变化率与导数的概念
变化率与导数
变化率与导数、导数的运算课前双击巩固1.变化率与导数 (1)平均变化率: 概念 对于函数y=f (x ),f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1=Δy Δx 叫作函数y=f (x )从x 1到x 2的 变化率几何 意义 函数y=f (x )图像上两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))连线的物理 意义 若函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则ΔyΔx 就是该质点在[x 1,x 2]上的 速度(2)导数:概念点x 0处 limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx,我们称它为函数y=f (x )在 处的导数,记为f'(x 0)或y'|x=x 0,即f'(x 0)=limΔx→0ΔyΔx= lim Δx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx区间 (a ,b )当x ∈(a ,b )时,f'(x )=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0 叫作函数在区间(a ,b )内的导数几何 意义 函数y=f (x )在点x=x 0处的导数f'(x 0)就是函数图像在该点处切线的 .曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是物理 意义 函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 0处的导数就是质点在x=x时的 速度,在(a ,b )内的导数就是质点在(a ,b )内的 方程2.导数的运算 常用 导数 公式原函数导函数特例或推广常数函数 C'=0(C 为常数)幂函数(x n)'= (n ∈Z )1x'=-1x 2三角函数(sin x)'=,(cos x)'=偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(a x)'=(a>0且a≠1) (e x)'=e x对数函数(log a x)'=(a>0且a≠1)(ln x)'=1x,(ln|x|)'=1x四则运算法则加减[f(x)±g(x)]'=(∑i=1nf i(x))'=∑i=1nf'i(x)乘法[f(x)·g(x)]'=[Cf(x)]'=Cf'(x) 除法f(x)g(x)'=(g(x)≠0)1g(x)'=-g′(x)[g(x)]2复合函数导数复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”题组一常识题1.[教材改编]向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.2.[教材改编]已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位:元)为c(x)=5284100−x(80<x<100),当净化到纯净度为98 %时费用的瞬时变化率为.3.[教材改编] y=sin(πx+φ)的导数是y'=.4.[教材改编]曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于.题组二常错题◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x 0)与[f (x 0)]',f'(ax+b )与[f (ax+b )]'的区别.5.函数f (x )=x 2在区间[1,2]上的平均变化率为 ,在x=2处的导数为 .6.已知函数y=sin 2x ,则y'= .7.已知f (x )=x 2+3xf'(2),则f (2)= .8.已知f (x )=x 3,则f'(2x+3)= ,[f (2x+3)]'= .课堂考点探究探究点一 导数的运算1(1)函数f (x )的导函数为f'(x ),且满足关系式f (x )=x 2+3xf'(2)-ln x ,则f'(2)的值为( )A.74 B.-74 C.94 D.-94(2)已知f (x )=-sin x2(1−2cos 2x4),则f'(π3)= .[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆. 式题 (1)函数y=sinx x 的导数为y'= .(2)已知f (x )=(x+1)(x+2)(x+a ),若f'(-1)=2,则f'(1)= . 探究点二 导数的几何意义考向1 求切线方程2 函数f (x )=e x·sin x 的图像在点(0,f (0))处的切线方程是 .[总结反思] (1)曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意过某点的切线和曲线上某点处的切线的区别. 考向2 求切点坐标3设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )A.ln 2B.-ln 2C.ln22 D.-ln22[总结反思] f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标.考向3求参数的值4已知曲线C在动点P(a,a2+2a)与动点Q(b,b2+2b)(a<b<0)处的切线互相垂直,则b-a的最小值为( )A.1B.2C.√2D.-√2[总结反思](1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意:①曲线上横坐标的取值范围;②切点既在切线上又在曲线上.强化演练1.【考向1】已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=02.【考向3】直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于( )A.2B.-1C.1D.-23.【考向2】已知在平面直角坐标系中,f(x)=aln x+x的图像在x=a处的切线过原点,则a=( )A.1B.eC.1eD.04.【考向2】若曲线y=xln x在点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.5.【考向1】函数f(x)=xe x的图像在点P(1,e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.。
1.1.1变化率问题与导数概念
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度 统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还 快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95 奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪 录，他的平均速度达到8.52m/s。
1.1.1 变化率问题
问题1
吹气球
的值为-13.1 .
探1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度 究 怎样表示？ ？
瞬时速度，即是时间增量趋近于0时某一时刻的速度， 由极限的观点可知：当t 0, 时，
h t0Байду номын сангаас t h t0 瞬时速度为： lim t 0 t
2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？
观 察 ？
当△t趋近于0时，平均 速度有什么样的变化趋 势？
我们发现：当△t趋近于0时，即无论t从 小于2的一边，还是从大于2的一边趋近 v 于2时，平均速度 都趋近于一个确定 的值-13.1。
从物理的角度看： 时间间隔| △t |无限变小时，平均速度 v 就无限趋近于t=2时的瞬时速度。 所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
y f (x 2 ) f (x1 ) f (x 1 x) f (x 1 ) x x x 2 x1
问题: 平均变化率的几何意义是什么?
y f (x 2 ) f (x 1 ) x x 2 x1
y 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy), 则 =( x
)
A、3
B、3Δx-(Δx)2 D、3-Δx
C 、 3-(Δx)2
导数与函数的变化率关系解析与归纳
导数与函数的变化率关系解析与归纳在微积分中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
函数的变化率是指函数的输出值随着输入值变化而变化的快慢程度。
导数不仅对于研究函数的性质和特征有着重要的作用，还在物理学、经济学等多个领域中具有广泛的应用。
本文将解析导数与函数的变化率之间的关系，并对导数的性质进行归纳和总结。
1. 导数的定义在数学中，函数f(x)在x点处的导数可以通过极限的概念定义为：f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，h表示自变量的增量。
导数可以理解为函数在该点附近的平均变化率。
2. 变化率与导数的关系函数的变化率与导数密切相关。
导数可以用来描述函数在某一点的瞬时变化率，即函数在该点处的瞬时变化速度。
具体来说，如果函数在某点的导数为正，说明函数在该点处递增；如果函数的导数为负，说明函数在该点处递减；如果函数的导数为零，说明函数在该点处取得极值。
3. 导数与函数的性质导数具有许多重要的性质，这些性质对于研究函数的变化率和特征非常有用。
以下是几个常见的导数性质：- 导数的可导性：几乎所有常见的函数都具有导数。
只有在某些特殊的情况下，函数可能不可导。
例如，函数在某一点处的导数不存在，当且仅当该点存在间断、角点或垂直切线。
- 导数的线性性质：导数具有线性运算的性质。
即，对于任意常数a 和b，以及函数f(x)和g(x)，有以下成立：- [af(x) + bg(x)]' = af'(x) + bg'(x)- 导函数的乘积法则：对于两个函数f(x)和g(x)，其乘积的导数可以通过以下公式计算：- [f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)- 链式法则：对于复合函数，可以使用链式法则计算导数。
链式法则是导数运算中的一种基本规则。
函数的导数与变化率
函数的导数与变化率函数的导数是微积分中的基础概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。
在实际问题中，我们经常需要了解一个函数在某一点的变化情况，以便更好地理解问题的本质和解决方法。
本文将详细介绍函数的导数的概念、性质以及在实际应用中的意义和计算方法。
一、导数的概念函数的导数是函数变化率的度量，表示了函数在某一点上的变化速度。
形式上，设函数y=f(x)，若该函数在点x处的导数存在，则导数被定义为：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，f'(x)表示函数在点x处的导数，h表示自变量x的变化量。
导数的定义是一个极限的概念，表示了自变量逐渐接近某一点时，函数变化的趋势。
二、导数的性质1. 导数的存在性函数在某一点上的导数存在的充分条件是函数在该点附近连续，并且左右导数相等。
2. 导数与函数图像的关系函数的导数可以反映函数图像的一些特征，比如导数正值表示函数在该点上升，导数负值表示函数在该点下降，导数等于零表示函数在该点取得极值。
3. 导数的计算法则导数具有一组计算法则，可以用于计算各种复杂函数的导数。
常见的导数运算法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则和商数法则等。
三、变化率与导数的关系函数的导数即为函数在某一点上的变化率。
当自变量的变化量很小时，导数可以近似地表示函数的变化率。
函数的变化率可以分为平均变化率和瞬时变化率两种。
平均变化率是指函数在两个点之间的变化率，可以通过函数的增量和自变量的增量来计算。
瞬时变化率是指函数在某一点上的瞬时变化率，可以通过函数的导数来求得。
四、导数在实际应用中的意义导数在实际问题中有着广泛的应用。
以物理学为例，速度即为位移对时间的导数，加速度即为速度对时间的导数。
在经济学中，边际成本和边际收益也可以通过导数来计算和分析。
导数还可以用于优化问题、曲线拟合和图像处理等领域。
五、导数的计算方法为了计算导数，我们可以利用导数的定义进行计算，也可以利用导数的运算法则简化计算过程。
【精品课件】3.1.1-2变化率问题与导数的概念
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
变化率与导数
变化率与导数
变化率与导数是微积分中的重要概念，它们能够帮助我们准确地表达和计算特定函数在特定点的斜率。
变化率可以定义为一个函数在某一点的变化量与该点前后变化量之比。
其定义式如下:
变化率 = 变化量/原始量
其中，变化量就是位于某一点处曲线上的一段段区域的变化量，而原始量则是位于曲线前后的一段段区域的变化量。
变化率的单位一般用“%”或者“1/X”表示，其中X 代表原始量。
变化率是一个值，用来估计特定函数在特定点处的变化情况。
当我们想要更加精确地表达函数变化情况时，就需要使用导数。
导数是变量x的函数y在x处的一阶微分，也就是某一点处函数的斜率。
它可以用下面的公式来表示:
dy/dx=f'(x)
其中，f'(x) 是函数y关于x的导数，它可以表示函数y在x处的斜率，也就是函数y在x处的变化速率。
因此，导数有助于我们更精确地表达函数的变化情况，它可以表示函数在特定点处的变化速度。
总之，变化率与导数都是微积分中重要的概念，它们都是用来表示函数在特定点处的变化情况。
变化率用来表
示函数在特定点处的变化量与原始量之比，而导数则是根据函数的一阶微分来表示函数在特定点处的斜率，从而表示函数在特定点处的变化速率。
导数与变化率的概念与计算方法
瞬时变化率
定义：瞬时变化 率是指在某一时 刻附近，函数值 随自变量变化的
趋势和快慢
计算方法：通 过求导数来计 算瞬时变化率
几何意义：瞬 时变化率可以 理解为函数图 像在该点的切程学等领域有广 泛的应用，如速 度、加速度等物
理量的计算
变化率的几何意义
变化率描述的是函数图像上两点间距离的相对变化 变化率等于函数图像上切线斜率 变化率可用于分析函数图像的形状和趋势 变化率的概念在导数定义中有着基础地位
热传导：导数可以用来描述热量的传递过程，例如物体温度随时间的变化规律和热传导方程的求 解。
电磁学：导数可以用来描述电场和磁场的变化规律，例如电场强度和磁场强度的计算。
导数在经济分析中的应用
边际分析：导数 用于研究经济活 动中各变量的变 化趋势和极限状 态，帮助决策者 做出最优决策。
弹性分析：导数 用于计算各种经 济指标的弹性， 从而分析各因素 对经济指标的影 响程度。
利用导数求瞬时变化率
定义：导数描述 了函数在某一点 处的切线的斜率
计算方法：通过 求导公式或导数 定义进行计算
应用场景：在物理学、 工程学等领域中，利 用导数求瞬时变化率 具有广泛的应用
注意事项：导数在 某些点可能不存在， 需要注意函数的可 导性
导数与变化率的 应用
导数在几何中的应用
导数在研究曲线上某点的切线 斜率中应用
经济分析：在经济学中， 变化率用于分析经济增 长、通货膨胀和利率等 经济指标的变化情况。
预测模型：在气象学 和统计学中，变化率 用于建立预测模型， 例如预测股票价格和 天气变化趋势。
控制系统：在控制工 程中，变化率用于设 计和分析控制系统， 例如调节汽车发动机 的油门和温度。
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2022数学第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的运算教师文档教案文
第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页［基础梳理］1．导数的概念（1）函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝错误!为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝错误!＝．(2）导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．（3）函数f（x)的导函数称函数f′(x)＝错误!为f(x)的导函数．2原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′(x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊）f′(x)＝αxα－1f(x）＝sin x f′(x)＝cos__xf(x）＝cos x f′（x）＝－sin__xf（x）＝a x(a＞0，且a≠1）f′（x)＝a x ln__af(x）＝e x f′（x）＝e x f(x)＝log a x（a＞0,且a≠1）f′(x）＝错误!f（x)＝ln x f′（x)＝错误!3.导数的运算法则（1）[f(x)±g(x）］′＝f′(x）±g′(x)．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x)．（3）错误!′＝错误!(g（x）≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点，如(x n）′＝nx n－1中,n≠0且n∈Q*.错误!′＝错误!，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′（x0)代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；(f（x0））′是函数值f(x0）的导数,而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)）′＝0.(2）f′（x)是一个函数，与f′(x0）不同．3．（1）“过”与“在”：曲线y＝f（x)“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前者P（x0，y0)为切点，而后者P（x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．（基础点：求导数值)若f(x）＝x·e x，则f′（1)等于(）A．0B．eC．2e D．e2答案：C2．（易错点：导数的运算)已知f（x)＝x·ln x,则f′（x）＝（) A。
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变化率与导数的概念
上课时间： 上课教师： 上课重点： 上课规划： 一 变化率问题 （一）平均变化率
函数平均变化率的定义：一般地，函数)(x f y =,)(,2121x x x x ≠是其定义域内
不同的两点，那么函数的变化率可用式子1
212)
()(x x x f x f --表示，我们把这个式
子称为函数)(x f y =
从1x 到2x 的平均变化率。
习惯上用12x x x -=∆，可把x ∆看
作相对于1x 的一个“增量”，可用x x ∆+1代替2x ：类似地，)()(12x f x f y -=∆，
于是平均变化率可以表示为
x
y ∆∆=
x
x f x x f ∆-∆+)
()(00。
平均变化率的几何意义是过函数曲线上的两点的割线的斜率，若函数
)(x f y =
图像上有两点A ))(,(11x f x ，B ))(,(22x f x ，则
AB
k x x x f x f =--1
212)
()(，平均
变化率就是曲线陡峭程度的“数量化”。
例题1：求函数652+=x y 在区间【2,2+x ∆】内的平均变化率
1.求余弦函数x y cos =在区间⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡
2,
3
ππ
上的平均变化率
2.作自由落体运动的物体的运动方程为2
21gt
s =，计算t 从3s 到3.1s ，
3.01s ，3.001s 各时间段内的平均速度。
3.已知某质点按规律t t s 222+=作直线运动（位移s 的单位为m), 求：（1）该质点在前s 3内运动的平均速度： （2）质点在s 2到s 3这段时间内运动的平均速度
（二）瞬时速度（设物体运动的路程与时间的关系是)(t s s =，当t ∆趋近于0
时，函数)(t s 在0
t 到t
t ∆+0之间的平均变化率
x
t s t t s ∆-∆+)
()(00趋近于一个常
数，我们把这个常数称为0t 时刻的瞬时速度，瞬时速度一般用
x
t s t t s t ∆-∆+→∆)
()(lim
000
表示。
例题：作自由落体运动的物体的运动方程为2
2
1gt s =
)/.89(2
s m g 取，
求物体在s t 3=这样时刻的速度。
补充：求物体在s t 5.2=时刻的速度。
1.以初速度)0(0
0>v v 作竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为2
021)(gt
v t s -
=，
求物体在时刻0t 时的瞬时速度。
枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度25/105s m a ⨯=，枪弹从枪口射出时所用的时间为s 3106.1-⨯。
求签单射出时的瞬时速度。
二 导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量
y
∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x
y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间
的平均变化率，即x
y ∆∆=
x
x f x x f ∆-∆+)
()(00。
如果当0→∆x 时，x
y ∆∆有极限，我
们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0
x x =。
即f （x 0）=0
lim
→∆x x
y ∆∆=0
lim →∆x x
x f x x f ∆-∆+)
()(00。
简记：一差二比三极限 例题：求函数2
x
y =在1=x 处的导数
1.利用导数的定义求下列函数的导数 （1）b ax x y ++=2
在
x=0处的导数
（2）x
y 1=在x=1处的导数
2.设函数2)(3+=ax x f ，若3)1('=-f ，则=a （ ）
3.利用导数的定义求函数1)(2+=x x f 在
x=0处的导数
常见题型 导数与极限 f （x 0
）=
lim
→∆x x
y ∆∆=
lim
→∆x x
x f x x f ∆-∆+)
()(00=
lim
→∆x x
h x f x h x f ∆-∆+)
()(00
=0
lim →∆x )()()
()(00g h x
g h x g x f x h x f ≠∆-∆+-∆+（重点知识）（与x ∆的系数没有关系）
1、设
)(x f 在 x x
=处可导，且0
lim
→∆x x
x f x x f ∆-∆+)
()3(00=1，则)(' x f 等于（ ）
A.1
B.0
C.3
D.3
1
2、设()f x 在0
x 可导，则(
)()
00
3lim x f x
x f x x x
∆→+∆--∆∆等于（ ）
A ．()0
2f x ' B ．()0
f x ' C ．()0
3f x ' D ．()0
4f x '
3、若0
(2)()lim 13x f x x f x x
∆→+∆-=∆，则0
()f x '等于（ ）
A ．23
B ．32
C ．3
D ．2
4、设()f x 在x 处可导，a b ，为非零常数，则0
()()
lim
x f x a x f x b x x
∆→+∆--∆=∆（ ）．
A ．()f x '
B ．()()a b f x '+
C ．()()a b f x '-
D ．()f x ' 5、设
(3)4f '=，则0
(3)(3)
lim
2h f h f h
→--=
（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．3-
D ．1 6、已知1()f x x
=，则0
(2)(2)
lim x f x f x
∆→+∆-
∆的值是（ ）
A ．14
- B ．2 C ．14
D ．2-
7、若()1'0=x f ，则x
x f x x f x ∆-∆-→∆2)
()(lim 000
= 8、若12)
()5(lim
000=∆-∆+→∆x
x f x x f x ,则()=
0'x f
9.、若0
()lim
1
x f x x
→=，则0
(2)lim
x f x x
→=
________．
10、若1
(1)lim 1
1
x f x x →-=-，则1
(22)lim
1
x f x x →-=
-_______．
11、若()2f a '=，则当h 无限趋近于0时，
()()
2f a h f a h
--
=______．
12、已知函数2
()8f x x
x
=+，则0
(12)(1)
lim x f x f x
∆→-∆-∆的值为 ．
总结:关键是构造()0'x f 的极限式，与题中的条件的构造形式相一致 f （x 0
）=
lim
→∆x x
y ∆∆=
lim
→∆x x
x f x x f ∆-∆+)
()(00=
lim
→∆x x
h x f x h x f ∆-∆+)
()(00
=0
lim
→∆x )()()
()(00g h x
g h x g x f x h x f ≠∆-∆+-∆+（重点知识）（与x ∆的系数没有关系）。