曲面与空间曲线
空间曲面与空间曲线
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
(球面方程的标准式)
特殊地：球心在原点时方程为 x2y2z2R2
将标准方程展开得
x 2 y 2 z 2 2 x 0 x 2 y 0 y 2 z 0 z x 0 2 y 0 2 z 0 2 R 2 0 由此可见球面方程的特点
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
2 双曲面
z
x2 a2
by22
cz22
1
单叶双曲面
z
o
x
o y
x
y
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
双叶双曲面
3 抛物面
x2 y2 z （ p与 同q 号） 2 p 2q 设 p0,q0，图形如下：
椭圆抛物面
cz22
1
椭球面与平面 z z1
o y
的交线为椭圆
a2 c2
x2 (c2
z12)
b2 c2
y2 (c2
x
z12)
1
z z1
| z1|c
同理与平面 x和x1 y的交y1线也是椭圆.
椭球面的几种特殊情况：
(1) ab,
x2 a2
ay22
cz22
1
旋转椭球面
§7.5 空间曲面与空间曲线
一 曲面方程的概念 二 曲线方程的概念 三 二次曲面的截痕法
一 曲面方程的概念
1 曲面方程的定义
如果曲面 S 与三元方程
F (x,y,z)0
有下述关系：
（1） 曲面 S上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 F (x,y,z)0就叫做曲面 S的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
空间几何中的曲面方程与空间曲线的应用
空间几何中的曲面方程与空间曲线的应用在空间几何中，曲面方程和空间曲线是两个重要的概念。
曲面方程描述了一个在三维空间中具有特定形状和性质的曲面，而空间曲线则描述了一个在三维空间中的曲线路径。
这两个概念在数学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。
一、曲面方程的基本概念与应用曲面方程是用来描述曲面形状和性质的数学方程。
在空间几何中，常见的曲面方程包括球面方程、柱面方程和锥面方程等。
1. 球面方程的应用球面方程是描述一个圆心和半径确定的球面的方程。
在物理学中，球面方程被广泛应用于描述天体运动、电荷分布以及声波传播等现象。
例如，根据球面方程可以计算出地球的形状和大小，并用于导航系统的定位。
此外，球面方程还可以用于计算球形容器的容积和表面积，对工程设计有着重要的意义。
2. 柱面方程的应用柱面方程是描述一个平行于一个直线轴的曲面的方程。
柱面在建筑设计和机械工程中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，柱面方程被用来描述建筑物的立柱和圆柱体结构，以确保结构的稳定性和坚固性。
另外，在机械工程中，柱面方程也被用来描述容器、管道和汽缸等具有圆柱形状的物体。
3. 锥面方程的应用锥面方程是描述由一条直线和一个尖点组成的曲面的方程。
锥面在物理学和光学中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，锥面方程可以用来描述电荷分布和电场强度等现象。
在光学中，锥面方程被用来描述光学器件（如透镜）的形状和功能，进而实现光的聚焦和折射效果。
二、空间曲线的基本概念与应用空间曲线是描述一个在三维空间中的曲线路径的数学概念。
空间曲线的表示方法可以使用参数方程、一般方程和向量方程等多种形式。
1. 参数方程的应用参数方程是使用一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
参数方程在物理学和工程学中被广泛应用。
例如，在物理学中，使用参数方程可以描述粒子在空间中的运动轨迹，从而研究物体的速度、加速度等运动特性。
在工程学中，参数方程可以用于设计曲线形状的物体，如汽车车身曲线和船体曲线等。
空间曲线与曲面积分
空间曲线与曲面积分曲线与曲面积分是微积分中的重要概念，用于描述曲线或曲面上的某种性质或量的积分计算。
这两个概念在数学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
本文将对空间曲线与曲面积分的概念、计算方法以及相关应用进行详细介绍。
一、空间曲线积分空间曲线是三维空间中的一条曲线，可以用参数方程或者向量函数进行描述。
空间曲线积分是将函数沿曲线的路径进行积分计算。
假设给定一条曲线C，其参数方程为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中t为参数，函数f(t), g(t), h(t)分别表示曲线在不同参数值处的xyz坐标。
空间曲线积分的计算公式如下：∫f(x,y,z)·ds = ∫f(f(t),g(t),h(t))·∥r'(t)∥dt其中，f(x,y,z)是要积分的函数，ds表示曲线上的有向线段长度，r'(t)表示曲线的切向量，∥r'(t)∥表示其模长。
空间曲线积分可以用于计算曲线上的长度、质量、质心、力的功等物理量。
例如，计算电流在导线上的流过量、质点在曲线上的位移以及质点受力做功等。
二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分计算。
与空间曲线类似，曲面可以用参数方程或者隐函数表示。
假设给定一个曲面S，其参数方程为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中u和v为参数，函数f(u,v), g(u,v),h(u,v)分别表示曲面在不同参数值处的xyz坐标。
曲面积分的计算公式如下：∬f(x,y,z)·dS = ∬f(f(u,v),g(u,v),h(u,v))·∥r_u × r_v∥dudv其中，f(x,y,z)是要积分的函数，dS表示曲面上的面积元素，r_u和r_v为曲面的两个切向量，∥r_u ×r_v∥表示两个切向量的叉乘的模长。
曲面积分可以用于计算曲面的面积、质量、质心、电场通量等物理量。
例如，计算平面上的电场通量、计算物体的质心以及计算流体通过曲面的质量流量等。
空间曲线与曲面
空间曲线与曲面空间曲线和曲面是几何学中重要的概念，它们在理解和描述物体的形状和运动过程中起着至关重要的作用。
本文将探讨空间曲线与曲面的定义、性质以及其应用领域。
一、空间曲线的定义与性质空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，在数学上通常表示为参数方程形式或者向量函数形式。
一条空间曲线由无数个点组成，这些点沿着曲线有一定的规律排列。
空间曲线具有以下性质：1. 长度：曲线的长度可以通过对参数范围进行积分计算得出。
长度为曲线上各点之间的距离之和。
2. 切线：曲线上的每一点都有一个唯一的切线与曲线相切。
切线是通过该点的一条直线，与曲线在该点处重合。
3. 曲率：曲线的曲率描述了曲线曲率变化的速度。
曲率可以通过求曲线的曲率半径和弧长的比值得出。
二、空间曲线的应用空间曲线广泛应用于多个学科和领域，如物理学、工程学和计算机图形学等。
以下是空间曲线在相关领域中的应用举例：1. 物理学：在纳米尺度和宏观尺度的物理研究中，空间曲线被用于描述电磁场线、粒子轨迹、物质流动等。
通过分析空间曲线的性质，可以揭示物质的运动规律和相互作用方式。
2. 工程学：在工程设计和制造过程中，空间曲线用于描述物体的外形和运动轨迹。
例如，在航空航天领域，通过研究飞行器的曲线轨迹，可以优化设计以提高飞行效率和安全性。
3. 计算机图形学：计算机图形学中的曲线建模技术使用空间曲线来表示和绘制三维对象。
空间曲线可以通过插值和逼近方法生成，使得计算机可以准确地表示和操作复杂的曲线形状。
三、空间曲面的定义与性质空间曲面是三维空间中的一个二维平面，它由无数个点组成，并且在任意一点处都具有一个唯一的切平面。
在数学上，曲面可以用参数方程、隐函数方程或者二次方程等形式表示。
空间曲面具有以下性质：1. 切平面：曲面上的每一点都有一个唯一的切平面与其相切。
切平面是通过该点的一个二维平面，与曲面在该点处相切。
2. 法向量：曲面上的每一点都有一个对应的法向量，它垂直于曲面上的切平面。
高等数学中的空间曲线与曲面
参数定义：参数是描述曲面上点位 置的变量，通常用两个参数表示。
参数选择：参数的选择对于曲面的 形状和性质有很大影响，不同的参 数选择会导致不同的曲面形状。
添加标题
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参数方程：参数方程是描述曲面上 的点与参数值之间关系的方程组， 通常由两个参数方程组成。
参数方程的应用：参数方程在几何、 物理、工程等领域都有广泛应用， 是描述复杂曲面形状的重要工具。
的任意曲线。
参数曲线：通 过参数方程定 义的曲线，参 数可以是时间、 角度或其他量。
极坐标曲线： 通过极坐标方 程定义的曲线， 通常用于描述 圆、椭圆等形
状。
曲率：描述曲线在某一点的弯曲程 度
曲线的方向：通过切线方向和法线 方向确定曲线的方向
添加标题
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挠率：描述曲线在垂直于给定点的 切线方向上的弯曲程度
曲线的弯曲程度和方向在高等数学 中对于研究空间曲线的性质和几何 特性非常重要
定义：曲线的长度 是曲线上的点与原 点之间的距离之和
性质：曲线的长 度与曲线的形状、 大小和方向有关
计算方法：通过微 积分学中的定积分 来计算曲线的长度
应用：在几何学、 物理学和工程学等 领域有广泛的应用
பைடு நூலகம்
切线的定义：切线是与曲线在某一点的法线垂直的直线
性质：测地线是唯一的，而短程线可能有多个。
应用：在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
与空间曲线的区别：空间曲线上的测地线和短程线是不同的概念。
空间曲线与曲面在几何学中有着广泛的应用，如描述三维空间中的曲线和曲面。 通过空间曲线与曲面的性质，可以推导出许多重要的几何定理和性质。 空间曲线与曲面在几何学中可以用于解决一些实际问题，如计算物体的表面积和体积等。 空间曲线与曲面在几何学中还可以用于研究一些复杂的几何形状，如分形和混沌等。
解析几何中的空间曲线与曲面的关系
解析几何是数学的一个分支，它研究的是几何图形在坐标系中的表示和性质。
其中一个重要的概念就是空间曲线和曲面的关系。
本文将从几何角度探讨空间曲线与曲面之间的关系。
空间曲线是指在三维坐标系中的曲线，可以用参数方程表示。
曲面则是指在三维坐标系中的平面或者弯曲的曲面。
空间曲线与曲面的关系可以通过曲线与曲面的交点来刻画。
当一个曲线与一个曲面相交时，我们可以通过求解曲线与曲面的方程联立方程组来得到交点的坐标。
在解析几何中，曲线与曲面的交点数目可能有三种情况：零个交点、一个交点和多个交点。
当曲线与曲面没有交点时，我们可以得出结论这条曲线不与这个曲面相交。
当曲线与曲面有一个交点时，我们可以得出结论这条曲线与这个曲面相切于交点。
当曲线与曲面有多个交点时，我们需要进一步研究求出这些交点的坐标。
对于曲线与曲面多个交点的情况，我们可以通过求解曲线与曲面的参数方程联立方程组来得到交点的坐标。
将曲线的参数方程代入曲面的方程中，然后解方程组，得到交点的坐标。
这种方法可以准确求解交点的坐标，从而得到曲线与曲面的关系。
在解析几何中，还有一种特殊的情况，即曲线与曲面相切于一个点。
当曲线与曲面相切于一个点时，我们称这个点为曲线在曲面上的切点。
切点是曲线和曲面之间的特殊关系，可以用来研究曲线在曲面上的运动轨迹。
通过研究切点的性质，我们可以得到曲线在曲面上的切线方向和曲面的法线方向。
曲线在曲面上的切线方向是曲线在切点处的切线方向。
切线方向与曲线的斜率有关，可以通过求解曲线在切点处的导数得到。
曲线在曲面上的切线方向可以用来研究曲线与曲面的相切性质。
曲面的法线方向是曲面在切点处的法线方向。
法线方向与曲面的切平面垂直，可以用来研究曲面的性质和方向。
曲线在曲面上的切线方向和曲面的法线方向可以用来研究曲线与曲面的相对位置和变化趋势。
综上所述，解析几何中的空间曲线与曲面的关系可以通过曲线与曲面的交点来刻画。
当曲线与曲面有交点时，我们可以通过求解方程组来得到交点的坐标。
附录空间曲面与空间曲线
柱面，其准线为xoz面上曲线. : 只含 y,z 而缺 z 的方程F( y, z) 0，
Fy( x,
z) 0
0
在空间直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的
柱面，其准线为yoz面上曲线.
:
Fx(
y,
z) 0
0
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实 例
y2 b2
z2 c2
1椭圆柱面// x
轴
准线为：
y2 b2
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以下给出几例常见的曲面： 例 建立球心在点 M0( x0 , y0 , z0 ) 半径为R 的球面方程. 解 设M( x, y, z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
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:0 0 , z :b0 b0 b, 即 2时, 上升的高度 h 2b 螺距
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五、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得：H ( x, y) 0
曲线关于 xoy的投影柱面 投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
o
空间曲线与空间曲面
空间曲线与空间曲面空间曲线和空间曲面是数学几何学中的重要概念，它们在描述和分析三维物体的形状和特征时起着关键作用。
本文将就空间曲线和空间曲面的定义、性质和应用进行深入探讨。
一、空间曲线的定义与性质空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，它由一系列相互关联的点组成。
可以用参数方程或者向量函数来表示，以便对其进行解析研究。
常见的空间曲线有直线、曲线和闭合曲线等。
直线是最简单的空间曲线，可由两个不同的点确定。
曲线则弯曲或扭转，并有无数个点组成。
闭合曲线是形状回到起点的曲线，如圆或椭圆。
空间曲线具有以下重要性质：1. 弧长：空间曲线的长度称为其弧长，可以通过对曲线进行参数化和积分计算得到。
2. 切线：对于空间曲线上的每个点，都有一个切线与其相切。
切线是曲线在该点弯曲方向上的极限。
3. 曲率：曲线的曲率描述了曲线在某点处的弯曲程度。
曲率可以通过曲线的切线和法线计算得到。
4. 弯曲方向：曲线可以向左弯曲或向右弯曲，具体取决于曲线上连续两个点的位置关系。
二、空间曲面的定义与性质空间曲面是三维空间中的一个连续平面，由一系列相关的点构成。
类似于空间曲线，空间曲面也可以用参数方程或者向量函数进行表示。
常见的空间曲面有平面、球面和圆锥面等。
平面是最简单的空间曲面，由无限多个平行于其自身的直线组成。
球面由到球心距离相等的点组成。
圆锥面则由一个尖点和无数个从尖点射出的直线构成。
空间曲面具有以下重要性质：1. 切平面：对于空间曲面上的每个点，都存在一个切平面与其相切。
切平面是曲面在该点处切割曲面所得的截面。
2. 法线：曲面上每个点都有一个法线垂直于曲面。
法线方向是指在该点处曲面向外的方向。
3. 曲率：曲面的曲率描述了曲面在某点处的弯曲程度。
曲率可以通过曲面的切平面和法线计算得到。
4. 弯曲特性：曲面可以是凸的（向外弯曲）、凹的（向内弯曲）或既不凸也不凹。
三、空间曲线与空间曲面的应用空间曲线和空间曲面在实际应用中有着广泛的应用，特别是在工程学和物理学领域。
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R( y, z) 0
x0
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和
T (x, z) 0
y0
例
求曲线L：3x2 z
y2 1 y
2
z 《应用数学》精品课程——电子教案
在三个坐标面上的投影曲线
解 消去Z得1-y2=3x2+y2
3x2 y2 1
投影曲线方程
投影柱面方程为3x2+2y2=1
称此方程组为曲线c的一般方程。
x2 y2 z2 5
例4：方程组
z2
表示怎样的曲线？
解：平面z=2上以(0,0,2)为圆心的单位圆。
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Z a2 x2 y2
例 方程
表示怎样曲线
(
x
a
)2
y2
(a
)2
2
2
解：z x2 y2 表示中心在原点，
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(x 2)2 (y 3)2 (z 1)2 (x 4)2 (y 5)2 (z 6)2
整理得 4x 4y 10z 63 0
此即所求点的规迹方程，为一平面方程。 2.坐标面及与坐标面平行的平面方程：
①坐标平面xOy的方程：z=0 ②过点（a,b,c)且与xOy面平行的平面方程：z=c ③坐标面yOz、坐标面zOx以及过（a,b,c)点且分别与 之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b
4.旋转曲面：
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一般情况下我们将一平面曲线c绕同一平面内的定 直
线l旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。其中c称为母线，
l称为其轴。本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。此
时有以下结论： 设yOz平面上有一已知曲线c
其方程为f(y,z)=0，将c绕
z轴旋转一周，所得到的以z轴
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几种常见柱面：x+y=a 平面；x2 y2 a2 圆柱面；
x2 a2
y2 b2
1椭圆柱面；x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面；x2 2 py 抛物柱面。
以上所举例均为母线平行于z轴的情况，其他情况类似。
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y
sin
t
z vt MN vt z
x a cos
螺旋线有一个MN重要性t质，当zy从Rsi0n变到0 时，Z由
b0变到b0 b这说明当oM 转过角 时，M 点沿螺旋线
升了高度b，即上升的高度与oM 转过角度成正比。 山东水利职业学院数理化教研室
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三.空间曲线在坐标面上的投影：
为轴的放置曲面的方程为：
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f ( x2 y2 , z) 0
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同理，曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为：f (y, x2 z2 ) 0
同理,以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面
f (x, y2 z2 ) 0绕y轴为f ( x2 z2 , y) 0
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3. 球面方程：
①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径
的球面方程为
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2
②球面的一般方程：
x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。
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二.空间曲线及其方程：
1.空间曲线的一般方程：
空间曲线一般可看作两个曲面的交线，若两个曲面的 方程分别为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，则易知其交线c的方
程为 F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
以xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得
曲面f (x, y2 z2 ) 0
绕z 轴得曲面 f ( x2 y2 , z) 0
例3 求顶点在原点，旋转轴为z轴，
半顶角为a的圆锥面方程。 z x2 y2ctg
解：将yOz面上的直线z=yctg 整理后得：
绕z轴旋转一周即得圆锥曲面 z2 a2 (x2 y2 )
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
在该方程组中消去z得H(x,y)=0，此为一个通过曲线L
母线平行于z轴的柱面，称为曲线c关于xOy面的投影柱面。
此投影柱面与xOy平面的交线即为c在xOy平面上的投影曲
线，简称投影，其方程为H (x, y) 0
同理可得L在yOz面及xOz面上z投影0方程为
例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面
解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22
故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。
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4.母线平行于坐标轴的柱面方程：
一般我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成的轨迹
称为柱面。其中直线l称为柱面的母线，定曲线c称为柱面
的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方 程。
此时有以下结论： 若柱面的母线平行于z轴，准线c是xOy面上的一条曲
线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理， G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴和x轴 的柱面。
分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某 轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z取 何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。
(x
a)2 2
y2
Байду номын сангаас
(a 2
)2
半径为1的上半球面 表示母线平行于Z 轴，准线在xoy面上
半径为1的圆柱面 它们的交线是xoy面上的一个圆，
其圆心在( a , 0) ，半径为 a
2
2
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2.空间曲线的参数方程： 设空间曲线方程
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如果选定一个适当的函数 x=x（x）代入上述方程组
并有它解出y=（x），Z=Z（x）得
方程组
x x(t)
y
y (t )
z z(t)
称为空间中曲线的参数方程。
例 如果空间一点M在圆柱面 x2 +y2 =a2 上以等角速度
绕z周旋转，同时，以等速度v沿平行于Z轴的正方向
移动，则点M运动的轨迹叫螺旋线，求其参数方程
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x a cos t 《应用数学》精品课程——电子教案