最新概率论与数理统计期末考试卷附答案

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概率论与数理统计》期末考试试题及解答

概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。

因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。

解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。

参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。

参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。

参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。

参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。

参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。

(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选择题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( )(A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（）3311()()()()328168A B C D(3)),4,(~2μN X ),5,(~2μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p >(4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意实数a 成立的是( ) （A ）⎰-=-adx x f a F 0)(1)( （B ）⎰-=-adx x f a F 0)(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F(5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记5011,50i i X X ==∑ 则 50211()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2,)50N (B) 2(,4)50N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填空题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分)(1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=⋃B A P ,则___________)(=B A P(2) 设随机变量X 有密度⎩⎨⎧<<=其它010,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=>的常数a =(3) 设随机变量),2(~2σN X ，若3.0}40{=<<X P ,则=<}0{X P (4)设()221xx f x -+-=，则EX = , DX =(5)设总体~(,9)X N μ，已知样本容量为25，样本均值x m =；记0.1u a =，0.05u b =；()0.124t c =，()0.125t d =；()0.0524t l =，()0.0525t k =，则μ的置信度为0.9的置信区间为三、解答题（共60分）1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求：(1)全厂产品的次品率(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？2、(10分)设X 与Y 两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,1)(其它x x f X ⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(y y e y f y Y求:随机变量Y X Z +=的概率密度函数.3、(10分)设随机变量X 服从参数2λ=的指数分布，证明：21XY e-=-服从()0,1上的均匀分布。

(完整word版)《概率论与数理统计》期末考试试题及答案

)B =________________.3个,恰好抽到),(8ak ==(24)P X -<= 乙企业生产的50件产品中有四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为\01210.10.20.120.10.2Y X a 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么?五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他求()(),E X D X一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或AB C 2、0.6 3、2156311C C C 或411或0.3636 4、1 5、136、2014131555kX p 7、1 8、(2,1)N -二、解设12,A A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B 表示取出的零件为次品,则由已知有 1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505P A P A P B A P B A ======== .................. 2分 (1)由全概率公式得112261511()()(|)()(|)1151155P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯= ............................................ 7分 (2)由贝叶斯公式得22251()()5115()1()115P A P B A P A B P B ⨯=== ................................................................................. 12分三、(本题12分)解 (1)由概率密度的性质知 340391()21224x f x dx kxdx dx k +∞-∞⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰故16k =. ..................................................................................................................................................... 3分 (2)当0x ≤时,()()0xF x f t dt -∞==⎰;当03x <<时, 2011()()612xxF x f t dt tdt x -∞===⎰⎰; 当34x ≤<时, 320311()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞⎛⎫==+-=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;当4x ≥时, 34031()()2162x t F x f t dt tdt dt -∞⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;故X 的分布函数为220,01,0312()123,3441,4x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩.......................................................................................... 9分(3) 77151411(1)22161248P X F F ⎧⎫⎛⎫<≤=-=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭....................................................................... 12分四、解 (1)由分布律的性质知 01.0.20.10.10.a +++++= 故0.3a = .................................................................................................................................................... 4分(2)(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘分布律为0120.40.30.3X p ........................................................................................................................ 6分120.40.6Y p .................................................................................................................................. 8分(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===⨯=,故 {}{}{}0,101P X Y P X P Y ==≠== 所以X 与Y 不相互独立. ............................................................................................................................ 12分五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他求()(),E X D X .解 2131223201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞-∞⎡⎤⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ................................ 6分122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰................................................................... 9分 221()()[()].6D XE X E X =-= ........................................................................................................ 12分一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为：；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：没有任何人的生日在同一个月份的概率4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= ,分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律：；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1）1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ；2）问X 与Y 是否独立？是否相关？计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。

概率论与数理统计期末试卷及答案(最新1)

概率论与数理统计期末试卷一、填空（每小题分，共 分）１．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉。

２掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于 ”，则表示♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉。

３．已知互斥的两个事件满足，则♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉。

４．设为两个随机事件，，，则♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉。

５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉。

二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。

每小题分，共 分） 从装有只红球，只白球的袋中任取两球，记“取到只白球”，则（）。

☎✌✆ 取到只红球 ☎ ✆ 取到只白球☎ ✆ 没有取到白球 ☎ ✆ 至少取到只红球．对掷一枚硬币的试验 “出现正面”称为（）。

☎✌✆ 随机事件 ☎ ✆ 必然事件☎ ✆ 不可能事件 ☎ ✆ 样本空间 设✌、为随机事件，则（）。

☎✌✆ ✌ ☎ ✆☎ ✆ ✌ ☎ ✆ φ 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。

☎✌✆ 与互斥 ☎ ✆ 与不互斥☎ ✆ ☎ ✆ 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。

☎✌✆ ☎ ✆☎ ✆ ☎ ✆ 设相互独立，则（）。

☎✌✆ ☎ ✆☎ ✆ ☎ ✆设是三个随机事件，且有，则（）。

☎✌✆  ☎ ✆ ☎ ✆  ☎ ✆  进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为☐，则在成功次之前已经失败次的概率为（）。

☎✌✆ ☐ ☎ ☐✆ ☎ ✆  ☐ ☎ ☐✆☎ ✆  ☐ ☎ ☐✆ ☎ ✆  ☐ ☎ ☐✆ 设✌、为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。

☎✌✆ ☎ ✆☎ ✆☎ ✆ 设事件✌与同时发生时，事件一定发生，则（）。

☎✌✆ ☎✌ ✆  ☎ ✆ ☎ ✆ ☎✌✆  ☎ ✆  ☎ ✆ ≤ ☎ ✆ ☎✌✆  ☎ ✆  ☎ ✆ ≥  ☎ ✆ ☎✌✆  ☎ ✆ ≤ ☎ ✆三、计算与应用题（每小题分，共 分） 袋中装有个白球，个黑球。

概率论与数理统计期末试题与详细解答

《概率论与数理统计》期末试卷一、填空题（每题4分，共20分）1、假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则A 和B 的关系是_______________。

2、设随机变量)(~λπX ，且{}{},21===X P X P 则{}==k X P _____________。

3、设X 服从参数为1的指数分布，则=)(2X E ___________。

4、设),1,0(~),2,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则~Y X Z -=___________。

5、),16,1(~),5,1(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，令12--=Y X Z ，则=YZ ρ____。

二、选择题（每题4分，共20分）1、将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（）A 、323B 、83C 、161D 、812、随机变量X 和Y 的,0=XY ρ则下列结论不正确的是（） A 、)()()(Y D X D Y X D +=- B 、a X +与b Y -必相互独立 C 、X 与Y 可能服从二维均匀分布 D 、)()()(Y E X E XY E =3、样本nX X X ,,,21 来自总体X ，,)(,)(2σμ==X D X E 则有（）A 、2i X )1(n i ≤≤都是μ的无偏估计 B 、X 是μ的无偏估计C 、)1(2n i X i ≤≤是2σ的无偏估计D 、2X 是2σ的无偏估计 4、设nX X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN 的样本，其中μ已知，2σ未知，则下列不是统计量的是（） A 、ini X ≤≤1min B 、μ-X C 、∑=ni iX 1σ D 、1X X n -5、在假设检验中，检验水平α的意义是（） A 、原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率 B 、原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率 C 、原假设0H 成立，经检验不能拒绝的概率D 、原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率三、计算题（共28分）1、已知离散型随机变量的分布律为求：X 的分布函数，（2）)(X D 。

概率论与数理统计期末试卷与答案(最新5)

概率论与数理统计期末试卷及答案一、填空题：1、一袋中有50个球，其中20个红球，30个白球，现两人从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到白球的概率为 3/5 。

2、设P(A)=1/2, P(B|A)=1/3, P(A|B)=1/2，那么()P AB = 2/3 。

3、若随机变量X 的概率密度为2(),11,f x Ax x =-<<那么A= 3/2 。

4、若二维随机变量（X,Y ）在以原点为圆心的单位圆内的概率密度函数是1/π，其它区域都是0，那么221()2P X Y +<= 1/2 。

5、掷n 枚骰子，记所得点数之和为X ，则EX = 3.5n 。

6、若X ，Y ，Z 两两不相关，且DX=DY=DZ=2，则D(X+Y+Z) = 6 。

7、若随机变量12,,,n X X X 相互独立且同分布于标准正态分布N(0,1)，那么它们的平方和22212n X X X +++服从的分布是2()n χ。

8、设A n 是n 次相互独立的试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对任意的0>ε,lim {||}An n p n→+∞-≥ε= 0 。

9、设总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，样本为12,,,n X X X ，设00:H =μμ，10:H <μμ，则拒绝域为z α<-。

10、设总体X 服从区间[1,a ]上的均匀分布，其中a 是未知参数。

若有一个来自这个总体的样本2, 1.8, 2.7, 1.9, 2.2, 那么参数a 的极大似然估计值a = 12max{,,,} 2.7n x x x =。

二、选择题1、设10张奖券只有一张中奖，现有10个人排队依次抽奖，则下列结论正确的是（ A ）（A ）每个人中奖的概率相同；（B ）第一个人比第十个人中奖的概率大；（C ）第一个人没有中奖，而第二个人中奖的概率是1/9；（D ）每个人是否中奖是相互独立的 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且21(,)X N μσ，22(,)Y N μσ，则X Y -服从的分布是（ B ）（A ）212(,)N -μμσ；（B ）212(,2)N -μμσ；（C ）212(,)N +μμσ；（D ）212(,2)N +μμσ3、设事件A 、B 互斥，且()0P A >，()0P B >，则下列式子成立的是（ D ）（A ）(|)()P A B P A =；（B ）(|)0P B A >；（C ）(|)()P A B P B =；（D ）(|)0P B A =；4、设随机变量X 与Y 独立同分布，P(X= -1) = P(Y= -1) =1/2，P(X= 1) = P(Y= 1) =1/2，则下列成立的是（ A ）（A ）()1/2P X Y ==；（B ）()1P X Y ==；（C ）(0)1/4P X Y +==；（D ）(1)1/4P XY ==；5、有10张奖券，其中8张2元，2张5元。

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概率论与数理统计期末考试卷课程名称：概率论与数理统计考试时间专业班学号姓名一、填空题（每格3分，共18分）1. 设31)()()(321===A P A P A P ，321,,A A A 相互独立，则（1）321,,A A A 至少出现一个的概率为_ __；（2）321,,A A A 恰好出现一个的概率为_ _ _。

2. 设)2,1(~2N X ，)1(~P Y ，6.0=XY ρ，则=+-2)12(Y X E __ ____。

3．设Y X ,是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为)(x F X ，)(y F Y 则},max{Y X Z =的分布函数是。

4．若随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，2021,,,X X X Λ是来自X 的一个样本，令∑∑==-=201110143i i i i X X Y ，则Y 服从分布。

5. 若对任意给定的0>x ,随机变量y 的条件概率密度⎩⎨⎧>=-其它,00,)(y xe x y f xy z y 则y 关于x 的回归函数==)(x x y μμ .二、单项选择题（每小题2分，共10分）1. 设函数)(x f 在区间],[b a 上等于x sin ，而在此区间外等于0，若)(x f 可以做为某连续型随机变量X 的密度函数，则区间],[b a 为（）。

(A) ]2,0[π； (B) ],0[π；(C) ]0,2[π-； (D) ]23,0[π。

2. 假设随机变量X 的概率密度为)(x f ，即)(~x f X ，期望μ与方差2σ都存在，样本)1(,,,21>n X X X n Λ取自X ，X 是样本均值，则有（） (A) )(~x f X ；(B) )(~min 1x f X i ni ≤≤；(C) )(~max 1x f X i ni ≤≤ ； (D) )(~),,,(121∏=ni in x f X X X Λ。

3. 总体2~(,)X N μσ，2σ已知，n ≥（）时，才能使总体均值μ的置信度为0.95的置信区间长不大于L 。

(975.0)96.1(=Φ)（A ）2215/L σ；（B ）2215.3664/L σ；（C ）2216/L σ；（D ）16。

4. 对回归方程的显著性的检验，通常采用3种方法，即相关系数检验法，-F 检验法和-t 检验法，下列说法正确的（）。

(A) F 检验法最有效； (B) t 检验法最有效；(C) 3种方法是相通的，检验效果是相同的；（D) F 检验法和t 检验法，可以代替相关系数的检验法。

5．设n X X X ,,,21Λ来自正态总体),(2σμN 的样本(2σ已知),令nX u /σμ-=,并且21α-u满足απαα-=⎰----121212122/dx euux (10<<α),则在检验水平α下, 检验00:μμ=H 时,第一类和第二类错误的概率分别是( )和( ).(A) ||{|21α-<u u P 当0H 成立} ；(B) 21|{|α-<u u P |当0H 不成立}；(C) ||{|21α-≥uu P 当0H 成立}；(D) 21|{|α-≥uu P |当0H 不成立}。

三、计算题（每小题10分，共20分）1. 设有甲、乙、丙三门炮，同时独立地向某目标射击命中率分别处为0.2、0.3、0.5,目标被命中一发而被击毁的概率为0.2，被命中两发而被击毁的概率为0.6，被命中三发而被击毁的概率为0.9，求：（1）三门火炮在一次射击中击毁目标的概率；（2）在目标被击毁的条件下，只由甲火炮击中的概率。

解：设事件C B A ,,分别表示甲、乙、丙三门炮击中目标，D 表示目标被击毁，i H 表示有i 门炮同时击中目标（3,2,1=i ），由题设知事件C B A ,,相互独立，故2.0)(=A P ，3.0)(=B P ，5.0)(=C P ； 2.0)|(1=H D P ，6.0)|(2=H D P ，9.0)|(3=H D P )()(1C B A C B A C B A P H P ⋃⋃=)()()(C B A P C B A P C B A P ++=)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 47.0=22.0)(2=H P ， 03.0)(3=H P（1）由全概率公式，得)|()()(31i i i H D P H P D P ∑==253.09.003.06.022.02.047.0=⨯+⨯+⨯= （2）由贝叶斯公式，得)()|()()()()|(D P C B A D P C B A P D P D C B A P D C B A P ==0554.0253.02.05.07.02.0=⨯⨯⨯=2．随机变量U 在区间]2,2[-上服从均匀分布，随机变量⎩⎨⎧>-≤-=-1若U 1若U 11X ，⎩⎨⎧>≤-=1若U 1若U 01Y 。

试求：（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）)(Y X E +；（3）22Y X Z +=的概率分布。

解：（1）因随机变量U 在区间]2,2[-上服从均匀分布，故4141)1()1,1()1,1(12==-≤=≤-≤=-=-=⎰--dx U P U U P Y X P ； 0)()11,1()0,1(==>-≤==-=φP U U P Y X P ；2141)11()1,1()1,1(11==≤≤-=≤->=-==⎰-dx U P U U P Y X P 4141)1()1,1()0,1(21==>=>->===⎰dx U P U U P Y X P故X 和Y 的联合概率分布如下：(2) 关于X 的边际分布为关于Y 的边际分布为故2143141)1()(=⨯+⨯-=X E ， 4341043)1()(-=⨯+⨯-=Y E ， 414321)()()(-=-=+=+Y E X E Y X E（3）22Y X Z +=的概率分布为1. 设随机变量X 具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他00)(2ππx Ax x f ，试求（1）常数A ；（2）X Y sin =的概率密度函数；（3）)2/1|sin (|<X P 。

解：（1）由⎰∞∞-=1)(dx x f 得12|2100222===⎰AAx dx Axππππ，得2=A ；（2）由于X 在),0(π 内取值，X Y sin =的取值区间为)1,0(，故Y 的可能取值四、计算题（每小题10分，共20分）区间外，0)(=y f Y ，故}arcsin {}arcsin 0{}{ππ≤≤-⋃≤≤=≤X y y X y Ydx x f dx x f y Y P y F yX yX Y )()(}{)(arcsin arcsin 0⎰⎰-+=≤=ππdx xdx xyy⎰⎰-+=ππππarcsin 2arcsin 0222在上式两端对y 求导，得10<<y（32．设二维随机变量),(Y X 的联合分布密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它0,10)1(24)(x y x yx y x p(1) 求随机变量X 与Y 的边际分布；(2) 若Y X ,分别为一矩形木板的长与宽,求木板面积的数学期望； (3) 求条件分布密度)21|(|=x y p X Y 。

解：（1） ⎰⎰∞∞--=-==xX x x ydy x dy y x p x p 02)1(12)1(24),()( 10≤≤x)2(12)1(24),()(02-=-==⎰⎰∞∞-y y ydx x dx y x p y p yY 10≤≤y（2） ⎰⎰=D dxdy y x xyp XY E ),()( }0,10|),{(x y x y x D ≤≤≤≤=ydy x xy dx x)1(24010-=⎰⎰154=(3) 当10≤≤x 时， 2|2)(),()|(xyx p y x p x y p X X Y == x y ≤≤0当21=x 时， y x y p X Y 8)21|(|== 210≤≤y1、设总体X 的分布律为1()(1),1,2,x P X x p p x -==-=L ，其中0>p 为未知参数，n X X X ,,,21Λ 是来自总体X 的样本，试求：（1）参数p 的矩估计量；（2）参数p 的极大似然估计量（只需列出方程）。

2、假设随机变量X 服从正态分布)1,(μN , 1021,,,x x x Λ是来自X 的10个观察值,要在05.0=α的水平下检验0:,0:100≠==μμμH H取拒绝域为}|{|C x R ≥=。

(1) 求?=C ；(2) 若已知1=x ,是否可以据此样本推断)05.0(0==αμ；(3) 如果以}15.1|{|≥=x R 作为该检验0:0=μH 的拒绝域, 试求检验的显著水平α。

其中975.0)96.1(=Φ，950.0)64.1(=Φ，99985.0)64.3(=Φ。

解：（1）0:00==μμH ；0:1≠μH 选择统计量 x nx U 10/0=-=σμ五、计算题（每小题10分，共20分）当0=μ时，)1,0(~/0N nx U σμ-=对于05.0=α，查表知 05.0}96.1|{|=≥U P因此拒绝域}62.0|{|}96.110{}96.1|{|≥=≥=≥=x x U R 即 62.0=C（2）对于62.01>=x ，即R x ∈，因此不能据此样本推断0=μ；（3）}1015.1|10{|}15.1|{|≥=≥x P x P }1015.1|10{|1≤-=x P 0003.0]1)64.3(2[1=-Φ-=由于检验的显著水平α就是在0=μ时成立时拒绝0H 的概率0003.0}1015.1|10{|}{=≥=∈=x P R U P α五、证明题（10分）1．设0)(>A P ，试证：)()(1)|(A P B P A B P -≥。

证明：因为 1)(≤⋃B A P ，即1)()()(≤-+AB P B P A P 1)|()()()(≤-+A B P A P B P A P )](1[)()|()(B P A P A B P A P --≥)()()|()(B P A P A B P A P -≥)()(1)|(A P B P A B P -≥ （0)(>A P ）2．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布)9,0(N ，而921,,,X X X Λ和921,,,Y Y Y Λ分别来自总体X 和Y 的样本，试证统计量)9(~292221921t YY Y X X X U ++++++=ΛΛ。