空间曲线地切线与空间曲面地切平面

第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面

一、空间曲线的切线与法平面

设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：⎪⎩

⎪

⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，),(βα∈t ．

设),(,10βα∈t t ，)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点，B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线，当A B →时，若AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A 的切线．

如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C 为光滑曲线），则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为

)

()()

()()()()()()(010010010t z t z t z z t y t y t y y t x t x t x x --=--=--

也可以写为

010********)()()

()()()()()()(t t t z t z t z z t t t y t y t y y t t t x t x t x x ---=---=---

当A B →时，0t t →，割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x '''，此即为切线的方向向量，所以切线方程为

)

()

()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-．

过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点

)(),(),((000t z t y t x A 的法平面，法平面方程为

))(())(())((00'00'00'=-+-+-z z t z y y t y x x t x

如果空间的曲线C 由方程为

)(),(x z z x y y ==

且)(),(0'

0'x z x y 存在，则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是

)

()

()()(100000x z x z z x y x y y x x '-=

'-=-

法平面方程为

))()(())()(()(00'00'0=-+-+-x z z x z x y y x y x x

如果空间的曲线C 表示为空间两曲面的交，由方程组

⎩

⎨

⎧==0),,(0),,(:z y x G z y x F c ，

确定时，假设在),,(000z y x A 有0)

,(),(≠∂∂=

A

z y G F J ，在),,(000z y x A 某邻域内满足隐函数

组存在定理条件，则由方程组⎩

⎨

⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，

在点),,(000z y x A 附近能确定隐函数

)(),(x z z x y y ==

有)

(),(0000x z z x y y ==，)

,()

,(1,),(),(1x y G F J dx dz z x G F J dx dy ∂∂-

=∂∂-=。于是空间的曲线C 在 点),,(000z y x A 的切线是

A

A dx dz z z dx dy y y x x 0

001

-=-=- 即

A

A

A

y x G F z z x z G F y y z y G F x x )

,(),()

,(),()

,()

,(000∂∂-=

∂∂-=

∂∂-

法平面方程为

0)(),()

,()(),(),()(),(),(000=-∂∂+-∂∂+-∂∂z z y x G F y y x z G F x x z y G F A

A A

类似地，如果在点),,(000z y x A 有0)

,(),(≠∂∂A

y x G F 或

0)

,(),(≠∂∂A

x z G F 时，我们得到的切线方

程和法平面方程有相同形式。

所以，当向量

0}),(),(,),(),(,),(),({≠∂∂∂∂∂∂=A

A A y x G F x z G F z y G F r ρ

时，空间的曲线C 在),,(000z y x A 的切线的方向向量为r ρ

例6.32 求曲线θθθb z a y a x ===,sin ,cos 在点()πb a ,0,-处的切线方程．

解 当πθ=时，曲线过点()πb a ,0,-，曲线在此点的切线方向向量为

{}{}b a b a a ,,0|,cos ,sin -=-=πθθθ，

所以曲线的切线方程为

b

t z z a t y y t x x )

()(0)(000-=--=-． 即 b b z a y a x π-=-=+0

．

二、空间曲面的切平面与法线 设曲面S 的一般方程为

0),,(=z y x F

取),,(0000z y x P 为曲面S 上一点，设),,(z y x F 在),,(0000z y x P 的某邻域内具有连续

偏导数，且0),,(),,(),,(0002

00020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x 。设c 为曲面S 上过

),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线：

⎪⎩

⎪

⎨⎧===)()()(:t z z t y y t x x c 设)(),(),(000000t z z t y y t x x ===，我们有

0))(),(),((=t z t y t x F

上式对t 在0t t =求导得到

0)(),,()(),,()(),,(0'0000'0000'000=++t z z y x F t y z y x F t x z y x F z y x

因此，曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线c 在),,(0000z y x P 点的切线都和向量

)},,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =ϖ

垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为α，平面α就称为曲面S 在),,(0000z y x P 的切平面，向量n ρ

称为法向量。S 在),,(0000z y x P 的切平面方程是