大学数学第四节 空间的曲面与曲线
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(优选)第四节空间的曲面与曲线
表示怎样
解: 配方得 此方程表示: 球心为
半径为 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形.
2.旋转曲面
定义2 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转 轴 ,旋转曲线叫做旋转曲 面的母线.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 :
F(x, y, z) 0
z
S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
oy
求曲面方程.
x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
二、一些常见的曲面
1.球面 例1 求动点到定点
距离为 R 的轨迹
给定 yoz 面上曲线 C:
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M (x, y, z) , 则有
z z1, x2 y2 y1
故旋转曲面方程为
M1(0, y1, z1)
o
y
x
f ( x2 y2 , z) 0.
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
平面 z z1 上的截痕为 椭圆. 平面 y y1上的截痕情况:
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
y y1
3.柱面
引例 分析方程
z
表示怎样
的曲面 ?
M
解:在 xoy 面上 在圆C上任取一点
表示圆C, C o
空间曲线与曲面
空间曲线与曲面空间曲线和曲面是几何学中重要的概念，它们在理解和描述物体的形状和运动过程中起着至关重要的作用。
本文将探讨空间曲线与曲面的定义、性质以及其应用领域。
一、空间曲线的定义与性质空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，在数学上通常表示为参数方程形式或者向量函数形式。
一条空间曲线由无数个点组成，这些点沿着曲线有一定的规律排列。
空间曲线具有以下性质：1. 长度：曲线的长度可以通过对参数范围进行积分计算得出。
长度为曲线上各点之间的距离之和。
2. 切线：曲线上的每一点都有一个唯一的切线与曲线相切。
切线是通过该点的一条直线，与曲线在该点处重合。
3. 曲率：曲线的曲率描述了曲线曲率变化的速度。
曲率可以通过求曲线的曲率半径和弧长的比值得出。
二、空间曲线的应用空间曲线广泛应用于多个学科和领域，如物理学、工程学和计算机图形学等。
以下是空间曲线在相关领域中的应用举例：1. 物理学：在纳米尺度和宏观尺度的物理研究中，空间曲线被用于描述电磁场线、粒子轨迹、物质流动等。
通过分析空间曲线的性质，可以揭示物质的运动规律和相互作用方式。
2. 工程学：在工程设计和制造过程中，空间曲线用于描述物体的外形和运动轨迹。
例如，在航空航天领域，通过研究飞行器的曲线轨迹，可以优化设计以提高飞行效率和安全性。
3. 计算机图形学：计算机图形学中的曲线建模技术使用空间曲线来表示和绘制三维对象。
空间曲线可以通过插值和逼近方法生成，使得计算机可以准确地表示和操作复杂的曲线形状。
三、空间曲面的定义与性质空间曲面是三维空间中的一个二维平面，它由无数个点组成，并且在任意一点处都具有一个唯一的切平面。
在数学上，曲面可以用参数方程、隐函数方程或者二次方程等形式表示。
空间曲面具有以下性质：1. 切平面：曲面上的每一点都有一个唯一的切平面与其相切。
切平面是通过该点的一个二维平面，与曲面在该点处相切。
2. 法向量：曲面上的每一点都有一个对应的法向量，它垂直于曲面上的切平面。
空间曲线和曲面的方程和性质
空间曲线和曲面的方程和性质空间曲线和曲面是我们学习高等数学时接触到的一个重要概念。
在三维空间中，任何一条曲线都可以用一条参数方程来表示，而曲面则可以用一个或者多个方程来表示。
在本文中，我们将会探讨空间曲线和曲面的方程及其性质，为我们更好地理解和应用它们打下基础。
一、空间曲线的方程和性质1. 参数方程一条曲线可以用一个或多个函数的参数形式来表示，这种表示方式叫做曲线的参数方程。
以抛物线为例，其参数方程可以表示为：x = ty = t²z = 0其中t就是参数。
2. 长度公式曲线的长度公式是通过对曲线上的每一段微小线段求长然后求和得到的。
对于弧长可微的平面曲线，其长度公式可以表示为：L = ∫ab sqrt(1 + [f'(x)]²) dx对于空间曲线，则是对其弧长进行积分：L = ∫ab sqrt([dx/dt]² + [dy/dt]² + [dz/dt]²) dt3. 曲率公式曲线的曲率代表了曲线扭曲的程度。
对于空间曲线，其曲率公式可以表示为：k = |dT/ds|其中，T是切向量，s是曲线长度。
二、空间曲面的方程和性质1. 方程的类型空间曲面可以分为三类：点，直线和曲线。
具体来说，一般来说，地球的表面就是一个曲面，可以用数学公式表示。
在三维空间中，曲面的方程可以表示为一个或多个方程的形式。
例如，球面可以用方程x² + y² + z² = r²来表示。
2. 面积公式对于曲面而言，其面积公式是通过对曲面微元面积求和得到，可表示为：A = ∫∫D |N| dS其中D是曲面的投影区域，N是微元面积的法向量，dS是微元面积。
3. 曲率公式曲面的曲率代表了曲面弯曲的程度。
在数学上，曲面的曲率函数是由曲面上每一点的两个主曲率（即最大和最小曲率）所定义的。
曲面的平均曲率可以表示为这两个主曲率之和的一半。
总之，空间曲线和曲面的方程和性质在不同的数学领域中都有广泛应用。
高等数学中的空间曲线与曲面
参数定义：参数是描述曲面上点位 置的变量，通常用两个参数表示。
参数选择：参数的选择对于曲面的 形状和性质有很大影响，不同的参 数选择会导致不同的曲面形状。
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参数方程：参数方程是描述曲面上 的点与参数值之间关系的方程组， 通常由两个参数方程组成。
参数方程的应用：参数方程在几何、 物理、工程等领域都有广泛应用， 是描述复杂曲面形状的重要工具。
的任意曲线。
参数曲线：通 过参数方程定 义的曲线，参 数可以是时间、 角度或其他量。
极坐标曲线： 通过极坐标方 程定义的曲线， 通常用于描述 圆、椭圆等形
状。
曲率：描述曲线在某一点的弯曲程 度
曲线的方向：通过切线方向和法线 方向确定曲线的方向
添加标题
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挠率：描述曲线在垂直于给定点的 切线方向上的弯曲程度
曲线的弯曲程度和方向在高等数学 中对于研究空间曲线的性质和几何 特性非常重要
定义：曲线的长度 是曲线上的点与原 点之间的距离之和
性质：曲线的长 度与曲线的形状、 大小和方向有关
计算方法：通过微 积分学中的定积分 来计算曲线的长度
应用：在几何学、 物理学和工程学等 领域有广泛的应用
பைடு நூலகம்
切线的定义：切线是与曲线在某一点的法线垂直的直线
性质：测地线是唯一的，而短程线可能有多个。
应用：在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
与空间曲线的区别：空间曲线上的测地线和短程线是不同的概念。
空间曲线与曲面在几何学中有着广泛的应用，如描述三维空间中的曲线和曲面。 通过空间曲线与曲面的性质，可以推导出许多重要的几何定理和性质。 空间曲线与曲面在几何学中可以用于解决一些实际问题，如计算物体的表面积和体积等。 空间曲线与曲面在几何学中还可以用于研究一些复杂的几何形状，如分形和混沌等。
高等数学_空间曲面和曲线
曲面在空间解析几何中被看作点的轨迹. 曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程F( x, y, z) 0有下述关系：
(1) 曲面上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面上的点的坐标都不满足方程；
那么, 方程 F( x, y, z) 0 就称为曲面S 的方程,
而曲面 S 称为方程的图形.
例1 建立球心在点 M0( x0 , y0 , z0 ), 半径为 R 的球面方程.
旋转一周所成的曲面, 称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴.
轴
此曲线称母线.
为方便, 常把曲线所在
母线
平面取作坐标面, 旋转轴取
作坐标轴.
现求 yOz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0
绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.
设 M ( x, y, z)是旋转曲面上任意一点,
(1) z z1
4 x2 y2 3( x2 y2 )
则交线C
在
xOy
面上的投影为
x
2
y2
1
z 0
所求立体在 xOy 面上的投影为 x2 y2 1.
谢谢观看！ 2020
2x 3z 6 表示平面， z
x2 y2 1
2
2x 3z 6
C交 线 为 椭 圆
O1y
x
例5
方程组
z
x
a
a 2
2 x2 y2
2
y2
a2
4
表示怎样的曲线?
z
解 z a2 x2 y2
上半球面 (如图)
பைடு நூலகம்
x a 2 y2 a2
2
4
圆柱面 (如图)
O
交线为蓝色部分 (如图)
如果曲面 S 与三元方程F( x, y, z) 0有下述关系：
(1) 曲面上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面上的点的坐标都不满足方程；
那么, 方程 F( x, y, z) 0 就称为曲面S 的方程,
而曲面 S 称为方程的图形.
例1 建立球心在点 M0( x0 , y0 , z0 ), 半径为 R 的球面方程.
旋转一周所成的曲面, 称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴.
轴
此曲线称母线.
为方便, 常把曲线所在
母线
平面取作坐标面, 旋转轴取
作坐标轴.
现求 yOz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0
绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.
设 M ( x, y, z)是旋转曲面上任意一点,
(1) z z1
4 x2 y2 3( x2 y2 )
则交线C
在
xOy
面上的投影为
x
2
y2
1
z 0
所求立体在 xOy 面上的投影为 x2 y2 1.
谢谢观看！ 2020
2x 3z 6 表示平面， z
x2 y2 1
2
2x 3z 6
C交 线 为 椭 圆
O1y
x
例5
方程组
z
x
a
a 2
2 x2 y2
2
y2
a2
4
表示怎样的曲线?
z
解 z a2 x2 y2
上半球面 (如图)
பைடு நூலகம்
x a 2 y2 a2
2
4
圆柱面 (如图)
O
交线为蓝色部分 (如图)
曲面与空间曲线
律是z=vt，
而转动的角度 t
x a cost ，
故点M的运动轨迹方程为
y
a
sin t
，
z vt .
高等数学
z2 c2
0
（a=b时是圆锥面ab时 是椭圆锥面）
椭圆抛物面
z
x2 a2
y2 b2
图形
名称
方程
双曲 面
单叶双曲面 双叶双曲面
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
图形
二、向量的向量积
空间中任意一条曲线可以看成是两个曲面的交线，因此空 间曲线可用两个曲面方程联立起来表示，即
高等数学
曲面与空间曲线
一、曲面及其方程
与平面解析几何中把曲线看做是动点的轨迹类似，在空 间解析几何中把曲面也看成是具有某种几何性质的点的轨迹。 如果一个曲面S和一个三元方程F(x, y, z)=0，满足下面两个条 件：
（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)=0； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)=0， 那么方程F(x, y, z)=0称为曲面的方程，曲面S称为方程的图形。
F (x ，y) 0
这就是母线平行于z轴的柱面方程。
由此可见，母线平行于z轴的柱面方程的特征是只含x， y，不含z。
同理，方程F(y, z)=0及F(x, z)=0都表示柱面，它们的母 线分别平行于x轴及y轴。
例如，方程 x2 y2 R2
表示母线平行于z轴的柱面，准线 是xOy平面上一个以原点为中心，半 径为R的圆，如图所示。这柱面叫做 圆柱面。
例如，方程
x2 a2
y2 b2
1
而转动的角度 t
x a cost ，
故点M的运动轨迹方程为
y
a
sin t
，
z vt .
高等数学
z2 c2
0
（a=b时是圆锥面ab时 是椭圆锥面）
椭圆抛物面
z
x2 a2
y2 b2
图形
名称
方程
双曲 面
单叶双曲面 双叶双曲面
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
图形
二、向量的向量积
空间中任意一条曲线可以看成是两个曲面的交线，因此空 间曲线可用两个曲面方程联立起来表示，即
高等数学
曲面与空间曲线
一、曲面及其方程
与平面解析几何中把曲线看做是动点的轨迹类似，在空 间解析几何中把曲面也看成是具有某种几何性质的点的轨迹。 如果一个曲面S和一个三元方程F(x, y, z)=0，满足下面两个条 件：
（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)=0； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)=0， 那么方程F(x, y, z)=0称为曲面的方程，曲面S称为方程的图形。
F (x ，y) 0
这就是母线平行于z轴的柱面方程。
由此可见，母线平行于z轴的柱面方程的特征是只含x， y，不含z。
同理，方程F(y, z)=0及F(x, z)=0都表示柱面，它们的母 线分别平行于x轴及y轴。
例如，方程 x2 y2 R2
表示母线平行于z轴的柱面，准线 是xOy平面上一个以原点为中心，半 径为R的圆，如图所示。这柱面叫做 圆柱面。
例如，方程
x2 a2
y2 b2
1
大学数学_7_4 曲面与曲线
z
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
空间曲面和空间曲线(IV)
球面曲线
球面曲线是球面上的一条封闭或非封 闭的曲线。例如，赤道和经线是球面 上的两条特殊的曲线。
抛物面与抛物线
抛物面
抛物面是三维空间中与一个定点等距的点的集合，其形状类 似于开口的抛物线。
抛物线
在平面几何中，抛物线是一条二次曲线，其形状类似于开口 的抛物线。
椭圆抛物面与椭圆抛物线
椭圆抛物面
椭圆抛物面是一种三维曲面，其形状类似于一个向上或向下开口的椭圆。
• 探索新的分类方法：目前对于空间曲面和空间曲线的分类方法还比较有限，未 来可以探索更多的分类方法，以便更好地理解和应用这些对象。如根据几何形 状、拓扑结构等进行分类；或者根据实际应用的需要进行分类等。
• 拓展应用领域：随着科技的发展，空间曲面和空间曲线在各个领域的应用越来 越广泛。未来可以进一步拓展其应用领域，如在机器人设计、生物医学工程、 虚拟现实等领域中应用空间曲面和空间曲线。
曲率描述了曲面或曲线在某一点 的弯曲程度，挠率则描述了曲面 或曲线在某一方向上的弯曲程度。
渐近线是描述曲面或曲线在无穷 远处行为的线，对于理解几何对
象的整体形态具有重要意义。
2023
PART 04
空间曲面与空间曲线的实 例分析
REPORTING
球面与球面曲线
球面
球面是三维空间中与一个定点等距的 点的集合，其形状类似于球体表面。
空间曲面是三维空间中由二维曲线沿着某一方向无限延伸形成的闭合曲面。
分类
根据形成方式，空间曲面可分为旋转曲面和非旋转曲面。旋转曲面是指由一条 平面曲线绕其平面上的一条直线旋转而成；非旋转曲面则包括柱面、锥面等。
常见的空间曲面
球面
圆锥面
抛物面
双曲面
由一个点绕着通过该点 的轴线旋转而成。
球面曲线是球面上的一条封闭或非封 闭的曲线。例如，赤道和经线是球面 上的两条特殊的曲线。
抛物面与抛物线
抛物面
抛物面是三维空间中与一个定点等距的点的集合，其形状类 似于开口的抛物线。
抛物线
在平面几何中，抛物线是一条二次曲线，其形状类似于开口 的抛物线。
椭圆抛物面与椭圆抛物线
椭圆抛物面
椭圆抛物面是一种三维曲面，其形状类似于一个向上或向下开口的椭圆。
• 探索新的分类方法：目前对于空间曲面和空间曲线的分类方法还比较有限，未 来可以探索更多的分类方法，以便更好地理解和应用这些对象。如根据几何形 状、拓扑结构等进行分类；或者根据实际应用的需要进行分类等。
• 拓展应用领域：随着科技的发展，空间曲面和空间曲线在各个领域的应用越来 越广泛。未来可以进一步拓展其应用领域，如在机器人设计、生物医学工程、 虚拟现实等领域中应用空间曲面和空间曲线。
曲率描述了曲面或曲线在某一点 的弯曲程度，挠率则描述了曲面 或曲线在某一方向上的弯曲程度。
渐近线是描述曲面或曲线在无穷 远处行为的线，对于理解几何对
象的整体形态具有重要意义。
2023
PART 04
空间曲面与空间曲线的实 例分析
REPORTING
球面与球面曲线
球面
球面是三维空间中与一个定点等距的 点的集合，其形状类似于球体表面。
空间曲面是三维空间中由二维曲线沿着某一方向无限延伸形成的闭合曲面。
分类
根据形成方式，空间曲面可分为旋转曲面和非旋转曲面。旋转曲面是指由一条 平面曲线绕其平面上的一条直线旋转而成；非旋转曲面则包括柱面、锥面等。
常见的空间曲面
球面
圆锥面
抛物面
双曲面
由一个点绕着通过该点 的轴线旋转而成。
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2020年7月27日星期一
15
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1. 椭球面 (Ellipsoid)
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一般地,在三维空间
z
1:方程 F (x, y) 0 表示柱面, 母线平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1 : F(x,y)=0. 2:方程 G( y, z) 0 表示柱面, 母线平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2 : G(y,z)=0. 3:方程 H (z, x) 0 表示 柱面,
oy
求曲面方程.
x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
2020年7月27日星期一
3
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二、一些常见的曲面
1.球面 例1 求动点到定点
距离为 R 的轨迹
方程. 解: 设轨迹上动点为
依题意
即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .
2020年7月27日星期一
14
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怎样了解三元方程 F(x, y, z) 0所表示的曲面的形状呢?
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
方法是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相交， 考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的 形状．这种方法叫做截痕法．
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. （习题6-4 3（2））
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
(旋转双叶双曲面）
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x
y
(旋转单叶双曲面）
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
2020年7月27日星期一
10
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3.柱面
引例 分析方程
z 表示怎样
的曲面 ?
M
解:在 xoy 面上 在圆C上任取一点
故所求方程为
z
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
M0
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
M
o
y
x
表示上(下)球面 .
2020年7月27日星期一
4
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例2 研究方程 的曲面. （课本 例1）
表示怎样
解: 配方得 此方程表示: 球心为
6
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建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C:
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M (x, y, z) , 则有 z z1, x2 y2 y1
故旋转曲面方程为
M1 (0, y1, z1 )
o y
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
•
表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
•
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
x
z
C
o
y
z
• x y 0 表示母线平行于 z 轴的平面.
o
y
o
y
(且 z 轴在平面上) x
x
2020年7月27日星期一
12
第六章
第四节 空间的曲面与曲线
一、曲面方程的概念 二、一些常见的曲面
三、二次曲面
四、空间曲线的方程 五、空间曲线在坐标面上的投影 六、小结与思考练习
2020年7月27日星期一
1
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一、曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即
x l1
x z l3
y z l2
y
母线 平行于 y 轴;
x
y
准线 xoz 面上的曲线 l3: H(z,x)=0.
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三、二次曲面
三元二次方程
Ax2 By2 Cz2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
半径为 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形.
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2.旋转曲面
定义2 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 ,旋转曲线叫做旋转曲面 的母线.
例如 :
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x
f ( x2 y2 , z) 0
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思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C : f (y, z) 0
o
y
x f ( y, x2 z2 ) 0
求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐 标轴对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成 该变量与第三变量平方和的正负平方根.
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例2 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)
y
两边平方
x
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例 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
化简得 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 :
F(x, y, z) 0
z
S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
表示圆C, C o 过此点作 x M1
y
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
表示圆柱面
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定义3 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成