的范围内.
2
2
同理，用Oxz面截所给曲面的截痕为椭圆
x2 z 2 2 2 1, a c y 0. 用平行于Oxz面的平
面y=h截所给曲面，截痕
为椭圆
x2 z 2 h2 2 2 1 2 , a c b y h. 当h=±b时，截痕缩为一点：当|h|>b时，无截痕.
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕方程为
y2 z2 2 2 1, b c x 0.
无图形.
用平面x=h截所给曲面，其截痕方程为
y 2 z 2 h2 2 2 2 1, b c a x h.
b 2 当|h|>a时，其图形为椭圆，半轴分别为 h a2 a c 2 2 和 h a ； a