用空间向量解决空间中“夹角”问题
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利用空间向量解决空间中的“夹角”问题
学习目标 ：
1.学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；
2.能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；
3.提高分析与推理能力和空间想象能力。
重点 ：
利用空间向量解决空间中的“夹角” 难点 ：
向量夹角与空间中的“夹角”的关系 一、复习引入
1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） 2．向量的有关知识：
（1）两向量数量积的定义：><=⋅b a b a b a ,cos |||| （2）两向量夹角公式：|
|||,cos b a b a b a >=
<
（3）平面的法向量：与平面垂直的向量 二、知识讲解与典例分析
知识点1：异面直线所成的角（范围：]2
,
0(π
θ∈）
（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a´与b´，那么直线a´与b´ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角 设两异面直线a 、b 的方向向量分别为a 和b ，
问题1： 当a 与b 的夹角不大于90
的角θ与a 和b 的夹角的关系？问题 2：a 与b 的夹角大于90°时，，异面直线a θ与a 和b 的夹角的关系？
结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为|
||||,cos |cos n m n m n m =
><=θ
a
例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。
2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则
)2,,0(),0,21,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A --
∴ )2,21,23(1a a a AC -=，)2,2
1,23(1a a a CB = 即21
323||||,cos 22
111111==>=