2011-2012学年第二学期概率与数理统计期中试题答案

北 京 交 通 大 学2011-2012学年第二学期《概率论与数理统计（B ）》期中考试试卷（A ）学院_____________ 专业___________________ 班级____________学号_______________ 姓名_____________一（满分8分）已知,.)(30=A P ,.)(40=B P ..)|(50=B A P 求),(AB P ),(B A P ⋃),|(A B P ).(A B P -解 由概率乘法公式....)|()()(205040=⨯==B A P B P AB P ----2分由概率加法公式.....)()()()(50204030=-+=-+=⋃AB P B P A P B A P ----2分...)()()|(323020===A P AB P A B P ----2分....)()()(102030=-=-=-AB P B P A B P ----2分二（满分10分）高射炮向某飞机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立)，设每发炮弹击中飞机的概率均为0.3，又知若飞机中一弹，其坠落的概率为0.2；若飞机中两弹，其坠落的概率为0.6；若中三弹则必然坠落. (1) 求飞机被击落的概率；(2) 若飞机被击落，求它中两弹的概率。

解 令{}{}..,,飞机被击落令，弹飞机中===B i i A i 321因每弹击中与否相互独立,故有...)(i i i i C A P -=337030则...)(,...)(...)(027030189070303441070303332221===⨯⨯==⨯⨯=A P A P A P ，----2分 由题意得.)|(,.)|(.)|(16020321===A B P A B P A B P ，（1） 由全概率公式)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++==0270601890204410.....+⨯+⨯..22860=-------4分 （2） 由贝叶斯公式 ....)()|()()|(50127632286011340222≈===B P A B P A P B A P -------4分三（满分6分）甲箱中有9个黄球和1个白球，乙箱中有10个黄球. 每次从甲、乙两箱中随机各取1球交换放入另一箱中，这样做了3次，求白球出现在甲箱中的概率.解 设{}.,,321==i i A i ，甲箱中次交换以后白球出现在则{}.乙箱中次交换以后白球出现在i A i = -----1分故)|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P +==,.820101101109109=⨯+⨯-----2分)|()()|()()(2322323A A P A P A A P A P A P +==..75601011001810910082=⨯+⨯------3分四（满分14分）已知随机变量X 的概率密度为,,)(+∞<<-∞=-x Cex f xX(1)求常数C ;(2)在对X 进行的5次独立观察中,试求X 的值都小于1的概率.(3)令⎩⎨⎧≤->=.,,,0101X X Y 求Y 的分布律.解 (1)由于⎰+∞∞-=1dx x f )(则 120==+⎰⎰+∞∞--C dx Ce dx Cexx因此.21=C ----4分(2) {}⎰∞-=<11dx x f X P )(=⎰⎰+∞--12121dx e dx exx=).(221-e -------4分令Y 表示5次独立观察中X 的值小于1的概率的次数,则.,~⎪⎭⎫⎝⎛-225e B Y 令{}15的值都小于次独立观察中X A =.则().)(3222255-=⎪⎭⎫⎝⎛-=e e A P ----2分 (3),}{}{2121010==≤=-=⎰∞--dx eX P Y P x.21211}1{1}1{=-=-=-==Y P Y P则Y 的分布律为Y -1 1P 21 21 ——4分五(满分8分) 连续地做某项试验,每次试验只有成功和失败两种结果.已知当第k 次试验成功时第k +1次试验成功的概率是;21当第k 次试验失败时第k +1次试验成功的概率是.43若第一次试验成功的概率为,21记X 为首次获得成功时所需的试验次数,求X 的分布律.解 .321} ,,,,{==k k A k 次试验成功第令由题意知.,,, 321的可能取值为X 显然,211}{==X P ------2分)(}{k k A A A A P k X P 121-== ------2分 )|()|()|()(121213121-=k k A A A A P A A A P A A P A P .,2418343412122≥⎪⎭⎫⎝⎛⨯=⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯=--k k k即X 1 2 3 …P2183323 …———4分六（满分8分）设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=.,,,arcsin ,,)(111110x x x b a x x F(1)求常数a 和b ； (2)求X 的概率密度.解：(1)由)(x F 在-1和1处的连续性得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-→-→),()(lim ),()(lim 1111F x F F x F x x -----1分即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,,1202ππb a b a -----2分 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.,π121b a ------1分 因此⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=.,,,arcsin ,,)(111112110x x x x x F π (2) ⎪⎩⎪⎨⎧<≤--==.011112其他,,,)(')(x x x F x f π------4分七(满分10分) 已知随机变量),(Y X 在三角形区域D :10<<<y x 内服从均匀分布, (1) 写出随机变量),(Y X 的联合密度函数. (2) 判断随机变量X 与Y 是否相互独立并写出理由.解 (1)因三角形区域D 的面积为21,故),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<=.,,,),(其他0102y x y x f ——4分（2）由于当10<<x 时 ).(),()(x dy dy y x f x f xX -===⎰⎰+∞∞-1221——2分当10<<y 时 .),()(y dx dx y x f x f yY 220===⎰⎰+∞∞- ——2分从而当10<<<y x 时 ).()(),(y f x f y x f Y X ≠因此X 与Y 不独立.——2分八（满分10分）设随机变量),(Y X 具有联合密度函数为 ⎩⎨⎧<<=-.,,,),(其他002x y e y x f x λλ(1) 求边缘概率密度).(),(y f x f Y X (2) 求条件概率密度).|(|x y f X Y解 (1)当0>x 时, ,),()(xxxX xedy edy y x f x f λλλλ--+∞∞-===⎰⎰202则⎩⎨⎧>=-.,,,)(其他002x xex f xX λλ ——3分当0>y 时,.),()(yyxY edx edx y x f y f λλλλ-+∞-+∞∞-===⎰⎰2因此⎩⎨⎧>=-.,,,)(其他00y e y f y Y λλ——3分(2)当0>x 时,⎪⎩⎪⎨⎧<=--.,,,)|(|取其他值y x y xe e x y f xxXY 022λλλλ⎪⎩⎪⎨⎧<=.,,,取其他值y x y x01——4分九（满分6分）已知随机变量),,(~12N X 令.32-=X Z 求}.{1>Z P解 由正态分布的性质，可得).,(~81N Z 则.)()()(2101111=Φ-=≤-=>Z P Z P----6分十（满分10分）设随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=,,,,,),(其它00012a y a x a y x f其中a 是大于零的常数.求 (1)Y X Z +=的概率密度；(2) .⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤22a Y a X P 解 (1) Z =X+Y 的概率密度为⎰+∞∞--=dx x z x f z f X Z ),()( ——2分仅当⎩⎨⎧-<<<x z a x 00即⎧<<a x 0时上述积分的 ——1分x图4被积函数不等于零,参考图4,即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<≤<=⎰⎰-其他，，,,,)(02101202a z a dx a a z dx a z f a a z z Z =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<.,,,,其他，022022a z a a z a a z a z——4分 (2) .,21242222222==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤a aa Y P a Y a X P a Y a X P -----3分十一（满分10分）设B A ,为两个随机事件,且.)|(,)|(,)(213141===B A P A B P A P 令.,,,⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=,1,-,1,1,-,1不发生发生不发生发生B B Y A A X求: (1)二维随机变量),(Y X 的联合分布律;(2) x 的方程02=++Y Xx x 至少有一个实根的概率. (3) },min{Y X Z =的分布律.解： 由于 ,)|()()(121==A B P A P AB P故 .)|()()(61==A B P AB P B P则 ,)(},{12111====AB P Y X P -----1分,)()()(},{6111=-==-==AB P A P B A P Y X P -----1分 ,)()()(},{12111=-===-=AB P B P B A P Y X P -----1分.},{3212161121111=---=-=-=Y X P -----1分即),(Y X 的分布律为X Y -1 1-132 121 161121(2) 方程02=++Y Xx x 当且仅当在042≥-=∆Y X 时至少有一实根,因而所求的概率为.}{}{}{6510402=-==≥-=≥∆Y P Y XP P ——2分(3) Z 的所有可能的取值为-1,1.,},{}{121111=====Y X P Z P.}{121112111=-=-=Z P则Z 的分布律为 Z -1 1 P1211121——4分。