概率论与数理统计(二)试题及答案
《概率论与数理统计》期末测试卷(二)(答案解析版)
《概率论与数理统计》期末测试件（二）（答案解析版）一、（12分）一学生接连参加同一课程的两次考试。
第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为P 2。
（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。
（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。
解：A i ={他第i 次及格}，i=1,2已知P (A 1)=P (A 2|A 1)=P ，21P P(A /A )2= （1）B ={至少有一次及格}所以21}{A A B ==两次均不及格∴ )|()(1)(1)(1)(12121A A P A P A A P B P B P -=-=-= )]|(1)][(1[1121A A P A P ---=22123)21)(1(1P P P P -=---= （2）由乘法公式，有P (A 1 A 2)= P (A 1) P (A 2| A 1) = P 2 由全概率公式，有)|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=222)1(2P P PP P P +=⋅-+⋅=得1222)|(2221+=+=P PP P P A A P .二、（14分）设随机变量~,22X U ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求（1）随机变量X 的分布函数()F x ； （2） cos Y X =的密度函数 . 解：X 的密度函数为()1,220,x f x πππ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他cos Y X= 的可取值范围是()0,1当01y <<时，()()Y F y P Y y =≤arccos 2arccos 2arccos arccos 2211y yP Y y P y Y dx dxππππππ--⎛⎫⎛⎫=-≤≤-+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎰⎰因此，cos Y X = 的密度函数()(),01Y Y f y F y y '===<<故，,01()0,Y y f y <<=⎩其他三、（16分）设随机向量（X , Y ）的联合密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10 ,2),(其他y x x y x f(1) 计算P (Y > X )；(2) 求X , Y 的概率密度f X (x )，f Y (y );(3) 判断X 与Y 是否相互独立，说明理由； (4) 求Z = X+Y 的概率密度f Z (z ). 解：（1）.312),()(110===>⎰⎰⎰⎰>x xy xdy dx dxdy y x f X Y P（2）dyy x f x f X ⎰∞∞-=),()(.2x 2)(101x dy x f x X ==<<⎰时，当⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其他x x x f Xdxy x f y f Y ⎰∞∞-=),()(.10,1 2)(10<<==⎰y dx x y f Y⎩⎨⎧<<=.,0,10,1)(其他y y f Y（3）因为，..),()(),(e a y f x f y x f Y X =所以X 与Y 相互独立. （4）.),()(dx x z x f z f Z ⎰∞∞--=.22)(21,2)(1021120z z dx x z f z z dx x z f z z Z zZ -==<<==<<⎰⎰-时，当时，当⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=. ,0,2z 1 ,2,10 ,)(22其他z z z z z f Z四、（18分）设二维连续型随机变量(X ,Y )在区域D 上服从均匀分布。
概率论与数理统计(II)期末考试样卷2参考答案
命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：概率论与数理统计（II ）期末考试样卷2参考答案注意：所有数据结果保留小数点后两位，本试卷可能用的数据如下：20.9750.9750.02520.9750.9750.95(1.5)0.933, 1.96,(24) 2.064,(2.10)0.98,(24)12.40,(24)39.36,(10) 2.23,(2,21) 3.47,U t t F χχΦ===Φ=====一、填空题( 每小题3分，共24分)1． 在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为36的样本，则样本均值x 落在4与6之间的概率为 0.87 .2. 设1234,,,X X X X 是取自正态总体~(0,4)X N 的简单随机样本且()()221234234Y a X X b X X =-+-，则a = 0.05 ，b = 0.01 时，统计量Y 服从2χ分布。
3．设161,,x x 是来自(8,4)N 的样本，则(1)(5)P x >= 16(0.933) . 4．设1,,n X X 为来自(0,)(0)U θθ>的一个样本，11,ni ni X X ==∑则未知参数θ的矩估计量是 2X ，最大似然估计是 1max(,,)n X X .5．设总体分布为()P λ，则其费希尔信息量为 1λ .6．设1,,n X X 为来自2(,)N μσ的一个样本，欲使1ˆni i c X X σ==-∑为σ的无偏估计，则常数 c 7．由来自正态总体2~(,0.9),X N μ容量为9的简单随机样本，若得到样本均值0.5X =，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为 [-0.088,1.088] 。
8．设1,,n X X 为来自2(,)N μσ的一个样本,22111()ni n i S X X -==-∑,其中参数2,μσ未知，要检验假设2200:H σσ=应用 2χ 检验法，检验的统计量是2201n S σ-（） 。
全国自考概率论与数理统计(二)试题和答案
B）14．设随机变量X 的分布律为，F (x )是X 的分布函数，则F (1)=______．正确答案：（2分） 2/315．设随机变量X 的概率密度为f (x )=2010,x x ≤≤⎧⎨⎩，，其他，则12P X ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭=______．正确答案：（2分）3/416．已知随机变量X ~N (4,9)，P {X >c }=P {X ≤c }，则常数c =______． 正确答案：（2分） 417．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为则常数a =______． 正确答案：（2分） 0.218．设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N (0,l)，Y ～N （-1，1），记Z =X -Y ，则Z ~______． 正确答案：（2分） N(1，2)19．设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则E (X 2)=______． 正确答案：（2分） 620．设X ,Y 为随机变量，且E (X )=E (Y )=1，D (X )=D (Y )=5，ρXY =0.8，则E (XY )=______． 正确答案：（2分） 521．设随机变量X 服从区间［-1，3］上的均匀分布，随机变量Y =0111X X <⎧⎨≥⎩，，，，则E (Y )=______． 正确答案：（2分） 1/222．设随机变量X ~B (100,0.2)，()x Φ为标准正态分布函数，()2.5Φ=0.9938，应用中心极限定理，可得P {20≤x ≤30）≈______． 正确答案：（2分） 0.493823．设总体X ～N (0,l)，x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的样本，则统计量22221234x x x x +++~______．正确答案：（2分）x2(4)24．设总体X~N(μ，1)，μ未知，x1，x2，…，x n为来自该总体的样本，x为样本均值，则μ的置信度为1-α的置信区间是______．正确答案：（2分）]1,1[22nuxnuxaa+-25．某假设检验的拒绝域为W，当原假设H0成立时，样本值(x1，x2，…，x n)落入W的概率为0.1，则犯第一类错误的概率为______．正确答案：（2分）0.1三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26．设二维随机变量(X，Y)的概率密度为26,01,01,()0,x y x yf x⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩ 其他.求：(1)(X，Y)关于X的边缘概率密度f X(x)；(2)P{X>Y}．正确答案：27．设总体X的概率密度为1,0,()0,0,xe xf xxθθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中未知参数θ>0，x1，x2，…，x n是来自该总体的样本，求θ的极大似然估计．四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）正确答案：28．有甲、乙两盒，甲盒装有4个白球1个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，从甲盒中任取1个球，放入乙盒中，再从乙盒中任取2个球．(1)求从乙盒中取出的是2个黑球的概率；(2)已知从乙盒中取出的是2个黑球，问从甲盒中取出的是白球的概率．正确答案：29．设随机变量X~N(0,l)，记Y=2X．求：(1)P{X<-1>；(2)P{|X|<1}；(3)Y的概率密度．(附：Φ(1)=0.8413)正确答案：五、应用题（10分）30．某产品的次品率为0.l，检验员每天抽检10次，每次随机取3件产品进行检验，且不存在误检现象，设产品是否为次品相互独立，若在一次检验中检出次品多于1件，则调整设备，以X表示一天调整设备的次数，求E(X)．正确答案：。
概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)
第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。
概率论和数理统计期末考试试题及答案 (2)
一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分）（1）设A 、B 互不相容，且P(A)〉0,P （B ）〉0，则必有（A ）0)(>A B P （B ）)()(A P B A P =（C ）0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P =(2）某人花钱买了C B A 、、三种不同的奖券各一张。
已知各种奖券中奖是相互独立的，中奖的概率分别为,02.0)(,01.0)(,03.0)(===C p B P A p 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为(A) 0.05 (B ） 0。
06 （C ） 0.07 （D) 0.08（3)),4,(~2μN X ),5,(~2μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则（A ）对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ(C ）只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p >（4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意实数a 成立的是（A ）⎰-=-adx x f a F 0)(1)( （B ）⎰-=-a dx x f a F 0)(21)( （C ）)()(a F a F =- （D)1)(2)(-=-a F a F(5）二维随机变量(X ，Y ）服从二维正态分布,则X +Y 与X -Y 不相关的充要条件为(A ）EY EX = (B)2222][][EY EY EX EX -=-（C ）22EY EX = （D ） 2222][][EY EY EX EX +=+二、填 空 题 （本大题5小题, 每小题4分, 共20分）(1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ，4.0)(=⋃B A P ，则___________)(=B A P 0。
概率论与数理统计 习题参考答案
概率论与数理统计习题二参考答案1、将一颗骰子抛掷两次，以X 1表示两次所得点数之和，以X 2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X 1和X 2的分布律。
解：X 1可取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、123616161)1,1()2(1=×===P X P36261616161)"1,2""2,1(")3(1=×+×=∪==P X P 363616161616161)"1,3""2,2""3,1(")4(1=×+×+×=∪∪==P X P …… 所以X 1的分布律为X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P k 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 X 2可取的数有1、2、3、4、5、6P （X 2=1）=P （）="1,6""1,5""1,4""1,3""1,2""6,1""5,1""4,1""3,1""2,1""1,1"∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪3611所以X 2的分布律为 X 2 1 2 3 4 5 6 P k 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 2、10只产品中有2只是次品，从中随机地抽取3只，以X 表示取出次品的只数，求X 的分布律。
解：X 可取0、1、2{}310380C C X P ==157={}15713102812===C C C X P {}15123101822===C C C X P3、进行重复独立试验。
概率论与数理统计试题2 (有答案)
概率与数理统计试题（满分100分）一、 填空题（每空5分，共6空，30分） （1） 随机变量X 和Y 相互独立，且)5.0,1(~),5.0,1(~b Y b X ，则随机变量),max(Y X Z =的分布律为 。
答案: 75.0}1{,25.0}0{====Z P Z P（2） 已知随机变量),(Y X 具有概率密度=),(y x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+其它,040,40),sin(ππy x y x c 则=c ，Y 的边缘密度函数=)(y f Y 。
答案：12+, )4cos()(cos 12(π+-+x x ；（3） 设321,,X X X 相互独立，且)1,3(~)3,1(~),2,0(~321N X N X N X ，则=≤-+≤}6320{321X X X P 。
答案：3413.05.08413.05.0)1(=-=-Φ （4） 一名射手射击，各次射击是相互独立，正中目标的概率为 p ，射击直至击中目标两次为止。
设以 X 表示首次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行的射击次数，那么 X （X=m ）和 Y(Y=n) 的联合分布律是 。
答案：Y =n 代表第n 次射击时二度击中目标，且在第1次、第2次，…，第n –1次射击中恰有一次击中目标。
不管X,Y 是多少，（X, Y ）的概率都是22-n q p ,其中q=1-p ， m=1,2,…,n-1，n = 2,3,… 。
（5） 设风速V 在（0，a ）上服从均匀分布，即具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其它，0a v 0 1)(a v f设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数：2kV W =（V 是风速，k>0 是常数）。
那么，W 的数学期望为E （W ）= 。
答案： E （W ）=222311)(ka dv a kv dv v f kv ⎰⎰∞∞-∞∞-== 二、 计算题（共5题，合计46分）1. (8分)以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品合格率为98％，机器发生某种故障时，合格率为55％。
概率论与数理统计2含答案
一.填空题（共10分）已知P(A)=12，P BA c h=34，P(B) =58，则P( A ∣B ) =______ 。
设随机变量X 服从参数为 λ 的泊松分布，且已知P{ X= 7 } =P{ X= 9 }，则 λ =___________。
3、样本(,,,)X X X n 12 来自总体2~(, )X N μσ，则22(1)~n n S σ- ______________；()~n X S μ- ____________。
其中X 为样本均值，S n X X n i n 22111=--=∑()。
4、设X X X n 12,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，记1nn i ii Y a X ==∑，若n Y 为μ的无偏估计，则12,,...n a a a 满足的等式为 。
5、设总体~(1,)X B p ，其中未知参数01<<p , X X X n 12,, 是X 的 样本，则p的矩估计为________，样本的似然函数为_________。
(f x p p p x x(;)()=-1 为 X的 概 率 密 度 函 数 ) 二、选择题（共10分）6、4, 1, 0.6XY DX DY ρ===，则(32)D X Y -=( )。
( A ) 40 ( B ) 34 ( C ) 25.6( D ) 17.67、样本(,,,)X X X n 12 来自总体X ，已知X 服从参数λ=1的指数分布，则Max X X X n {,,,}12 的分布函数为( )。
( A )F z z e z z()=<-≥R S T - 0010 ( B ) F z z e z z n()()=<-≥R S T - 0010 ( C ) F z z e z z ()=<≥R S T - 000 ( D )0 0()n 0nzz F Z e z -<⎧=⎨≥⎩ 8、随机变量~(1,1)X N ，记X 的概率密度为f(x)，分布函数为F( x )，则有( )。
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概率论与数理统计B一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12(),()23P A P B == 则()P AB 可能为（）(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6 2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（） (A)12; (B) 225; (C) 425; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ）(A)518; (B) 13; (C) 12; (D)以上都不对4．某一随机变量的分布函数为()3xxa be F x e +=+，(a=0,b=1)则F (0)的值为（ ）(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ） (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对 二．填空题（每小题3分，共15分）1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = .2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==，则n =______.3．随机变量ξ的期望为()5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2()E ξ=_______.4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。
设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22af x x x =++，a 为常数，则P (ξ≥0)=_______. 三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为, 03()10, x<0x>3Ax f x x⎧⎪=+⎨⎪⎩当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望. 五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是(1) ξ与η是否相互独立? (2) 求ξη⋅的分布及()E ξη⋅；六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？(注：(1.28)0.90Φ=,(1.65)0.95Φ=) 九．(本题6分)设事件A 、B 、C 相互独立，试证明AB 与C 相互独立.某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为________. 十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：1820，1834，1831，1816，1824假定重复测量所得温度2~(,)N ξμσ.估计10σ=，求总体温度真值μ的0.95的置信区间. (注：(1.96)0.975Φ=,(1.65)0.95Φ=)概率论与数理统计B 答案一．1．（D ）、2.（D ）、3.（A ）、4.（C ）、5.（C ） 二．1．0.85、2. n =5、3. 2()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5分(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有302415=C C 种方法----------------------------------------------------7分4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故12572625360)(==B P --------------------------------------------------10分 四．解：（1）⎰⎰∞∞-==+=34ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 （2）⎰==+=<1212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 （3）3300()()[ln(1)]1AxE xf x dx dx A x x x ξ∞-∞===-++⎰⎰13(3ln 4)1ln 4ln 4=-=-------------------------------------10分 五．解：（1）ξ的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛29.032.039.02 10--------------------------------2分 η的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 （2）ξη⋅的分布列为因此，16.310.01011.0811.0509.0417.0203.0139.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⋅ηξE-------10分另解：若ξ与η相互独立,则应有P(ξ＝0,η＝1)＝P(ξ＝0)P(η＝1); P(ξ＝0,η＝2)＝P(ξ＝0)P(η＝2); P(ξ＝1,η＝1)＝P(ξ＝1)P(η＝1); P(ξ＝1,η＝2)＝P(ξ＝1)P(η＝2);因此，)1()0()2,1()2,0()1,1()1,0(============ξξηξηξηξηξP P P P P P但10.012.003.005.0≠，故ξ与η不相互独立。
六．解：由全概率公式及Bayes 公式P (该种子能发芽)＝0.1×0.9+0.9×0.2＝0.27-----------------------------------5分 P (该种子来自发芽率高的一盒)＝(0.1×0.9)/0.27＝1/3---------------------10分七．令A k ={在第k 次射击时击中目标}，A 0={4次都未击中目标}。
于是P (A 1)=0.3; P (A 2)=0.7×0.3=0.21; P (A 3)=0.72×0.3=0.147P (A 4)= 0.73×0.3=0.1029; P (A 0)=0.74=0.2401-----------------------------------6分在这5种情行下，他的收益ξ分别为90元，80元，70元，60元，－140元。
-------------------------------------------------------------------------------------------8分因此，65.26)140(2401.0601029.070147.08021.0903.0)(=-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE--------------------12分八．解：设他至少应购买n 个零件，则n ≥2000，设该批零件中合格零件数ξ服从二项分布B(n,p), p=0.95. 因n 很大，故B(n,p)近似与N (np ,npq ) ------------4分由条件有(2000)10.95Pξ≥≈-Φ=-------------------------------------------8分因(1.65)0.95Φ= 1.65=-，解得n=2123,即至少要购买2123个零件. -------------------------------------------------------------12分九． 证：因A 、B 、C 相互独立，故P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(AB)=P(A)P(B), P(ABC)=P(A) P(B)P(C).(())()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC ==+-------2分()()()()()()()P A P C P B P C P A P B P C =+----------------------------4分 [()()()()]()()()P A P B P A P B P C P A B P C =+-=故A B 与C 相互独立. -------------------------------------------------------6分《概率论与数理统计》试题（1）一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。
正确打“√”，错误打“×”）⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ）⑸ 样本方差2nS =n121)(X Xni i-∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ）二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。
三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为210131111115651530XP-- 求2Y X =的分布列.五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -= ，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤.x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题（1）评分标准 一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。