空间角曲线的切线与法向量
空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线
对应于 t t0 t.
x
(1)
z • M
•M
o
y
割线 M的M方程为
z
• M
x x0 y y0 z z0 x y z
x
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以
t ,
x x0 y y0 z z0 ,
x
y
z
t
t
t
•M
o
y
当M M ,即t 0时 ,
曲线在M处的切线方程
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
如果平面3x y 3z 16 0与椭球面 3 x2 y2 z 2 16相切，求 .
思考题解答
设切点 ( x0 , y0 , z0 ),
依题意知切向量为
n {6 x0 , 2 y0 , 2z0 },
{3, ,3}
6x0 2 y0 2z0
3 3
y0 x0 , z0 3 x0 ,
切点满足曲面和平面方程
3 3
x0 x02
2 2
x0 x02
9 x0 9 x02
16 16
0 ,
0
2.
练习题
一、填空题:
1、曲线 x t , y 1 t , z t 2 再对应于t 1 的点
1 t
t
处切线方程为________________；
处的切平面及法线方程.
解 f ( x, y) x2 y2 1,
n ( 2,1, 4 )
{2x,
2 y, 1}(2,1,4)
{4,
2,1},
切平面方程为
4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0,
空间角曲线的切线与法向量
空间角曲线的切线与法向量
在三维空间中，我们可以定义任意的空间曲线，包括不规则的曲线和闭合曲线。
曲线
上的每个点都有一个切线和法向量，它们在几何学和物理学中都有着重要的应用。
空间角曲线的切线和法向量是指在弧长参数下，曲线在某一点的切线方向和垂直于切
线的方向。
空间角曲线是一种特殊的曲线，是由两条直线在一个点相交而成。
这两条直线
都以该点作为端点，所以该点是这条曲线的起点和终点。
空间角曲线的切线是由两条直线的切线向量组成的。
如果我们将该点定义为原点，两
条直线分别定义为向量A和向量B，曲线的切线向量可以表示为向量A和向量B的叉乘。
例如，将点O定义为原点，向量OA和向量OB分别定义为两条直线，则曲线在点O处
的切线向量为OA × OB。
空间角曲线的法向量是在曲线上某一点处垂直于切线的向量。
法向量垂直于切线，它
指向外部空间，表示曲线向上或向下的方向。
空间角曲线在点O处的法向量可以表示为向量A和向量B的叉乘所得的单位向量。
即：
n = (AO ×BO) / |AO × BO|
其中|AO × BO|表示向量AO × BO的模长，可以通过求出向量AO和向量BO的模长并计算它们的叉乘来得到。
应用
空间角曲线的切线和法向量在几何学和物理学中都有着重要的应用。
在几何学中，它
们被用于测量曲线的曲率和扭率。
在物理学中，它们被用于描述物体的运动状态，如速度、加速度和角加速度。
空间角曲线的切线和法向量在航空、汽车、机械、土木工程等领域都
有广泛的应用。
一条空间曲线每一正常点都有切线
一条空间曲线每一正常点都有切线、主法线、副法线，与之相对应的基本向量为单位切向量、单位主法向量、单位副法向量，下面就空间两曲线对应点的切向量（α）、主法向量（β）、副法向量（γ）以及该点的曲率(k )、绕率(τ)之间的关系来讨论研究。
由伏雷内公式，有βαk =⋅γταk β+-=⋅（一）βτ-=⋅γ假设两曲线建立了一一对应关系，一曲线为Γ：）（）、（）、（），（s s s s r r γβα=分别为其切向量、主法向量、副法向量，简记γβα、、。
另一曲线为 Γ：）（）、（）、（），（s s s s r r γβα=分别为其切向量、主法向量、副法向量，简记γβα、、。
两曲线的曲率分别为）（s k 、）（s k ，简记k k 、；两曲线的绕率分别为）（）、（s s ττ，简记ττ、；一参数∞∈C s ）（λ，简记为λ，其中s s 、分别为ΓΓ、的自然参数。
探究空间两曲线的基本向量之间的关系，即讨论一条曲线的切向量、主法向量、副法向量在对应点处与另一条曲线切向量、主法向量、副法向量之间的平行、重合、定夹角的位置关系存在的结论。
探究命题 1若曲线Γ与Γ的对应点的切线平行，即有αηα=（1±=η），则它们对应点的主法线、副法线也平行，且kk τητ=。
证明：因为αηα=，两边关于s 求导得dssd k k βηβ= ( 1 ) 于是ββ//，又βαγ⨯=，从而γγ//，因此它们对应点的主法线、副法线也平行；令βηβ1= (11±=η) ( 2 )则有βαηηβα⨯=⨯1，即γηηγ1=。
两边关于s 求导得dssd ds s d βτηβτηηβτ-=-=-1 ，即得 dssd ητ= ( 3 ) 由式（1），（2）得dssd kk 1ηη= ( 4 ) 又）（）（43÷得kk τητ1=，得证综上所述，命题得证。
探究命题 2若曲线Γ与Γ在对应点的主法线平行，即βηβ=（1±=η），则对应点的切线夹角为定值。
空间曲线在某点的切线方程的多种解法
科技风 2021 年 4 月DOI ： 10.19392/j. cnki. 1671-7341.202110020空间曲线在某点的切线方程的多种解法张雪飞宫雷王素云陆军装甲兵学院基础部北京100072摘要:本文探讨了空间曲线在某点的切线方程的计算方法和相关技巧，指出了六种常见的计算思路,如参数方程法，公式法，隐函数求导法，边隐函数求导边代入点的方法，利用切平面的法向量的向量积来求切向量。
除此之外，切线仍可看作两个相交曲面在该点的切平面的交线。
结合相关的题目用不同的方法作出解答。
关键词：切线方程;公式法；隐函数求导;切平面的法向量；向量积空间光滑曲线在点5处的切线为此点处割线的极限位 置，过点5与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面。
如果要求空间曲线在某点的切线和法平面，由于已知点，最关 键的是找到切线的切向量，也就是法平面的法向量。
要求切 线的切向量，根据空间曲线的给岀形式是参数方程的形式还是一般方程的形式，来找到相应的求解切向量(法平面的法 向量)的方法。
一、基本知识(一)曲线方程为参数方程的情况设空间曲线为(：6="(7 ,y=#(7 ,z=$(7，其中t 为参数。
设 t = 7 对应点 5(6，8，9)，t = 7+% 对应点 5：6+%:，割线55,的方程为：匹==%^ =三9，在方程的分母同时%%%应的参数式方程为r=="6)19 #(6)o曲线上一点5(60 ,=0,9)处的切向量为科1,筹斜=卜埒第 M [，或. M M J者写成这种形式:，弓O ，曾竿1 ｝当 $(=,9 $(9,6) $(6,=). 5 5 m J作公式来记忆$则在点5(6 ,=0,9 )有切线方程：除以％，令%#0,得切线方程乞■=芳矢=-^7$此处要求"(=)，#( = )，$：=)不全为0$如个别为0,则理解为分子为0$切线的方向向量T= ("： = ),#( = ),$： = ))称为曲线 的切向量。
法向量与切向量的关系
法向量与切向量的关系
切向量和法向量两者的关系是：互相垂直。
切向量：曲线在一点处的切向量可以理解为沿曲线该点处切线方向的向量。
法向量：如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。
垂直，是指一条线与另一条线成直角，这两条直线互相垂直。
通常用符号“⊥”表示。
设有两个向量a和b，a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0。
对于立体几何中的垂直问题，主要涉及到线面垂直问题与面面垂直问题，而要解决相关的问题，其难点是线面垂直的定义及其对判定定理成立的条件的理解；两平面垂直的判定定理及其运用和对二面角有关概念的理解。
切向量和法向量有3点不同：
一、两者的概述不同：
1、切向量的概述：曲线在一点处的切向量可以理解为沿曲线该点处切线方向的向量。
2、法向量的概述：法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。
二、两者的应用不同：
1、切向量的应用：切向量适用于平面几何。
2、法向量的应用：法向量适用于解析几何。
三、两者的性质不同：
1、切向量的性质：切向量和方向导数有密切关系，但这是两个不同的概念。
切向量被定义为一个抽象的泛函（算子），至欧氏空间的一个映射，而方向导数则指的是该映射的像值。
2、法向量的性质：如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。
垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。
每一个平面存在无数个法向量。
空间曲线在某点的切线方程的多种解法
两边对 ! 689h%
]求 导 曲 线 上 一 点
5 6% 8% 9%
处的
{ } 切向量为
#
;h
(6$ (9
(8 (8
注 )求解切线的过程中暗含了两种方法一种是建立求
解过程中的隐函数求导法把曲线看成关于 f 或 ]或 W 的参
数方程用参数式方程的结论曲线上一点 56% 8% 9% 处的切
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空间曲线在某点的切线方程的多种解法
张雪飞4宫 雷4王素云
陆军装甲兵学院基础部!北京!'$$$+%
摘4要本文探讨了空间曲线在某点的切线方程的计算方法和相关技巧指出了六种常见的计算思路如参数方程法公 式法隐函数求导法边隐函数求导边代入点的方法利用切平面的法向量的向量积来求切向量 除此之外切线仍可看作两 个相交曲面在该点的切平面的交线 结合相关的题目用不同的方法作出解答
$ <!
$ <!
$ <!
当
$89 $96 $68
5
5
5
作公式来记忆
则在点 56% 8% 9% 有切线方程
6i6% h 8i8% h 9i9% $<! $<! $<! $89 5 $96 5 $68 5
在点 56% 8% 9% 有法平面方程
h%光滑曲线
(不能表示为
8h"6
9h#6
其中 f为参数 也就不能继续使用方程组两边对 f求导的
方法
此时若$ <! $ 96
空间曲线的切线与法平面
空间曲线的切线与法平面空间曲线（或曲面）是三维空间中的几何对象，它们有许多重要的性质和应用。
其中一个基本问题是如何求空间曲线在某一点的切线和法平面。
在本文中，我们将介绍一些相关的基本概念和公式，以帮助读者理解并解决这些问题。
1. 基本概念在三维空间中，一条曲线可以用参数方程表示为：${\bf r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ (1)其中 $t$ 是参数。
在曲线上某一点 $P$ 处，它的切向量 $T$ 和法向量 $N$ 可以定义为：$T = {\bf r}'(t_0)$， $N =\frac{{\bf r}'(t_0)\times{\bf r}''(t_0)}{\|{\bf r}'(t_0)\times{\bf r}''(t_0)\|}$ (2)其中 $t_0$ 是使得 ${\bf r}(t)$ 在点 $P$ 上的参数值。
需要注意的是，如果${\bf r}'(t_0)={\bf 0}$，则曲线在 $P$ 点处可能有拐点或者奇点，此时切向量和法向量的定义可能会有所不同。
2. 切线及其性质切线是一条直线，它在曲线上某一点与曲线切于此点。
切线的方向由切向量 $T$ 给出，它的方程可以由以下公式所得：其中 ${\bf r}(t_0)$ 是曲线上某一点，$T(t_0)$ 是切向量。
需要指出的是，公式(3) 给出了切线的向量形式，它与点向式方程和一般式方程等等不同。
切线的截距和斜率也可以由公式 (3) 求得。
法平面是一个平面，它与曲线在某一点相切，并且法向量方向为 $N$。
该平面的一般方程为：$N\cdot {\bf r} = N\cdot{\bf r}(t_0)$ (4)$N = \frac{T_1\times T_2}{\|T_1\times T_2\|}$ (5)在一些曲面的情况下，法向量在曲面上有一个很好的几何意义。
空间曲线切线方程的求法
空间曲线切线方程的求法空间曲线的切线方程是指在空间中，通过曲线上一点的直线方程。
求解空间曲线的切线方程有多种方法，下面将详细介绍其中两种常用的方法。
方法一：向量法利用向量法，可以通过曲线参数方程求解切线方程。
设空间曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)首先，我们需要求曲线上某一点的切向量。
切向量就是曲线在该点的切线方向上的单位向量。
对于参数方程，我们可以通过对各个方向求导得到切向量。
令r(t) = (x(t), y(t), z(t))为曲线上的点，则切向量T(t) =r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))。
切向量的方向向量可以通过对参数方程分别求导得到。
找到切向量后，我们可以通过设定曲线上某一点的坐标，代入切向量的方程，得到切线的参数方程。
例如，假设曲线上某一点的坐标为(x0, y0, z0)，则切线的参数方程可以表示为：x = x0 + t * x'(t)y = y0 + t * y'(t)z = z0 + t * z'(t)这样，我们就可以求得空间曲线的切线方程了。
方法二：法向量法使用法向量法求解空间曲线的切线方程也是一种常见且有效的方法。
法向量与切向量是垂直的，所以如果我们能够求得曲线上某一点的法向量，就能得到切线的方程。
首先，我们可以通过对参数方程分别求导得到切向量T(t)。
接下来，我们需要求解曲线上某一点的法向量。
法向量的方向是曲线在该点的垂直方向上的单位向量。
设曲线在点P上的法向量为N，曲线的切向量为T。
因为N与T垂直，所以它们的点积等于0。
即：N·T = 0将切向量的各个分量代入上式，得到一个关于未知数t的方程。
通过求解这个方程，我们可以得到t的值。
然后，将t的值代入到曲线的参数方程中，就可以得到点P的坐标。
最后，我们可以利用曲线上某一点的坐标和法向量，通过点法式方程来表示切线的方程。
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T
M
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主讲人： 苏本堂
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
时, 令
F ( x, y, z ) f ( x, y) z
则在点 ( x, y, z ), 故当函数 切平面方程 在点 ( x0 , y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
在点 ( x0 , y0 , z0 ) 有
z z0 f x ( x0 , y0 ) ( x x0 ) f y ( x0 , y0 ) ( y y0 )
法平面方程 R x k ( z k)0 2
即
o
Rxk
z
2
k 0
2
x
y
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曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向 量为T((t0) (t0) (t0)) 讨论: 1. 若曲线的方程为y(x)z(x)则切向量T? 2. 若曲线的方程为F(x, y, z)0, G(x, y, z)0, 则切向量 T?
Fz ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) 0
令 T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切向量 T n
n ( 2,1, 4 ) {2 x , 2 y , 1} ( 2,1,4 ) {4, 2,1},
切平面方程为 4( x 2) 2( y 1) ( z 4) 0,
4 x 2 y z 6 0,
x 2 y 1 z 4 . 4 2 1
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一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的参数方程为 x(t) y(t) z(t) 这里假定(t), (t), (t)都在[ ]上可导 过曲线上tt0所对应的点M0切线方 程为 x x0 y y0 z z0 (t0 ) (t0 ) (t0 ) 向量T((t0)(t0)(t0))称为曲线在点M0的切向量. 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线 在点M0处的法 平面, 其法平面方程为 (t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0
即
16 x 9 y z 24 0
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作业：p-45 习题8-6
2，3，4，5，8
n1 (2 x 3 , 2 y , 2 z ) (1,1,1) (1, 2 , 2 )
n 2 (2 , 3 , 5 )
因此切线的方向向量为 l n1 n 2 (16 , 9 , 1) x 1 y 1 z 1 由此得切线:
16
9
1
法平面: 16( x 1) 9( y 1) ( z 1) 0
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例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T ( R , 0 , k ) , 故 k z yR x 2 切线方程 0 R k
即
M 0 (0 , R , k) 2 z
k x Rz Rk 0 2 yR0
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一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限
位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法
平面.
M
T
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一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的参数方程为 x(t), y(t), z(t), 这里假定(t), (t), (t)都在[ ]上可导 设tt0和tt0t分别对应于曲线上的 点M0(x0, y0, z0)和M(x0+x, y0+y, z0+z) 作曲线的割线MM0, 其方程为 x y z x y z x x0x0 y y0y0 z z0z0 x x0x0 y y0y0 z z0z0 或 y z 或 x y z x x y z x y z t t t t t t 当MM0, 即t0时, 得曲线在点M0处的切线方程为 x x0 y y0 z z0 (t0 ) (t0 ) (t0 )
在同一平面上. 此平面称为 在该点的切平面.
下面证明: 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都
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证:
在 上,
F ( (t ) , (t ) , (t ) ) 0
T
M
两边在 t t0 处求导,注意 t t0 对应点M ,
得
Fx ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) (t0 )
即
xz 0山东农业大学Fra bibliotek高等数学
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二、曲面的切平面与法线
设 有光滑曲面 通过其上定点 任意引一条光滑曲线 不全为0 . 则 在
设 t t0 对应点 M, 且
点 M 的切向量为
T
M
T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 )) x x0 y y0 z z0 切线方程为 (t0 ) (t0 ) (t0 )
法线方程为
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例5. 确定正数 使曲面 x y z 与球面 在点 M ( x0 , y0 , z0 ) 相切. 解: 二曲面在 M 点的法向量分别为
n2 ( x0 , y0 , z0 )
二曲面在点 M 相切, 故 n1 // n2 , 因此有 x0 y0 z0 x0 y0 z0 x0 y0 z0 2 x0 y02 z02
由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以 为法向量
的平面上 , 从而切平面存在 .
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曲面 在点 M 的法向量
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切平面方程
y x 1 1 x y y z yz 1 1
(1, 0 , 1)
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点 M (1,–2, 1) 处的切向量
T (1, 0 , 1)
切线方程
即 法平面方程 1 ( x 1) 0 ( y 2) (1) ( z 1) 0
法线方程
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用
向上,
表示法向量的方向角, 并假定法向量方向
法向量 n ( f x ( x0 , y0 ) , f y ( x0 , y0 ) , 1)
将 f x ( x0 , y0 ) , f y ( x0 , y0 ) 分别记为 f x , f y , 则
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2 2 2 例2. 求曲线 x y z 6 , x y z 0 在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
解. 方程组两边对 x 求导, 得
x z 1 1 z x dz dy , 解得 y z y z dx dx 1 1 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: dy dz 切向量 T , 1, dx M dx M
2( x 1) 8( y 2) 18( z 3) 0
x 1 y 2 z 3 4 1 9
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例4求旋转抛物面 z x2 y 2 1, 在点(2,1,4)
处的切平面及法线方程. 解
f ( x, y ) x 2 y 2 1,
提示:
1. 曲线的参数方程可视为: xxy(x)z(x) 切向量为T (1(x)(x)) 2. 两方程可确定两个隐函数: y(x)z(x) 切向量为T (1(x)(x))而(x)(x)要通过解方程 组得到.
法向量的方向余弦：
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例3. 求椭球面 x 2 2 y 2 3z 2 36 在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 令
法向量
n (2 x, 4 y, 6 z )
n
(1, 2, 3 )
(2 , 8 , 18)
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
法线方程 x x0
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
又点 M 在球面上,
于是有
a3 x0 y0 z0 3 3
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x 2 y 2 z 2 3x 0 例6. 求曲线 在点(1,1,1) 的切线 2 x 3 y 5 z 4 0 与法平面. 解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为