利用空间向量解决立体几何的向量方法—解决空间角的问题PPT课件
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高中数学选修2-1精品课件：§3.2 第3课时 用空间向量解决空间角
所成的角
＝
|a·b| |a||b|
范围 0，π2
直线与平面 所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a， 平面α的法向量为n，则sin θ＝_|_co_s_〈__a_，__n_〉__|_
＝
|a·n| |a||n|
0，π2
二ห้องสมุดไป่ตู้角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别 为n1，n2，则|cos θ|＝ |cos〈n1，n2〉| ＝ |n1·n2|
|n1||n2|
[0，π]
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( × ) 2.直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.( × ) 3.二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角.( × ) 4.若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或 120°.( √ )
(3)求平面的法向量n； →
(4)设线面角为 θ，则 sin θ＝|P→A·n|. |PA||n|
跟 踪 训 练 2 如 图 所 示 ， 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 中 ， CA ＝ CB ， AB ＝ AA1 ， ∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；
证明 取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正 弦值.
用空间向量解决空间角和距离问题
0，π2
二面角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，
n2，则|cos
θ|＝
|cos〈n1，n2〉|
＝
|n1·n2| |n1||n2|
[0，π]
知识点二 利用空间向量求距离(※) 点到平面的距离：用空间向量法求点到平面的距离具体步骤如下： 先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面 的 法 向 量 上 的 射 影 长 . 如 图 ， 设 n ＝ (a ， b ， c) 是 平 面 α 的 一 个 法 向 量 ， P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到 平面 α 的距离 d＝|P→P|n0|·n|＝|ax0－x＋ab2＋y0－b2＋y＋c2 cz0－z|.
证明
②若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角 的正弦值.
解答
类型二 求二面角问题 例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点， 求二面角A－A1D－B的余弦值.
解答
反思与感悟 求角二面角时，可以用方向向量法，也可以采用法向量 法求解.
2.向量法求距离(※) (1)求 P，Q 两点间的距离，可转化为求P→Q的模. (2)点到平面距离的求法：设 n 是平面 α 的法向量，B 是平面 α 外一点，A 是平面 α 内一点，AB 是平面 α 的一条斜线，则点 B 到平面 α 的距离为
→ d＝|A|Bn·|n|.
(3)线面距离、面面距离均可转化为点面距离，利用(2)中的方法求解.
4 2×2
2＝12，
且〈P→B，D→B〉∈[0，π]，∴〈P→B，D→B〉＝π3， ∴BD 与平面 ADMN 所成的角为π6.
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
§7.6 立体几何中的向量方法——求空间角和距离
§7.6立体几何中的向量方法——求空间角和距离【知识梳理】1．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sin θ＝(3)求二面角的大小1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝或．2．点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.【课前热身】1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．()(4)两异面直线夹角的范围是(0，π2]，直线与平面所成角的范围是[0，π2]，二面角的范围是[0，π]．() (5)直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l和α所成角为30°. ()(6)若二面角α－a－β的两个半平面α、β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a －β的大小是π－θ.( )2． 二面角α－l －β的大小是π3，m ，n 异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A.2π3B.π3C.π2D.π63． 在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－1,3,2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于( )A ．4B ．2C ．3D ．14． 若平面α的一个法向量为n ＝(4,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－2，－3,3)，则l 与α所成角的正弦值为_________．5． P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM 、PN ，如果∠BPM＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α－AB －β的大小为________． 【典例分析】题型一 求异面直线所成的角例1 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010变式训练 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35题型二 求直线与平面所成的角例2 如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 的中点．(1)证明：PE ⊥BC ；（向量法） (2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值．题型三 求二面角例3 (2013·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB .(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．题型四 求空间距离例4 已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG ＝2，E ，F 分别是AB ，AD的中点，求点C 到平面GEF 的距离。
3.2立体几何中的向量方法 第3课时 空间向量与空间角 课件
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2 第3课时
例 2 如图所示，已知直角梯形 ABCD，其中 AB＝BC＝2AD，AS⊥平面 ABCD， AD∥BC， AB⊥BC， 且 AS＝AB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 θ 的余弦值．
解
由题设条件知，以点 A 为坐标原点，
分别以 AD、AB、AS 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图所示)． 设 AB＝1，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)， 1 C(1,1,0)，D2，0，0，S(0,0,1)． → → ∴AS＝(0,0,1)，CS＝(－1，－1,1)．
3.2 第3课时
解
建立如图所示的空间直角坐标系，则
O(0,0,0)，O1(0,1， 3)，A( 3，0,0)， A1( 3，1， 3)，B(0,2,0)， → → ∴A1B＝(－ 3，1，－ 3)，O1A＝( 3，－1，－ 3)． → → → → |A1B· O1A| ∴|cos〈A1B，O1A〉|＝ → → |A1B|· |O1A| |－ 3，1，－ 3· 3，－1，－ 3| 1 ＝ ＝7. 7· 7 1 ∴异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值为 . 7
3.2 第3课时
∴PB⊥AD. 又∵PB⊥DM，DM∩AD＝D， ∴PB⊥平面 ADMN， → 即PB为平面 ADMN 的一个法向量． → → 因此〈PB，DB〉的余角即是 BD 与平面 ADMN 所成的角． → → PB· DB 4 1 → → ∵cos〈PB，DB〉＝ ＝ ＝ ， → → 2 2×2 2 2 |PB||DB| π π → → ∴〈PB，DB〉＝3，∴BD 和平面 ADMN 所成的角为6.
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2 第3课时
空间向量在立体几何中的应用 ppt课件
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件
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＊对应演练＊
如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB;
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
空间向量在立体几何
考点一
考点二 考点三 考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 做平面α的法向量.
方向向量a，则 向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
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(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量 所在的基线不在平面内.
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＊对应演练＊
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别 为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明：
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1 AF1 ( 2 , 0,1),
A
BD1
(1 2
,
1 2
,1)
cos
AF1, BD1
|
AF1 BD1 AF1 || BD1
|
x
1 1 4
53
30 10
By
42
所以 BD与1 A所F成1 角的余弦值为
30 10
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
2
An
思考：
B O
求B1C1与面AB1C所成的角.
A1
B1
D1 C1
A B
D C
题型三：二面角
二面角的范围： [0, ]
n2
n1
O
n2 n1
cos | cos n1, n2 |
cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
题型三：二面角 例三 如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C = 900,
3
小结：
1.异面直线所成角：
cos |cos CD, AB |
2.直线与平面所成角：
sin | cos n, AB |
3.二面角：
cos | cos n1, n2 | cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
C
D
A D1
B
A
n
B O
n2 n1
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
AP =(0,0,1), AB ( 2,1,0), CB ( 2, 0,x0), CP (0, 1,1) ,
设平面
PAB
的法向量为
m
=(x,y,z),则
m
AP
0
∴
( x, y, z) (0, 0,1) 0
∴
y
2
x
,令
m AB 0 x=1,则 m =(1,
2,0) ,
( x, y, z) ( 2,1, 0) 0 z 0
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD与面SBA 2
所成二面角的余弦值.
z
S
B
C
A
x
Dy
例三 如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 900 ,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 , 求面SCD与面SBA
2z
所成二面角的余弦值.
0,
2
C
D
思考：
A D1 B
CD, AB 与的关系？
DC, AB 与的关系？
结论： cos | cos CD, AB |
题型一：线线角
例一：Rt ABC中，BCA 900,现将 ABC沿着
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
分析:
若用几何法本题不太好处
理,注意到适当建立空间直角坐
y
标系后各点坐标容易处理,可考
虑尝试用向量法处理,从而把问 x
题转化为向量运算问题.
.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=z1, BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
解:建立坐标系如图,
y
则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
x
y 2
y 2
z
0 0
x z
y 2 y 2
任取n2 (1, 2,1)
cos
n1, n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
6 3
即所求二面角得余弦值是 6 3
练习2:
如图,PA⊥平面 ABC, AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 , 求二面角 A-PB-C 的余弦值.
z
y
x
练习2: 如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
解：建立空直角坐系A - xyz如所示,
S
A (0,0,0), C (- 1,1,0), D (0,1 , 0), S(0, 0,1)
B
C
易知面SBA的法向量n1
2
AD
(0,
1
, 0)
CD (1, 1 , 0), SD (0, 1 , 1) 2
xA D y
2
2
设平面SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD, 得：
求BD1与AF1所成的角的余弦值. C1
F1
B1
A1
D1 C
B
A
题型一：线线角
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C x如yz图
所示，设 则CC：1 1 A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
C1 z
F1
B1
1
11
F1( 2 , 0, a), D1( 2 , 2 ,1)
A1
D1 C
所以：
设平面
PBC
的法向量为 n
( x,
y, z)
,
则
n
CB
0
( (
x, x,
y, y,
z) z)
( 2,0,0) 0 (0, 1,1) 0
∴
x y
0 z
令
y
n
1,
CP
n
0
(0, 1,
1)
∴cosm,n m n
3
,∵二面角为锐角∴二面角 A-PB-C 的余弦值为
3
| m || n | 3
n, BA 与的关系？
结论： sin | cos n, AB |
题型二：线面角
例二： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
AA1 4, M为BC1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
z
（2）求AD与平面ANM 所成的角. A1 N
A(0, 0, 0), A1(0, 0, 4), D(0,8, 0),
B1 M
A
AD (0,8, 0), A1D (0,8, 4),
25
cos AD, A1D 5
AD与平面ANM 所成角的正弦值是
xB
25
5
D1 C1
Dy
C
题型二：线面角
练习1：正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
利用向量解决 空间角问题
求空间角与距离是立体几何的一类重要 的问题，也是高考的热点之一。本节课主要 是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。
1.若a (a1, a2 , a3)，b (b1, b2 , b3),则：
数量积： a b | a | | b | cos a, b
a1b1 a2b2 a3b3
夹角公式：cos a b a b
a1b1 a2b2 a3b3
| a | | b | a12 a22 a32 b12 b22 b32
2.若A(x1, y1, z1), B(x2 , y2 , z2 )，则：
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：