高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率．思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示] Δx ≠0，Δy ∈P .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.[基础自测]1．思考辨析(1)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负也可以为零．( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44 B [Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )【导学号：97792121】A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 D [Δ＝Δs Δt ＝3＋2.12－3＋222.1－2＝4.1.][合 作 探 究·攻 重 难]求函数的平均变化率(1)若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx＝( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图311，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为__________．图311(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________． [解] (1)Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－(2×12－1) ＝2(Δx )2＋4Δx ∴ΔyΔx＝2Δx ＋4，故选C. (2)由题意知，v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC . 根据图象知v 1<v 2<v 3. (3)Δv ＝43π×23－43π×13＝283π.∴Δv Δr ＝283π.[答案] (1)C (2)v 1<v 2<v 3 (3)283π[规律方法] 求函数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率的步骤(1)求自变量的增量Δx ＝x －x 0.(2)求函数的增量Δy ＝y －y 0＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (3)求平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx.提醒：Δx ，Δy 的值可正，可负，但Δx ≠0，Δy 可为零，若函数f (x )为常值函数，则Δy ＝0.[跟踪训练]1．(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为________，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(1)6x 0＋3Δx 12.3 (2)－Δx ＋3 [(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝[3x 0＋Δx2＋2]－3x 20＋2Δx＝6x 0·Δx ＋3Δx 2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. (2)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－[－(－1)2＋(－1)] ＝－(Δx )2＋3Δx ， ∴Δy Δx＝－Δx 2＋3ΔxΔx＝－Δx ＋3.]求瞬时速度若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3t －32，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] (1)先求Δs ，再根据v ＝ΔsΔt 求解．(2)先求Δs Δt ，再求lim Δx →0ΔsΔt .[解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)， 所以Δs Δt＝3Δt2－12ΔtΔt＝3Δt －12(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δx →0 ΔsΔt ＝lim Δx →0(3Δt －12)＝－12(m/s)．[规律方法] 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝ΔsΔt.(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx (当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx 的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可．2．质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.【导学号：97792122】[解] v ＝lim Δx →0s 2＋Δt －s 2Δt＝lim Δx →0 2×2＋Δt 2－2×22Δt ＝lim Δx →0(2Δt ＋8)＝8(cm/s)，v ＝s 3－s 13－1＝2×32＋3－2×12＋32＝8(cm/s)．求函数在某点处的导数[探究问题]求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？ 提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同．(1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为__________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值ΔyΔt ；②求t 1＝4时的导数． [思路探究] (1)求Δy →求Δy Δx →求lim Δx →0ΔyΔx (2)①Δy ＝f 4.01－f 4→ΔyΔt②求Δy →求Δy Δt →求lim Δt →0ΔyΔt [解析] (1)Δy ＝1＋Δx －1， Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12.[答案] 12(2)①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，ΔyΔt＝48.120 1.②lim Δx →0 Δy Δt ＝lim Δx →0[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48，故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48. [规律方法]求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．提醒：当对Δy Δx 取极限时，一定要把ΔyΔx 变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．3．求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx . 当Δx →0时，ΔyΔx →2，∴f ′(1)＝2，即函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数为2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2C [Δy Δx＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝21＋Δx2－2Δx＝4＋2Δx .]2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．2Δt ＋4 B ．－2Δt －4 C ．4 D ．－2Δt 2－4ΔtB [v ＝4－21＋Δt2－4－2×12Δt＝－4Δt －2Δt2Δt＝－2Δt －4.]3．一质点按规律s (t )＝2t 2运动，则在t ＝2时的瞬时速度为__________.【导学号：97792123】8 [s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )2－2×22＝2(Δt )2＋8Δt .∴lim Δt →0 s 2＋Δt －s 2Δt ＝lim Δt →0 2Δt 2＋8Δt Δt ＝lim Δt →0(2Δt ＋8)＝8.]4．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 2 [f ′(1)＝lim Δt →0f 1＋Δx －f 1Δx＝lim Δt →0a 1＋Δx ＋4－a ＋4Δx＝a ，又∵f ′(1)＝2，∴a ＝2.]5．求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．[解] Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx＝2Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx ＋16.y ′|x ＝3＝lim Δt →0ΔyΔx ＝lim Δt →0(2Δx ＋16)＝16.。
高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1_1
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3.导数的概念 一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) , 我们称它为函数������ Δ������ ������x →0 ������y Δ������ →0 ������x
=
������������������
解析: 该物体在 t=1 时的瞬时速度为 s(1 + ������t)-s(1) lim Δ������ →0 ������t 2(1 + Δ������)2 + 1 + Δ������-1-2 = ������������������ = lim (2Δ������ + 5) = 5. Δ������ →0 ������t →0 Δ������ 答案:5
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
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1.平均变化率
我们把式子
������(������2 )-������(������1 ) 称为函数������(������)从������1 ������2 -������1
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【做一做1-1】 已知物体位移公式s=s(t),从t0到t0+Δt这段时间内, 下列说法错误的是( ) A.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)叫做位移增量B. Δ������ =
������ ������
������
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) 叫做这段时间内物体的平均速度 Δ������
高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021
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3.1。
2 瞬时变化率—导数学习目标：1。
理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。
当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。
高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1_3.1.2变化率问题导数的概念讲义含解析新人教A版选修
3．1.1&3.1.2 变化率问题 导数的概念预习课本P72～76，思考并完成以下问题1．平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？2．瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？3．如何用定义求函数在某一点处的导数？[新知初探]1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)意义：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (4)平均变化率的几何意义：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1Δx为割线AB 的斜率，如图所示．[点睛] Δx 是变量x 2在x 1处的改变量，且x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可以为正，也可以为负．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →0 Δy Δx ＝li mΔx →0 f x 0＋Δx －fx 0ΔxΔx 趋于0的距离要多近有多近，即|Δx －0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx ≠0.3．导数的概念 li m Δx →0 Δy Δx＝li mΔx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx0(1)当Δx ≠0时，比值Δy Δx 的极限存在，则f (x )在点x 0处可导；若ΔyΔx 的极限不存在，则f (x )在点x 0处不可导或无导数．(2)在点x ＝x 0处的导数的定义可变形为f ′(x 0)＝li m Δx →0 f x 0－Δx －f x 0－Δx或f ′(x 0)＝li m x →x 0f x －f x 0x －x 0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量( ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)答案：D3．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上两点A ，B ，且x A ＝1，x B ＝1.1，则函数f (x )从A 点到B 点的平均变化率为( )A ．4B ．4xC ．4.2D ．4.02答案：C4．在f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx中，Δx 不可能为( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案：C[典例] 求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？[解] 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx ；若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193，由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．fx 1－x 0x 1－0.的值可正，可负，但Δx 已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较两个区间上变化的快慢．解：自变量x 从1变化到2时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f－f 2－1＝12. 自变量x 从3变化到5时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f－f 5－3＝1415.由于12＜1415， 所以函数f (x )＝x ＋1x在[3,5]的平均变化比在[1,2]的平均变化快．[典例] 一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．[解] (1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2， Δs Δt ＝3Δt －Δt2Δt＝3－Δt ，li m Δt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]， ∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2， Δs Δt ＝－Δt －Δt 2Δt＝－1－Δt ，li m Δt →0 ΔsΔt ＝li mΔt →0 (－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1.一物体做初速度为0的自由落体运动，运动方程为s ＝12gt 2(g ＝10 m/s 2，位移单位：m ，时间单位：s)，求物体在t ＝2 s 时的瞬时速度．解：因为Δs ＝12g (2＋Δt )2－12g ×22＝2g Δt ＋12g (Δt )2，所以ΔsΔt ＝2g Δt ＋12g Δt2Δt＝2g ＋12g Δt ，当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于2g ，所以物体在t ＝2 s 时的瞬时速度为20 m/s.[典例] (1)函数f (x )＝12＋3x在x ＝1处的导数为________． (2)已知函数f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则 li mΔx →0 f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝________.[解析] (1)因为Δy Δx＝f＋Δx －fΔx＝12＋＋Δx －12＋3×1Δx ＝－3Δx ＋3ΔxΔx＝－3＋3Δx，所以f ′(1)＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li mΔx →0 －3＋3Δx ＝－325.(2)li m Δx →0 f x 0＋2Δx －f xΔx＝li m Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋2Δx －f x 02Δx ×2 ＝2li mΔx →0 f x 0＋2Δx －f x 02Δx＝2f ′(x 0)＝2×4＝8.[答案] (1)－325(2)8简称：一差、二比、三极限． ．瞬时变化率的变形形式 x 0＋－f x 0Δxf x 0－Δx －f x 0－Δxx 0＋x －f x 0Δxx 0＋－f x 0－Δx2Δx[活学活用]1．求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．解：因为Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx－()1－1 ＝Δx ＋Δx1＋Δx，所以Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx .当Δx →0时，ΔyΔx→2，所以函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数为2.2．已知f ′(1)＝－2，求li m Δx →0 f－2Δx －fΔx.解：li mΔx →0 f－2Δx －fΔx＝(－2)×li mΔx →0 f－2Δx －f－2Δx＝(－2)×(－2)＝4.层级一 学业水平达标1．已知函数f (x )＝1－2x 从x ＝1到x ＝2的平均变化率为k 1，从x ＝－2到x ＝－1的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＝k 2C ．k 1＜k 2D ．不确定解析：选B 由平均变化率的几何意义知k 1＝k 2.故选B.2．一个物体做直线运动，位移s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为s (t )＝5t 2＋mt ，且这一物体在2≤t ≤3这段时间内的平均速度为26 m/s ，则实数m 的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．6解析：选B 由已知，得s－s 3－2＝26，即(5×32＋3m )－(5×22＋2m )＝26，解得m ＝1，选B.3．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6B ．18C ．54D ．81解析：选B ∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32＝18Δt ＋3(Δt )2.∴Δs Δt＝18＋3Δt .∴li m Δt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (18＋3Δt )＝18，故应选B.4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b解析：选C f ′(x 0)＝li m △x －0 f x 0＋Δx －f xΔx＝li m △x －0(a ＋b ·Δx )＝a . 5．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3D ．0 解析：选C f ′(0)＝li m Δx →0 ＋Δx2－＋Δx －02＋3×0Δx＝li mΔx →0 Δx2－3ΔxΔx＝li mΔx →0 (Δx －3)＝－3.故选C. 6.如图是函数y ＝f (x )的图象．(1)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[2,4]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f－f 2－0＝12.(2)函数f (x )在区间[2,4]上的平均变化率为f－f 4－2＝5－12＝2. 答案：(1)12(2)27．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f ′(1)＝li m Δx →0 f＋Δx －fΔx＝li m Δx →0 a＋Δx ＋4－a ＋Δx＝a ，∴a ＝2.答案：28．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______． 解析：∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 答案：28π39．求函数y ＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝－12时该函数的平均变化率．解：当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f x 0＋Δx －fx 0Δx＝x 0＋Δx2＋3]－x 20＋Δx＝4x 0Δx ＋Δx2Δx＝4x 0＋2Δx .当x 0＝2，Δx ＝－12时，平均变化率的值为4×2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7. 10．求函数y ＝f (x )＝x 2＋x ＋1在x ＝1处的导数． 解：根据导数的定义： Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝(1＋Δx )2＋(1＋Δx )＋1－3 ＝(Δx )2＋3Δx ，则Δy Δx ＝Δx 2＋3Δx Δx ＝Δx ＋3， 所以f ′(1)＝li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 (Δx ＋3)＝3， 即函数f (x )＝x 2＋x ＋1在x ＝1处的导数为3.层级二 应试能力达标1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2解析：选 C Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－4＋2Δx＝Δx 2＋4ΔxΔx＝2Δx ＋4.2.甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲＞v 乙B ．v 甲＜v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定解析：选B 设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC ＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．3．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是s ，s 是单位是m)，则它在4 s 末的瞬时速度为( )A.12316m/s B.12516 m/sC ．8 m/sD.674m/s解析：选B 由已知，得物体在4s 末的瞬时速度为 li m Δt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 ＋Δt2＋34＋Δt －16－34Δt＝li mΔt →0 Δt2＋8Δt ＋－3Δt ＋ΔtΔt＝li m Δt →0 ⎝⎛⎭⎪⎫Δt ＋8－316＋4Δt ， ∴li m Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝12516. 4．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足li m Δx →0 f ΔxΔx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选B ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝li m Δx →0 f＋Δx －fΔx＝li mΔx →0 f ΔxΔx＝－1， ∴选B.5．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 解析：ΔsΔt＝t 0＋Δt2＋8－t 20＋Δt＝7Δt ＋14t 0，当li mΔx →0 (7Δt ＋14t 0)＝1时，t ＝t 0＝114. 答案：1146．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m ＝________.解析： f ′(x )＝li mΔx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝－2x2，于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2. 答案：±27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1x ，x >0，＋x 2，x ≤0求f ′(4)·f ′(－1)的值．解：当x ＝4时，Δy ＝－14＋Δx ＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx 4＋Δx ＋.∴Δy Δx ＝124＋Δx 4＋Δx ＋.∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 124＋Δx 4＋Δx ＋＝12×44＋＝116.∴f ′(4)＝116.当x ＝－1时，ΔyΔx ＝f －1＋Δx －f －Δx＝1＋－1＋Δx 2－1－－2Δx ＝Δx －2，由导数的定义，得f ′(－1)＝li m Δx →0 (Δx －2)＝－2， ∴f ′(4)·f ′(－1)＝116×(－2)＝－18.8．设函数f (x )在x 0处可导，求下列各式的值．(1)li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0Δx ；(2)li m Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 0＋5Δx Δx .解：(1)li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0Δx ＝－m li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0－m Δx ＝－mf ′(x 0)．(2)原式＝li m Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 0－[f x 0＋5Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 0Δx －li m Δx →0 f x 0＋5Δx －f xΔx＝4li m Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 04Δx －5li m Δx →0 f x 0＋5Δx －f x 05Δx＝4f ′(x 0)－5f ′(x 0)＝－f ′(x 0)．。
人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的概念》优质课教案_24
1.1.2导数的概念（一）教材分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时.导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.（二）教学目标（1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求函数在某点的导数及简单应用.（三）教学重点与难点重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.（四）教学过程1. 复习引入（1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式；（2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式.2. 合作探究在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度.探究一：瞬时速度的求解从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度.以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t26.5t 10.探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法.我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：(2) 我们如何表示运动员在t=2s 时的瞬时速度？ (3) 运动员在某一时刻t o 的瞬时速度怎样表示？设计意图：从特殊到一般，即从特殊点t=2上升到任意点t=t °瞬时速度的表示. (4) 函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率怎样表示？设计意图：舍弃具体变化率问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数. 探究二：导数的定义瞬时速度是平均速度—当览趋近于0时的极限.L t导数的定义：函数y =f(x)在x =x o 处的瞬时变化率是啊卡=|m f(xo：-f (xo)，我们称它为函数y = f(x)在x=x o 处的导数，记作 f (x o ) 或 y'U 即 f(x o )pm of(x x)—f(x o )注意：(1) 函数应在点X 。
21-22版：3.1.1 变化率问题~3.1.2 导数的概念（步步高）
学核心素养.
3 随堂演练
PART THREE
1.f(x)＝2x＋1在[1,2]内的平均变化率为
A.0
B.1
√C.2
D.3
解析 f(x)＝2x＋1 在[1,2]上的平均变化率为ΔΔxy＝f22－－1f1＝2.
12345
2.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是
√A.－1
B.1
C.2
D.－2
反思 感悟
求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1.
跟踪训练1 已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点
B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则
2 题型探究
PART TWO
一、函数的平均变化率
命题角度1 求函数的平均变化率 例1 求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为 1，哪一点附
3 近的平均变化率最大？
解 在x＝1附近的平均变化率为 k1＝f1＋ΔΔxx－f1＝1＋ΔΔxx2－1＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均变化率为 k2＝f2＋ΔΔxx－f2＝2＋ΔΔxx2－22＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均变化率为 k3＝f3＋ΔΔxx－f3＝3＋ΔΔxx2－32＝6＋Δx. 若 Δx＝13，则 k1＝2＋31＝37，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝139， 由于k1<k2<k3，故在x＝3附近的平均变化率最大.
lim
Δt→0
ΔΔst＝Δlitm→0
(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1，
则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念新人教A版选修
探究2：根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定 义，回答下列问题：
(1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的 物理意义分别是什么？
提示 瞬时变化率是平均变化率在Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔxy无限趋近的值；瞬时变化率的物理意义是指物体运 动的瞬时速度，平均变化率的物理意义是指物体运动的平 均速度．
(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？ 提示 函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点 处的导数．
课堂探究案·核心素养提升
题型一 求函数的平均变化率
例1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的
平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的 值．
【自主解答】 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0
【答案】
1 (1)2
(2)见自主解答
●规律总结
1.求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
2．瞬时变化率的几种变形形式
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
2×12＝5.
题型二 求函数在某点处的导数
例2 (1)函数 y＝ x在 x＝1 处的导数为________．
(2)如果一个质点由定点 A 开始运动，在时间 t 的位 移函数为 y＝f(t)＝t3＋3，
①当 t1＝4，Δt＝0.01 时，求Δy 和比值ΔΔyt； ②求 t1＝4 时的导数．
【自主解答】 (1)Δy＝ 1＋Δx－1， ΔΔxy＝ 1＋ΔΔxx－1＝ 1＋Δ1 x＋1，
＋
Δ
x]
上
的
平
均
变
化
率
为
f（x0＋Δx）－f（x0） （x0＋Δx）－x0
＝
[3（x0＋Δx）2＋2]－（3x20＋2） Δx
高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课件3 新人教A版选修11
=(2+Δt)2+3(2+Δt)-(22+3×2)
=(Δt)2+7Δt
所以 s (t)2 7t t 7.
t
t
所以当Δt趋近于0时, 趋s 近于7.故该物体在2s时的
t
瞬时速度是7m/s.
4.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率
是
.
【解析】 y f 3 f 1 1 3 1.
x
数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个 固定值.
特别提醒:“Δx无限趋近于0”的含义: Δx趋于0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给 定的任意小的正数,且始终Δx≠0.
类型一 求函数的平均变化率
【典例】1.一物体的运动方程是s=3+2t,则在[2,2.1]
这段时间内的平均速度是 ( )
x 3 1 3 1
答案:-1
5.函数y=f(x)= 1 在x=1处的瞬时变化率为
.
x
【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)= 1 1 x ，
1 x 1 1 x
所以 y 所1 以，当Δx趋近于0时, 趋近于y -1.
x 1 x
x
故函数f(x)在x=1处的瞬时变化率为-1.
答案:-1
【知识探究】 探究点1 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的改变量Δx 是否可以为任意实数,Δy呢? 提示:在平均变化率的定义中,改变量Δx可正、可负, 但不能等于0;而Δy可以为任意实数.
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
【自主预习】
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
高考数学一轮复习 第三章导数及其应用3.1导数、导数的计算教学案 理
第三章 导数及其应用3.1 导数、导数的计算考纲要求1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义，求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．1．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y =.2．导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每一个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是在区间(a ，b )内____构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′.3．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________．45(1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝__________(g (x )≠0)． 6．复合函数的导数设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数y ＝f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝________，即y ′x ＝________.1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 22．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )． A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末D ．1秒末和2秒末3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1)4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )．A ．－1B ．－2C ．2D ．05．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________．6．y ＝sin 2x 的导数为__________． 一、根据导数的定义求函数的导数【例1－1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2f (x )－3x －2＋1的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．方法提炼1．根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法．确定y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数有两种方法：一是导数的定义法，二是导函数的函数值法．2．求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的求解步骤：请做演练巩固提升1二、利用求导公式、法则求导 【例2】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －3)2； (2)y ＝tan x ；(3)y ＝x 2＋2x ＋5. 方法提炼一般来说，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数的要先化简；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式．请做演练巩固提升2三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程． 方法提炼1．求曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线方程(1)求出函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)即为曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率；(2)由切点(x 0，f (x 0))和斜率f ′(x 0)，用点斜式写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再化为一般式即可．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.2．求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线方程可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)解出x 1，进而确定过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 1)(x －x 0)，再化为一般式即可．3．“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点．无论是求函数在某点的切线还是过某点的切线，首先都是求(或设)切点坐标得出切线的斜率，再解决问题．曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不止一条．请做演练巩固提升4对“在某点处”与“过某点”字眼的区分【典例】若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x－9都相切，则a 等于( )．A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：因为点(1,0)不在曲线y ＝x 3上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切求a 的值．设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 03)，所以切线方程为y －x 03＝3x 02(x －x 0)，即y ＝3x 02x －2x 03.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A ．答案：A答题指导：1．在解答本题时有两个易错点：(1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系，而必须设出切点．2．解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；(2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握； (3)对于直线的方程与斜率公式的求解，要熟练掌握．1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )．A ．2B ．－1C ．1D ．－22．y ＝cos(x 2＋3)的导数y ′＝__________.3．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________．4．(2012安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a ＞0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2．f ′(x )3．y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)4．nx n －1 cos x －sin x a xln a (a ＞0)e x1x ln a (a ＞0，且a ≠1) 1x5．(1)f ′(x )±g ′(x )(2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]26．f ′(u )·v ′(x ) y u ′·u x ′ 基础自测1．C 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝4＋2Δx . 2．D 解析：∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1，t 2＝2.3．C 解析：y ′＝3x 2，∴3x 2＝3. ∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1.4．B 解析：∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．4x －y －3＝0 解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x 3,4x 03＝4， ∴x 0＝1.∴y 0＝1.∴l 的方程为4x －y －3＝0. 6．y ′＝2cos 2x 考点探究突破【例1－1】C 解析：令Δx ＝x －2，则lim x →2f (x )－3x －2＋1 ＝lim Δx →0f (Δx ＋2)－f (2)Δx＋1 ＝f ′(2)＋1＝2＋1＝3.【例1－2】解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx ).∴Δy Δx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11＋Δx (1＋1＋Δx ) ＝－12.∴f ′(1)＝－12.【例2】解：(1)y ′＝(4x 2－12x ＋9)′＝8x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′ ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x＝1cos 2x. (3)y ′＝(x 2＋2x ＋5)′ ＝12(x 2＋2x ＋5)－12·(2x ＋2)＝x ＋1x 2＋2x ＋5.【例3】解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为：y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率为：0|x x y '=＝x 02.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3 x 02＋4＝0，∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0，∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则x 02＝1，x 0＝±1，切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎪⎫1，53，∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0. 演练巩固提升1．B 解析：lim x →0f (1)－f (1－2x )2x＝lim x →0f (1－2x )－f (1)－2x＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.2．－2x sin(x 2＋3) 解析：y ′＝[cos(x 2＋3)]′＝2x ·[－sin(x 2＋3)]＝－2x sin(x 2＋3)．3．(－∞，0) 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x(x ＞0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，即3ax 2＋1x ＝0有解，a ＝－13x3.∵x ＞0，∴－13x 3＜0.∴a ＜0.4．解：(1)(方法一)由题设和基本不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，其中当且仅当ax ＝1时，等号成立，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(方法二)f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上递增； 当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上递减．所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(2)f ′(x )＝a －1ax 2.由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.。
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.1知识点总结含同步练习及答案
当点 Pn 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线 P Pn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P T 称为点 P 处的切线（tangent line）． 割线 P Pn 的斜率是
kn =
f (x n ) − f (x 0 ) . xn − x0
当点 Pn 无限趋近于点 P 时， kn 无限趋近于切线 P T 的斜率． 函数 f (x) 在 x0 处的导数 f ′ (x0 ) 的几何意义，就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x 0 ) 处的导数就是切线 P T 的斜率 k ，即
y ′ ，即 f ′ (x) = y ′ = lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x) ． Δx
例题： 求函数 y = 2 2 + 5 在区间 [2, 2 + Δx] 上的平均变化率，并计算当 Δx = 1 时，平均变化率的值． x 解：因为
2
Δy = 2 × (2 + Δx)2 + 5 − (2 × 2 2 + 5) = 8Δx + 2(Δx)2 ,
高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数
一、学习任务 1. 2.
了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义． 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵．
二、知识清单
数列极限与函数极限 变化率与导数
三、知识讲解
1.数列极限与函数极限 描述： 数列极限 设 {xn } 为实数数列，a 为常数．若对任意给定的正数 ε ，总存在正整数 N ，使得当 n > N 时，有 |x n − a| < ε ，则称 数列 {x n }收敛于 a ，常数 a 称为数列 {x n } 的极限．并记作
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题》优质课教案_6
3.1.1 变化率问题内容和内容解析：变化率是建立数学重要概念——导数的基石，对理解导数概念及其几何意义有着重要作用。
新课标对此有明确阐述：通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。
变化率是一个重要的过渡性概念，是“进军”导数的必经之路。
对变化率概念意义的建构直接影响导数概念的学习。
目标和目标解析：1、通过微积分发展史的认识，了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的精神与智慧；2、通过实例，理解平均变化率及其几何意义，初步感受以直代曲的思想；能计算函数的平均变化率；3、通过实例，培养学生将实际问题抽象成数学问题的能力。
教学问题诊断分析：微积分概念的产生、形成、建立、完善经历了一个漫长的过程，在这个过程中，极限思想的形成到数学化经过了无数数学家的努力。
两千年的形成的一个知识，学生需要在十几个课时就要接受，他们最大的困难也在对极限思想的理解。
平均变化率是理解瞬时变化率的基础，虽然平均变化率的定义很简单，运用也很简单，但是理解以直代曲的意识，极限的思想是这节课要给建立的基本意识。
另外如何用平均变化率解决实际问题，关键在于能不能把实际问题转化为数学问题，这也是学生遇到的难点。
例如温度突降，突增；吹气球时为什么越到后面膨胀越来越慢。
学生需要把生活常识与数学联系起来，并解决它，是难点。
本节课存在大量的计算，对于文科生，公式多了，计算量大了，都对他们是考验。
这也是这节课面临一个难点。
教学支持条件分析：学情分析：作为文科生，数学是他们的拦路虎。
部分文科生就是因为数学不好才选择文科，我现在班上学生就是这样的情况。
班级优势：我班一共只有31名学生，我会在上课期间用大量的时间巡视他们的书写过程，并在课堂及时个别辅导。
技术手段：本节课需要动态演示，我利用了几何画板；并且利用投影将学生书写当面批改。
教学过程设计：一、启中入在物理上，我们会遇到这样的问题：1、如图1，从图象我们可以得知：物体是匀速运动，物体在不同时刻的速度都是一样的。