概率论和数理统计答案解析第四版第2章[浙大]

解： （1）由题意知，鸟每次选择能飞出窗子的概率为 1/3，飞不出窗子的概率为 2/3，且各次选
择之间是相互独立的，故 X 的分布律为：
P(X=k)=
，k=1,2,3……
X1 2 3
（2）Y 的可能取值为 1，2，3，其分布律为 方法一：
P(Y=1)= P(Y=2)= P(Y=3)= 方法二：
= =
品个数 Y，则 Y～B（5 , ）
（1） 设事件 A 为“这批产品第一次检验就能接受”，
P（A）=
（2）设事件 B 为“需作第二次检验”，即第一次检验次品数为 1 或 2
P（B）= P（X=1）+P（X=2）
=
+
（3） 设事件 C 为“这批产品按第二次检验的标准被接受”
P（C）= （4）设事件 D 为“这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过” 由（2）（3）知事件 B、C 相互独立 P（D） P（B） P（C）
=
6. 一大楼装有 5 台同类型的供水设备。设各台设备是否被使用相互独立。调查表明在任一 时刻 t 每台设备被使用的概率为，问在同一时刻， (1) 恰有 2 台设备被使用的概率是多少 (2) 至少有 3 台设备被使用的概率是多少 (3) 至多有 3 台设备被使用的概率是多少 (4) 至少有 1 台设备被使用的概率是多少
(1) 设其间有电话铃响一次的概率为 P，t=1/6，依题意有 (2) (3) 外出时没有电话的概率至少为,
即为
即外出时间不得超出分钟.
（小时）
15.保险公司在一天内承保了 5000 张相同年龄，为期一年的寿险保单，每人一份，在合同有 效期内若投保人死亡，则公司需赔付 3 万元。设在一年内，该年龄段的死亡率为，且各投保 人是否死亡相互独立。求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过 30 万元的概率（利用泊 松定理计算）。 解：设投保人在一年内死亡人数为 X,则 X~b（5000,），若公司赔付不超过 30 万元，则死亡 人数不该超过 =10 个人，
解：设同一时刻被使用的设备数为 X，试验次数为 5 且每次试验相互独立，显然 X 满足二次
分布 X
(1) P(X=2)=
=
(2) P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)= (3) P(X≤3)=1-P(X=4)-P(X=5)=1(4) P(X≥1)=1-P(X=0)=1- =
+ -=
（5）设事件 E 为“这批产品被接受的概率”，其中包括事件 A 和事件 D，A 与 D 互斥 P（E） P（A）+P（D）
+
10．有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各 4 杯，如果从中挑 4 杯，能将甲种酒全部 挑出来，算是试验成功一次。 （1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少 （2） 某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验 10 次，成功 3 次，试推断他是猜对 的，还是他确有区分的能力（设每次试验是相互独立的） 解：（1）设事件 A 为“试验成功一次”，题意为在 8 杯中挑 4 杯，恰好挑到事件 A 由题意知 P（A） （2）设事件 B 为“他连续试验 10 次，成功 3 次” 由于每次试验相互独立 则 P（B）=
此概率太小在试验中竟然发生了，按实际推断原理，认为他确实有区分的能力。
11.尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角是不可能的，但每年总有 一些“发明家”撰写关于仅用圆规和直尺将角三等分的文章。设某地区每年撰写此类文章篇 数 X 服从参数为 6 的泊松分布。求明年没有此类文章的概率。
解： 设明年没有此类文章的概率为 P,又 X 服从泊松分布，得 令λ=6，则
的分布律，并计算 X 取得偶数的概率
解：（1）k=1,2,3，……
P（X=k）=
（2）k=r+1,r+2,r+3, ……
P（Y=k）=
（3）k=1,2,3, ……
P（X=k）=
,
设 p 为 X 取得偶数的概率
P=P{X=2}+ P{X=4}+ ……+ P{X=2k}
=
+
……+
= 5. 一房间有 3 扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了 房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记 忆的，它飞向各扇窗子是随机的。 (1) 以 X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求 X 的分布律。 (2) 户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以 Y 表示这 只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数。如户主所说是确实的，试求 Y 的分布律。 (3)求试飞次数 X 小于 Y 的概率和试飞次数 Y 小于 X 的概率。
P（X=0）=（X=5）=
P（X=20）=
X
0
5
20
P
2.(1) 一袋中装有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 只球，以 X 表示取出的三只
中的最大号码，写出随机变量的分布律.
解：方法一: 考虑到 5 个球取 3 个一共有 =10 种取法，数量不多可以枚举来解此题。 设样本空间为 S
=；
P｛X=5｝= P (第一次为 5 点，第二次大于 4 点)+P（第二次为 5 点，第一次大于 4
点）- P（两次都为 5 点）
=
=；
P｛X=6｝= P (第一次为 6 点，第二次大于 5 点)+P（第二次为 6 点，第一次大于 5
点）- P（两次都为 6 点）
=
=；
X
1
2
3
4
5
6
11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36
1、 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年后因意外死亡，则公司赔付 20 万元，
若投保人因其他原因死亡，则公司赔付 5 万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需
付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为，因其他愿意死亡的概率为，求
公司赔付金额的分布律。
解：设 X 为公司的赔付金额，X=0,5,20
故 P(B)=P(Y=1)*P(X≥2)+P(Y=2)*P(X≥3)+P(Y=3)*P(X≥4) =P(Y=1)*[1-P(X=1)]+P(Y=2)*[1-P(X=1)-P(X=2)]+P(Y=3)*[1-P(X=1)-P(X=2)-P(X =3)]
= (1- )+ (1- - )+ (1- - - )
无次品时接受这批产品。若产品的次品率为 10%，求：
（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率
（2）需作第二次检验的概率
（3）这批产品按第二次检验的标准被接受的概率
（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率
（5）这批产品被接受的概率
解：记第一次检验抽取的 10 件中次品个数 X，则 X～B（10 , ）第二次检验抽取的 5 件中次
解： (1)设某一天中午 12 点至下午 3 点未收到紧急呼叫的概率为 P，时间间隔长度 t=3， 依题意有
(2)依题意，即 X≥1，时间间隔长度 t=5，则
14.某人家中在时间间隔 t（小时）内接到电话的次数 X 服从参数为 2t 的泊松分布。 （1）若他在外出计划用时 10 分钟，问其间有电话铃响一次的概率是多少 （2）若他希望外出时没有电话的概率至少为，问他外出应控制最长时间是多少 解：
+=
7. 设事件 A 在每次试验发生的概率为。A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号。 (1) 进行了 5 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。 (2) 进行了 7 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。
解：设进行 5 次重复独立试验指示灯发出信号为事件 B，进行 7 次重复独立试验指示灯发出
-
≈
8．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为, . 今各投三次，求： （1）两人投中次数相等的概率 （2）甲比乙投中次数多的概率 解：记投三次后甲投中次数为 X，乙投中次数为 Y，，设甲投中 a 次，乙投中 b 次的概率为 P（X=a，Y=b） （1） 设两人投中次数相等为事件 A 因为甲、乙两人每次投篮相互独立且彼此投篮相互独立 则 P（A） P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）+P（X=2，Y=2）+P（X=3，Y=3）
由于鸟飞向各扇窗户是随机的，鸟飞出指定窗子的尝试次数也是等可能的。 即 P(X=1)=P(Y=2)=P(X=3)=
Y 123
（3）设试飞次数 X 小于 Y 为事件 A，Y 小于 X 为事件 B。普通鸟和聪明鸟的选择是独立的 X 小于 Y 的情况有：① X=1, Y=2 ② X=1, Y=3 ③ X=2, Y=3 故 P(A)=P(X=1)*P(Y=2)+ P(X=1)*P(Y=3)+ P(X=2)*P(Y=3) = Y 小于 X 的情况有：① Y=1, X≥2 ② Y=2, X≥3 ③ Y=3, X≥4
点）- P（两次都为 2 点）
=
=；
P｛X=3｝= P (第一次为 3 点，第二次大于 2 点)+P（第二次为 3 点，第一次大于 2
点）- P（两次都为 3 点）
=
=；
P｛X=4｝= P (第一次为 4 点，第二次大于 3 点)+P（第二次为 4 点，第一次大于 3
点）- P（两次都为 4 点）
=
S=｛123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 ｝
易得，P｛X=3｝= ；P｛X=4｝= ；P｛X=5｝= ；
X
3
4
5
1/10 3/10 6/10
方法二：X 的取值为 3,4,5
当 X=3 时，1 与 2 必然存在 ，P｛X=3｝= = ;