二次曲面的一般理论
二次曲面方程
二次曲面方程一、引言二次曲面方程是数学中非常重要的一类曲面方程。
它们具有丰富的几何性质和广泛的应用领域，如物理学、工程学和计算机科学等。
本文将从二次曲面的定义和性质、几何图形以及实际应用三个方面，生动全面地介绍二次曲面方程。
二、定义和性质二次曲面是由二次方程表示的曲面。
一般地，二次曲面方程可以写成Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0的形式。
其中A、B、C不全为零，D、E、F、G、H、I、J是常数。
这种方程描述了空间中的一个曲面，其形状和性质与方程的系数有关。
对于二次曲面方程，有一系列重要的性质。
首先，二次曲面在三维空间中通常表示一个曲面，形状可以是椭圆、双曲线或抛物面。
其次，二次曲面可能有中心或焦点等特殊点，这些点对于曲面的性质和几何特征具有重要意义。
最后，通过调整方程的系数，可以改变二次曲面的形状和方向，从而产生不同的几何图形。
三、几何图形根据二次曲面方程的不同形式，我们可以了解到不同的几何图形。
首先是椭球面，当A、B、C都为正数时，方程描述了一个椭球体。
椭球体在三维空间中呈现出类似于地球的形状，可以用来表示行星、人工卫星等球状物体。
其次是双曲面，当A、B、C中有一个为负数时，方程描述了一个双曲体。
双曲体的形状类似于双曲线，可以用来表示一些物理现象，如电场分布和透镜等。
最后是抛物面，当A或B为零，且C不为零时，方程描述了一个抛物体。
抛物体可以用来描述抛物运动，也可以用于建模天文、航空等领域的问题。
四、实际应用二次曲面方程在现实生活中有广泛的应用。
首先，它们在物理学中发挥着重要作用。
例如，抛物面方程可以用来描述物体的运动轨迹，从而对物体的运动进行预测和分析。
其次，二次曲面方程在工程学中也有重要应用。
通过使用椭球面方程，工程师可以设计出符合实际需求的复杂三维结构，如建筑物、车辆和飞机等。
此外，二次曲面方程还在计算机科学领域得到了广泛应用。
高等数学二次曲面
高等数学二次曲面引言在高等数学中，二次曲面是一类重要的曲面，它们在空间中具有特定的几何性质和数学定义。
本文将介绍二次曲面的定义、分类以及一些重要的性质和应用。
定义二次曲面是定义在三维空间中的曲面，它可以用一个二次方程的方程来表示。
二次曲面的方程一般具有以下形式：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J是实数。
当方程中的系数满足一些条件时，可以得到不同种类的二次曲面。
分类根据方程中系数的特点，可以将二次曲面分为以下几类：1. 椭球面当A、B和C的系数都为正时，方程表示一个椭球面。
椭球面具有两个主轴，其中两个主轴的长度由A、B和C的值决定。
椭球面在物理学、天文学和工程学等领域有广泛的应用。
2. 单叶双曲面当A、B和C的系数分别为正、负和负时，方程表示一个单叶双曲面。
单叶双曲面有一个中心点，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
3. 双叶双曲面当A、B和C的系数分别为负、负和正时，方程表示一个双叶双曲面。
双叶双曲面同样有一个中心点，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
4. 椭圆抛物面当D、E和F的系数都为零时，方程表示一个椭圆抛物面。
椭圆抛物面具有一个焦点和一条对称轴，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
5. 双曲抛物面当D、E和F的系数至少有一个不为零时，方程表示一个双曲抛物面。
双曲抛物面同样具有一个焦点和一条对称轴，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
6. 椭圆锥面当A、B、C的系数满足一个特定的条件时，方程表示一个椭圆锥面。
椭圆锥面可以看作是椭球面在一个主轴的方向上无限延伸而成的曲面。
7. 双曲锥面当A、B、C的系数满足另一个特定的条件时，方程表示一个双曲锥面。
双曲锥面同样可以看作是椭球面在一个主轴的方向上无限延伸而成的曲面。
性质和应用二次曲面具有许多重要的性质和应用，以下是其中的一些：•二次曲面对称性：对于大多数二次曲面，它们都具有某种对称性，可以通过变换来描述这种对称性。
二次曲线和二次曲面的性质
二次曲线和二次曲面的性质二次曲线和二次曲面是数学中重要的概念，它们在几何学、代数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将就二次曲线和二次曲面的性质展开讨论。
一、二次曲线的性质1. 定义二次曲线是由二次方程所描述的曲线，其一般方程可以表示为Ax²+ Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数，并且A和C不同时为零。
2. 类型根据一般方程的系数，二次曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆：当B² - 4AC < 0 时，方程描述的曲线为椭圆。
椭圆是一个闭合曲线，具有对称轴和离心率等性质。
双曲线：当B² - 4AC > 0 时，方程描述的曲线为双曲线。
双曲线有两个分离的曲线支，其特点是无界且具有两个渐近线。
抛物线：当B² - 4AC = 0 时，方程描述的曲线为抛物线。
抛物线具有轴对称性，分为开口向上和开口向下两种类型。
3. 几何性质不同类型的二次曲线具有不同的几何性质。
椭圆的主轴为长轴，副轴为短轴，其焦点在椭圆的长轴上。
椭圆的离心率介于0和1之间，且椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和等于常数。
双曲线的主轴为虚轴，分别与两个焦点连线构成直角。
双曲线的离心率大于1，且双曲线上的任意点到两个焦点的距离之差等于常数。
抛物线的焦点位于曲线的顶点上方或下方，其离心率等于1。
抛物线具有镜像对称性，焦点和顶点关于准线对称。
二、二次曲面的性质1. 定义二次曲面是由二次方程所描述的曲面，其一般方程可以表示为Ax²+ By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I和J为常数，并且A、B和C不同时为零。
2. 类型根据一般方程的系数，二次曲面可分为椭圆锥面、双曲面、抛物面和椭球面等类型。
椭圆锥面：当D² - 4AC < 0 时，方程描述的曲面为椭圆锥面。
2二次曲面分类简介
或
x cos1 cos 1 cos1 x y cos2 cos 2 cos 2 y
z cos3 cos 3 cos 3 z
空间直角坐标变换
一般的空间直角坐标 (点) 变换公式:
x y
x cos1 x cos2
y cos 1 z cos y cos 2 z cos
1
d1 2 d2
z x cos3 y cos 3 z cos 3 d3
或
x cos1 cos 1 cos1 x d1 y cos2 cos 2 cos 2 y d2 ,
z cos3 cos 3 cos 3 z d3
空间直角坐标变换
空间一般坐标变换公式, 还可以由新坐标系的 三个坐标面来确定.
x2 y2 a2 b2 1;
x2 y2 a2 b2 1;
x2 a2
y2 b2
0;
二次曲面的类型
[12] 双曲柱面: [13] 一对相交平面:
x2 y2 a2 b2 1;
x2 a2
y2 b2
0;
[14] 抛物柱面:
x2 2 py;
[15] 一对平行平面:
x2 a2 , a 0.
[16] 一对平行平面:
a13 a23 a33 z
x
x
y
z
A0
y
z
用不变量判断二次曲面类型
记 F1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z + b1
F2(x, y, z) = a12x + a22y + a23z + b2
F3(x, y, z) = a13x + a23y + a33z + b3
I二次曲面介绍
对称性：对称于 xz , yz 对称性： 平面和 z轴. 用z = h截曲面得 截曲面得 x2 y2 到 − = h,
a2 b2 z = h.
z
用y = 0截曲面得到 截曲面得到
x 2 = a 2 z, y = 0.
x 0 y
用x = k截曲面得到 截曲面得到
2 k2 2 y = −b ( z − 2 ) a x = k
双曲抛物面可以看成是顶点在 一条抛物线上的抛物线运动产生。
椭圆抛物面，双曲抛物面没有对称中心， 椭圆抛物面，双曲抛物面没有对称中心，所以叫做 无心二次曲面
z z
x y 0 x
.
0 y
椭圆抛物面
双曲抛物面
§3 二次方程的化简 二次曲面：三元二次方程所表示的曲面. 二次曲面：三元二次方程所表示的曲面 二次方程所表示的曲面 三元二次方程的一般形状； 三元二次方程的一般形状；
这17种方程叫做二次曲面的标准方程。
我们可以根据方程的特点建立新的坐标系把方程化为17 种标准方程中的一种，从而可以得到方程所表示的曲面。
如(1) z = xy,(2) z 2 = xy,(3) x 2 + 2 xy + y 2 + z 2 = 1, (4) z = xy − x − y − 2.
(4) z = xy − x − y − 2
对称性：关于原点，坐标轴， （1） 对称性：关于原点，坐标轴，坐标 平面对称. 平面对称. 有界性： （2） 有界性：椭球面上点的坐标适合
| x |≤ a,| y |≤ b,| z |≤ c.
也就是说椭球面可以被包含在六个平面
x = ± a, y = ±b, z = ± c.
所围成的长方体里. 所围成的长方体里
二次曲面的一般理论
第六章 二次曲面的一般理论教学目的 : 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念 ,从不同角度对二次曲面进行了分类 .研究了二次曲面的几何性质 , 并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式 化二次曲面的一般方程为规范方程 , 对二次曲面进行了分类和判定 , 是二次曲面理 论的推广和扩充 .教学重难点 : 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程 , 既是重点又是难点 .基本概念二次曲面 : 在空间 , 由三元二次方程2 2 2a 11xa 22 y a 33z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34z a 44 0 (1)所表示的曲面 .虚元素 :空间中，有序三复数组 (x,y,z) 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是 实数，那么它对应的点是 实点 ，否则叫做 虚点 二次曲面的一些记号F(x,y,z)F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 F 3( x, y, z) a 13x a 23y a 33z a 34 F 4 (x,y,z) a 14x a 24y a 34z a 442 2 2(x, y,z) a 11x 2a 22y 2 a 33z 2 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz1(x,y,z) a 11x a 12 y a 13z 2(x,y,z) a 12 x a 22 y a 23z2a 11 x 22a 22 y a 33 z2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 443(x, y,z) a 13x a 23 y a 33z 4(x,y,z) a 14 x a 24 y a 34 z即有恒等式成立 : F(x,y,z) xF 1 ( x, y,z) yF 2 (x, y, z) zF 3(x,y,z) F 4(x,y,z)(x,y,z) x 1(x,y,z) y 2(x, y,z) z 3(x,y,z)a 11 a 12 a 13 a 14 二次曲面 F(x,y,z) 的系数矩阵Aa 12a 22a 23a 24a 13 a 23 a 33 a 34a 14a 24 a 34 a 44a 11 a 12 a 13而由 (x, y,z) 的系数矩阵为Aa 12 a 22 a 23a 13a 23a 33二次曲面(1)的矩阵 A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是 F 1 (x, y,z) ，a 11 a 12 a 13a 11 a 12 a 11 a 13a 22 a 231 a 11 a 22 a 33 I 2I 3a 12 a 22 a 23a 12 a 22a 13 a 33a 23 a 33a 13 a 23 a 33a 11 a 12 a 14a 11 a 13 a 14 a 22 a 23 a 24K 2a 12 a 22 a 24a 13 a 33 a 34 a 23 a 33 a 34a 14a 24a 44a 14a 34a 44a 24a 34a 44§6.1 二次曲面与直线的相关位置2 2 2 F(x, y,z) a 11x a 22 y a 33z 2a 12xy 2a 13xz2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44(1)x x 0 Xt与过点 (x 0, y 0, z 0 )的直线 y y 0 Yt (2)z z 0 Zt将(2)代入(1)得F 2(x,y,z)， F 3(x, y, z) ， F 4(x,y,z) 的系数。
第六章 二次曲面的一般理论
第六章 二次曲面的一般理论教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念二次曲面: 在空间,由三元二次方程022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1）所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号≡),,(z y x F 44342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φz a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φz a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=44342414343323132423221214131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。
二次曲面一般式
二次曲面一般式摘要：一、二次曲面的定义二、二次曲面的分类1.椭圆曲面2.双曲线曲面3.抛物线曲面三、二次曲面的性质1.标准方程2.参数方程3.二次曲面的对称性四、二次曲面的应用1.数学领域2.物理领域3.工程领域正文：二次曲面是数学中的一种曲面，它的定义可以表示为二次方程的曲面。
在三维空间中，二次曲面是一个与二次方程相关的曲面。
根据二次方程的不同，二次曲面可以分为椭圆曲面、双曲线曲面和抛物线曲面三类。
1.椭圆曲面椭圆曲面是一种二次曲面，它的标准方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别表示椭圆的长短轴。
椭圆曲面在数学和物理领域中都有着广泛的应用，比如在光学和天文学中，椭圆曲面常用于描述光的传播和成像。
2.双曲线曲面双曲线曲面是另一种二次曲面，它的标准方程为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1或(x^2 / b^2) - (y^2 / a^2) = 1其中a和b分别表示双曲线的长短轴。
双曲线曲面在数学和物理领域中也有广泛的应用，例如在电场和磁场的研究中，双曲线曲面可以用于描述电荷和电流分布。
3.抛物线曲面抛物线曲面是一种特殊的二次曲面，它的标准方程为：y = ax^2 + bx + c或x = ay^2 + by + c其中a、b和c是常数。
抛物线曲面在数学和工程领域中都有广泛的应用，例如在计算机图形学和机器人运动控制中，抛物线曲面可以用于描述物体的运动轨迹。
二次曲面不仅具有标准方程和参数方程，而且还具有丰富的性质和应用。
例如，二次曲面的对称性可以通过其标准方程或参数方程进行判断。
在数学领域，二次曲面是代数几何、微分几何和拓扑学等学科的重要研究对象。
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第六章 二次曲面的一般理论教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念二次曲面: 在空间,由三元二次方程022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1）所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号≡),,(z y x F 44342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φz a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φz a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=44342414343323132423221214131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。
3322111a a a I ++= 3323232233131311221212112a a a a a a a a a a a a I ++=3323132322121312113a a a a a a a a a I = 443424143433231324232212141312114a a a a a a a a a a a a a a a a I =,4434343344242422441414111a a a a a a a a a a a a K ++=4434243433232423224434143433131413114424142422121412112a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a K ++=§6.1 二次曲面与直线的相关位置≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++44342414232222a z a y a x a yz a +++++ (1)与过点),,(000z y x 的直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xt x x 000 (2)将(2)代入(1)得[]0),,(),,(),,(),,(2),,(0000003000200012=++++Φz y x F t z y x ZF z y x YF z y x XF t Z Y X （3）现讨论直线（2）与二次曲面（1）相交的各种情况:1.0),,(≠ΦZ Y X ,这时方程（3）是一个关于t 的二次方程，它的判别式为：[]),,(),,(),,(),,(),,(0002000300020001z y x F Z Y X z y x ZF z y x YF z y x XF Φ-++=∆10 0>∆,有两不等实根,直线与二次曲面有两不同实交点; 20 0=∆,有两相等实根,直线与二次曲面有两相互重合实交点; 30 0<∆,有两共轭虚根,直线与二次曲面有两共轭虚交点 2.0),,(=ΦZ Y X10 0),,(),,(),,(000300020001≠++z y x ZF z y x YF z y x XF ,直线与二次曲面有唯一交点;20 0),,(),,(),,(000300020001=++z y x ZF z y x YF z y x XF ,但0),,(000≠z y x F 直线与二次曲面无交点30 0),,(),,(),,(000300020001=++z y x ZF z y x YF z y x XF ,且0),(00=y x F ，直线与二次曲面有无穷交点,直线在二次曲面上.§6.2 二次曲面的渐进方向与中心1. 二次曲面的渐进方向定义 5.2.1: 满足0),,(=ΦZ Y X 的方向Y X :：Z 称为二次曲面的渐进方向,否则称为非渐进方向.对于给定的二次曲面≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++44342414232222a z a y a x a yz a +++++ (1)和过点),,(000z y x 的直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xt x x 000 (2)当Y X :：Z 为曲面（1）的渐进方向时，直线（2）与曲面（1）总有两个交点；当Z Y X ::为曲面（1）的渐进方向时，直线（2）与（1）或者只有一个交点，或者没有交点，或者整条直线在曲面上。
2. 二次曲面的中心当Z Y X ::为二次曲面的非渐进方向时,即当02),(22212211≠++≡ΦY a XY a X a Y X以非渐进方向为方向的直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xt x x 000与二次曲面交于两个点,由这两点决定的线段叫二次曲面的弦.定义 6.2.2:若点C 是二次曲面的通过它的所有弦的中点,C 是二次曲面的对称中心,那么点C 叫做二次曲面的中心.定理6.2.1若点),,(000z y x C 是二次曲面的中心,其充要条件是:⎪⎩⎪⎨⎧=+++≡=+++≡=+++≡0),,(0),,(0),,(340330230130003240230230120002140130120110001a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F （6.2-1） 推论 坐标原点是二次曲面的中心,其充要条件是曲面的方程不含有z y x ,,的一次项。
二次曲面的中心坐标，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++≡=+++≡=+++≡0),,(0),,(0),,(343323133242323122141312111a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F （6.2-2）决定，方程组（6.2-2）叫做二次曲面（1）的中心方程组。
根据（6.2-2）的系数矩阵A 与增光矩阵B⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=332313232212131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=342414332313232212131211a a a a a a a a a a a a B 的秩r 与R ，有： 10 3==R r ，这时方程组的系数行列式03323132322121312113≠=a a a a a a a a a I ，方程组有惟一解，二次曲面（1）有惟一中心。
20 2==R r ，（6.2-2）有无数多解，这些解可用一个参数来线性表示。
曲面有无数个中心，这些中心构成一条直线。
30 1==R r ，（6.2-2）有无数多解，这些解可用两个参数来线性表示。
曲面有无数个中心，这些中心构成一个平面。
40R r ≠，（6.2-2）无解，这时二次曲面（1）无中心。
定义 6.2.3: 有唯一中心的二次曲面叫中心二次曲面,没有中心的二次曲面叫 无心二次曲面,有无数中心构成一条直线的二次曲面叫线心二次曲面, 有无数中心构成一平面的二次曲面叫面心二次曲面,二次曲面中的无心曲面、线心曲面与面心曲面统称为非中心二次曲面.推论 二次曲面（1）成为中心二次曲面的充要条件为03≠I ，成为非中心二次曲面的充要条件为03=I例1 椭球面1222222=++c z b y a x 与双曲面1222222±=-+cz b y a x 的3I 分别为0110010001222222≠=cb ac b a 与0110010001222222≠-=-cb ac b a 所以椭球面与双曲面都是中心曲面，他们的中心方程组分别为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≡=≡=≡0),,(0),,(0),,(232221c z z y x F b y z y x F a x z y x F 与⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-≡=≡=≡0),,(0),,(0),,(232221c z z y x F b y z y x F a x z y x F 因此，它们的中心都是坐标原点（0，0，0）例2 抛物面z by a x 22222=±.其3I =000100122=±b a ，所以抛物面为非中心二次曲面，它的1),,(3-=z y x F ，中心方程组有矛盾，因此抛物面为无心二次曲面。
例3 对于曲面0222=-+c z y3I =010001000=，所以他是非中心二次曲面，但由于0),,(1≡z y x Fy z y x F ≡),,(2z z y x F ≡),,(3，所以曲面有一条中心直线⎩⎨⎧==0z y ，所给曲面为线心曲面。