一般二次曲面的化简与分类
一般二次曲线的化简与分类
例 化简二次曲线方程下x2+4xy+4y2+12x-y+1=0 ,写出坐标变换公式并画出它的图形。
解 由于I2=1×4-22=0,曲线是非中心型的,应先转轴后移轴。 1、设旋转角为θ,则有
得 tan =-1/2 或 tan =2 取 tan =2(若取 tan =-1/2 ,同样可将原方程化简),则有：
解 因为I2＝<0,所给的二次曲线是双曲型的.
中心方程组
2x3y100,
解得中心坐标为 (－ 2,2) .作移轴3变x换2y100.
原方程化为
再作转轴变换 ， 得旋转角为 .故转轴变换为
x x 2,
y
y
2,
x23xyy210
cot2θ 1310 x
1 ( x y ), 2
4
y
1 ( x y ). 2
4、转轴变换公式 ：
x
2 x 5
1 y , 5
y
1
x
2
y .
y y"
y'
5
5
代入,可将方程化简为
x"
标准方程是 6x2 y2 12 O'
这是一个椭圆,如图所示.
2
2
O"
x'
x2 y12 1 作图要中点坐：标要系比O-较xy准平确移地到画(2,出1)成新O旧'-坐x'y标',再系把和坐曲标线系的O图'-形x'y,'必旋须转掌角握得好O比"-x例"y、".在新新旧坐原O 标点系的O位"-置x"以y"及中坐根标据轴椭的圆旋的转标角准.本方x 题程
一般二次曲面方程的化简与分类研究.
一般二次曲面方程的化简与分类研究[摘 要]本文通过对一般二次曲面方程进行化简与分类,化简成五类方程和17种标准形式.最后介绍了一般二次曲面方程分类与化简的应用.[关键词]二次曲面;分类;化简;应用１ 引言对于给定的二次曲面方程,通过特征方程可求出它所对应的主方向.由于二次曲面的每个特征根至少对应一个主方向,也就是说二次曲面至少有一个主径面,而二次曲面的主径面又是二次曲面的对称面,因而选取主径面作为新坐标面,或者选取主方向作为坐标轴方向,就成为化简二次曲面方程的主要方法.2 预备知识定义 2.1[3]果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向,那么这个径面就叫做二次曲面的主径面.显然主径面就是二次曲面的对称面.定义 2.2[4]二次曲面主径面的共轭方向（即垂直于主径面的方向）,或者二次曲面的奇向,叫做二次曲面的主方向.引理 2.1[5]二次曲面平行于非渐近方向的一族平行弦中点的轨迹是一个平面.其方程为1234(,,)(,,)(,,)(,,)0X Y Z x X Y Z y X Y Z z X Y Z φφφφ+++=. (1)注1：二次曲面沿非渐近方程::X Y Z 的所有平行弦中点所在的平面叫做平面共轭于非渐进方向::X Y Z 的径面,而平行弦叫做这个径面的共轭弦.注2：如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向,那么这个径面就叫做二次曲面的主径面.实际上,主径面垂直于所平分的一组弦,是二次曲面的对称平面. 引理2.2 二次曲面的特征方程为1112131322231323330a a a a a a a a a λλλ--=- 即321230I I I λλλ-+-+=.其中λ是二次曲面的特征根.引理2.3 一般二次曲面的主方向方程组()()()1112131222231323330,0,0.a X a Y a Z a X a Y a Z a X a Y a Z λλλ-++=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ 其中::X Y Z 是二次曲面(2)的非渐近方向.引理2.4 空间直角坐标变换设在空间给定了两个由标架{};;;o i j k 与{}'''';;;o i j k 决定的右手直角坐标系,前面一个叫做旧坐标系,后面的一个叫做新坐标系.它们之间的位置关系完全可由新坐标系的原点'o 在旧坐标系内的坐标,以及新坐标系的坐标矢量在旧坐标系内的分量所决定.2.4.1移轴设'o 在旧坐标系下的坐标为{}000,,x y z ,p 为空间任意一点,它在{};;;o i j k 与{}'''';;;o i j k 下的坐标分别是{},,x y z 与{}''',,x y z .其中移轴表换公式为'0'0'0x x x y y y z z z ⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩, 移轴公式为'0'0'x x x y y y z z z ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩.转轴经过转轴变换后,新旧坐标轴间的交角如下表所示其中转轴变换公式为：'''123'''123'''123cos cos cos ,cos cos cos ,cos cos cos .x x y z y x y z z x y z αααβββγγγ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩, 其中转轴逆变换公式为：'111'222'333cos cos cos ,cos cos cos ,cos cos cos .x x y z y x y z z x y z αβγαβγαβγ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩ 3 二次曲面方程的化简定理 以三个主方向所建立的右手直角坐标系为新坐标系而作坐标轴的旋转，那么曲面方程222112233121323142434442222220a x a y a z a xy a xz a yz a x a y a z a +++++++++=.(2)在新坐标系中具有如下形式：''2''2''2'''''''112233142434442220a x a y a z a x a y a z a ++++++=. (3)证明 因为二次曲面至少有一个非奇主方向，以这个主方向作为新轴方向，以共轭于这个方向的主径面作为新坐标平面'0x =，建立直角坐标系''''o x y z -，设在这个新坐标系下，曲面的方程为''2''2''2'''''''''''''''112233121323142434442222220a x a y a z a x y a x z a y z a x a y a z a +++++++++=.在新坐标系下,曲面以'x 轴方向作为主方向1:0:0,代入式（1）,得与之共轭的主径面方程为'''''''111213140a x a y a z a +++=.那么这个方程表示坐标平面'0x =的充要条件是''''111213140,0a a a a ≠===.所以曲面在新坐标系下的方程为''2''2''2'''''''''11223323243444112220(0)a x a y a z a y z a y a z a a ++++++=≠.如果'230a =,那么有''2''2''2''''''11223324344411220(0)a x a y a z a y a z a a +++++=≠.如果'230a ≠,可在'''y o z 平面内,将y 轴与z 轴旋转一角度θ（保持x 轴不动）,并且适合''2233'23cot 22a a a θ-=,即经直角坐标变换'''''''''''''cos sin sin cos x x y y z z y z θθθθ⎧=⎪=-⎨⎪=+⎩, 就可使yz 项系数也等于零,从而得到''''2''''2''''2''''''''''''''112233142434442220a x a y a z a x a y a z a ++++++=.由定理可知,经过适当的坐标变换,二次曲面（2）总可以化为''2''2''2''''''''11223314243444112220(0)a x a y a z a x a y a z a a ++++++=≠.4 二次曲面方程的分类下面对(3)中系数的所有可能情形加以讨论.4.1 若'22a 和'33a 都不为零,作移轴变换'''''''24'22''''34'33x xa y y a a z z a ⎧⎪=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩,则方程(3)可化为(I ) ''''2''''2''''2''112233440a x a y a z a +++= 4.2 若'22a 和'33a 中有一个为零,不妨假设'330a =,'220a ≠,则方程（3）化为 ''2''2''''''1122243444220a x a y a y a z a ++++=. (4) ① 若'340a ≠,作移轴变换'''''''24'22'''2'''224424''22342x x a y y a a a a z z a a ⎧⎪=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪-⎪=-⎪⎩, 则方程(4)化为(II ) '''2'''2''''11223420a x a y a z ++=② 若'340a =,作移轴变换'''''''24'22,x x a y y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩, 方程(4)化为(III ) '''2'''211220a x a y c ++=若'24a 和'34a 都为零,则方程（3）化为''2'''''11243444220a x a y a z a +++= (5)③ 若'24a 和'34a 不全部为零,因平面'''''243444220a y a z a ++=.与坐标平面'0x =垂直,则利用坐标变换''''''''''x x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩使这个平面作为新坐标平面'0y =,此时方程（5）化为(IV ) '''2'''112420a x a y +=.④ ''24340a a ==,则方程（5）化为 (V ) '''2'11440a x a +=.综合以上的讨论,二次曲面方程（1）经过直角坐标变换总可以化为以下五种形式之一：(I ) 2220Ax By Cz D +++= （0ABC ≠）;(II ) 2220Ax By Pz ++= （0ABP ≠）; (III ) 220Ax By E ++= （0AB ≠）; (IV ) 220Ax QY += （0AQ ≠）; (V ) 20Ax R += （0A ≠）;这同中心分类是一致的.下面对二次曲面(1)的五种形式中的每一个就系数可能出现的情况作进一步的讨论,以便得出二次曲面的详细分类.5 二次曲面标准形式分类5.1 在方程(I )中, 若0D ≠,把方程(I )的两端除以D 并令222111,,,A B C D a D b D c=±=±=±其中正负号的选取使,,a b c 都是实数. ① 若,,A B C 同号,但与D 异号,则方程(I )化为2222220x y z a b c++=. (6)它表示椭球面.②,,,A B C D 都同号，则得22222x y z a b+=±. (7)它表示虚椭球面.③ 若,,A B C 中有两个同号,且D 与另一个同号,则得22222x y z a b-=±. (8)它表示单叶双曲面.④ 中有两个同号,且D 与这两个同号,则得22221x y a b+=. (9)它表示双叶双曲面.5.2 在方程(I )中,若0D =,在方程(I )中,令222111,,A B C a b c =±=±=±. ① 若,,A B C 中有两个同号,则方程(I )化为2222220x y z a b c+-=. (10) 它表示二次锥面.② 若,,A B C 同号,则得2222220x y z a b c++=. (11)它表示虚二次锥面由此可知,中心型二次曲面有且仅有六种. 5.3 在方程(II )中,令2211,A B P a P b=±=±. ① 若,A B 同号,则得22222x y z a b+=±. (12)它表示椭圆抛物面.② 若,A B 异号,则得22222x y z a b-=±. (13)它表示双曲抛物面.5.4 在方程(III )中,若0E ≠,令2211,A B E a E b=±=±. ① 若,A B 同号,且与E 异号,则得22221x y a b+=. (14) 它表示椭圆柱面.② 若,A B 同号,且与E 同号,则得22221x y a b+=-. (15) 它表示虚椭圆柱面.③ 若,A B 异号,则得22221x y a b-=±. (16)它表示双曲柱面.5.5 在方程(III )中,若0E =① 若,A B 异号,则得22220x y a b-=. (17) 它表示一对相交平面. ② 若,A B 同号,则得22220x y a b+=. (18) 它表示一对虚相交平面或z 轴.5.6 方程(IV )可以化为22x py =. (19) 它表示抛物柱面.5.7 在方程(V ) (ⅴ)中,若0R ≠① 若,A R 异号,则得220x a -=. (20) 它表示一对平行平面.② 若,A R 同号,则得220x a +=. (21) 它表示一对虚平行平面.5.8 在方程(V )中,若0R =,则得20x =. (22) 它表示一对重合平面.由上可知,非中心型二次曲面有且仅有11种.综上所述,一般二次曲面(2)经过坐标变换,总可以简化成十七种标准方程中的一种.6 二次曲面方程的化简与应用例1 化简二次曲面方程2225622666100x y z xy xz yz x y z ++--+-+-+=.解 二次曲面的矩阵为13133113115333310---⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭, 1237,0,36I I I ===-,所以曲面的特征方程为327360λλ-+-=,即 (6)(3)(2)0λλλ--+=, 因此二次曲面的三特征根为6,3,2λ=-.(1) 与特征根6λ=对应的主方向::X Y Z 由方程组530,350,0X Y Z X Y Z X Y Z ---=⎧⎪--+=⎨⎪-+-=⎩决定,所以对应于特征根6λ=主方向为::X Y Z =311553::511335----------=8:8:161:1:2-=-, 与它共轭的主径面为20x y z -++=.(2) 与特征根3λ=对应的主方向::X Y Z 由方程组230,320,20X Y Z X Y Z X Y Z ---=⎧⎪--+=⎨⎪-++=⎩决定,所以对应于特征根3λ=的主方向为::X Y Z =311223::211332----------=5:5:(5)1:(1):1--=-, 与它共轭的主径面为30x y z -+-=.(3) 与特征根2λ=-对应的主方向为::X Y Z 由方程组330,330,70.X Y Z X Y Z X Y Z --=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩决定,所以主方向为::X Y Z =311333::177111----=20:20:01:1:0=, 与它共轭的主径面为0x y +=.取这三主径面为新坐标平面作坐标变换,得变换公式为：'''x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解出,,x y z 得''''''''1,1,1,x x y z y x y z z x y ⎧=+++⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=++⎪⎩代入原方程得曲面得简化方程为'2'2'263210x y z +-+=.曲面的标准方程为'2'2'21111632x y z +-=-. 这是一个双叶双曲面.例2 化简二次曲面方程22222342246230x y z xy xz yz x y z +++++-+-+=.解 因为1237,10,0I I I ===,所以曲面的特征方程为327100λλλ-+-=,特征根为 5,2,0λ=.非零特征根5λ=所对应的主方向由方程组320,230,20X Y Z X Y Z X Y Z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩决定,所以与5λ=所对应的主方向为::1:1:1X Y Z =,与这主方向共轭的主径面为0x y z ++=.非零特征根2λ=所对应的主方向由方程组20,20,0Y Z X Z X Y Z +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩决定,所以与2λ=所对应的主方向为::1:1:(2)X Y Z =-,与这主方向共轭的主径面为22430x y z +-+=.取上面的两个主径面分别作为新坐标系''''o x y z -的'''y o z 和'''x o z 坐标面,再任意取与这两主径面都垂直的平面,比如 0x y -+=,为'''x o y 坐标面,作坐标变换,得变换公式为'''x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解出,,x y z 得''''''''1,241,41,332x y z y x y z z x y ⎧=--⎪⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=-+⎪⎪⎩代入原方程得'2'2'95204x y +++=, 所以'2'2'52040x y z +++=. 再作移轴''''''''',,40x x y y z z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩得曲面的简化方程为''2''2''520x y ++=.这是一个椭圆抛物面.7 小结二次曲面方程的化简二次曲线一样,它的关键是适当选取坐标系,如果所取的坐标系深红x ）是曲面的对称面,那么新方程里只含有这个对应坐标（例如x）的有一坐标面（例如0平平方项,曲面的方程就比较简单了,二次曲面的主径面就是它的对称面,因而选取主径面作为新坐标面,或者选取主方向为坐标轴的方向,就成为化简二次曲面方程的主要方法了.参考文献[1] 吕林根等.解析几何（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 吴大任等.解析几何引论（第二版）[M].北京:高等教育出版社,1989.[3] 朱鼎勋.空间解析几何[M].上海:上海科学技术出版社,1986.[4] 李厚源.空间解析几何[M].山东:山东科学技术出版社,1983.[5] 南开大学编写组.空间解析几何引论[M]. 北京:高等教育出版社,1989.[6] 郑文晶.解析几何[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2008.6.[7] 崔冠之.唐宗李等编,空间解析几何.北京：中央民族学院出版社.1989.11[8] 华东师范大学数学系几何教研室,解析几何习题集, 华东师范大学出版社,1982.[9] (前苏联)A.B.波格列诺夫、姚志亭译,人民教育出版社,1982.[10] 陈绍菱、傅若男,空间解析几何习题试析,北京师范大学出版社,1984.Classification and Simpification of Generalquadric surface equationLei Song(Grade 06, Class 5, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics, Shaanxi University of Technology, Hanzhong, 723000, Shaanxi)Tutor: Sangang GuoAbstract:This article through carries on the simplification and the classification to the generalquadric equation, simplifies five class equations and 17 standard forms. Finally introduced the generaltwo tunesKey words:Quadratic surface; Classification; Simplification; Using。
2二次曲面分类简介
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用不变量判断二次曲面类型
则
F ( x, y , z ) x
y
a11 a12 z 1 a13 b 1
其中(d1, d2, d3) 为新原点O在原坐标系 I 中的 坐标.
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空间直角坐标变换
转轴: 设新坐标向量e1, e2, e3 与原坐标向量 e1, e2, e3 的交角如下表所示: 原系 交角 x轴(e1) 新系 x轴(e1) y轴(e2) z轴(e3) y轴(e2) z轴(e3)
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二次曲面的类型
吕林根《解析几何》P278. 定理6. 6. 2 适当选取坐标系, 二次曲面的方程 总可化为下列十七个标准方程之一: (一) 椭球面 2 2 2 x y z 2 2 1; [1] 椭球面: 2 a b c 2 2 2 x y z [2] 点: 2 2 0; 2 a b c 2 2 2 x y z 2 2 1; [3] 虚椭球面: 2 a b c
点的坐标变换公式: x c11 x c12 y c13 z d1 y c21 x c22 y c23 z d 2 , z c31 x c32 y c33 z d 3 x c11 c12 c13 x d1 y c21 c22 c23 y d 2 . z c c32 c33 z d 3 31 其中 (c11, c21, c31), (c12, c22, c32), (c13, c23, c33) 分别 为新坐标向量e1, e2, e3 在原坐标系 I 中的坐标, (d1, d2, d3) 为新原点O在原坐标系 I 中的坐标.
一般二次曲线的化简与分类
若取新坐标原点O (x0,y0)满足方程
• 则在新坐标系下,方程中将无一次项,曲线对称于原点,点 (x0,y0)就是曲线的对称中心。如果对称中心是唯一的,称为 曲线的中心。此时方程称为中心方程。
2、作旋转变换,消去交叉项，同时消去1个二次项； 3、对转轴后的方程“配方”，先配二次项,再配一次项； 4、令“配方”后的括号内分别为x''和 y'' (相当于作平移变 换),得到曲线的标准方程。 5、将平移变换代入旋转变换,得到直角坐标变换公式。
6、作出新旧坐标系O-xy，O'-x'y'和O''-x''y'' ,在新坐标系下
注：本题转轴时若取tanθ＝-2，
则可得cos =1/51/2，sin = -2/51/2 ，所得的转轴公式是
得到的标准方程为
,
图形相对于原坐标系的位置不变。此时Ox轴的正向恰好是 图中y 轴的反向。
例 化简二次曲线方程x2-3xy+y2+10x-10y+21=0,写出坐标变换 公式并作出它的图形．
将移轴公式代入转轴公式,得坐标变换公式为
x
1 (x 2 y) 1 ,
5
5
y
1
(2x y) 2 .
作图要点5 ：坐标系O5-xy旋转角tanθ＝2成O'-x'y',再把坐标系
O'-x'y' 平移,得到O"-x"y".在新坐标系O"-x"y" 中可根据抛物
二次曲线方程的化简与分类
二次曲线方程是指以二次项和常数项的多项式形式构成的曲线。
它的一般模式是，形式为$ax^2+bx+c=0$。
这里$a,b,c$是实数或复数，且$a≠0$。
一般而言，根据$ax^2+bx+c=0$中存在二次项次级导数存在不变加（减）点，这样的曲线叫做二次曲线。
根据方程的性质，可以将二次曲线分为以下几类：（1）抛物线：当$a>0$时，$ax^2+bx+c=0$为一抛物线，其两根为$x=-\frac{b}{2a}±\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$，抛物线两端形状分别为拱顶和顶点，且$x_1<x_2$；（2）拉普拉斯曲线：当$a<0$时，$ax^2+bx+c=0$为一拉普拉斯曲线，其根绝无，拉普拉斯曲线两端形状分别为顶点和拱底，拉普拉斯曲线不具有实根；（3）直线：当$a=0$时，$bx+c=0$成立，这是一条直线，其根为$x=-\frac{c}{b}$，直线有一定的斜率；（4）静止：当$a,b,c$均为0时，$ax^2+bx+c=0$成立，这是一条不动线，一般由于不符合实际需求，所以不会出现。
二次曲线方程的化简仅到这四类，不能太具体。
而根据方程$ax^2+bx+c=0$的模式，可以将方程化简为$y=ax^2+bx+c$，并通过幂级数法作变换，得出其他分类，如可采用二次型$y=a(x-h)^2+k$，或一般型$y=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$，或极坐标$(r,\theta )=acos2\theta+bsin2\theta +c$。
总而言之，二次曲线方程是以二次项和常数项的多项式形式构成的曲线，可分为抛物线、拉普拉斯曲线、直线和静止；而方程的化简还可采用二次型、一般型和极坐标等方式。
第六章 二次曲面的一般理论
第六章 二次曲面的一般理论教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念二次曲面: 在空间,由三元二次方程022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1）所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号≡),,(z y x F 44342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φz a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φz a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=44342414343323132423221214131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。
二次曲面一般式
二次曲面一般式摘要：一、二次曲面的定义二、二次曲面的分类1.椭圆曲面2.双曲线曲面3.抛物线曲面三、二次曲面的性质1.标准方程2.参数方程3.二次曲面的对称性四、二次曲面的应用1.数学领域2.物理领域3.工程领域正文：二次曲面是数学中的一种曲面，它的定义可以表示为二次方程的曲面。
在三维空间中，二次曲面是一个与二次方程相关的曲面。
根据二次方程的不同，二次曲面可以分为椭圆曲面、双曲线曲面和抛物线曲面三类。
1.椭圆曲面椭圆曲面是一种二次曲面，它的标准方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别表示椭圆的长短轴。
椭圆曲面在数学和物理领域中都有着广泛的应用，比如在光学和天文学中，椭圆曲面常用于描述光的传播和成像。
2.双曲线曲面双曲线曲面是另一种二次曲面，它的标准方程为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1或(x^2 / b^2) - (y^2 / a^2) = 1其中a和b分别表示双曲线的长短轴。
双曲线曲面在数学和物理领域中也有广泛的应用，例如在电场和磁场的研究中，双曲线曲面可以用于描述电荷和电流分布。
3.抛物线曲面抛物线曲面是一种特殊的二次曲面，它的标准方程为：y = ax^2 + bx + c或x = ay^2 + by + c其中a、b和c是常数。
抛物线曲面在数学和工程领域中都有广泛的应用，例如在计算机图形学和机器人运动控制中，抛物线曲面可以用于描述物体的运动轨迹。
二次曲面不仅具有标准方程和参数方程，而且还具有丰富的性质和应用。
例如，二次曲面的对称性可以通过其标准方程或参数方程进行判断。
在数学领域，二次曲面是代数几何、微分几何和拓扑学等学科的重要研究对象。
二次曲线方程的化简与分类
(x0 cos y0 (x0 sin
sin )
y0 cos
)
（5.6-4）
平面直角坐标变换公式（5.6-3）是由新坐标系原
点的坐标 (x0, y0 ) 与坐标轴的旋转角 决定的。
确定坐标变换公式，除了上
面的这种情况外，还可以有
其它的方法。
y
M x/ y/
例如给出了新坐标系 的两坐标轴在旧坐标
tg Y a12 a11 , X a22 a12
(aa1211X()aX22a12)YY
0, 0.
ctg 2
1 tg 2 2tg
1 (
2
a12 )2 a22 a12
a22
1 ( a12 )( a11 )
a22 a12
2a12
a11 a22 2a12
a22
因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二 次曲线方程的方法，实际是把坐标轴变换到与二 次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置。
例 1 已知两垂直的直线 l1: 2x y 3 0 与
l2 : x 2 y 2 0 ，取 l1为Ox 轴，l2 为Oy 轴，求
坐标变换公式。
解 设 M (x, y) 的新坐标为 (x, y)，那么有
x x 2 y 2 , y 2x y 3 ,
5
5
根据上面的符号选取法则得变换公式为
项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而
与一次项系数及常数项无关。
2o 一次项系数一般要改变。新方程的一次
项系数
a13 a13 cos a23 sin , a23 a13 sin a23 cos ,
解出 a13, a23 得
a13 a13 cos a23 sin , a23 a13 sin a23 cos ,
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作变换 可化简成
x x,
y
2a24
y
2a34 z
a44
,
2 a224 a324
z
a34
y
a24 z .
a224 a324
14) 标准方程 x2 2 py
x
y
x y,
a14
1
,
z
z,
不妨设3=0，作移轴
x
x
a14
1
,
y
y
a24
2
,
z z.
则有 1x2 2 y2 2a34z a44 0.
（6.2-5）
(1) 若a34 ≠0,再作移轴
x x,
y
y,
z
z
a44 2a34
(6.2-3)
二次曲面（6.1-1）的特征方程
关于的方程
a a
a
11
12
13
A E = a a a =0
21
22
23
a
a a
31
32
33
称为二次曲面（6.1-1）的特征方程.
它是关于的一元三次方程,即
3 I 2 I I 0
1
2
3
解得三个特征值为1,2,3,.二次曲面的特征值有以下的性质： （1） 1,2,3不全为零; （2） 1,2,3都是实数; （3） 1+2+3=I1; （4） 123=I3.
1
6.2.2二次曲面的分类与化简
（simplification and classification of quadratic
surfaces）
在（6.2-3）的基础之上,通过配方,在作移轴,就可将方程（6.2-3）进 一步化简,并了解所对应的曲面.
1）情形1： 1,2,3,都不为0.
这时，有I3≠0,即曲面为中心型曲面。
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
0.虚椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1 0
.单叶双曲面
(2) 1,2,3a'44<0, 3) 1,2,3同号,标准方程 4) 1,2,3异号,标准方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
0
x2 y2 z2
1 0 a2 b2 c2
标准方程
x2 a2
y2 b2
0 . 一对相交于一条实直线的虚平面;
13) 1,2异号, 即1,2 <0,
标准方程
x2 a2
y2 b2
0
. 一对相交平面.
3) 情形3: 1,2,3中有两个为0.
这时有I3=0，I4=0, 不妨设1≠ 0 ,作移轴
则有 1x2 2a24 y 2a34z a44 0. （1）a24,a34中至少有一个不为0,
标准方程
x2 a2
y2 b2
1 0
. 椭圆柱面
10) 1,2, a'44同号,标准方程
x2 y2 a2 b2 1 0
. 虚椭圆柱面
11) 12 <0, 标准方程可化为
x2 a2
y2 b2
1
0
.双曲柱面.
(3)若a34 = a'44 =0
12) 1,2同号, 即1,2 >0,
对角线上的元素为A的特征值(特征根) 1,2,3,即方程
det(A E) 0 的根,它们全为实数,因而有
1
T AT
2
3
经过直角坐标变换(转轴变换),曲面方程为
F(x, y, z) 1x2 2 y2 3z2 2a14x 2a24y 2a34z a44 0
(Ⅰ) a11x2 a22 y2 a33z2 a44 0, a11a22a33 0; (Ⅱ) a11x2 a22 y2 2a34 z 0, a11a22a34 0;
(Ⅲ) a11x2 a22 y2 a44 0, a11a22 0; (Ⅳ) a11x2 2a24 y 0, a11a24 0; (Ⅴ) a11x2 a44 0, a11 0.
并且可以写成下面十七种标准方程的一中形式：
作移轴
x
x
a14
1
,
y
y
a24
2
,
可得
z
z
a34
3
.
1x2 2 y2 3z2 a44 0.
（6.2-4）
（1） 1,2,3a'44>0, 1) 1,2,3同号,标准方程 2) 1,2,3异号,标准方程
.椭球面 . 双叶双曲面
(3) a'44=0,
5) 1,2,3 同号,标准方程
6) 1,2,3异号,标准方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
0 . 一点;
x2 a2
y2 b2
z2 c2
0 .二次锥面
2) 情形2： 1,2,3中只有一个为0
这时有I3=0, I4 ≠0, 即曲面为非中心型曲面.
6.2 一般二次曲面的化简与分类
（Simplification and classification of general quadratic surfaces）
6.2.1 代数理论(The algebraic theory)
由代数知识知道,实对称矩阵可用正交矩阵对角化,即
对实对称矩阵A,存在正交矩阵T,使 T AT为对角矩阵,且
,
化简为 1x2 2 y2 2a34 z 0.
7) 12>0, 标准方程
x2 a2
y2 b2
2z
8) 12<0, 标准方程
x2 a2
y2 b2
2z
（6.2-6） . 椭圆抛物面 . 双曲抛物面
(2)若a34 =0, a'44≠0,
方程化简为 1x2 2 y2 a44 0. 9) 1,2同号,但与a'44 异号,
抛物柱面.
(2) a24=a34=0
15) 1与a'44 异号, 标准方程 x2 a2 0 . 一对平行平面;
16) 1与a'44 同号,标准方程 x2 a2 0 . 一对虚的平行平面;
17) a'44 =0, 标准方程
x2 0
. 一对重合平面.
定理1 选取适当的坐标系,二次曲面方程（6.1-1）总可以 化简为以下五类简化方程中的一个：