行列式试题库
一．判断题
（易）1、n 阶行列式
11121212221
2n n
n n nn
a a a a a a a a a ??????????????是由2n 个数构成的n 行n 列的数表（ ）．
答案：×
（较容易）2、6216
210
0000000λλλ=λλλΛΛ
M
M M
M M ΛΛ．
（ ）． 答案：×
（较容易）3、8218
210
0000000k k k k k k ΛΛ
M
M M
M M ΛΛ=．（ ）．
答案： √
（较容易）4.若方阵A 的各行元素之和为零，则0A = ( ) 答案： √
二．填空题
（中等）1.设12345
77733
324523332246523
=A ,313233++=A A A _________,3435+=A A ________
答案：0，0
（中等）2.1234
243141321432
=
D , 求11213141+++A A A A =________
答案：0
（较容易）3. 5阶行列式D 的第2列元素依次为1,1,0,2,1它们对应的余子式分别为－1,3,－2,0,1，则=D ________. 答案：3
（较容易）4.d
b a
c
d b c a b
d c a b d a c = ．
答案：0
（较容易）5.
y
x y
x x y x y x y x x y x 323222 +++++=
．
答案：)(2y x xy +-
（较容易）6. 621
7213424435431014327
427246-=
答案：510294?-
（中等）7．已知三阶行列式 9
876543
21 =D ，它的元素ij a 的代数余子式为ij A （3,2,1,3,2,1==j i ），
则与232221cA bA aA ++对应的三阶行列式为
．
答案： 9
873
21 c b a
（中等）8． 设行列式3
0402222,07
5
3
22
D =
-- 则第四行各元素余子式之和的值为 .
答案：–28
（较容易）9．
1111001
1110
y y y x x
x
--= ．
答案：22
x y
（中等）10． 行列式
1
1
1
1
111111111111
--+---+---x x x x = ．
答案：4x
（较容易）11． 当λ= 或μ= 时，齐次方程组???
??=+μ+=+μ+=++λ0
200
321
321321x x x x x x x x x 有非零解．
答案：1，0
（较容易）2. 设2
2
2
2
3333
1
111a b
c
d
D a
b c d
a b c d =
,则D=______________
答案：()()()()()()d c d b d a c b c a b a ------
（较容易）13. 已知四阶行列式D 的第二行元素分别为3, 1, -1, 2, 他们对应的余子式分别为1, 2, 2, -1, 则行列式=D ______ 答案：-1
（较容易）14. 设A 是三阶方阵, 且3||=A , 则|)2(|1
-A =_______
答案：
124
（容易）15. A 为正交矩阵, 则=||A _____________
答案：1或-1 （较容易）16. 已知四阶行列式D 的第3列元素分别为1,3,-2,2,他们对应的余子式分别为3,-2,1,1,则行列式D=________ 答案：5
（容易）17. 行列式256
13412
a
中元素a 的代数余子式 = _________ 答案：－４
（较容易）18.四阶行列式D 的第二行的元素都是2，且第二行元素的代数余子式都是3，则D= _________ 答案：0
（较容易）19.设A 是三阶行列式，且1A =，则2A A =______ 答案：512
（较容易）20.设五阶矩阵A 的行列式2A =-，则其伴随矩阵*
A 的行列式*A = ____ 答案：16
（容易）21. 已知三阶行列式2
51102
3
2
1-=D , 则第3行第2列元素的代数余子式32A =_____________
答案：7
（容易）22. 按自然数从小到大为标准顺序，排列4132的逆序数为 ．. 答案：1
（容易）23. 当=i =k 时排列1274i 56k 9为偶排列． 答案：8，3
（容易）24. 排列1 3 …（12-n ）2 4…（n 2）的逆序数为 _______ ． 答案：
(1)
2
n n - （容易）25. 在五阶行列式中项5541322413a a a a a 前面应冠以 号（填正或负）． 答案：负
（容易）26. 四阶行列式中含有因子2311a a 且带负号的项为_____ 答案：44322311a a a a -
（容易）27. 设A 为n 阶矩阵,且T A A E =，则必有________A =
答案：1 或－1
（容易）28. 设A 为n 阶可逆矩阵，如果2A =,则*A =________
答案：12n -
（容易）29. 设A 为n 阶可逆矩阵，如果 2A =- ,则*A =________
答案：1
(2)
n --
（容易）30. 设A 为n 阶矩阵,且T
A A E =，则必有T A =________
答案：1 或－1
（容易）31.设A 是n 阶方阵, *
A 为其伴随矩阵, 若a A =||, 则||*
A =__________
答案：1
n a
-
（容易）32.若2||44-=?A , 则=||*
A _________ 答案：8
（容易）33.设32
11
11
1410
D -=-,则313233A A A ++=_____ 答案：0
（较容易）34. 若0x a a
a
x a a a
x
=，则a =_____
答案：2a -或0
（较容易）35.已知3
021111
x
y z =，则33
3322
2
2
x y z
x y z x y z ++=+++_____ 答案：2
（较容易）36.设12234
000
000
000
a a D a a =
1
2134
000
0200
00300
4a a D a a =，则1D =_____2D 答案:24
（容易）37.1
200340000540
45
D --=
=-- ____
答案:-18
（容易）38.12
0034000013
00
5
1
D =
=- ____
答案:32
（较容易）39.1111
001100111001
D =
= ____
答案:0
（较容易）40.若齐次线性方程组03030x y z x y z x y z λ+-=??
-+=??-+=?
有非零解,则λ=____
答案:12
λ=-
（容易）41.行列式A 中元素ij a 的代数余子式ij A 与余子式ij M 之间的关系____ 答案:(1)
i j
ij ij A M +=-
（较容易）42.若n 阶方阵A 的秩为n-1,在A =____ 答案:0
（较容易）43.设A,B 是两个三阶的方阵,且1A =-,2B =,那么13
3()T
A B -=____
答案:278
-
（容易）44.设三阶方阵A 的不同特征值为-1,2,4 ,则A =____ 答案:-8
（较容易）45.若A,B 为n 阶方阵,且1
,32
A B ==-,则*12A B --=____ 答案:1
2(1)
3
n +- （容易）为三阶方阵,2A =,则
1
2
A =____ 答案:
14
（较容易）47.设行列式2345246812035643
D =
,则414243442468A A A A +++=____
答案:0
（较容易）48.若3
022111
x
y z =-,则4131111
1
1
x y z ---=____
答案:2
（较容易）49.
82764125
49162523451
1
1
1
= ____
答案:12
（较容易）50. 如果3333231
232221
131211
==a a a a a a a a a D ,则111213
21
222331323332623a a a a a a a a a ---= ____ 答案:-18
（较容易）51. 如果333
32
31
232221
131211
==a a a a a a a a a D ,则111213
21
222331
32
33
222222222a a a a a a a a a = ____ 答案:24
（容易）52.已知三阶方阵A 的三个特征值为1，－2，3 ，则A =____ 答案：－6
（容易）53. 0100002000001000
n D n n ==-L L
M M M O
L L
答案：1
(1)
!n n +-
（容易）54. 0
x y D
x
z y z
=---＝
答案：0
（容易）55.已知12
53284013902
1
6
D ----=
,23A = 答案：－9
（容易）56. ef
cf
bf de cd
bd ae
ac
ab ---= 答案：4abcdef
（较容易）57. 3
32211
11
1100
110
01
b b b b b b D ------=
= 答案：1
（较容易）行列式
2001
021*********
＝
答案：9
三．选择题
（容易）1. 如果??
?=-+=+-0
)1(20
2)1(2121x k x x x k 仅有零解,则( ).
A. 1≠k ,
B. 1-≠k 或3≠k ,
C. 3=k ,
D. 1-≠k 且3≠k .
答案：D
（较容易）2. 设,,D αβγ=
, ,,αβγ分别表示行列式D 的三个列，则D =（ ）
A. ,,γβα
B. ,,αββγγα+++
C. ,,αβγ---
D. ,,ααβαβγ+++
答案：D
（较容易）3．四阶行列式D=
1
1
22334
4
0000
000
a b a b b a b a 的值等于（ ） A. 12341234a a a a b b b b - B. 12341234a a a a b b b b +
C. 12123434 ()()a a b b a a b b --
D. 23231414()()a a b b a a b b --
答案：D
（容易）4.如果11
121321
222331
32
33
2a a a a a a a a a =，则111213
21
222331
32
33
222222222a a a a a a a a a =（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 16 答案:D
（较容易）5.已知4阶方阵A ，其第三列元素分别为1，3，－2，2，它们的余子式的值分别为3,-2,1,1则行列式A =( )
A. 5
B. -5
C. -3
D. 3 答案:A
（中等）6.设2
3
1
111111()11
4118
x f x x x -=
-,则方程()0f x =的三个根分别为( )
A. 1,-1,2
B. 1,1,4
C. 1,-1,8
D. 2,4,8 答案: A
（较容易）7.行列式1122331
10
a b
a c
a b
a c a
b a
c ++++++=( )
A. 0
B. b c -
C. 21()()c b a a --
D. 21()b a a - 答案:C
（容易）8.行列式13
2
5
2
01
03
D -=--中元素32a 的代数余子式为( ) A. 0 B. -10 C. 10 D. 3 答案:B
（容易）9.行列式213
122
01
D -=中元素32a 的代数余子式为( ) A. 4 B. -4 C. 0 D. 2 答案:A
（较容易）10.若11
121321
222331
32
33
1a a a a a a a a a = 则313233
2122
2311
12
13
222333a a a a a a a a a ---=( ) A. -5 B. 6 C. -1 D. 1 答案: B
（较容易）11.设221
15
()1
1
4723
f x x x =+-,则方程()0f x =的根分别为( )
A. 1,1,3,3
B. -1,-1,3,3
C. -1,-1,-3,-3
D. 1,-1,3,-3
答案：D (较容易)
12.已知11
1213
21
222331
32
33
a a a a a a d a a a =,则行列式3132331112132111
2212
2313
333232323a a a a a a a a a a a a ---=+++( )
A. 6d -
B. 6d
C. 3d -
D.3d 答案：A
（较容易）13.1
23
1
231
2
3
3a a a b b b c c c ?=( ) A. 1
23
1
231
2
3333a a a b b b c c c B. 12
3
1
231
2
3333333333a a a b b b c c c C. 1
231231
2
3
333a a a b b b c c c -
D. 12
31
231
2
3
333a a a b b b c c c 答案:D
（较容易）14.行列式0
0030
0100
20
0010000000
2
D -==--( ) A. -12 B. 12 C. -6 D. 6 答案:A
（较容易）15.设det()n ij D a =,则0n D =的充分必要条件是( ) A. n D 中有两行(列)元素对应成比例 B. n D 中有一行(列)的元素均为零 C.11220()i j i j in jn a A a A a A i j ++???+== D. 11220()i j i j in jn a A a A a A i j ++???+=≠ 答案:C
（中等）16.1223()710
431
7
1
x
x x x f x x
--=
--是( )次多项式
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1 答案:C （较容易）17.四阶行列式D 的某行元素依次为-1,0,k,6, 它们的代数余子式分别为3,4,-2,0,且9D =-,则k =( )
A. 0
B. 3
C. 1
D. -1 答案:B
(较容易)18.若11
121321
222331
32
33
1a a a a a a a a a =,则13111211
23
21222133
3132
31
454545a a a a a a a a a a a a --=-( ) A. 5 B. -5 C. 20 D. -20 答案:A
（容易）19.22
2
a a
b ac
ab b
bc ac bc c =( ) A. abc B. 1 C. 0 D. 222
a b c 答案:C
（较容易）20. 设*
1
,A A -分别为n 阶方阵A 的伴随矩阵和逆矩阵,则*1A A -=（ ） A. n
A B. 1n A
- C. 2
n A
- D. 3
n A
-
答案:C
（较容易）21.已知A 为三阶矩阵,其第三行元素分别为1,3,-2,它们的余子式分别为3,-2,1,则A =( )
A. 5
B. -5
C. 7
D. -7 答案:C
（较容易）22.如果11
121321
222331
32
33
1a a a a a a a a a =,则11111213
21
21222331
3132
33
423423423a a a a a a a a a a a a --=-( ) A. 8 B. -12 C. 24 D. -24 答案：B
（较容易）23.行列式103100204
199
200395301300600
=（ ）
A. 1000
B. -1000
C. 2000 答案：C
（较容易）24.行列式40105
022*********
D =
的值为（ ）
A. -12
B. -24
C. -36
D. -72 答案：D
（较容易）25.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则（ ） A. A 中必有两行(列)的对应元素成比例;
B. A 中任意一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;
C. A 中必有一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;
D. A 中至少有一行(列)向量为零向量
答案：C
（较容易）26. 已知三阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则行列式2A =( )
A. 0
B. 1
C. 6
D. 36 答案：D
（较容易）27. 如果m a a a a a a a a a D ==33
32
31
232221
131211
，13
12
11
232221
3332311333333333a a a a a a a a a D = 那么=1D （ ）．
A.m 3；
B.m 3-；
C. m 9；
D. m 27-．
答案：D
（较容易）28.已知000100
1
01000
100000
1
D ??????
??????????????????
=?????????
，则D =（ ）
A. 1
B. -1
C. (1)2
(1)
n n -- D. (1)(2)
2
(1)
n n ---
答案：D
29.行列式D 非零的充要条件是（ ） 的所有元素都不为零 至少有2
n n -个元素不为零 的任意两列元素之间不成比例
D.以D 为系数行列式的线性方程组有惟一解 答案：D
四．解答题
（较难）1.
123111111111111111
(0,1,2,,)11
1
1
11+++≠=+L L L L M M M M L
i n
a a a a i n a
解：
1231111111111111111111
11++++L
L L M M M M L
n
a a a a 1121
31
11111000000000
+-=--L L L M M M M M M L n
a a a a a a a 112131
11111000000000
+---L L L M M M M M M L n
a a a a a a a 112231111100
00000
0=++=
∑
L L
L M M M M M M
L
n
i i
n
a a a a a a 231120000
100=??=++=??
?
?∑L L L L L L
n
i i n a a a a a a 11
1(1)===+∑∏n
n
i i i i a a （较难）2．1
232
3413
452121-L L L L L L L L L
n n n 解：12323413
4521
2
1-L L L L L L L L L n
n
n ＝122312341124
5212121++++++++++++-L L L L L L L L L L L L L n
n n n n n ＝12301111
3410
111
(1)(12)1
4522
01111
121
1121------++++=-----L L L L L L L
L
L
L L L L L L L L
n n n n n n n n n
＝1
1
11111
111(1)
(1)
2
1111111
1
+---------+---------L L
L
L L L L
n n n n n n n n ＝1
1
0000
00(1)(1)
2
0001111+-+----L L
L L
L
L L
n n n n n n n
＝1
2
000(1)
(1)
(1)2
n n
n n n n n n
+-+--L L L L L L L
＝(1)(4)
1132
2(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)22
-++--++----=-L n n n n n n n n n n n
（较难）3．-=------L L L
L L L L L L L
n x a a a a a x
a
a a D a a
x
a
a a a a a x
解：00--=
+-------L L L L L
L
L
L
L L
L
L
L
L L L
n x
a a x a a a a x a a x a a D a a a x a
a a a a
＝11100
()()()0000---+-+--+=-+++---L L L
L L L L L
n n n x a a x
x a a x x a D x a D a x a x a a
a
a
a
由递推关系有1()()2??=
++-?
?n n n D x a x a （较难）4．11111
1
-=
--L
L L
L L L L
n n D n n 解：1010
0111001011
111
+----=
=
+------L L L L L L L L L L L L L
L
n n
n n n D n n n n
＝1
1
1(1)(1)
010100
+---------L
L L L
L L L
n n n n n
＝1
2
01(1)(1)
(1)(1)
010111
+------------L L L L L L L
n n n n n n n
＝254
113112
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)+-+----------=-+L n n n n n n n n n
＝222(1)112
2
(1)(1)
(1)(1)
(1)++-----+=-+n n
n n n n n n n
（中等）5. 写出四阶行列式2
3
7
40101201035
--=
D 中元素4,13323=-=a a 的代数余子式，并求其
值.
解： 2
3
7011
35)
1(3
223-?-=+A 2
3
7013430---
.9610262
3
343=+-=--=
2
01
5)1()2(2
3
0201
35)
1(223
333++-?-=--?-=A .2010)2(-=?-=
.176)20(4960033332323-=-?+-=+++=A a A a D
（中等）6. 计算行列式
7325
254346323214
-----
解:
7
3
2
5
254346323214
----- =
13
7
23
10
3419503100010------
137310319
5010)1(121----?=+13
72310315
00-----.310625)697(57
233
15=?=+-=--=
（中等）7. 计算(2)≥n n 阶行列式00010
0000
0001
000a
a D a a =L L L L L L L L L L
解: 按第一行展开，得()10
0000
0000001000
0100
n
a
a
a
a
D a
a a
+=+-L
L
L L L L L
L L L L
L L L
L L
L
． 再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到
()
()(
)()111
2222111n
n n n n n n D a a a a a a +-+---=+--=-=-
（中等）8．计算行列式a
b b b b
a b b D b
b a b b
b
b
a
=L L L L L L L L L
解: D =()()()()1111a n b b b b a n b
a b b
a n b
b
a b a n b b
b
a
+-+-+-+-L L L L L L L L L
[]1
1
(1)1
1
b b b
a b b
a n
b b a b b
b
a
=+-L L L L L L L L L =[]1(1)b b b
a b
a n
b a b
a b
-+---L O
（较容易）9.计算行列式 .2
1
430000120
096878434
1508
9715032
-=D 解:
2315097508
210014
144378968
23
034(83)034
021014
10210200034
00102
14
1111(412)1116176.34
D --==
=+?--=?
=+=?=
（较容易）10. k 取何值时，下列齐次线性方程组有非零解：
???
??=+-=++-=++.
02,0,0321
321321x x x x kx x kx x x 解: 方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零.
211
1
1
11--=k
k D k
k
k k --++22
11011k
k k --+2201
1
11)1(
11
(1)011
004k k k
+-).4)(1(k k -+=即 .0)4)(1(=-+k k
所以当1-=k 或4=k 时，齐次线性方程组可能有非零解.
（中等）11. 计算行列式1314
21
131
102335
1-----=
D .
解： 119
210
111016055100335
1-----=
D 11
1
3200112033515
----=1
1
2
32
0011103351)
5(-----=
1
300
3
2001
1103
35
1)
5(------=2
11
000320011103351)5(-----=55-=
（中等）12. 计算行列式x a a a x a a a x D n ΛM
M M Λ
Λ
=
．
解： x
a a a x a
a n x D n r r r n
Λ
M M M Λ
Λ
Λ111]
)1([)
(21-+=+++a
x a x a n x ---+=Λ
M M
M Λ
Λ
0011
1
])1([
1
)
]()1([---+=n a x a n x
（中等）13. 计算行列式的值1
118
101
71
1101325
--=
D
解：
1
011
3
-
D
=
1
1
81107
113521101--
021
70155011
01---=
=
820
07
120551
00
111
---8
2
017900551
00111--
410017900551001112
--=17
9
41005
5100111
2
---=
3819
410055100111
2
-=----=
（难）4. 计算n 阶行列式的值5
2
(00)
35...000...
0
0 (5200)
(35)
2
00...035=n D
解 按第一行展开，得：
211
16552
(00)
35...000...
...............00...52000 (350)
00 (0323)
5-----=
-=n n n n n D D D D 按第一列展开
得到递推式：2165---=n n n D D D
写作）（211232----=-n n n n D D D D ，可得）（122
1232D D D D n n n -=--- 写作）（211323----=-n n n n D D D D ，可得）（1221323D D D D n n n -=---
而195
235,521==
=D D
?????=-=-∴--n
n n n
n n D D D D 2
33211 解之得1
123++-=n n n D （中等）15. 计算n 阶行列式x
y
y x y x y
x
y x D 0
(00)
...0000 0
0 (000)
(00)
00...00=
的值
解 按照第一列展开
n
n n n n n n n n y x y y x x y y x
y x y y x x y x y x
x D 11111
1
1
1
1)1()1(...000 0
...0
0...00...00)1(...000 0
...0
0...00...0)1(+-+--+-+-+=?-?+?=-?+-?=
（较容易）16. 问λ，μ取何值时，齐次线性方程组 1231231
230020
x x x x x x x x x λμμ++=??
++=??++=?有非零解？
解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故
11011111
111(1)0
12200
λ
λμλ
λμλμμμλμμμ
----===--
即0μ=或1λ=齐次线性方程组有非零解。
（较容易）17．问λ取何值时，齐次线性方程组12312312
3(1)240
2(3)0(1)0
x x x x x x x x x λλλ--+=??
+-+=??++-=?有非零解？
解：
212
4
034(1)2310112(2)(3)1
1
11
1
1λλλλλλλλλλ
λ
------=--+=----＝0 即0,2λ=或3.
（较容易）18. 已知齐次线性方程组???
??=++=++=++0
00
321
321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解, 求λ.
解 0)1)(2(1111
1
12=-+==λλλ
λ
λ
D , 故1=λ或2-=λ
（中等）19. 计算行列式D=
614
23021
511032121
----
解：200100
005001440212110
100
114
0144021216
1
42302
1
511032121
=--=
----=----=
D
（较难）20.计算行列式2
11 (11)
21 (11)
1
2...1...............111 (2)
D =
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：复数与行列式
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 复数与行列式 一、复数 1、（2018上海高考）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017上海高考）已知复数z 满足3 0z z +=，则||z = 3、（2016上海高考）设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =__________________ 4、（宝山区2018高三上期末）若i z i 23-+= （其中i 为虚数单位），则Imz = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 6、（奉贤区2018高三上期末）复数 i +12 的虚部是________. 7、（静安区2018高三二模）若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 8、（普陀区2018高三二模）已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（ ） )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、（青浦区2018高三二模）若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 10、（青浦区2018高三上期末）已知复数i 2i z =+（i 为虚数单位），则z z ?= ． 11、（松江、闵行区2018高三二模）设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴 上，则m = ． 12、（松江区2018高三上期末）若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈,），则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、（杨浦区2018高三上期末）在复平面内，复数2i z i -= 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、（浦东新区2018高三二模）已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（ ） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5± 15、（浦东新区2018高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ?=?；（3）123123()()z z z z z z ??=??，相应的在向量运算中，下列式子：（1）
工程数学教案行列式的性质与计算
教案头 教学详案 一、回顾导入（20分钟） ——复习行列式的概念，按照定义计算一个四阶行列式，一般需要计算四个三阶行列式，如果计算阶数较高的行列式利用定义直接计算会比较麻烦，为简化行列式的计算，我们需要研究行列式的主要性质。 二、主要教学过程（60分钟，其中学生练习20分钟） 一、行列式的性质 定义 将行列式D 的行换为同序数的列就得到D 的转置行列式，记为T D 。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和。 性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。二、行列式按行（列）展开 定义 在n 阶行列式中，把元素 ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1-n 阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij A 。记ij j i ij M A +-=)1(，叫做元素ij a 的代数余子式。引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，那末这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij A a D =。定理 行 列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ),,2,1(,2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=。 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 j i A a A a A a D jn in j i j i ≠+++=,2211 。 行列式的代数余子式的重要性质： ???≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij n k kj ki 当当δ???≠===∑=;,0, ,1j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ
行列式试题库
一．判断题 （易）1、n 阶行列式 11121212221 2n n n n nn a a a a a a a a a ??????????????是由2n 个数构成的n 行n 列的数表（ ）． 答案：× （较容易）2、6216 210 0000000λλλ=λλλΛΛ M M M M M ΛΛ． （ ）． 答案：× （较容易）3、8218 210 0000000k k k k k k ΛΛ M M M M M ΛΛ=．（ ）． 答案： √ （较容易）4.若方阵A 的各行元素之和为零，则0A = ( ) 答案： √ 二．填空题 （中等）1.设12345 77733 324523332246523 =A ,313233++=A A A _________,3435+=A A ________ 答案：0，0 （中等）2.1234 243141321432 = D , 求11213141+++A A A A =________ 答案：0 （较容易）3. 5阶行列式D 的第2列元素依次为1,1,0,2,1它们对应的余子式分别为－1,3,－2,0,1，则=D ________. 答案：3 （较容易）4.d b a c d b c a b d c a b d a c = ． 答案：0
（较容易）5. y x y x x y x y x y x x y x 323222 +++++= ． 答案：)(2y x xy +- （较容易）6. 621 7213424435431014327 427246-= 答案：510294?- （中等）7．已知三阶行列式 9 876543 21 =D ，它的元素ij a 的代数余子式为ij A （3,2,1,3,2,1==j i ）， 则与232221cA bA aA ++对应的三阶行列式为 ． 答案： 9 873 21 c b a （中等）8． 设行列式3 0402222,07 5 3 22 D = -- 则第四行各元素余子式之和的值为 . 答案：–28 （较容易）9． 1111001 1110 y y y x x x --= ． 答案：22 x y （中等）10． 行列式 1 1 1 1 111111111111 --+---+---x x x x = ． 答案：4x （较容易）11． 当λ= 或μ= 时，齐次方程组??? ??=+μ+=+μ+=++λ0 200 321 321321x x x x x x x x x 有非零解． 答案：1，0
(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
行列式经典例题及计算方法
行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ，求x 。 解：由行列式的加法性质，原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算：（化三角形法） 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D =
行列式的计算 （四）升级法（加边法） 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解：1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算 （二）箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解：把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列，得： 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑
线性代数第1章行列式试卷及答案
第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式D 非零的充分条件是( D ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式 1 2 21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ） A ．k ≠-1 B ．k ≠3 C ．k ≠-1且k ≠3 D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ B ） +n （m+n ） 4.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ A ） A. 32 D.3 8 5．下列行列式等于零的是(D ) A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613- 6．行列式 1 1 1 101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．如果方程组?? ? ??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ） 9．（考研题）行列式 0000000a b a b c d c d =（ B ） A.()2ad bc - B.() 2ad bc -- C.2222 a d b c - D.22 2 2 b c a d - 二、填空题 1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。 2. 行列式11 1 2 3 44916 中（3， 2 ）元素的代数余子式 A 32=___-2___. 3. 设7 3 43690211 1 1 875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 解答：5A 14+A 24+A 44= 1501 3430 90211 1 15751-=--- 4．已知行列式01 110321 2=-a ，则数a =____3______. 5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 解答：0)(1 0100 22=+-=--=---b a a b b a a b b a a =0, b =0 6. 设1 31 2 4321322 )(+--+-+= x x x x f ，则2 x 的系数为 23 。 7. 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 解答：4232 1 2 331)1(6 200357020381002 30003100032=?? -=? 8. （考研题）多项式2 1 1 111 )(32 132132 1321+++++= x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零 点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。 9、（考研题）设x d c b d x c b d c x b d c b x x f = )(，则方程0)(=x f 的根为=x 。 【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以 行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。 再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为 d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的 第四根)(d c b x ++-=。 故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。 二、计算题 1、计算000100 0200020120002013000 002014 D = 。 【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素 nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项： nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2 ) 2)(1(--= n n t ， 因此 (20141)(20142) 2 (1) 2014!2014!D --=-= 方法二：按行列展开的方法也行。 2、计算行列式 3 214214314324 321= D 。 分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加 法). 解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得
行列式检验测试题(有规范标准答案)
第九讲 行列式单元测试题点评 一、填空题（每小题2分，满分20分） 1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次 对换变为奇排列； 3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D' =； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这 个行列式等于零； 6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边； 7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列） 的对应元素上，行列式的值不变； 8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的 代数余子式的乘积之和等于零； 9. 11121 222 1122 ; 00 n n nn nn a a a a a a a a a = L L K M M M M L
10.当 k=22 ±时，542k k k =。 二、判断题（每小题3分，满分24分） 1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ΛΛππ则若 （∨） 的符号 的一般项则设n n j i j i j i nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛ M M M M ΛΛ2211D ,.221 2222111211= .)1() (21n j j j Λπ-是 （×） 3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。 （×） 6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×) 7. 11 121313233321222312 222331 32 33 11 21 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×) 8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。 （×） 三、单项选择题（每小题4分，满分20分） 1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+L L 中的数1与其余数形成的反序个数为（ A ）
行列式-矩阵练习题
行列式 矩阵练习题 一、单项选择题 1. 设行列式D=a 522315 21-=0，则a =( B ). A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 2. 设A 是k ×l 矩阵，B 是m ×n 矩阵，如果AC T B 有意义，则矩阵C 的为( B ). A. k ×m B. k ×n C. m ×l D. l ×m 3. 设A 、B 均为n 阶矩阵，下列各式恒成立的是( B ). A. AB=BA B. (AB)T =B T A T C. (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 2 4. A 为n 阶方阵，下面各项正确的是( C ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解 C. 若A 2=A,则A=E D. 若秩(A)
高二数学上册 9.4《三阶行列式》教案(3) 沪教
9.4（1）三阶行列式 一、教学内容分析 三阶行列式是二阶行列式的后继学习，也是后续教材学习中一个有力的工具．本节课的教学内容主要围绕三阶行列式展开的对角线法则进行，如何理解三阶行列式展开的对角线法则和该法则的应用是本节课的重点内容． 二、教学目标设计 经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用． 三、教学重点及难点 三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程． 四、教学用具准备 可以计算三阶行列式值的计算器 五、教学流程设计 六、教学过程设计 一、情景引入 1．观察
(1)观察二阶行列式的符号特征： 1325 023 1 - 612 711 - a b c d (2)观察二阶行列式的展开式特征： 13112321=?-? 02013(2)3 1-=?-?- 6 12 6(11)712711 =?--?- a b a d c b c d =?-? 2．思考 (1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？ (2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？ [说明] (1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征． (2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，可以提示学生主要着力于以下几个方面： ① 观察二阶行列式的展开式有几项？ ② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？ ③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？ 二、学习新课 1．新课解析 【问题探讨】 结合情景引入的两个思考问题，教师可以设计一些更加细化的问题引导学生发现二阶行列式的符号特征以及二阶行列式的展开式特征，从而类比得到三阶行列式相应特征．比如教师可以设计如下几个问题： 问题一，通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？ 问题二，说出二阶行列式的展开式有哪些特征？ (① 二阶行列式的展开式共有两项；② 二阶行列式的展开式中每一项有两个元素相乘；③ 相乘的两个元素在行列式位于不同行不同列；④ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了
行列式练习题及答案
一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0000000010 020001000 -= （ ）. （A ）! n （B ）!)1(2) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 23232101)(= 中，3x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.
一、填空题 1．若D=._____324324324,133 32 3131 232221211312111113332 31 232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2913251323 2 213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 8 1 71160451530169 14 4312----- 2． d c b a 100 1100 11001--- 3．a b b b a b b b a D n =
行列式经典例题
大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
行列式典型例题
第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 1 1 a a 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 001 (1) 0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．
n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 12112122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶 213111 n r r r r r r +---= 12121100 1001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 12100000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1 12 1 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例2.3 计算n 阶行列式： 12111 1111 1 1n n a a D a ++= +
行列式典型例题
第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 11 a a O 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - L O =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --O 1n c c += 1 1 1 a a a +-O =n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -O +1 1 001 0(1) 0n n a a +--L O O 而 1 1 01 0(1) 0n n a a +--L O O 最后列展开 =21 (1)n +-2 n a a -O =2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．
n D =2(2) (1)n --11a a a O = 11a a 2 n a a -O =n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= +L L M M M L (120n b b b ≠L ) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 121121 221 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L 升阶 213111 n r r r r r r +---= L 12121100100100n n a a a b b b ---L L L M M M M L 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= L 111211 1 2100 00000 n n a a a a a b b b b b + ++L L L L M M M M L =1121(1)n n n a a b b b b b + ++L L 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +L L M M M L =1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例2.3 计算n 阶行列式：
线代教案第1章行列式
第1章行列式（共4学时） 一、教学目标及基本要求 1．了解逆序数的概念 2．掌握n阶行列式的定义和行列式的性质 3．掌握行列式的按行（列）展开定理 4．利用行列式的性质和展开定理计算行列式的值 二、教学内容与学时分配 1．预备知识 2．n阶行列式的定义（2学时） 3．行列式的性质 4．行列式的展开（2学时） 三、教学内容的重点及难点 重点：利用行列式性质及展开计算行列式 难点：行列式的计算技巧 四、教学内容的深化和拓宽 行列式的拉普拉斯展开定理及行列式在实际中的应用，或讲稿中部分结论推广 五、思考题与习题 思考题：见讲稿 作业：2，（2），（4），（6）；3，（1），（3）；7，（1），（3），（5） 六、教学方式与手段 注意行列式定义的引入，应用启发式
讲稿内容 1.1 预备知识 为什么要学习行列式呢？因为它是一个很重要的数学工具，在数学的各个分支中都经常用到，比如，用二阶行列式来解二元线性方程组，用三阶行列式来解三元方程线性组等；又如，已知平面的三点 ),(),,(),,(332211y x y x y x ，则以这三点为顶点的三角形面积为下面行列式的绝对值：.1112 1 3 3 22 11 y x y x y x 这一章主要引进行列式的概念并讨论行列式的性质，以及利用行列式的性来计算行列式的值。下面我们利用线性方程组的求解引入行列式的概念。 设有二元线性方程组 ?? ?? ?=+=+)2()1(22221211212111b x a x a b x a x a 可用消元法来解该方程组。 1222211211222111222)(:)2()1(a b a b x a a a a a a -=-?-? 2111122211222112111)(:)1()2(a b a b x a a a a a a -=-?-? 若0)(21122211≠-a a a a ，则21 1222112111122211222111222211,a a a a a b a b x a a a a a b a b x --=--= 如果我们定义 bc ad d c b a -=， d c b a 称为二阶行列式，横排称为行，纵排称为列，二阶行列式共有二行 二列四个元素，其值等于主对角线元素之积与次对角线元素之积的差。这样一来，二元线性方程组的解可简 单表示为 D D x D D x 2211,== 其中22 211211a a a a D = 为方程组未知数的系数所组成的行列式称为方程组的系数行列式； 2221211a b a b D = （用方程组的常数项代替系数行列式的第1列） 2 211 11 2b a b a D = （用方程组的常数项代替系数行列式的第2列） 类似地，我们可用三阶行列式来解三元线性方程组： ??? ??=++=+=++33332321 3123232221211 313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ＋ 定义32211331231233221133 32 31 23222113 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==
行列式练习题
《线性代数》第一章练习题 一、填空题 1、_____________)631254(=N 2、要使排列（3729m14n5）为偶排列，则m =_______, n =_________ 3、关于x 的多项式x x x x x 22111---中含2 3 ,x x 项的系数分别 是 4、 A 为3阶方阵，2=A ，则__ __________3* =A 5、四阶行列式)det(ij a 的反对角线元素之积（即41 322314a a a a ）一项的符号为 6、求行列式的值 (1) 4692469234 1234=_____； （2） 13 14102 4 2 121=____ ； (3) 2005 000200410020030102002 200120001--=_______; (4) 行列式2 4 3 012 321---中元素0的代数余子式的值为 _______ 7、 64 8149712551 = ； 125 2786425941653241111--= 8、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=______，|2A |=_____，|1 -A |= 9、 11101110= ； =0 001003102222210 。 10、若方程组 ?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到 另一列的对应元素上，行列式 。 12、行列式 中 在项的项共有214312344214231144 43 42 41 3433323124 23222114131211,,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，
线性代数习题册行列式-习题详解.doc
行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是 ( ) a b c d (B) a b d b (A) d a b ； c d c ； c a a 3c b 3d a b a b a b (C) c d c ； (D) c d c . d d 答案： D 2．行列式 D n 不为零，利用行列式的性质对 D n 进行变换后，行 列式的值（ ）． (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D) 保持相同的正负号． 答案： C 二、填空题 1. log a b 1 =. 1 log b a 解析： log a b 1 log a b log b a 1 1 1 0 . 1 log b a cos sin 2. 3 6 =. sin cos 3 6 cos sin 解析： 3 6 cos cos sin sin cos0 sin cos 3 6 3 6 2 3 6 2x 1 3 3. 函数 f (x) x x 1 中， x 3 的系数为 ； 2 1 x 2x 1 1 g( x) x x x 中， x 3 的系数为. 1 2 x 答案： -2 ； -2.
阶行列式 D n中的n最小值是. 答案： 1. 1 2 3 5.三阶行列式0 2 4 中第2行第1列元素的代数余子式 3 1 1 等于. 答案： 5. 6.若 2x 8 0 ，则x= . 1 2 答案： 2. 7. 在n 阶行列式 D a ij 中，当 i 第一章 行列式 一、单项选择题 1．=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3. 若2 1 3332 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133312221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 4．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 5． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 6. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 7. 若2 23 5 00 1 011110403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 8. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111. 2．行列式 =-0 10000200 0010Λ ΛΛΛΛΛΛn n . 3．行列式 =--0 01)1(2211)1(111Λ ΛΛΛ Λn n n n a a a a a a . 4．如果M a a a a a a a a a D ==3332 31 232221 131211 ，则=---=32 32 3331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 5．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为 . 6．行列式 = --+---+---111 1 111111111111 x x x x . 7．n 阶行列式=+++λ λλ 111 1 11111Λ ΛΛΛ Λ. 8．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3, 2, 1，则该行列式的值为 . 9．设行列式5 678123487654 321= D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式， 2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ?=)( 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下） 三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )(== 若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称A 与B 相等，记为A=B 。 2.1.2 矩阵的运算 1．加法 （1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)(==，则mn ij ij b a B A C )(+=+= （2）运算规律 ① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ） ③ A+O=A ④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 （1）定义：设,)(mn ij a A =k 为常数，则mn ij ka kA )(= （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法 （1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则 ,)(mp ij C C AB ==其中∑== n k kj ik ij b a C 1 （2）运算规律 ①)()(BC A C AB =；②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( （3）方阵的幂 ①定义：A n ij a )(=，则K k A A A = ②运算规律：n m n m A A A +=?；mn n m A A =)( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ≠ ②;00,0===B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB ?≠)( 4．矩阵的转置行列式练习题目及答案
矩阵典型习题解析