苏科版数学八年级上第3章勾股定理综合提优卷含答案
2019年苏科版数学八年级上3.1勾股定理同步练习含答案解析
3.1 勾股定理一．选择题（共14小题）1．（2019•荆门）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．10第1题第2题2．（2019•漳州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个3．（2019•株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2019•杭州）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0 C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=0 5．（2019•济南）如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的两个顶点A、B分别落在直线l1、l2上，∠ACB=90°，若∠1=15°，则∠2的度数是（）A．35°B．30°C．25°D．20°第5题第6题6．（2019•黔东南州）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．1697．（2019•青海）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（）A．（）6B．（）7C．（）6D．（）78．（2019•淄博）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2C．D．10﹣59．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b ＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（）A．b2+（b﹣a）2B．b2+a2C．（b+a）2D．a2+2ab第9题第10题10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°二．填空题（共8小题）11．（2019•安顺）如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=___度．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，D为线段AB的中点，则∠ACD=______．第11题第12题第13题13．（2019•绥化）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=，则AE=______（提示：可过点A作BD的垂线）14．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值为______．第13题第15题第16题15．如图，Rt△ABC的周长为，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN．若这两个正方形的面积之和为25 cm2，则△ABC的面积是______ cm2．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是______．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，以AC为斜边作Rt△ACC1，使∠CAC1=30°，Rt△ACC1的面积为S1；再以AC1为斜边作△AC1C2，使∠C1AC2=30°，Rt △AC1C2的面积记为S2，…，以此类推，则S n=______（用含n的式子表示）18．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，点G在直角边BC上，BG=5，CG=1，将△DEF的顶点D放在直角边AC上，直角边DF经过点G，斜边DE经过点B，则CD=______．三．解答题（共6小题）19．（2019•益阳）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．20．作图题：如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形．（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为5；（2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，请画出所有满足条件的点C．21．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上______；（2）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为______．22．一、阅读理解：在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若∠C为直角，则a2+b2=c2；（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2；（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．23．在Rt△ABC中，∠C=90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB于H，延长CH交MN于点I．（1）如图（1）若AC=3，BC=2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．（2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2=AB2．参考答案与解析一．选择题（共14小题）1．（2019•荆门）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．10【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，故选C．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．2．（2019•漳州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．【解答】解：过A作AE⊥BC，∵AB=AC，∴EC=BE=BC=4，∴AE==3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD=3或4，∵线段AD长为正整数，∴点D的个数共有3个，故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值范围．3．（2019•株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a2+b2=c2．（1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．（3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．【解答】解：（1）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．（2）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．（3）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．（4）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．综上，可得面积关系满足S1+S2=S3图形有4个．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．（2）此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握．4．（2019•杭州）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0 C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=0【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2=（n﹣m）2，整理即可求解【解答】解：如图，m2+m2=（n﹣m）2，2m2=n2﹣2mn+m2，m2+2mn﹣n2=0．故选：C．【点评】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系．5．（2019•济南）如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的两个顶点A、B分别落在直线l1、l2上，∠ACB=90°，若∠1=15°，则∠2的度数是（）A．35°B．30°C．25°D．20°【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAB=45°，根据平行线的性质可得∠2=∠3，进而可得答案．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∵l1∥l2，∴∠2=∠3，∵∠1=15°，∴∠1=45°﹣15°=30°，故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．6．（2019•黔东南州）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．169【分析】根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：c2=a2+b2=13，4×ab=13﹣1=12，即2ab=12，则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25，故选C【点评】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．7．（2019•青海）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（）A．（）6B．（）7C．（）6D．（）7【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分S n的值，根据数的变化找出变化规律“S n=（）n﹣3”，依此规律即可得出结论．【解答】解：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴S2+S2=S1．观察，发现规律：S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，…，∴S n=（）n﹣3．当n=9时，S9=（）9﹣3=（）6，故选：A．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“S n=（）n﹣3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S n的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．8．（2019•淄博）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2C．D．10﹣5【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE﹣BG=2、HE=CH﹣CE=2、∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长．【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），AG2+BG2=AB2，∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE﹣BG=8﹣6=2，同理可得HE=2，在RT△GHE中，GH===2，故选：B．【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键．9．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b ＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（）A．b2+（b﹣a）2B．b2+a2C．（b+a）2D．a2+2ab【分析】先求出AE即DE的长，再根据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：∵DE=b﹣a，AE=b，∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）•b=b2+（b﹣a）2．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB与∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再由折叠的性质得到∠CA′D=∠A，而∠CA′D为三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性质即可求出∠A′DB的度数．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，∴∠B=180°﹣90°﹣55°=35°，由折叠可得：∠CA′D=∠A=55°，又∵∠CA′D为△A′BD的外角，∴∠CA′D=∠B+∠A′DB，则∠A′DB=55°﹣35°=20°．故选：C．【点评】此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2019•安顺）如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=45度．【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵m∥n，∴∠1=45°；故答案为：45．【点评】此题考查了等腰直角三角形和平行线的性质，用到的知识点是：两直线平行，同位角相和等腰直角三角形的性质；关键是求出∠ABC的度数．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，D为线段AB的中点，则∠ACD=50°．【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠A=50°．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD=AD，则等边对等角，即∠ACD=∠A=50°．【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，∴∠A=50°．∵D为线段AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=∠A=50°．故答案是：50°．【点评】本题考查了直角三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．13．（2019•绥化）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=，则AE=2（提示：可过点A作BD的垂线）【分析】过A作AF⊥BD，交BD于点F，由三角形ABD为等腰直角三角形，利用三线合一得到AF为中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AF的长，在直角三角形AEF中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AE的长即可．【解答】解：过A作AF⊥BD，交BD于点F，∵AD=AB，∠DAB=90°，∴AF为BD边上的中线，∴AF=BD，∵AB=AD=，∴根据勾股定理得：BD==2，∴AF=，在Rt△AEF中，∠EAF=∠DCA=30°，∴EF=AE，设EF=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：x2+3=4x2，解得：x=1，则AE=2．故答案为：2【点评】此题考查了勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．14．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值为25．【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=13，四个直角三角形的面积是：ab×4=13﹣1=12，即：2ab=12则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．故答案是：25．【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．15．如图，Rt△ABC的周长为，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN．若这两个正方形的面积之和为25 cm2，则△ABC的面积是5cm2．【分析】根据正方形的面积公式，勾股定理求得a2=c2+b2=25，据此可以求得a=5．又由Rt△ABC的周长为可以求得b+c=3，所以△ABC的面积=bc= [（c+b）2﹣（c2+b2）]．【解答】解：如图，a2=c2+b2=25，则a=5．又∵Rt△ABC的周长为，∴a+b+c=5+3，∴b+c=3（cm）．∴△ABC的面积=bc= [（c+b）2﹣（c2+b2）]÷2= [（3）2﹣25]÷2=5（cm2）．故答案是：5．【点评】本题考查了勾股定理的应用．解答此题时，巧妙地运用了完全平方公式的变形来求△ABC的面积．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是 1.5．【分析】连接DF，由勾股定理求出AB=5，由等腰三角形的性质得出CE=DE，由线段垂直平分线的性质得出CF=DF，由SSS证明△ADF≌△ACF，得出∠ADF=∠ACF=∠BDF=90°，设CF=DF=x，则BF=4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：连接DF，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∵AD=AC=3，AF⊥CD，∴CE=DE，BD=AB﹣AD=2，∴CF=DF，在△ADF和△ACF中，，∴△ADF≌△ACF（SSS），∴∠ADF=∠ACF=90°，∴∠BDF=90°，设CF=DF=x，则BF=4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2=BF2，即x2+22=（4﹣x）2，解得：x=1.5；∴CF=1.5；故答案为：1.5．【点评】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，以AC为斜边作Rt△ACC1，使∠CAC1=30°，Rt△ACC1的面积为S1；再以AC1为斜边作△AC1C2，使∠C1AC2=30°，Rt△AC1C2的面积记为S2，…，以此类推，则S n=（用含n的式子表示）【分析】首先计算得出△ABC1的面积，进一步利用含30°角的直角三角形的特性以及勾股定理求得Rt△AC1C2和Rt△AC2C3的面积，找出规律得出结论．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，∴BC=AB=2，∴AC=BC=2，∴S△ABC=•BC•AC=2，在△ABC1中，∵∠CAC1=30°，∴CC1═AC=，∵∠BAC=∠CAC1，∠ACB=∠AC1C=90°，∴△ACB∽△AC1C，∴=（）2=（）2=，∴S1=•S△ABC，同理可得，S2=•S1=（）2•S△ABC，S3=（）3•S△ABC，…根据此规律可得，S n=（）n•S△ABC=，故答案为．【点评】此题考查勾股定理、含30°角直角三角形的性质以及三角形的面积等知识点，规律型题目，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会找规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．18．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，点G在直角边BC上，BG=5，CG=1，将△DEF的顶点D放在直角边AC上，直角边DF经过点G，斜边DE经过点B，则CD=2或3．【分析】作DM⊥AB于M，设CD=x，由等腰直角三角形的性质得出AC=BC=6，∠A=∠EDF=45°，∠C=90°，AB=BC=6，AD=6﹣x，证出△ADM是等腰直角三角形，得出AM=AD=（6﹣x），因此BM=6﹣（6﹣x），证明△CDG∽△MBD，得出对应边成比例，得出方程，解方程即可．【解答】解：作DM⊥AB于M，如图所示：设CD=x，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，BG=5，CG=1，∴AC=BC=6，∠A=∠EDF=45°，∠C=90°，∴AB=BC=6，AD=6﹣x，△ADM是等腰直角三角形，∴AM=AD=（6﹣x），∴BM=6﹣（6﹣x），∵∠BDC=∠CDG+∠EDF=∠A+∠MBD，∴∠CDG=∠MBD，又∵∠DMB=90°=∠C，∴△CDG∽△MBD，∴，即=，解得：x=2，或x=3，∴CD=2或3；故答案为：2或3．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解决问题的关键．三．解答题（共6小题）19．（2019•益阳）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．【分析】根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案．【解答】解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x，则CD=14﹣x，由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，故152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，解之得：x=9．∴AD=12．∴S△ABC=BC•AD=×14×12=84．【点评】此题主要考查了勾股定理，根据题意正确表示出AD2的值是解题关键．20．作图题：如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形．（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为5；（2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，请画出所有满足条件的点C．【分析】（1）每个小正方形的边长都为1，容易得出结果；（2）分两种情况：①当AB为等腰三角形的一腰时，分两种情况：a：以A为圆心，AB 长为半径画弧，交网络有两个格点；b：以B为圆心，AB长为半径画弧，交网络有两个格点；②当AB为等腰三角形的底边时，顶角顶点在AB的垂直平分线上，交点不在格点处，不合题意；即可得出结果．【解答】解：（1）如图1所示：由勾股定理得：AB==5，即AB即为所求的线段；（2）分两种情况：①当AB为等腰三角形的一腰时，分两种情况：a：以A为圆心，AB长为半径画弧，交网络有3个格点；b：以B为圆心，AB长为半径画弧，交网络有2个格点；②当AB为等腰三角形的底边时，顶角顶点C在AB的垂直平分线上，交点不在格点处，不合题意；综上所述：满足条件的点C有5个，如图2所示．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定；熟练掌握勾股定理，并能进行推理作图是解决问题的关键．21．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；（2）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为5mn．【分析】（1）是直角边长为1，2的直角三角形的斜边；是直角边长为1，3的直角三角形的斜边；是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得．【解答】解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=；（2）构造△ABC如图所示，S△ABC=3m×4n﹣×m×4n﹣×3m×2n﹣×2m×2n=5mn．故答案为：（1）3；（2）5mn．【点评】此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．22．一、阅读理解：在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若∠C为直角，则a2+b2=c2；（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2；（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．【分析】一、（1）由勾股定理即可得出结论；（2）作AD⊥BC于D，则BD=BC﹣CD=a﹣CD，由勾股定理得出AB2﹣BD2=AD2，AC2﹣CD2=AD2，得出AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，整理得出a2+b2=c2+2a•CD，即可得出结论；（3）作AD⊥BC于D，则BD=BC+CD=a+CD，由勾股定理得出AD2=AB2=BD2，AD2=AC2﹣CD2，得出AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，整理即可得出结论；二、分两种情况：①当∠C为钝角时，由以上（3）得：＜c＜a+b，即可得出结果；②当∠B为钝角时，得：b﹣a＜c＜，即可得出结果．【解答】一、解：（1）∵∠C为直角，BC=a，CA=b，AB=c，∴a2+b2=c2；（2）作AD⊥BC于D，如图1所示：则BD=BC﹣CD=a﹣CD，在△ABD中，AB2﹣BD2=AD2，在△ACD中，AC2﹣CD2=AD2，∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，∴c2﹣（a﹣CD）2=b2﹣CD2，整理得：a2+b2=c2+2a•CD，∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＞c2；（3）作AD⊥BC于D，如图2所示：则BD=BC+CD=a+CD，在△ABD中，AD2=AB2=BD2，在△ACD中，AD2=AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，∴c2﹣（a+CD）2=b2﹣CD2，整理得：a2+b2=c2﹣2a•CD，∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＜c2；二、解：当∠C为钝角时，由以上（3）得：＜c＜a+b，即5＜c＜7；当∠B为钝角时，得：b﹣a＜c＜，即1＜c＜；综上所述：第三边c的取值范围为5＜c＜7或1＜c＜．【点评】本题考查了勾股定理的综合运用、完全平方公式；熟练掌握勾股定理，通过作辅助线运用勾股定理是解决问题的关键．23．在Rt△ABC中，∠C=90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB于H，延长CH交MN于点I．（1）如图（1）若AC=3，BC=2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．（2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2=AB2．【分析】（1）利用勾股定理求出AB，根据△ABC面积的两种算法求出CH，再求出AH，即可得到四边形AHIN的面积、正方形AEFC的面积，即可解答；（2）根据四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积，所以AC2=AH•AB，同理可得：BC2=BH•AB，所以AC2+BC2=AH•AB+BH•AB=AB2．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，∴AB==，∴，即，∴CH=，∴AH=，∴S四边形AHIN=AH•AN=18，，∴四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．（2）∵四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．∴AC2=AH•AB，同理可得：BC2=BH•AB，∴AC2+BC2=AH•AB+BH•AB=AB2．【点评】本题考查勾股定理，解决本题的关键是应用勾股定理求边的长度．。
八年级数学上册第3章勾股定理专题训练6勾股定理验证中的几个图形的变式与应用习题课件新版苏科版
证法的一小片段，如图，分别以Rt△ ABC 的三边为边向
外作正方形 ABDE ，正方形 BCFG ，正方形 ACHI .
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(1)连接 BI ， CE ，则 BI ＝ CE ；(填“＞”“＜”或
“＝”)
(2)过点 B 作 AC 的垂线，交 AC 于点 M ，交 HI 于点 N ，
(1)如图①，将左图进行一定的剪拼，让它变成一个和它
等面积的正方形，请在右图中画出你的剪拼图案.
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解：(1)剪拼图案如图①所示，正方形 ABCD 即为
78所求.
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(2)现有一张长为6.5 cm，宽为2 cm的纸片(如图②)，请
你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.
②能拼成，如图④所示.
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③如图⑤，剪两刀把图中两个正方形剪拼成一个更大
的正方形，在图中作出剪拼线，并完成拼图.
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③如图⑤所示，取 BM ＝ AE ，沿 CM ， MF 分别
剪一刀，将△ EFM 拼至△ GFN ，△ CBM 拼至
△ CDN 即可.
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∴在Rt△ BMC 中， BC2＝42＋22＝20，
苏科版数学八年级上册第3章勾股定理章末重难点题型(举一反三)(解析版)
勾股定理章末重难点题型汇编【举一反三】【苏科版】【考点1 利用勾股定理求面积】【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.【例1】（2019春•鄂城区期中）在中，，，，以为边在的外侧作正方形，则正方形的面积是A ．5B ．25C ．7D ．10【分析】根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式即可得到结论．【答案】解：在中，，，，，四边形是正方形，正方形的面积，故选：．Rt AED ∆90E ∠=︒3AE =4ED =AD AED ∆ABCD ABCD ()5AD ==Rt AED ∆90E ∠=︒3AE =4ED=5AD ∴=ABCD ∴ABCD 22525AD ===B【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式1-1】（2019春•宾阳县期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形的边长为10，则四个正方形，，，的面积之和为A ．24B ．56C ．121D ．100【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知：；即四个正方形，，，的面积之和为100；故选：．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式1-2】（2019春•武昌区校级期中）如图，中，，以、为直径作半圆E A B C D ()E F G S S S =+A B C D S S S S =+++100=A B C DD Rt ABC ∆90ACB ∠=︒AC BC 1S和，且，则的长为A ．16B ．8C ．4D ．2【分析】根据勾股定理得到，根据圆的面积公式计算，得到答案．【答案】解：由勾股定理得，，， 解得，，则，解得，，故选：．【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．【变式1-3】（2019春•兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若，，，和分别代表相应的正方形的面积，且，，，，则等于A ．25B ．31C ．32D ．40【分析】如图，根据勾股定理分别求出、，进而得到，即可解决问题．【答案】解：如图，由题意得：，，，2S 122S S π+=AB ()222AC BC AB +=222AC BC AB +=2222111()()()222228AC BC AC BC ππππ⨯+⨯=⨯+=2216AC BC +=22216AB AC BC =+=4AB =C a b c 222a b c +=1S 2S 3S 4S S 14S =29S =38S =410S =S ()2AB 2AC 2BC 21213AB S S =+=23418AC S S =+=22231BC AB AC ∴=+=．故选：．【点睛】主要考查了正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理等几何知识点．【考点2 判断直角三角形】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例2】（2019春•芜湖期中）在以线段，，的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是A ．，，B ．C ．，，D ．，， 【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【答案】解：、，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；、设三角形三边为，，，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．【变式2-1】（2018春•淮南期中）、、为三边，不是直角三角形的是A ．B ．，，C ．D ．，，【分析】利用勾股定理的逆定理判断、、选项，用直角三角形各角之间的关系判断选项．231S BC ∴==B a b c ()4a =5b =6c =::5:12:13a b c=a=b=c =4a =5b =3c =A 222456+≠B 5k 12k 13k 2(5)(k +2212)(13)k k =C(2(+2(=2D 222345+=A a b c ABC ∆()::3:4:5A B C ∠∠∠=54a =1b =34c =222a c b =-8a k =17b k =15c k =B C D A【答案】解：、，设，则，，，即，解得，，，故本选项错误；、，，故本选项正确；、，，故本选项正确；、，，故本选项正确．故选：．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，若已知三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；若已知三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断．【变式2-2】（2018秋•金牛区校级期中）下列说法中，正确的有①如果，那么是直角三角形；②如果，则是直角三角形；③，则为直角三角形；④如果三角形三边长分别是、、，则是直角三角形；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．【答案】解：①正确，由三角形内角和定理可求出为90度；②不正确，因为根据三角形的内角和得不到的角；③，则有；④正确，因为．所以正确的有三个．故选：．【点睛】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理和有一角为来判定．【变式2-3】（2019春•寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有、、、、、、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是A ::3:4:5ABC ∠∠∠=∴3A x ∠=4B x ∠=5C x ∠=180A B C ∠+∠+∠=︒345180x x x ++=︒15x =︒55157590x ∴=⨯︒=︒<︒B 2226810+=222a b c ∴+=C 222a b c =-222a c b ∴+=D 22281517k k k +=222a b c ∴+=A ()0A B C ∠+∠-∠=ABC ∆::5:12:13A B C ∠∠∠=ABC ∆ABC ∆24n -4n 24(2)n n +>ABC ∆C ∠90︒2271017x +=222(4)(4)(4)n n n -+=+C 90︒A B C DEF ()A ．点、点、点B ．点、点、点C ．点、点、点D ．点、点、点【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．【答案】解：、，，，，不可以构成直角三角形；、，，，，不可以构成直角三角形； 、，，，，可以构成直角三角形 、，，，，不可以构成直角三角形． 故选：．【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．【考点3 利用勾股定理求最短路径】【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股 定理即可求解.【例3】（2018秋•福田区校级期中）如图，一圆柱高为，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，且，则最短路线长为A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意画出图形，连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出即可．A B C A D G B E F B G E A 213637AB =+=2162541AC =+=21910BC =+=371041+≠B 2161632AD =+=293645AG =+=2145DG =+=32545+≠C 2361652BE =+=2252550BF =+=2112EF =+=50252+=D 225934BG =+=2361652BE =+=29110GE =+=341052+≠C BC 20cm 10cm A P 35PC BC =()20cm 13cm 14cm 18cm AP AP AP【答案】解：如图展开，连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线长，则，， ，， ，由勾股定理得：，即蚂蚁爬行的最短路线长是，故选：．【点睛】本题考查了勾股定理和平面展开最短路线问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．【变式3-1】（2018秋•沙坪坝区校级月考）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为A ．15B ．17C ．20D ．25【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，AP AP 90C ∠=︒11052AC cm cm =⨯=20BC cm =35PC BC =12CP cm ∴=13()AP cm ==13cm B -8dm 3dm 2dm A B A B B ()dm dm dm dm 8dm (23)3dm +⨯B B xdm由勾股定理得：，解得．故选：．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．【变式3-2】（2018春•凉州区期末）如图，长方体的底面边长为和，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达，那么所用细线最短需要A ．B ．C ．D ．【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【答案】解：将长方体展开，连接、，则，，根据两点之间线段最短，．故选：．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．【变式3-3】（2019秋•松滋市期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相对方向有一小虫，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是22228[(23)3]17x =++⨯=17x =B -1cm 3cm 6cm A B ()12cm 11cm 10cm 9cm A B '13138()AA cm '=+++=6A B cm ''=10AB cm '==C -A A P A ()A厘米 B ．10厘米 C ．厘米D ．8厘米【分析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．【答案】解：如图所示：最短路径为：，将圆柱展开，，最短路程为．故选：．【点睛】此题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．【考点4 勾股数相关问题】【方法点拨】勾股数的求法：（1）如果a 为1个大于1的奇数，b ，c 是两个连续的自然数，且有a ²=b+c ，则a,b,c 为一组勾股数；（2）如果a,b,c 为一组勾股数，那么na ，nb，nc 也是一组勾股数，其中n 为自然数.【例4】（2018秋•新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有 组．（填写数量即可）（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3），，（4）7，24，25 （5【分析】根据勾股数：满足 的三个正整数，称为勾股数进行计算可得答案．【答案】解：因为；，6，8，10，7，24，25都是正整数勾股数有2组，故答案为2．【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．P A '→10PA cm '10PA cm '=B ---232425222a b c +=2226810+=22272425+=∴ABC 222a b c +=ABC【变式4-1】（2019春•闽侯县期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数，，通常叫做勾股数．如果三角形最长边，其中一短边，另一短边为，如果，，是勾股数，则 （用含的代数式表示，其中为正整数）【分析】根据勾股定理解答即可．【答案】解：，，故答案为：【点睛】本题考查了勾股数，根据勾股定理解答是解题的关键．【变式4-2】（2018春•襄城区期中）观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： ．【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第组数，则这组数中的第一个数是，第二个是：，第三个数是：．根据这个规律即可解答．【答案】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是；第二个是：；第三个数是：． 所以第⑦组勾股数：16，63，65．故答案为：16，63，65．【点睛】考查了勾股数，规律型：数字的变化类，观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键．【变式4-3】（2019春•永城市期中）探索勾股数的规律：观察下列各组数：，4，，，12，，，24，，，40，可发现，，，请写出第5个数组： ． 【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．【答案】解：①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，，222a b c +=a b c (a b )c 2221c n n =++21a n =+b a b c b =n n 2221c n n =++21a n =+222b n n ∴=+222n n +26⋯⋯n 2(1)n +(2)n n +2(1)1n ++2(1)n +(2)n n +2(1)1n ++(35)(513)(725)(941)⋯23142-=251122-=271242-=⋯3211=⨯+242121=⨯+⨯2521211=⨯+⨯+5221=⨯+2122222=⨯+⨯21322221=⨯+⨯+7231=⨯+2242323=⨯+⨯22523231=⨯+⨯+9241=⨯+2402424=⨯+⨯24124241=⨯+⨯+11251=⨯+2602525=⨯+⨯26125251=⨯+⨯+故答案为：11，60，61．【点睛】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．【考点5 利用勾股定理求长度】【例5】（2018春•港南区期中）如图，在中，，于点，，，求，的长．【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，再根据直角三角形的面积公式求得斜边上的高，进一步根据勾股定理即可求得的长．【答案】解：，，，．根据直角三角形的面积公式，得． 在中，．【点睛】考查了勾股定理、此题要熟练运用勾股定理以及直角三角形的面积公式，直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．【变式5-1】（2018秋•滨湖区期中）在等腰中，已知，于．（1）若，求的度数；（2）若，，求的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，可以求得的度数；（2）根据题目中的数据和勾股定理，可以求得的长．【答案】解：（1）在等腰中，，，，，，ABC ∆90ACB ∠=︒CD AB ⊥D 3AC cm =4BC cm =ADCD AD 90ACB ∠=︒3AC cm =4BC cm =5AB cm ∴= 2.4AC BC CD cm AB==Rt ACD ∆ 1.8AD cm ==ABC ∆AB AC =BD AC ⊥D 48A ∠=︒CBD∠15BC =12BD =AB CBD ∠AB ABC ∆AB AC =BD AC ⊥ABC C ∴∠=∠90ADB ∠=︒48A ∠=︒，，；（2），，，，，设，则，，，，解得，， 即． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式5-2】（2018春•兴义市期中）如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长．【分析】先设，则，再运用勾股定理分别在与中表示出，列出方程，求解即可．【答案】解：设，则．在中，，，在中，，，，即，66ABC C ∴∠=∠=︒42ABD ∠=︒24CBD ∴∠=︒BD AC ⊥90BDC ∴∠=︒15BC =12BD =9CD ∴=AB x =9AD x =-90ADB ∠=︒12BD =22212(9)x x ∴+-=22518x =22518AB =ABD ∆90D ∠=︒C BD 9BC =17AB =10AC =AD CD x =9BD BC CD x =+=+ACD ∆ABD ∆2AD CD x =9BD BC CD x =+=+ACD ∆90D ∠=︒222AD AC CD ∴=-ABD ∆90D ∠=︒222AD AB BD ∴=-2222AC CD AB BD ∴-=-22221017(9)x x -=-+解得，，．故的长为8．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，根据的长度不变列出方程是解题的关键．【变式5-3】（2018秋•东明县期中）如图，在中，，，正方形的面积为，于点，求的长．【分析】根据正方形的面积公式求得．然后利用勾股定理求得；则利用面积法来求的长度．【答案】解：正方形的面积为，，，，．，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理．解答该题时，需要熟记正方形的面积公式．【考点6 利用勾股定理作图】【例6】（2018秋•越城区期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；（2）请你在图2的线段；（3）请你在图3为直角边的直角三角形．6x =22210664AD ∴=-=8AD ∴=AD AD Rt ABC ∆90ABC ∠=︒16AB cm =BCEF 2144cm BD AC ⊥D BD 12BC cm =20AC cm =BD BCEF 2144cm 12BC cm ∴==90ABC ∠=︒16AB cm =∴20AC cm ==BD AC ⊥∴1122ABC S AB BC BD AC ∆==∴485BD cm =【分析】（1）根据三角形的面积公式画出图形即可；（2）画出以1和2为长方形的宽和长的对角线的长即可；（3的线段，再画出直角三角形即可．【答案】解：（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【变式6-1】（2018春•安庆期中）在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个周长为的，并求它的面积．【分析】根据勾股定理在方格中作出三角形的三条边，根据直角三角形的面积公式、矩形的面积公式计算即可． 【答案】解：是一个周长为三角形，的面积． ABC ∆ABC ∆ABC ∆111342413135222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理作出三角形的三条边是解题的关键．【变式6-2】（2018春•石家庄期中）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．【分析】（1）根据正方形的面积为10（2）①，②【答案】解：（1）如图①所示：（2）如图②③所示．【点睛】此题主要考查了利用勾股定理画图，关键是计算出所画图形的边长是直角边长为多少的直角三角形的斜边长．【变式6-3】（2018秋•高新区期中）如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：（1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个三边长分别为3，的三角形，一共可画这样的三角形 个．【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；（2）由勾股定理容易得出结果．【答案】解：（1），即为所求， 如图1所示：（2）如图2所示：，，，，都是符合条件的三角形，一共可画这样的三角形16个；故答案为：16．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、作图应用与设计作图；熟记勾股定理是解决问题的关键．5=ABC ∴∆ABC ∴∆DBC ∆⋯--【考点7 勾股定理的证明】【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.【例7】（2019春•洛阳期中）下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为，，斜边为，．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是 图，写出你的验证过程．【分析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案．【答案】解：选择的是图2，证明：，， ， 整理，得，．故答案为：2，【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键．【变式7-1】（2018秋•兴化市期中）我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种证明方法．下图是1876年美国总统伽菲尔德证明勾股定理所用的图形：以、为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使、、三点在一条直线上．（1）求证：；（2）请你利用这个图形证明勾股定理（即证明：．【分析】（1）由全等三角形的判定于性质解答；（2）用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．a b c a b>2S c =大正方形2144()2S S S ab b a =+=⨯+-大正方形小正方形2214()2c ab b a ∴=⨯+-22222ab b ab a c +-+=222c a b ∴=+()Garfield a b c C B D 90ABE ∠=︒222)a b c +=Rt ACB Rt BDE ∆≅∆【答案】解：（1），．，，．（2）由（1）知是一个等腰直角三角形，． 又，， ，即． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，此题主要利用了三角形的面积公式：底高，和梯形的面积公式：（上底下底）高证明勾股定理．【变式7-2】（2018秋•东台市期中）如图，将绕其锐角顶点旋转得到，连接，延长、相交于点，则有，且四边形是一个正方形．（1）判断的形状，并证明你的结论；（2）用含代数式表示四边形的面积；（3）求证：．【分析】（1）利用旋转的性质得出，，即可得出的形状；（2）利用四边形的面积等于正方形面积，即可得出答案；（3）利用四边形面积等于和的面积之和进而证明即可．【答案】（1）是等腰直角三角形，证明：绕其锐角顶点旋转得到在，，，又，Rt ACB Rt BDE ∆≅∆CAB DBE ∴∠=∠90CAB ABC ∠+∠=︒90ABC DBE ∴∠+∠=︒1809090o o ABE ∴∠=︒-=ABE ∆212ABE S c ∆∴=21()2ACDE S a b =+梯形212ABC BDE ABE ACDE S S S S ab c ∆∆∆=++=+梯形∴2211()22a b ab c +=+222a b c +=⨯2÷+⨯2÷Rt ABC ∆A 90︒Rt ADE ∆BE DE BC F 90BFE ∠=︒ACFD ABE ∆b ABFE 222a b c +=90BAE BAC CAE CAE DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒AB AE =ABE ∆ABFE ACFD ABFE Rt BAE ∆Rt BFE ∆ABE ∆Rt ABC ∆A 90︒Rt ADE ∆BAC DAE ∴∠=∠90BAE BAC CAE CAE DAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒AB AE =是等腰直角三角形；（2）四边形的面积等于正方形面积，四边形的面积等于：．（3）即：， 整理：．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及图形面积求法和勾股定理的证明等知识，根据已知得出是解题关键．【变式7-3】（2019春•东光县期中）和是两直角边为，，斜边为的全等的直角三角形，按如图所示摆放，其中，求证：．【分析】连结，过点作边上的高，根据即可求解．【答案】证明：连结，过点作边上的高，则．． 又【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了ABE ∴∆ABFE ACFD ∴ABFE 2b BAE BFE ACFD S S S ∆∆=+正方形1122()()22b c b a b a =++-222()()b c b a b a =++-222a b c ∴+=BAE BFE ACFD S S S ∆∆=+正方形ADE ∆ACB ∆a b c 90DAB ∠=︒222a b c +=DB D BC DF ACD ABC ADB DCB ADCB S S S S S ∆∆∆∆=+=+四边形DB D BC DF DF EC b a ==-21122ACD ABC ADCB S S S b ab ∆∆=+=+四边形()21122ADB DCB ADCB S S S c a b a ∆∆=+=+-四边形∴221111()2222b abc a b a +=+-222a b c ∴+=同学们数形结合的思想方法．【考点8 勾股定理逆定理的应用】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例8】（2018春•宾阳县期中）如图，已知在四边形中，，，，，．（1）连结，求的长；（2）求的度数；（3）求出四边形的面积【分析】（1）连接，利用勾股定理解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；（3）根据三角形的面积公式解答即可．【答案】解：（1）连接，在中，，，，由勾股定理可得：；（2）在中，，，，；（3）由（2）知，，四边形的面积， 【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．ABCD 20AB cm =15BC cm =7CD cm =24AD cm =90ABC ∠=︒AC AC ADC ∠ABCD AC AC Rt ABC ∆90ABC ∠=︒20AB cm =15BC cm =∴25AC cm ==ADC ∆7CD cm =24AD cm =222CD AD AC ∴+=90ADC ∴∠=︒90ADC ∠=︒∴ABCD 2112015724234()22ABC ACD S S cm ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=【变式8-1】（2019春•长白县期中）如图，在四边形中，已知，，，且，．求四边形的面积．【分析】连接，在中，已知，的长，运用勾股定理可求出的长，在中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形的面积为与的面积之差．【答案】解：连接，，，，，，，，，为直角三角形，．故四边形的面积为216．【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出的形状是解答此题的关键．ABCD 12AB =9BC =90ABC ∠=︒39CD =36DA =ABCD AC Rt ADC ∆AB BC AC ADC ∆ABCD Rt ACD ∆Rt ABC ∆AC 90ABC ∠=︒12AB =9BC =15AC ∴=39CD =36DA =222215361521AC DA +=+=22391521CD ==ADC ∴∆ACD ABC ABCD S S S ∆∆∴=-四边形1122AC AD AB BC =⨯-⨯11153612922=⨯⨯-⨯⨯27054=-216=ABCD ACD ∆【变式8-2】（2018春•丰台区期中）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．【分析】连接，然后根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理逆定理计算出，然后根据四边形的面积的面积的面积，列式进行计算即可得解．【答案】解：连接，，，，，，，，，，是的直角三角形，四边形的面积的面积的面积，．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，连接，构造出直角三角形是解题的关键．ABCD 90ABC ∠=︒3AB =4BC =12DC =13AD =ABCD AC AC 90ACD ∠=︒ABCD ABC =∆ACD +∆AC 90ABC ∠=︒3AB =4BC=5AC ∴=12DC =13AD =222251225144169AC DC ∴+=+=+=2213169AD ==222AC DC AD ∴+=ACD ∴∆90ACD ∠=︒ABCD ABC =∆ACD +∆1122AB BC AC CD =+113451222=⨯⨯+⨯⨯630=+36=AC【变式8-3】（2019春•鄂城区期中）如图，四边形中，，，、分别是和边上的点，且，为的中点，问是什么三角形？请说明理由．【分析】根据正方形的性质和勾股定理能求出，，的长，从而可根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状．【答案】解：，，， ，，为的中点，，，，．．是直角三角形．【点睛】本题考查了正方形的性质，四个边相等，四个角相等，勾股定理以及勾股定理的逆定理．【考点9勾股定理的实际应用】【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.【例9】（2019春•东湖区校级期末）数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？ABCD 4AB BC CDAD ====90DAB B C D ∠=∠=∠=∠=︒E F BC CD 14CE BC =F CD AEF ∆AE AF EF 4AB BC CD AD ====4AB =14CE BC =1EC ∴=3BE =F CD 2DF FC ∴==90DAB B C D ∠=∠=∠=∠=︒EF ∴=AF =AE 222AE EF AF ∴=+AEF ∴∆【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【答案】解：设旗杆高，则绳子长为，旗杆垂直于地面，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为，解得，旗杆的高度为15米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．【变式9-1】（2019春•内黄县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【分析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．【答案】解：在中：，米，米，（米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，（米，（米，（米，答：船向岸边移动了9米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的xm (2)x m +∴2228(2)x x +=+15x m =∴BCD Rt ABC ∆AB CD AD BD AB AD =-BD Rt ABC ∆90CAB ∠=︒17BC =8AC=15AB ∴==)D 171710CD ∴=-⨯=)6AD ∴==)1569BD AB AD ∴=-=-=)示意图．领会数形结合的思想的应用．【变式9-2】（2019春•道里区期末）某地区为了开发农业，决定在公路上相距的、两站之间点修建一个土特产加工基地，使点到、两村的距离相等，如图，于点，于点，，，求土特产加工基地应建在距离站多少的地方？【分析】设千米，则千米，再根据勾股定理得出，进而可得出结论．【答案】解：设千米，则千米，在中，，在中，，，，，解得，千米．答：基地应建在离站10千米的地方．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．【变式9-3】（2019春•商南县期末）勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可得25km A B E E C D DA AB ⊥A CB AB ⊥B 15DA km =10CB km =E A km AE x =(25)BE x =-2222DA AE BE BC +=+AE x =(25)BE x =-Rt DAE ∆222DA AE DE +=Rt EBC ∆222BE BC CE +=CE DE =2222DA AE BE BC ∴+=+22221510(25)x x ∴+=+-10x =A 2.6m AB AO AO 2.4m A 0.5m B 1.77)≈OB OD BD OD OB =-出结论．【答案】解：中，，，；同理，中，，，，．答：梯子底端向外移了0.77米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【考点10 利用勾股定理解折叠问题】【例10】（2019春•番禺区期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将纸片沿折叠，直角边恰好落在斜边上，且与重合，求的面积．【分析】由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式可求解．【答案】解：，将纸片沿折叠，直角边恰好落在斜边上，且与重合，，设，则在中，解得，Rt OAB ∆ 2.6AB m = 2.4AO m=1OB m ∴==Rt OCD ∆2.6CD m =2.40.5 1.9OC m =-=3.15 1.77OD m ∴==≈1.7710.77()BD OD OB m∴=-=-=B 6AC cm =8BC cm =AD AC AE BDE ∆AB 6AC AE cm ==90DEB ∠=︒DE 6AC cm =8BC cm =10AB cm ∴==AD AC AE 6AC AE cm ∴==90DEB ∠=︒1064BE cm ∴=-=CD DE x ==Rt DEB ∆2224(8)x x +=-3x =即等于的面积 答：的面积为【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．【变式10-1】（2018秋•建邺区期末）如图，把长为的纸条沿，同时折叠，、两点恰好落在边的点处，且，，求的长．【分析】由翻折不变性可知：，，设，则，在中，根据，构建方程即可解决问题．【答案】解：由翻折不变性可知：，，设，则，在中，，，，，的长是．【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．【变式10-2】（2019秋•杭州期中）如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点，已知，．（长方形的对边相等，四个角都为直角）（1）求证：；（2）求的长；（3）求重叠部分的面积．DE 3cm BDE ∴∆14362=⨯⨯=BDE ∆26cm 12cm ABCD EF GH B C AD P 90FPH ∠=︒3BF cm =FH BF PF =CH PH =FH x cm =(9)PH x cm =-Rt PFH ∆222FH PH PF =+BF PF =CH PH =FH x cm =(9)PH x cm =-Rt PFH ∆90FPH ∠=︒222FH PH PF ∴=+222(9)3x x ∴=-+5x ∴=FH ∴5cm ABCD AC AD AD 'AD 'BC E 2AB cm =4BC cm =AE EC =EC。
第3章 勾股定理全章复习与测试(原卷版)-八年级数学
第3章勾股定理全章复习与测试1.掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．2.掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．3.熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．4.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．5.能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.6.能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.一．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．二．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．三．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．四．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．五．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…六．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．一．直角三角形的性质（共1小题）1．（2020秋•苏州期中）在△ABC中，有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C．其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．勾股定理（共10小题）2．（2022秋•南京期末）如图，已知点P是射线OM上一动点（P不与O重合），∠AOM＝45°，OA＝2，当OP＝时，△OAP是等腰三角形．3．（2021秋•新吴区校级期中）已知一直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则第三边的长为．4．（2022秋•句容市期末）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边向两侧作正方形．设AB ＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中△BCD的面积为．5．（2022秋•邳州市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝13cm，AC＝12cm，那么点D到直线AB的距离是cm．6．（2022秋•海陵区校级期末）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为．7．（2023•盱眙县模拟）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，点E为AC的中点，连接BE，DE．若，BC＝12，则△ABE的周长为．8．（2022秋•广陵区校级期末）直角三角形纸片ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的角平分线，则BD＝．9．（2022秋•广陵区校级期末）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8．则边BC的长为．10．（2022秋•太仓市期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为1，2，则这个直角三角形的斜边的长为．11．（2022秋•亭湖区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到AB的距离是．三．勾股定理的证明（共1小题）12．（2022秋•阜宁县期中）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理，古今中外已有几百种证明方法．2002年世界数学家大会在中国北京举行，大会的会标选用验证勾股定理的“弦图”，它标志着我国古代数学的成就．“弦图”由4个全等的直角三角形拼成大正方形（如下图示）设直角三角形的两直角边分别为a、b（a＜b），斜边为c，请你利用“弦图”验证勾股定理．四．勾股定理的逆定理（共15小题）13．（2022秋•工业园区校级期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列所给数据中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90°B．∠A：∠B：∠C＝5：12：13C．a2+b2＝c2D．a：b：c＝3：4：514．（2022秋•溧阳市期中）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH15．（2022秋•东台市期中）在△ABC的三边分别是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，判断△ABC 的形状，证明你的结论．16．（2022秋•徐州期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，连接CD．（1）若∠B＝50°，求∠DCA度数；（2）若点E是AB上的一个动点，则线段CE的最小值为．17．（2022秋•兴化市期中）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的面积；（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．18．（2022秋•无锡期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．4，5，6B．5，7，9C．6，8，10D．7，8，919．（2022秋•建湖县期中）以下四组代数式作为△ABC的三边：①3n，4n，5n（n为正整数）；②n，n+1，n+2（n为正整数）；③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数）；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n为正整数）．其中能使△ABC为直角三角形的有（）A．0组B．1组C．2组D．3组20．（2022秋•邗江区期中）如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A．B．C．D．21．（2022秋•高新区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．22．（2021秋•沭阳县期末）如图，在四边形ABCD地块中，AB＝6，AD＝8，BC＝26，CD＝24，∠A＝90°，求该四边形ABCD地块的面积．23．（2022秋•邗江区期中）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，请解决下列问题．（1）若∠C＝90°，，求b；（2）若a、b、c三边满足|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，试判断△ABC的形状．24．（2022秋•建湖县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC及BC的延长线于点D，E，F，且CB2＝AE2﹣CE2．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）若AC＝12，BC＝9，求CE的长．25．（2022秋•南京期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝20，AD＝15，CD＝7，BC＝24，∠A＝90°．求证：∠C＝90°．26．（2022秋•邗江区校级月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD为BC边上的中线，且AD＝8，过点D作DE⊥AC于点E．请求出线段DE的长．27．（2022秋•滨海县期中）如图所示的一块土地，测量得AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，AD＝12m，∠ABC＝90°，求这块土地的面积．五．勾股数（共1小题）28．（2022秋•江都区期末）下面各组数中，勾股数是（）A．0.3，0.4，0.5B．1，1，C．5，12，13D．1，，2六．勾股定理的应用（共7小题）29．（2021秋•洪泽区校级期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米．A．7B．8C．9D．1030．（2022秋•邗江区校级月考）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm31．（2022秋•金湖县期中）将一根24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为5cm的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．h≤19B．11≤h≤19C．12≤h≤19D．13≤h≤1932．（2022秋•工业园区校级月考）放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是100米/分，小红用3分钟到家，小颖4分钟到家，则小红和小颖家的直线距离为（）A．300米B．400米C．500米D．700米33．（2022秋•惠山区期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处B离远处竹子C的距离BC为3尺，则折断后的竹子AC＝尺．（注：1丈＝10尺．）34．（2022秋•江阴市期中）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC ＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度？35．（2022秋•锡山区期中）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶．（1）请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？一．选择题（共7小题，满分21分，每小题3分）1．（3分）如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（）A．B．2C．D．2．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．6，7，8B．1，，5C．6，8，10D．，2，3．（3分）若三角形三条边的长分别是7，24，25，则这个三角形的最大内角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（3分）下列各组数中，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．6，8，10C．7，24，25D．4，5，65．（3分）下列各组数中，可以构成勾股数的是（）A．13，16，19B．5，13，15C．18，24，30D．12，20，376．（3分）边长为a的正六边形的内切圆的半径为（）A．a B．a C．2a D．a7．（3分）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（）A．20B．24C．D．二．填空题（共9小题，满分27分，每小题3分）8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝3，AD＝2，BC＝，∠ABD+∠BDC＝60°，则四边形ABCD的面积是．9．（3分）若△ABC的三边长分别是1、、，则最长边上的中线长为．10．（3分）有一组勾股数，最大的一个是37，最小的一个是12，则另一个是．11．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝13，CD＝5，则AD的长度为．12．（3分）若三角形的两边长为6和8，要使其成为直角三角形，则第三边的长为．13．（3分）附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：．14．（3分）如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍放入（填“能”或“不能”）．15．（3分）如图，一棵大树在一次台风中于离地面4米处折断倒下，大树顶端落在离大树底部3米处，这棵大树在折断前的高度为米．16．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成了“赵爽弦图”，若图中小正方形的面积恰好是大正方形面积的一半，则θ＝．三．解答题（共8小题，满分72分，每小题9分）17．（9分）如图，已知一根长8米的竹杆在离地3米处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时，顶部距底部有多少米？18．（9分）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，连接CD，且CD＝12cm，BD ＝5cm．（1）求证：△BDC是直角三角形；（2）求AB的长．19．（9分）如图，AB⊥CD，AC＝4，BC＝3，BD＝．（1）求AD的长；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．20．（9分）如图，某工厂制作一个三角形工件，若∠A＝45°，∠B＝60°，BC＝6．求AC的长．21．（9分）已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，求这块空地的面积？22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，AD＝12，CD＝13，点E是CD的中点，求AE的长．23．（9分）如图是证明勾股定理的一种方法：用4个全等的直角三角形，拼成一个图形，请你利用面积证明勾股定理的真实性．24．（9分）请选择一个图形来证明勾股定理．（可以自己选用其他图形进行证明）。
八年级数学苏科版上册随堂测试第3单元《 3.2 勾股定理的逆定理》 练习试题试卷 含答案
随堂测试3.2勾股定理的逆定理一、选择题1.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(）A．a：b：c=3：4：5B．∠A：∠B：∠C=9：12：15C．∠C=∠A﹣∠B D．b2﹣a2=c22.适合下列条件的△ABC中，∠A，∠B，∠C是三个内角，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，直角三角形的个数是()①a=7，b=24，C=25；②a=1.5，b=2，c=7.5；③∠A：∠B：∠C=1：2：3;④a=1，b=，c=.A.1个B.2个C.3个D.4个3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是()A.如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B.如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C.如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形D.如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形4.适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为()①a=3，b=4，c=5；②a=6，∠A=45°；③a=2，b=2，c=2；④∠A=38°，∠B=52°.A.1个B.2个C.3个D.4个5.在下列以线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是()A.a=3，b=4，c=6B.a=5，b=6，c=7C.a=6，b=8，c=9D.a=7，b=24，c=256.三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ab=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形7.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()A.∠A：∠B：∠C=l：2：3B.三边长为a，b，c的值为1，2，C.三边长为a，b，c的值为，2，4D.a2=(c+b)(c﹣b)8.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列判断错误的是()A.如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B.如果a2＋c2=b2，则△ABC不是直角三角形C.如果(c-a)(c+a)=b2，则△ABC是直角三角形D.如果∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶3，则△ABC是直角三角形9.如图，在4×4的方格中，△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形10.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是()二、填空题11.在△ABC中，三边长分别为8、15、17，那么△ABC的面积为．12.一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是．13.在△ABC中，如果(a+b)(a﹣b)=c2，那么∠=90°.14.如果△ABC的三边长a,b,c满足关系式(a-24)2+∣b-18∣+∣c-30∣=0，则△ABC的形状是。
第3章 勾股定理 单元测试 (2)
2021-2022学年八年级数学（苏科版）上册同步单元过关必刷卷第3章勾股定理单元测试（强化卷）时间：100分钟；满分:120分一、单选题（本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将答案填在相应位置上.）1．(本题3分)下列每组数表示三条线段长，其中可以构成直角三角形的一组线段是（）A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，62．(本题3分)我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深______尺，葭长_____尺．解：根据题意，设水深OB＝x尺，则葭长OA'＝（x+1）尺．可列方程正确的是（）A．x2+52 ＝（x+1）2B．x2+52 ＝（x﹣1）2C．x2+（x+1）2 ＝102D．x2+（x﹣1）2＝523．(本题3分)已知ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠C﹣∠B B．a：b：c＝4：5：6C．a2＝b2﹣c2D．a＝34，b＝54，c＝14．(本题3分)在A地有甲、乙两支部队，接到命令后分别沿着东北方向与西北方向参加长江大堤的抗洪抢险.行进的速度都为每小时60千米，结果甲、乙两支部队分别用了1小时和1小时20分赶到指定的地点B 处和C处，则BC之间的距离为（）千米.A．80B．60C．100D．1205．(本题3分)将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为cmh，则h的取值范围是（）A．512h≤≤B．524h≤≤C．1112h≤≤D．1224h≤≤6．(本题3分)如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得2AO m=．若梯子的顶端沿墙下滑0.5m，这时梯子的底端也恰好外移0.5m，则梯子的长度AB为（）m．A．2.5B．3C．1.5D．3.57．(本题3分)如图，在Rt∠ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt∠ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD的长为（）A．10B．5C．4D．38．(本题3分)若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三条边长的平方为（）A．9B．41C．9或41D．不确定9．(本题3分)如图，在Rt∠ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，BC=12，DB=13，点D 到AB的距离是（）A．5B．6C．4D．310．(本题3分)如图，等腰直角∠ABC中，∠C＝90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且∠DFE＝90°，连接DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：∠图中全等的三角形只有两对；∠∠ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；∠CD+CE＝2F A；∠AD2+BE2＝DE2．其中错误结论的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共10小题,每小题3分,共30分.把答案直接填在相应位置上.）11．(本题3分)小丽从家出发先向正东方向直线前进了40米，接着又向正北方向直线前进了9米，此时小丽若以20米/分钟的速度回家，最少需要________分钟.12．(本题3分)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm ．13．(本题3分)如图，一个直径为8cm 的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm ，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度为_____cm ．14．(本题3分)若三角形的三边长是6，8，x ，当2x 的值为________时，该三角形是直角三角形. 15．(本题3分)如图由于台风的影响，一棵树在离地面6m 处折断，树顶落在离树干底部8m 处，则这棵树在折断前的高度是___________.16．(本题3分)ABC ∆各内角、、A B C 所对边的长分别为13、12、5，那么角A 的度数是________。
勾股定理 培优靶向训练 2021-2022学年苏科版八年级数学上册
3.1勾股定理培优考点一：赵爽弦图1.如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，大正方形面积为，小正方形面积为，则可以表示为A. B. C. D.2.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、若，则的值是A. B. C. D.3.公元世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图”如图，设勾，弦，则小正方形的面积是A. B. C. D.4.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为和，则小正方形的面积为A. B. C. D.5.如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为和若，大正方形的边长为，则小正方形的边长为A. B. C.D.6.由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为，最短的之边长为，则图中阴影部分的面积为A. B.C.D.考点二：勾股树7.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的边长是A. B. C. D. 无法确定8.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分的面积为，且，则的长为A. B. C. D.9.如图，正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去，得到一个树形图形，称其为“勾股树”若某勾股树共有个正方形，且最小的正方形的边长为，则最大的正方形的面积为A. B. C. D.10.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形的边长是，则正方形，，，，，，的面积之和是A. B. 、 C.D.11.如图是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到，图一是第代“勾股树”，重复图一的作法，得到图二为第代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为，则第代“勾股树”所有正方形的面积的和为．A. B. C. D.考点三：勾股定理证明12.等腰直角三角板按如图所示放置，直角顶点在直线上，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：；若设三边长分别为，，，利用此图证明勾股定理．13.左图的正方形是由个边长为的正方形和个边长为的正方形以及个直角边分别为、斜边为的直角三角形拼成的；右图的正方形是由个边长为的正方形和个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的．请用这两个图证明勾股定理．14.将两个完全相同的长方形拼成如图的图形，长方形的长为，宽为，对角线长为，请你用该图验证勾股定理．15.用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的．观察图，你能验证吗？把你的验证过程写下来，并与同伴进行交流．16.我国古代数学家赵爽曾用图证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”年在北京召开的国际数学家大会的会标图，其图案正是由“弦图”演变而来．“弦图”是由个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图解答下列问题：叙述勾股定理用文字及符号语言叙述；证明勾股定理；若大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．17.如图是用硬纸板做成的两个小直角三角形和一个大直角三角形，两个小直角三角形直角边长分别为和，斜边长为，大直角三角形直角边长都为，请你动动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．画出所拼图形的示意图，说出图形的名称；用这个图形证明勾股定理．考点四：折叠问题18.在中，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长；的长．19.如图，三角形纸片中，，，为的中点，折叠三角形纸片使点与点重合，为折痕，求的长．20.如图，已知长方形沿着直线折叠，使点落在处，交于点，，，___________．21.小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图，，，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为．如果，，可求得的周长为_______；如果：：，可求得的度数为__________；操作二：如图，小王拿出另一张，纸片，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，请求出的长．22.如图，在中，，若把沿直线折叠，使与重合，若，，求和的长．23.小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图，将沿某条直线折叠，使与重合，折痕为．如果，，可求得的周长为；如果：：，可求得的度数为；操作二：如图，小王拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，请求出的长．答案和解析1.【答案】【解析】解：设直角三角形的斜边为，则，，，故选：．根据图形和勾股定理可知，再由完全平方公式即可得到结果．本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．2.【答案】【解析】解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，，得出，，，，故，，所以，故选：．根据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可．此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用，表示出，，，再利用求出是解决问题的关键．3.【答案】【解析】分析应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．详解解：勾，弦，股，小正方形的边长，小正方形的面积故选A．4.【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质；和为两条直角边长时，求出小正方形的边长，即可得出小正方形的面积；即可得出结果．【解答】解：和为两条直角边长时，小正方形的边长，小正方形的面积故选A．5.【答案】【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，每一个直角三角形的面积为：，，，正方形的边长，，故选：．由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．6.【答案】【解析】解：直角三角形斜边长为，最短的之边长为，该直角三角形的另外一条直角边长为，．故选：．由题意可知阴影部分的面积大正方形的面积个小直角三角形的面积，代入数值计算即可．本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．7.【答案】【解析】【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么，根据勾股定理分别求出、的面积，根据勾股定理计算即可．【解答】解：正方形、、、的面积分别是、、、，由勾股定理得，正方形的面积为：，正方形的面积为：，则正方形的面积为：，最大正方形的边长是；故选C8.【答案】【解析】【试题解析】【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么设，，根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可求解．【解答】解：如图，设，，，则，，，，则阴影部分的面积，，，，解得，舍去．故选B．9.【答案】【解析】【分析】本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力．设最大正方形的边长为，从最大的正方形开始作小正方形，依次算出“勾股树”中正方形的总个数和最小正方形的边长，以此类推，得出第代“勾股树”中，正方形的总个数为，最小正方形的边长为，根据已知可求得值，再根据，即可求出最大正方形的面积．【解答】解：设最大正方形的边长为，从最大的正方形开始作小正方形，第代“勾股树”中，正方形的总个数为，最小正方形的边长为，第代“勾股树”中，正方形的总个数为，最小正方形的边长为，第代“勾股树”中，正方形的总个数为，最小正方形的边长为，以此类推，第代“勾股树”中，正方形的总个数为，最小正方形的边长为，若“勾股树”上共得到个正方形，则，解得，此时最小正方形的边长为，解得，因此最大的正方形的面积为．故选B10.【答案】【解析】【分析】本题主要考查勾股定理的几何意义，关键是掌握：两直角边的平方和等于斜边的平方本题根据勾股定理有，，即可求得答案．【解答】解：由勾股定理，，，，，故选D．11.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理的运用和图形的规律，解答此题可先根据勾股定理得到第一代勾股树的所有正方形的面积和为，第二代为，第三代为由此可得第代勾股树的所有正方形的面积和．【解答】解：如图一，正方形的面积为，正方形的面积，正方形的面积，由勾股定理可得：，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，第一代勾股树所有的正方形的面积和为，如图二，，同一可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积，所以第二代勾股树的所有正方形的面积和为，同理可得第三代勾股树所有正方形的面积和为，所以第代勾股树所有正方形的面积和为，故选C．12.【答案】证明：，．，．在与中，，≌．；由知：．又．．整理，得．【解析】通过证得≌，根据全等三角形的对应边相等证得结论；利用等面积法证得勾股定理．本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等．13.【答案】解：由图可知大正方形的边长为：，则面积为，图中把大正方形的面积分为了四部分，分别是：边长为的正方形，边长为的正方形，还有两个长为，宽为的长方形，根据面积相等得：，由右图可得．所以．【解析】通过两个组合正方形的面积之间相等的关系即可证明勾股定理．本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．14.【答案】证明：如图，连接，，≌，，，，即，，，，．【解析】根据，利用三角形以及梯形的面积公式即可证明．本题考查了用数形结合来证明勾股定理，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们的数形结合的思想方法．15.【答案】解：由图可知：．，所以．【解析】利用大正方形的面积等于个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而证明问题．此题主要考查了勾股定理的证明，利用图形面积得出是解题关键．16.【答案】解：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．在直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，．，，，，即．，．．【解析】用文字及符号语言叙述勾股定理即可；如图，根据四个全等的直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，代入数值，即可证明；利用的结论进行解答．本题考查了勾股定理的证明．求面积时，利用了“分割法”．17.【答案】解：如图所示，这是一个梯形．如图，由拼接可得，，即，．【解析】此题考查的是勾股定理的证明，利用梯形和三角形的面积公式可证明．可拼一梯形，使其一腰长为，上底为，下底为，图放在中间适当的位置；由该梯形的面积为三个三角形的面积和，可证明勾股定理．18.【答案】解：中，，，；设，则，折痕，，，，中，，解得．【解析】在直角三角形中，知道两直角边，可直接应用勾股定理求得斜边的长度；可设，则，由为折痕，可得相等的线段，得到，在直角三角形中应用勾股定理可求得的长．本题考查了翻折变换问题；找准相等的量，结合勾股定理求解是解答此类问题的关键．19.【答案】解：，为的中点，，由折叠的性质得：，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：．【解析】本题考查的是翻折变换的性质、勾股定理等知识．根据折叠的性质和勾股定理得出方程，解方程即可得到结论．20.【答案】【解析】【分析】首先根据矩形的性质可得出，即，然后根据折叠知，、，可得到，进而得出，设，则，利用勾股定理求出的值，即可求出的长．本题主要考查折叠变换的知识点，解答本题的关键是掌握长方形的性质，勾股定理的利用以及折叠的知识，此题比较简单．【解答】解：四边形是矩形，，即，由折叠知，，，，，即，设，则，在中，，解得：，的长为．21.【答案】解：；；操作二：设，则，中，，由折叠可得，，，中，，，解得，．【解析】【分析】本题主要考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时注意：折叠问题中，对称点的连线被对称轴垂直平分．操作一：由翻折的性质可知：，于是，从而可知的周长；设，则，由翻折的性质可知，然后根据直角三角形两锐角互余可知：．操作二：先利用勾股定理求得的长，由翻折的性质可知：，最后根据计算即可．【解答】解：操作一：由折叠可得，垂直平分，，的周长为故答案为；设，则，由翻折的性质可知：，，，解得：，，．故答案为；操作二：见答案．22.【答案】解：由折叠可知，，，设，则，在中，，，解得，即，，，，．【解析】由折叠可知，，，设，则，勾股定理列出方程，再解方程可得的值．此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．23.【答案】解：；；操作二：设，则，中，，由折叠可得，，，中，，，解得，．【解析】【分析】本题主要考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时注意：折叠问题中，对称点的连线被对称轴垂直平分．操作一：由翻折的性质可知：，于是，从而可知的周长；设，则，由翻折的性质可知，然后根据直角三角形两锐角互余可知：．操作二：先利用勾股定理求得的长，由翻折的性质可知：，最后根据计算即可．【解答】解：操作一：由折叠可得，垂直平分，，的周长为故答案为；设，则，由翻折的性质可知：，，，解得：，，．故答案为；操作二：见答案．第25页，共1页。
第三章 勾股定理 实际应用综合训练(一)2021-2022学年苏科版八年级数学上册
第三章《勾股定理》实际应用综合训练（一）1．为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄到公路MN的距离为600m，假使宣讲车P周围1000m以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶．（1）村庄能否听到广播宣传？请说明理由．（2）已知宣讲车的速度是200m/min，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间？2．如图，将长为2.5米的梯子AB斜靠在墙AO上，BO长0.7米．如果将梯子的顶端A沿墙下滑0.4米，即AM等于0.4米，则梯脚B外移（即BN长）多少米？3．图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路．若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB＝160km，BC＝120km，求A，C两村之间的距离．4．某初中“数学兴趣小组”开展实践活动，在校园里测量一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池和建筑物遮挡，没有办法直接测量其长度．经测量得知AB＝AD＝60米，∠A＝60°，BC＝80米，∠ABC＝150°．如果你是数学兴趣小组的成员，请根据测量数据求出CD的长度．5．如图，小磊将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，测得MA＝a，梯子的底端P保持不动，将梯子的顶端靠在对面墙上，此时∠MPN＝90°，梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB，测得NB＝b，求A、B之间的距离．6．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一点，CE＝5，BC＝13，BE＝12．（1）判断△ABE的形状，并说明理由；（2）求线段AB的长．7．如图，已知某学校A与直线公路BD相距3000米，且与该公路上一个车站D相距5000米，现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市与车站D的距离是多少米？8．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路l上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由9．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？10．学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校修建这个花园需要投资多少元？11．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？12．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？13．如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D 处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．14．“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答）15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）16．如图所示，公路MN和公路PQ在点P处交汇，点A处有一所中学，AP＝160m，点A到公路MN 的距离为80m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？17．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源，为了不至于走散，他们用两部对讲机联系，已知对讲机的有效距离为13.5km，如图，早上8：00甲先出发，他以6km/h的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5km/h的速度向北行走，上午10：00，甲步行到A，乙步行到B．（1）求甲、乙二人相距多远？（2）甲、乙二人是否能保持联系并说明理由？18．郑州市CBD如意湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝50米．求：（1）两棵景观树之间的距离；（2）点B到直线AC的距离．19．我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）20．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？。
第3章 勾股定理 平面展开最短路径专题习题 2021-2022学年八年级数学苏科版上册
第3章勾股定理——平面展开最短路径专题一．选择题1．已知：如右图，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P在OM上，一只蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的最短路径的痕迹如图．若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．2．如图：长方体盒子的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，其中最短的路程是（）cm．A．15 cm B．20 cm C．25 cm D．30 cm3．如图是长为5，宽为4，高为3的长方体，一只蚂蚁从顶点A沿长方体的表面爬行到顶点B的最短距离是（）A．12 B．3C．4D．4．如图：有一圆柱，它的高等于4cm，底面直径等于2cm（π＝3）在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（）A．8cm B．6cm C．5cm D．10cm5．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点，且PC＝BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A．B．5cm C．D．7cm6．如图，A是高为10cm的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A点出发，沿30°角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（）A．10cm B．20cm C．30cm D．40cm7．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要（）cm．A．10n B．C．D．8．如图，一圆柱体的底面圆周长为24cm，高AB为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程是（）A．4B．4C．D．π+9．已知，如图是一个封闭的正方形纸盒，E是CD中点，F是CE中点，一只蚂蚁从一个顶点A爬到另一个顶点G，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是（）A．A⇒B⇒C⇒G B．A⇒C⇒G C．A⇒E⇒G D．A⇒F⇒G10．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是（）A．71寸B．73寸C．100寸D．103寸二．填空题11．如图，圆柱形容器外壁距离下底面3cm的A处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面3cm的B 处的米粒，若圆柱的高为12cm，底面周长为24cm．则蚂蚁爬行的最短距离为cm．12．如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是．13．如图，一个高16m，底面周长8m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为长．14．如图，是一个3×3的魔方放在桌面上，该魔方上每一个小方格的边长都是2cm，其下底面点A处有一只蚂蚁，侧面点B处有一滴蜂蜜，若蚂蚁沿魔方的表面爬行从点A到点B去吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短路径为．15．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝4m，一滑行爱好者从A点滑行到E点，则他滑行的最短距离为m（π的值为3）．16．如图，有一圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，则梯子最短需m （油罐底面圆的周长为15m，高AB＝8m）．17．如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝50，点P到AD的距离是30，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，则蚂蚁的最短行程为．三．解答题18．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为多少（π取3）19．如图，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）20．葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为3m，绕一圈升高4cm，则它爬行路程是多少？（2）如果树的周长为8m，绕一圈爬行10m，则爬行一圈升高多少m？如果爬行10圈到达树顶，则树干多高？21．如图（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图（2）所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？22．如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm．现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）．（1）请问彩带的长度是多少？（2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处．请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？（注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答）。
苏科版2021年中考数学总复习《勾股定理》(含答案)
11.如图，Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=3，沿 DE 折叠使点 A 与点 C 刚好重合，则 CD 的长
为
．
12.如图,在四边形 ABCD 中,AB⊥BC,AD∥BC,∠BCD=120°,BC=2,AD=DC.P 为四边形 ABCD 边上的
任意一点,当∠BPC=30°时,CP 的长为
在△ABG 和△CDH 中，
， ∴ △ ABG≌ △ CDH（ SSS），
AG2+BG2=AB2， ∴ ∠ 1=∠ 5， ∠ 2=∠ 6， ∠ AGB=∠ CHD=90° ，
∴ ∠ 1+∠ 2=90° ， ∠ 5+∠ 6=90° ，
又 ∵ ∠ 2+∠ 3=90° ， ∠ 4+∠ 5=90° ， ∴ ∠ 1=∠ 3=∠ 5， ∠ 2=∠ 4=∠ 6，
在△ABG 和△BCE 中，
， ∴ △ ABG≌ △ BCE（ ASA），
∴ BE=AG=8， CE=BG=6， ∠ BEC=∠ AGB=90° ， ∴ GE=BE﹣ BG=8﹣ 6=2，
同理可得 HE=2，在 RT△GHE 中，GH=
=
=2 ，故选：B．
8.C. 9.答案为：北或南；
10.答案为：8 ．
苏科版 2021 年中考数学总复习
《勾股定理》
一、选择题
1.在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别记为 a，b，c，下列结论中不正确的是( )
A.如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC 是直角三角形
B.如果 a2=b﹣2c2，那么△ABC 是直角三角形且∠C=90°
C.如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC 是直角三角形
=
=240 米．
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第3章 勾股定理 综合提优卷
（时间：60分钟 满分：100分）
一、填空题（每题3分，共30分）
1．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底4
米处，那么这棵树折断之前的高度是_______米．
2．直角三角形一条直角边与斜边分别为4 cm和5 cm，则斜边上的高等于_______cm．
3．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则以AB为直径的半圆
的面积为_______．
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，若AB＝4 cm，AD＝3 cm，CD＝12 cm，BC
＝13 cm，则四边形ABCD的面积是_______．
5．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80 cm，宽为60 cm，对角线为100 cm，
则这个桌面_______．（填“合格”或“不合格”）
6．甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了8 km，乙往南走了6 km，这时两人相距
_______km．
7．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了
一条“路”．他们仅仅少走了_______步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
8．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝a，则图中
阴影部分的面积为_______．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD
＝5，则CD＝_______．
10．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BD＝5．如图所示，折叠纸片使点A落在
边BC上的A'处，折痕为PQ．当点A'在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若
限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点A'在边BC上可移动的最大距离为_______．
二、选择题（每题3分，共30分）
11．下列各组数中，可以构成勾股数的是( )．
A．13，16，19 B．17，21，23
C．18，24，36 D．12，35，37
12．下列命题中，是假命题的是( )．
A．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形
13．一直角三角形的三边分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为( )．
A．13 B．5
C．13或5 D．4
14．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方
形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D
的边长分别是3，5，2，3，则最大的正方形E的面积
是( )．
A．13 B．26
C．47 D．94
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到AB的距离是( )．
A．125 B．425 C．34 D． 94
16．已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800 cm2，则斜边长为( )．
A．30 cm B．80 cm
C．90 cm D．120 cm
17．底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的
最短距离是( )．
A．10 B．8
C．5 D．4
18．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC，交AD于点E，
AD＝8，AB＝4，则DE的长为( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
19．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，
AD＝3，BD＝5，则CD的长为( )．
A．32 B．4 C．25 D．4.5
20．如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，
以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→……，白甲壳虫爬
行的路线是AB→BB1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n＋2与第n条棱所在的
直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第
2013条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题（共40分）
21．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
(1)求DC的长；
(2)求AB的长．
22．观察下列各式，你有什么发现？
32＝4＋5，52＝12＋13，72＝24＋25，92＝40＋41，…
这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？请你结合有关知识进行研究．若132＝a
＋b，则a，b的值可能是多少？
23．如图所示，一轮船以16 n mi1e／h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以
12 n mi1e／h的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距多
远？
24．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c
和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
(1)画出拼成的这个图形的示意图；
(2)证明勾股定理．
25．如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1 km，BD
＝3 km，CD＝3 km现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用
为20 000元／千米，请你在河CD边上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出
铺设水管的总费用？
26．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，
AP＝160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路
MN上沿PN方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由．如果受影响，已知拖
拉机的速度为18千米／时，那么学校受影响的时间为多少秒？
参考答案
1．8 2．2.4 3．1698
4．36 cm2
5．合格 6． 10 7．8 8．22a
9．1.4 10．2
11．D 12．C 13．C 14．C 15．A 16．A 17．A 18．C 19．B 20．C
21．(1)12 (2)25
22．a=84，b=85
23．2h后
24．略
25．作点A关于河CD的对称点A'，连接A'B交河CD于O点，点O就是水厂的位置，
26．24秒