1998年全国高中数学联赛试题及解答

一九九八年全国高中数学联合竞赛一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1． 若a > 1, b > 1, 且lg(a + b )=lg a +lg b , 则lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) （A ）等于lg2 （B ）等于1(C ) 等于0 (D ) 不是与a , b 无关的常数2.若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( ) （A ）{a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ) {a | a ≤9} (D ) Ø3.各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10 = 10, S 30 = 70, 则S 40等于( )(A ) 150 (B ) - 200 (C ) 150或 - 200 (D ) - 50或4004.设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2 + b 1x 2 + c 1 > 0与a 2x 2 + b 2x + c 2 > 0的解集相同；命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2． 则命题Q ( )(A ) 是命题P 的充分必要条件(B ) 是命题P 的充分条件但不是必要条件 (C ) 是命题P 的必要条件但不是充分条件(D ) 既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,则二面角C —FG —E 的大小是( )(A ) arcsin 63 (B ) π2+arccos 33 (C ) π2－arctan 2 (D ) π－arccot 226.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1．若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是 ．2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________.3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.5．若椭圆x 2+4(y －a )2=4与抛物线x 2=2y 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．6．∆ABC 中, ∠C = 90o , ∠B = 30o , AC = 2, M 是AB 的中点. 将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A -BCM 的体积等于__________.三、（本题满分20分）已知复数z=1－sin θ+i cos θ(π2<θ<π)，求z 的共轭复数－z 的辐角主值．四、（本题满分20分）设函数f (x) =ax2 +8x +3 (a<0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个区间[0, l(a)]上, 不等式| f (x)| ≤ 5都成立．问：a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a)．证明你的结论.五、（本题满分20分）已知抛物线y2= 2px及定点A(a, b), B( –a, 0) ,(ab≠ 0, b2≠ 2pa)．M是抛物线上的点, 设直线AM, BM 与抛物线的另一交点分别为M1, M2．求证：当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 ≠M2)，直线M1M2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．第二试一、（满分50分）如图，O 、I 分别为△ABC 的外心和内心，AD 是BC 边上的高，I 在线段OD 上。

求证：△ABC 的外接圆半径等于BC 边上的旁切圆半径。

注：△ABC 的BC 边上的旁切圆是与边AB 、AC 的延长线以及边BC 都相切的圆。

二、（满分50分）设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈[1，2]且n Σi=1a 2i =nΣi=1b 2i ，求证：nΣi=1a 3ib i ≤1710nΣi=1a 2i ．并问：等号成立的充要条件．三、（满分50分）对于正整数a 、n ，定义F n (a )=q ＋r ，其中q 、r 为非负整数，a=qn ＋r ，且0≤r ＜n ．求最大的正整数A ，使得存在正整数n 1，n 2，n 3，n 4，n 5，n 6，对于任意的正整数a ≤A ，都有F n 6(F n 5(F n 4(F n 3(F n 2(F n 1(a ))))))=1．证明你的结论．一九九八年全国高中数学联赛解答第一试一．选择题（本题满分36分，每小题6分）1．若a > 1, b > 1, 且lg (a + b ) = lg a + lg b , 则lg (a –1) + lg (b –1) 的值( ) （A ）等于lg2 （B ）等于1(C ) 等于0 (D ) 不是与a , b 无关的常数解：a +b=ab ，(a －1)(b －1)=1，由a －1>0，b －1>0，故lg(a －1)(b －1)=0，选C ．2．若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( ) （A ）{a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ) {a | a ≤9} (D ) Ø解：A ⊆B ，A ≠Ø．⇒ 3≤2a +1≤3a －5≤22，⇒6≤a ≤9．故选B ．3．各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10 = 10, S 30 = 70, 则S 40等于( ) (A ) 150 (B ) -200(C ) 150或 -200 (D ) -50或400解：首先q ≠1，于是，a 1q －1(q 10－1)=10，a 1q －1(q 30－1)=70，∴ q 20+q 10+1=7．⇒q 10=2．(－3舍)∴ S 40=10(q 40－1)=150．选A ．4.设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2 + b 1x 2 + c 1 > 0与a 2x 2 + b 2x + c 2 > 0的解集相同;命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2． 则命题Q ( )(A ) 是命题P 的充分必要条件(B ) 是命题P 的充分条件但不是必要条件 (C ) 是命题P 的必要条件但不是充分条件(D ) 既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件解：若两个不等式的解集都是R ，否定A 、C ，若比值为－1，否定A 、B ，选D ．5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,则二面角C —FG —E 的大小是( )(A ) arcsin 63 (B ) π2+arccos 33 (C ) π2－arctan 2 (D ) π－arccot 22解：取AD 、BD 中点H 、M ，则EH ∥FG ∥BD ，于是EH 在平面EFG 上．设CM ∩FG=P ，AM ∩EH=Q ，则P 、Q 分别为CM 、AM 中点，PQ ∥AC ．∵ AC ⊥BD ，⇒PQ ⊥FG ，CP ⊥FG ，⇒∠CPQ 是二面角C —FG —E 的平面角． 设AC=2，则MC=MA=3，cos ∠ACM=22+(3)2－(3)22·2·3=33． ∴ 选D ．6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37解：8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心． ⑴ 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13组； ⑵ 面中心为中点：4×6=24组；⑶ 棱中点为中点：12个．共49个，选B ．二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1．若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是 ．解：f (9819)=f (6－1619)=f (1619)．f (10117)=f (6－117)=f (117)，f (10415)=f (6+1415)=f (1415)．PQ MH A DCB GF E现f (x )是[0，1]上的增函数．而117<1619<1415．故f (10117)<f (9819)<f (10415)．2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________. 解： →OS =→OP +→PQ +→PR =→OP +→OQ －→OP +→OR －→OP =→OQ +→OR －→OP=(1+i )z +2－z －z=iz +2－z =(2cos θ－sin θ)+i (cos θ－2sin θ)．∴ |OS |2=5－4sin2θ≤9．即|OS |≤3，当sin2θ=1，即θ=π4时，|OS |=3．3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.解：从这10个数中取出3个偶数的方法有C 35种，取出1个偶数，2个奇数的方法有C 15C 25种，而取出3个数的和为小于10的偶数的方法有(0，2，4)，(0，2，6)，(0，1，3)，(0，1，5)，(0，1，7)，(0，3，5)，(2，1，3)，(2，1，5)，(4，1，3)，共有9种，故应答10+50－9=51种．4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.解：设其首项为a ，项数为n ．则得a 2+(n －1)a +2n 2－2n －100≤0． △=(n －1)2－4(2n 2－2n －100)=－7n 2+6n +401≥0．∴ n ≤8． 取n=8，则－4≤a ≤－3．即至多8项．(也可直接配方：(a +n －12)2+2n 2－2n －100－(n －12)2≤0．解2n 2－2n －100－(n －12)2≤0仍得n ≤8．)5．若椭圆x 2+4(y －a )2=4与抛物线x 2=2y 有公共点，则实数a 的取值范围是 ． 解：2y=4－4(y －a )2，⇒2y 2－(4a －1)y +2a 2－2=0．此方程至少有一个非负根．∴ △=(4a －1)2－16(a 2－1)=－8a +17≥0．a ≤178．两根皆负时2a 2>2，4a －1<0．⇒－1<a <1且a <14．即a <－1．∴－1≤a ≤178．6．∆ABC 中, ∠C = 90o , ∠B = 30o , AC = 2, M 是AB 的中点. 将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A －BCM 的体积等于 ．解：由已知，得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=23，由△AMC 为等边三角形，取CM 中点，则AD ⊥CM ，AD 交BC 于E ，则AD=3，DE=33，CE=233．折起后，由BC 2=AC 2+AB 2，知∠BAC=90°，cos ∠ECA=33． ∴AE 2=CA 2+CE 2－2CA ·CE cos ∠ECA=83，于是AC 2=AE 2+CE 2．⇒∠AEC=90°． ∵ AD 2=AE 2+ED 2，⇒AE ⊥平面BCM ，即AE 是三棱锥A －BCM 的高，AE=263．S △BCM =3，V A —BCM =223．2223222EBCAMD23222AEM DCB三、（本题满分20分）已知复数z=1－sin θ+i cos θ(π2<θ<π)，求z 的共轭复数－z 的辐角主值．解：z=1+cos(π2+θ)+i sin(π2+θ)=2cos 2π2+θ2+2i sin π2+θ2cos π2+θ2=2cos π2+θ2 (cos π2+θ2+i sin π2+θ2)．当π2<θ<π时，－z =－2cos π2+θ2 (－cos π2+θ2+i sin π2+θ2) =－2cos(π4+θ2)(cos(3π4－θ2)+i sin(3π4－θ2))．∴ 辐角主值为3π4－θ2．四、（本题满分20分）设函数f (x ) = ax 2 +8x +3 (a <0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l (a ) ,使得在整个 区间 [0, l (a )]上, 不等式| f (x )| ≤ 5都成立．问：a 为何值时l (a )最大? 求出这个最大的l (a )．证明你的结论．解： f (x )＝a (x +4a )2+3－16a ．(1)当3－16a＞5，即－8＜a ＜0时，l (a )是方程ax 2+8x +3＝5的较小根，故l (a )＝－8+64+8a2a ．(2)当3－16a≤5，即a ≤－8时，l (a )是方程ax 2+8x +3＝－5的较大根，故l (a )＝－8－64－32a2a ．综合以上，l (a )= ⎩⎨⎧－8－64－32a2a，(a ≤－8)－8+64+8a2a (－8<a <0)当a ≤－8时，l (a )＝－8+64－32a 2a ＝4 4－2a －2≤4 20－2＝1+52；当－8＜a ＜0时，l (a )＝－8+64+8a 2a ＝2 16+2a +4＜24＜1+52．所以a ＝－8时，l (a )取得最大值1+52．五、（本题满分20分）已知抛物线y 2 = 2px 及定点A (a , b ), B ( – a , 0) ,(ab ≠ 0, b 2 ≠ 2pa ).M 是抛物线上的点, 设直线AM , BM 与抛物线的另一交点分别为M 1, M 2．求证：当M 点在抛物线上变动时(只要M 1, M 2存在且M 1 ≠ M 2.)直线M 1M 2恒过一个定点．并求出这个。