空间曲线的切线与法平面
空间曲线的切线与法平面切线方程切线的方向向量
1 1 yz
zx, yz
dz dx
1 1 yz
xy yz
11
11
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
切向量
T 1 ,
dy dx
,
M
dz dx
M
(1, 0, 1)
点 M (1,–2, 1) 处的切向量
T (1, 0, 1)
切线方程
即
法平面方程 1 (x 1) 0 ( y 2) (1) (z 1) 0 即 xz0
复习: 平面曲线的切线与法线
已知平面光滑曲线
在点 (x0 , y0 )有
切线方程 y y0 f (x0 )(x x0 )
法线方程
y
y0
f
1 (x0 )
(x
x0 )
若平面光滑曲线方程为
故在点
有
因 d y Fx (x, y) dx Fy (x, y)
切线方程 Fx (x0 , y0 ) (x x0 ) Fy (x0 , y0 )( y y0 ) 0
若在法平面上任取一点P( x, y, z),则向量( x x0, y y0, z z0)
与切向量((t0 ), (t0 ),(t0 ))垂直，即
((t0 ), (t0 ),(t0 )) ( x x0, y y0, z z0 ) 0
由向量的内积公式，可得法平面方程
( y y0 )
M
(F,G) (x , y)
(z z0) 0
M
法平面方程
(F , G) ( y, z)
M
(
x
x0
空间曲线的切线与法平面方程练习题
空间曲线的切线与法平面方程练习题在微积分中，切线与法平面是研究曲线与曲面性质的重要工具。
本文将介绍关于空间曲线的切线与法平面方程练习题，并通过具体例子加深理解。
一、切线方程的求解1.求曲线（1,3,2）到曲线 $x^2-z=0$ 的切线方程。
解析：首先，将曲线 $x^2-z=0$ 的导数求出。
对 $x^2-z=0$ 求导得到 $\frac{dz}{dx}=-2x$。
然后，我们需要确定曲线上某点的坐标，以曲线（1,3,2）为例。
将点(1,3,2)代入$x^2-z=0$ 中得到 $1^2-2=0$，因此该点在曲线上。
接下来，我们可以计算切向量，即曲线的方向导数。
切向量为 $(1, \frac{dz}{dx})=(1, -2)$。
最后，我们可以使用点切式得到切线方程。
切线方程为$(x,y,z)=(1,3,2)+t(1,-2,0)$，其中 t 为参数。
2.求曲线 $\begin{cases} x=\cos t \\ y=\sin t \\ z=t/4 \end{cases}$ 在点$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\pi}{4})$ 处的切线方程。
解析：与上题类似，首先求曲线的切向量，在参数方程中导数即可得到，切向量为 $(\sin t, \cos t, \frac{1}{4})$。
然后，将点 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{4})$ 代入参数方程中，得到 $t=\frac{\pi}{4}$。
最后，使用点切式得到切线方程，即 $(x,y,z)=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\pi}{4})+t(\sin t, \cos t, \frac{1}{4})$，其中 t 为参数。
二、法平面方程的求解1.求曲面 $z=x^2+y^2$ 在点 (1,2,5) 处的法平面方程。
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
空间曲线在一点处的切线方程可以通过以下步骤求得：
1. 求出曲线在该点处的切向量，假设曲线的参数方程为
$r(t)=(x(t), y(t), z(t))$，则曲线在该点处的切向量为
$r'(t_0)=(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$，其中 $t_0$ 是曲线参数在该点处的取值。
2. 将切向量除以它的长度 $|r'(t_0)|$，得到单位切向量
$T=\frac{r'(t_0)}{|r'(t_0)|}$。
3. 曲线在该点处的切线方程为 $r(t_0)+sT$，其中 $s$ 是实数。
空间曲线在一点处的法平面方程可以通过以下步骤求得：
1. 求出曲线在该点处的切向量，根据上面的求法，可以得到单位切向量 $T=\frac{r'(t_0)}{|r'(t_0)|}$。
2. 求出曲线在该点处的法向量，假设曲线的参数方程为
$r(t)=(x(t),y(t),z(t))$，则法向量为
$N=\frac{d^2r}{dt^2}|_{t=t_0}\times T$，其中 $\times$ 表示向量的叉积运算符。
3. 法平面方程为 $N\cdot(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)$，其中
$(x_0,y_0,z_0)$ 是曲线在该点处的一个点。
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程假设有一条空间曲线C，其中包含一点P。
现在需要求出这条曲线在点P处的切线方程和法平面方程。
首先，我们需要求出曲线在点P处的切向量。
根据向量微积分的知识，曲线在点P处的切向量可以表示为曲线的导数向量。
因此，我们需要对曲线C进行求导。
假设曲线C的参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中t 是曲线上的参数。
则曲线在点P处的切向量可以表示为：r'(t)|t=t0其中，t0是曲线上通过点P的参数值。
我们可以通过求曲线的导数向量来计算r'(t)|t=t0。
具体来说，我们可以分别对x(t)，y(t)，z(t)求导，并在t=t0处求值，即：r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))r'(t)|t=t0 = (x'(t0), y'(t0), z'(t0))然后，我们需要将该向量归一化，得到曲线在点P处的单位切向量T：T = r'(t)|t=t0 / |r'(t)|t=t0|其中，|r'(t)|t=t0|表示曲线在点P处的切向量的模长。
现在，我们已经得到了曲线在点P处的单位切向量T。
下一步是求出曲线在点P处的法平面。
法平面可以由两个向量来确定，其中一个是切向量T，另一个是曲线在点P处的法向量N。
曲线在点P处的法向量N可以通过计算曲线的二阶导数向量来得到。
具体来说，我们可以对切向量T进行求导，得到：T'(t)|t=t0 = (x''(t0), y''(t0), z''(t0))然后，我们需要将该向量与切向量T叉乘，得到曲线在点P处的法向量N：N = T × T'(t)|t=t0最后，我们将切向量T和法向量N归一化，得到曲线在点P处的单位法向量B：B = N / |N|现在，我们已经得到了曲线在点P处的切向量T和单位法向量B。
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以由参数方程或者一般方程表示。
在某一点处，我们可以求出该点处的切线方程和法平面方程。
我们来看一下切线方程的求解。
对于空间曲线来说，切线方程可以通过求曲线在该点处的切向量来获得。
切向量是曲线上一点的切线方向的向量表示。
设空间曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别是曲线上一点的坐标，而f(t)、g(t)、h(t)是曲线的参数方程。
现在我们要求曲线在某一点P(t0)处的切向量。
我们可以求出曲线在点P(t0)处的切线方向的向量表示：r'(t0) = (f'(t0), g'(t0), h'(t0))其中，f'(t0)、g'(t0)、h'(t0)分别是f(t)、g(t)、h(t)对t求导后在t0处的值。
然后，我们可以得到曲线在点P(t0)处的切线方程的向量表示：r(t) = (x, y, z) = (f(t), g(t), h(t))切线方程的向量表示为：r(t) = r(t0) + (t - t0) * r'(t0)切线方程的参数方程为：x = f(t0) + (t - t0) * f'(t0)y = g(t0) + (t - t0) * g'(t0)z = h(t0) + (t - t0) * h'(t0)这就是空间曲线在一点处的切线方程。
接下来，我们来看一下法平面方程的求解。
对于空间曲线来说，法平面是垂直于曲线切线的平面。
设曲线在点P(t0)处的切线方程为：x = f(t0) + (t - t0) * f'(t0)y = g(t0) + (t - t0) * g'(t0)z = h(t0) + (t - t0) * h'(t0)其中，f(t0)、g(t0)、h(t0)是曲线在点P(t0)处的坐标，f'(t0)、g'(t0)、h'(t0)是曲线在点P(t0)处的切向量。
空间曲线的参数方程与切线法平面的计算
空间曲线的参数方程与切线法平面的计算空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以通过参数方程的方式来表示。
利用参数方程，我们能够确定曲线上的每一个点的坐标，并且通过曲线在某一点的切线来了解曲线在该点的局部性质。
本文将介绍空间曲线的参数方程的基本原理，并详细讲解如何计算切线法平面。
1. 空间曲线的参数方程空间曲线可以通过参数方程的形式来表示，其一般形式为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别表示曲线上一点的三维坐标，t为参数，f(t)、g(t)和h(t)为定义在参数域上的函数。
通过给定不同的参数值t，我们可以得到曲线上不同点的坐标。
举例来说，我们来考虑一个螺旋线，其参数方程为：x = cos(t)y = sin(t)z = t在该参数方程中，通过改变参数t的值，我们可以确定螺旋线上不同点的坐标。
2. 切线法平面的计算切线是曲线在某一点处的线性近似，切线法平面则是通过该切线来定义的平面。
计算切线法平面的一般步骤如下：1) 首先，我们需要确定曲线上某一点的参数值t0。
2) 然后，我们计算该点的切向量，即曲线在该点处的切线方向。
切向量的计算可以通过求导来进行：切向量 = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)其中，dx/dt、dy/dt和dz/dt分别表示x、y和z对参数t的导数。
3) 接下来，我们将切向量归一化，得到单位切向量。
单位切向量的计算公式为：单位切向量 = 切向量 / |切向量|其中，|切向量|表示切向量的模长。
4) 最后，我们可以根据单位切向量和曲线上某一点的坐标来确定切线法平面的方程。
设曲线上某点的坐标为(x0, y0, z0)，切线法平面的方程可以表示为：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0其中，A、B、C分别为单位切向量的坐标。
通过以上步骤，我们可以计算出曲线上任意一点的切线法平面。
综上所述，空间曲线的参数方程能够准确地表示曲线上各点的坐标，而切线法平面通过计算切向量来定义切线的近似平面。
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以用参数方程或者向量函数的形式来表示。
在研究空间曲线的性质时，我们需要求出曲线在某一点处的切线方程和法平面方程。
切线方程切线是空间曲线在某一点处的切线，它是曲线在该点处的局部近似线性。
对于曲线上的一点P，它的切线方程可以用向量函数表示为：r = rP + t(T)其中，r表示曲线上任意一点的向量，rP表示曲线上的点P的向量，t是一个参数，T表示曲线在点P处的单位切向量。
单位切向量是曲线在该点处的切线方向上的单位向量。
切向量可以通过求导得到，即T = r'(t)这里，r'(t)是曲线在点P处的斜率向量，也可以写成曲线的导数。
法平面方程与切线相对应的是法平面，它是垂直于曲线的平面。
在曲线上任意一点P处，法平面垂直于该点处的切向量。
法平面方程可以用点法式表示为：n · (r - rP) = 0其中，n表示法平面的法向量，r表示曲线上任意一点的向量，rP表示曲线上的点P的向量。
点法式要求法向量n必须是单位向量，这意味着我们需要对它进行归一化处理。
法向量n可以通过求曲线在点P处的曲率向量得到，即K = r''(t) / ||r'(t)||^3曲率向量是曲线在该点处的曲率方向上的单位向量。
曲线的曲率 K 表示曲线在该点处的弯曲程度。
曲率越大，曲线在该点处的弯曲程度就越大。
然后，我们可以将曲率向量进行归一化处理得到法向量n，即n = K / ||K||综上所述，求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程的基本方法是：1. 求出曲线在该点处的切向量 T = r'(t)。
2. 构造切线方程 r = rP + t(T)。
3. 求出曲线在该点处的曲率向量 K = r''(t) / ||r'(t)||^3。
4. 构造法平面方程 n · (r - rP) = 0，其中 n = K / ||K||。
一,空间曲线的切线与法平面
基本情形
⎧ x = x ⎪ 对此类空间曲线Г可看成以x为参数的方程：⎨ y = ϕ ( x ) , ⎪z = ψ (x) ⎩ 故在 M ( x , y , z )处,
0 0 0
切向量：
T = (1,ϕ ( x0 ),ψ ′( x0 ) )
切线方程为
法平面方程为
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = , ϕ ′( x 0 ) ψ ′ ( x 0 ) 1
T
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
n⊥T d 事实上,由 F [ϕ ( t ),ψ ( t ), ω ( t )] ≡ 0 ⇒ F [ϕ ( t ),ψ ( t ), ω ( t )] = 0 dt 即 Fx ⋅ ϕ ′( t0 ) + Fy ⋅ψ ′( t0 ) + Fz ⋅ ω ′( t0 ) = 0
dz x − y = , dx y − z
机动
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⇒
dy = 0, dx (1, −2 , 1)
dz = −1, dx (1, −2 , 1)
由此得切向量 T
( 1 , − 2 ,1 )
= (1, 0,−1),
所求切线方程为 x − 1 = y + 2 = z − 1 , −1 1 0 法平面方程为 ( x − 1) + 0 ⋅ ( y + 2) − ( z − 1) = 0,
【分析】 为隐式情形 【解】 令 F ( x , y , z ) = z − e z + 2 xy − 3,
Fx′ (1, 2 , 0 ) = 2 y (1, 2 , 0 ) = 4,