空间曲面和空间曲线

y
M(x, y,0)
在柱面上任意取一点 M (x, y, z ) ，过点 M 作平行于z 轴的
直线，交xoy 坐标面于点M(x, y, 0 ) ，由柱面的定义可知 点 M 必在准线 C 上。故点M 的坐标满足方程F (x, y) 0 ， 由于点 M 与点M 有相同的横坐标和纵坐标，故点 M 的坐
XYZ
z
z
其中 M (x, y, z) 是母线上的任意一点。
∵点ax 22M1
(yX2, b2
Y,
Zcz)22在准0线上a，b
x
2

y2

a2z2 c2
0
∴

X a
2 2
椭 Y圆b22锥面1，把X
Z c

Z z
x
，Y

圆Z y锥代面入，得
z

(
Z z
x)2
柱面方程： z 2 + 8 y =64， 故曲线L 关于yoz 平面的投影曲线是一段抛物线：
z 2
8y

64
（0

y

8
）。
x 0
§7.4.3 锥面
1．锥面的定义
已知一条定曲线 C 及不在 C 上的 一定点 M，动直线 L 过点 M 沿 C 移 动所形成的曲面称为锥面。动直线 L 称为锥面的母线，点 M 称为锥面的 顶点。曲线 C 称为锥面的准线。 2.锥面的的方程
x r cos

y

r
sin

z b
这时b v ，而参数为 。
（三）空间曲线在坐标面上的投影
L
1．空间曲线在平面上的投影的概念
已知空间曲线L 和平面 ，从
L 上各点向平面 作垂线，垂足
L1
所构成的曲线L1 称为曲线L 在
平面 上的投影曲线。准线为曲
线 L 而母线垂直于平面 的柱面称为空间曲线L 关于平面
o
y
解：
x 2

x
2

y2 y2

z2 2z

3
(1) ( 2)
x
(1)－(2)得 z2 2z 30 ，(z 3)(z 1) 0 ，
z 3 （舍去），z 1 。
交线L 的方程也可表示为：x2 y 2 z 2 3 ， 消去 z， z 1
故方程 1(x, y) 0 所表示的柱面就是曲线 L 关于xoy 面的
投影柱面。
而方程


1(x, y) 0 z 0
就是曲线 L 在xoy
面上的投影曲
线的方程。
同样，从曲线 L 的方程中分别消去 x 与 y ，得到柱面方程
2 ( y, z) 0 与3 (x, z) 0 ，
则


2 ( y, z) 0 x 0
与


3 (x, z) 0 y 0
分别是曲线 L 在
yoz 平面和xoz 平面上的投影曲线的方程。
z
例 9．求球面 x 2 y 2 z 2 3 与
旋转抛物面 x 2 y 2 2z 的交线L
在 xoy 平面上的投影曲线方程。
若锥面方程是关于x 、y 、z 的二次式，则称之为二次锥面。
例 1．求顶点为坐标原点，
z
准线是椭圆

x2 a2

y2 b2
1
z c
M1
zc
的锥面方程。
o
y
解：过顶点o(0,0,0) 和准线上的
x
点 M1( X ,Y , Z ) 的母线方程为
x y z ，即X Z x ，Y Z y ，

a2

(Z y)2 z b2
1，化简得

Z c
x2 a2

y2 b2

z c
2 2
0，
即为所求锥面（称为椭圆锥面）的方程。
这是一个x, y, z 的二次齐次方程。
例 2．求顶点为M (3, 1, 2) ，准线为x 2 y 2 z 2 1 x y z 0
而 L 的 方程为 x x y y z z ，其参数方程为
1 0
1
x xt x xt

y

y


y

y
代入准线方程，得


z zt z z t
(xt)2 y2 (z t)2 1 () 2(xt)2 2 y2 (z t)2 2 ( )
这样就可省略消去 z 的过程。
例
10．求曲线L
：

x x
2 2

y2 y2

z2 8y

64
在xoy
、yoz
平面上的
投影曲线的方程。 解：曲线L 在xoy 平面上的投影曲线方程为x2 y 2 8y 。
z 0 从曲线L 的方程中消去 x，得曲线L 关于yoz 平面的投影
得交线L 关于xoy 平面的投影柱面方程：x2 y2 2 。
∴交线L 在xoy 平面上的投影曲线方程是 x2 y2 2 ， z 0
它在 xoy 平面上是以（0，0，0）为圆心，2 为半径的圆。
如果在曲线L 的方程中，出现有一个缺 z 项的方程时， 那么此方程所表示的曲面正巧是经过曲线L 且母线平行 于 z 轴的柱面，它就是曲线L 关于xoy 平面 的投影柱面，
6．方
x

0
,
y0, z0
)
z
z2 x2 1
表示两个圆柱的交线L 在 第一卦限的部分。
此曲线亦可用方程组

x2

y
2
1
(
x

0
,
y0, z0
)表示。
o
y
y z 0
x
例
7．方程组
x2

y2

4
表示在z
1
平面上的圆。
z 1
C L
M
设锥面的准线C
的方程为

F1
(
x,
y,
z)
0,
F2 (x, y, z) 0.
其顶点为 M (x, y, z) ，则通过顶点M (x, y, z) 和准线 C
上的点M1 ( X ,Y , Z ) 的母线方程为
z
x x y y z z ， X x Y y Z z 其中点 M (x, y, z) 是母线上的任意一点。
标也满足方程 F (x, y) 0 。
反之，如果空间一点 M (x, y, z ) 满足方程F (x, y) 0 ， 则过点 M (x, y, z ) 且与z 轴平行的直线必通过准线 C 上 的点 M(x, y, 0 ) ，即 M (x, y, z ) 必在柱面上，因此方程 F (x, y) 0 在空间表示以xoy 平面上的曲线C 为准线， 母线平行于z 轴的柱面方程。
§7.4 空间曲面和空间曲线
本节以两种方式来讨论空间曲面： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知一个三元方程，研究这方程的图形。
7.4.1 球面与柱面
（一）球面 空间中与一定点等距离的点的轨迹叫球面。
求球心在点M (x, y, z) ，半径为 R 的球面方程。 设M (x, y, z) 为球面上的任一点，则有 MM R ， 即 (x x)2 ( y y)2 (z z)2 R ，化简得：
垂足为Q(x, y, 0 ) ，则从P 到P 所 经过的角 t ，上升的高度为
oP

y
QP vt ，即质点的运动方程为： x
P Q
x r cost

y

r
sin
t
z vt
此方程称为圆柱螺旋线方程。
也可以用其它变量作参数；例如令 t ， 则螺旋线方程为
方程组

x
2

y2

4
表示在xoy
平面上的圆。
z 0
（二）空间曲线的参数方程
空间曲线L 上动点 M 的坐标x, y, z 也可以用另一个 变量t 的 函数来表示， 即
x x(t)
y y(t)
②

z z(t)
当t 取定一个值时，由方程组②就得到曲线上一点的
坐标，通过t 的 变动，可以得到曲线上所有的点，方程 组②称为曲线 L 的 参数方程，t 为 参数。
的锥面方程。
解：设 M (X ,Y ,Z ) 是准线上的任一点，则M点与顶点M
构成的直线L应在 所求锥面上，而直线L的方程为
x3 y1 X 3 Y 1
z2 Z 2
( 1), t
变换方程的形式为
X 3(x 3)t ，Y 1 ( y 1)t ，Z 2 (z 2)t ，
2()()得 (zt)2 0 ，故t z ，
代入()和()中，消去 t ，
则得所求柱面方程为(x z)2 y 2 1 。
7.4.2 空间曲线
（一）空间曲线的一般方程
空间曲线L 可以看作两个曲面1 与2 的交线。若曲 面1 与 2 的方程分别为F (x, y, z) 0 与G(x, y, z) 0 ， 则其交线L 的方程为
M1 M
当点 M1( X ,Y , Z ) 在曲线 C 上移动时，
M
o
y
点 M (x, y, z) 就是锥面上的点。
x
因为
M
1
(
X
,Y
,
Z
)
是准线上的点，所以满足方程