二次曲面
二次曲面
x z , 和 b c y 0. z x , c a y 0.
z
y
x
椭圆锥面是一束过原点的直线所组成， 可以证明, 曲面上任一点与原点的连线均在曲面上.
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第 九 节 二 次 曲 面
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第 九 节 二 次 曲 面
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第 九 节 二 次 曲 面
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第 九 节 二 次 曲 面
y
z
x
y
x y z 双叶双曲面 2 2 2 1 a b c 当用 z = z 0 z 0 c 去截，截痕是椭圆：
当用 x x0 或 y y0去截，截痕是双曲线：
2
2
2
o
y
x
抛物面 (1) 椭圆抛物面
z
x y 2 z 0. 2 a b
2 2
当a =b 时为绕 z 轴的旋转抛物面. (2) 双曲抛物面（马鞍面）
椭球面与三个坐标面的交线：
y x2 2 a b z 0
2 2
2 y2 2 z2 x z 1 2 2 1 2 2 1. , , a b c c y 0 x 0
z
椭球面的参数方程
x a sin cos , y b sin sin , x z c cos . 0 2 , 0 .
o
y
当a b c,
x y z a .2 2源自2 2球面(3) 双曲面 单叶双曲面
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b c
二次曲线和二次曲面的性质
二次曲线和二次曲面的性质二次曲线和二次曲面是数学中重要的概念，它们在几何学、代数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将就二次曲线和二次曲面的性质展开讨论。
一、二次曲线的性质1. 定义二次曲线是由二次方程所描述的曲线，其一般方程可以表示为Ax²+ Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数，并且A和C不同时为零。
2. 类型根据一般方程的系数，二次曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆：当B² - 4AC < 0 时，方程描述的曲线为椭圆。
椭圆是一个闭合曲线，具有对称轴和离心率等性质。
双曲线：当B² - 4AC > 0 时，方程描述的曲线为双曲线。
双曲线有两个分离的曲线支，其特点是无界且具有两个渐近线。
抛物线：当B² - 4AC = 0 时，方程描述的曲线为抛物线。
抛物线具有轴对称性，分为开口向上和开口向下两种类型。
3. 几何性质不同类型的二次曲线具有不同的几何性质。
椭圆的主轴为长轴，副轴为短轴，其焦点在椭圆的长轴上。
椭圆的离心率介于0和1之间，且椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和等于常数。
双曲线的主轴为虚轴，分别与两个焦点连线构成直角。
双曲线的离心率大于1，且双曲线上的任意点到两个焦点的距离之差等于常数。
抛物线的焦点位于曲线的顶点上方或下方，其离心率等于1。
抛物线具有镜像对称性，焦点和顶点关于准线对称。
二、二次曲面的性质1. 定义二次曲面是由二次方程所描述的曲面，其一般方程可以表示为Ax²+ By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I和J为常数，并且A、B和C不同时为零。
2. 类型根据一般方程的系数，二次曲面可分为椭圆锥面、双曲面、抛物面和椭球面等类型。
椭圆锥面：当D² - 4AC < 0 时，方程描述的曲面为椭圆锥面。
二次曲面
u,v 为参数，且不全为0.
（1）对于单叶双曲面S上的每一点，两类直母线中各有一条直 母线经过它。 （2）单叶双曲面S上异族的两个直母线一定共面，同族的两个 直母线一定异面。
可以看出下面两直线在S上。
x z y x z y u v 1 0 u a c v 1 b 0, a c b I2 : I1 : v x z u 1 y 0 y x z v u 1 0 a c b a c b
当 | h | b时， 截线为双曲线 实轴//z轴 c 2 实半轴： b h 2 b 虚轴//x轴 a 2 虚半轴： b h 2 b
用平行与坐标面的平面y h来截割双曲面： x2 z 2 h2 2 2 1 2 截口方程为：a c b ; y h
当 | h | b时， 截线为两条直线 x z 0 a c y b x z 0 或a c y b
二次曲面
一个仿射坐标系中, x,y,z的一个二次方程的图 形成为二次曲面.
二次方程的一般形式:F ( x, y, z ) 0 F ( x, y, z ) a11 x a22 y a33 z 2a12 xy 2a23 yz 2a13 xz 2b1 x 2b2 y 2b3 z c
u,v 为参数，且不全为0.
三、性质： 1. 单叶双曲面上异族的任意两条直母 线必共面, 而双曲抛物面上异族的任意 两条直母线必相交. 2. 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的 任意两条直母线总是异面直线, 而且双 曲抛物面同族的全体直母线平行于同一 平面. 3. 对于单叶双曲面和双曲抛物面上的 每一点, 两族直母线中各有一条通过这 一点.
六节常见二次曲面
z 0.
用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截
痕为椭圆
x2 a2
y2 b2
1
h2 c2 ,
z h.
当h=±c时，截痕为
x2 a2
y2 b2
0，即截痕缩为一点.
当|h|>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面
z=|h|(|h|>c)不相交.
因此椭球面介于 c z c 的范围内.
y2 b2
z2 c2
1,
x 0.
用平行于Oyz面的
平面x=h截所给曲面，
截痕为椭圆
y 2 b2
z2 c2
1
h2 a2
,
x h.
当h=±a时，截痕缩为一点：当|h|>a时，无截痕.
因此，椭球面介于 a x a .
四、二次锥面
方程 x2 y 2 z 2 0 (4) a2 b2 c2
同理，用Oxz面截所给曲面的截痕为椭圆
x2 a2
z2 c2
1,
y 0.
用平行于Oxz面的平
面y=h截所给曲面，截痕
为椭圆
x2 a2
z2 c2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
h b
2 2
,
y h.
当h=±b时，截痕缩为一点：当|h|>b时，无截痕.
因此，椭球面介于 b y b .
用Oyz面截所给曲面的截痕为椭圆
所确定的曲面称为二次锥面.
二、单叶双曲面
由方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
(2)
所确定的曲面称为单叶双曲面.
三、椭圆抛物面
方程 x2 y 2 z ( p, q同号)
(5)
2 p 2q
常见的二次曲面
(1)
所确定的曲面称为椭球面.
用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截
痕为椭圆
x2 y2 h2 2 2 1 2 , a b c z h.
x y 当h=±c时，截痕为 2 2 0，即截痕缩为一 a b 点.当|h|>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕方程为
y2 z2 2 2 1, b c x 0.
无图形.
用平面x=h截所给曲面，其截痕方程为
y 2 z 2 h2 2 2 2 1, b c a x h.
b 2 当|h|>a时，其图形为椭圆，半轴分别为 h a2 a c 2 2 和 h a ； a
方程
x2 y2 z ( p, q同号) 2 p 2q
(5)
所确定的曲面为椭圆抛物面. 若p>0，q>0.利用截痕法可作出其图形.
六、双曲抛物面
x2 y2 z ( p, q同号) 方程 2 p 2q
确定的曲面为双曲抛物面.
(6)
设p>0，q>0.
用Oxy坐标面截所给曲面，截痕为两条直线
由方程
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
(3)
所确定的曲面称为双叶双曲面.
用Oxy坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平面z=h截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 Βιβλιοθήκη 2 2 2 1 2 , a b c z h.
空间解析几何二次曲面
二次曲面的性质
封闭性
01
二次曲面是封闭的，即它包围着一个确定的区域。
连续性
02
二次曲面在三维空间中是连续的，没有断裂或突起。
可微性
03
二次曲面在三维空间中是可微的，这意味着它的表面是平滑的。
02
二次曲面方程
二次曲面方程的建立
定义
二次曲面是三维空间中通过两个二次方程定义的 几何体。
形式
二次曲面的一般方程为 (Ax^2 + By^2 + Cz^2 + 2Fxy + 2Gxz + 2Hyz = D)。
优化方法
常用的优化方法包括数学规划、遗传算法、 模拟退火等，通过这些方法可以找到最优的 设计方案，提高产品的性能和降低成本。
感谢您的观看
THANKS
特点
二次曲面具有独特的形状和性质，其 形状由二次函数的系数决定。
二次曲面的分类
1 2
椭球面
当 $f$ 为正时，二次曲面呈现为椭球形状，其长 轴和短轴分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴平行或垂直。
抛物面
当 $f$ 为一次函数时，二次曲面呈现为抛物线形 状，其开口方向与 $z$ 轴平行。
3
双曲面
当 $f$ 为负时，二次曲面呈现为双曲形状，其形 状取决于 $x$ 轴和 $y$ 轴的方向。
工程设计
二次曲面在工程设计中用于描述各种形状的表面，如球面、抛物 面等。
物理模拟
在物理模拟中，二次曲面用于描述粒子在力场中的运动轨迹和分 布。
数据分析
在数据分析中，二次曲面用于拟合数据，以揭示数据之间的内在 关系和规律。
03
二次曲面在三维空间中的 表示
二次曲面在三维空间中的投影
二次曲面的直径面、对称面,
2
2
2
x y 例 2 求椭圆抛物面 2 2 =2 z的直径面. a b
2
2
定义 5.4 如果两方向X : Y : Z，X : Y : Z 满足 X 1 ( X : Y : Z ) Y 2 ( X : Y : Z ) Z 3 ( X : Y : Z ) 0. X Y 0 或 X Y Z A Z 那么这两个方向称为一对共轭方向.
因为X , Y , Z 不全为0，所以由齐次线性方程组有 非零解的条件得 det( A E ) 3 I1 2 I 2 I 3 0. （3）
定义 5.8 二次曲面S的奇向及S的主径面的法向称为 S的主方向.
由（2）和（3）式知，二次曲面S的主方向为矩 阵A的特征方向，因此给出求解S的主方向的方法：
若 是S的主径面，则S的某一组平行弦的中点经 过此平面 ，且这组平行弦与 垂直，因而主径面是一 直径面，且与它所共轭的方向X : Y : Z 垂直，于是 的方 程为 XF1 ( x, y, z ) YF2 ( x, y, z ) ZF3 ( x, y, z ) 0 或 1 ( X , Y , Z ) x 2 ( X , Y , Z ) y 3 ( X , Y , Z ) z 4 ( X , Y , Z ) 0.
因为X : Y : Z 与垂直，所以X : Y : Z 与1 ( X , Y , Z )： 2 ( X , Y , Z )： 3 ( X , Y , Z )共线，即 1 ( X , Y , Z ) 2 ( X , Y , Z ) 3 ( X , Y , Z ) . X Y Z
例 3 求二次曲面 3x 2 y 2 3z 2 2 xy 2 xz 2 yz 4 x 14 y 4 z 23 0 的主方向和主径面.
一般二次曲面判别式
一般二次曲面判别式
一般二次曲面的判别式是用来确定二次曲面的性质和形状的数学表达式。
对于一个一般的二次曲面方程：
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J为常数，判别式可以通过以下方式表示：
Δ = ABCDEFGHIJ
根据判别式的值，可以推断二次曲面的类型和特性：
1.如果Δ>0，即判别式为正，说明二次曲面为椭圆、实的双
曲线或一个点。
2.如果Δ=0，即判别式为零，说明二次曲面为椭圆锥、拋物
面、一对重合的实直线或一个重合的点。
3.如果Δ<0，即判别式为负，说明二次曲面为双曲抛物面、
一对共轭虚的直线或空集。
通过计算判别式，可以对给定的二次曲面方程进行分类和分析，并帮助解决与其相关的几何问题。
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