行列式检验测试题(有规范标准答案)

第九讲行列式单元测试题点评一、填空题（每小题2分，满分20分）1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321；2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次对换变为奇排列；3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D'=；4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号；5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这个行列式等于零；6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边；7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变；8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零；9.111212221122; 00nnnnnna a aa aa a aa=LLKM M M ML10.当k=22±时，542k k k =。

二、判断题（每小题3分，满分24分）1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ΛΛππ则若 （∨）的符号的一般项则设n n j i j i j i nnn n nna a a a a a a a a a a a D ΛΛMM M M ΛΛ2211D ,.2212222111211=.)1()(21n j j j Λπ-是 （×） 3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。

（×） 6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×)7.111213132333212223122223313233112131a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×)8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。

（×） 三、单项选择题（每小题4分，满分20分）1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+L L 中的数1与其余数形成的反序个数为（ A ）（A ）k-1 (B) n-k-1 (C) k n C (D) 2n C k -2.设12n i i i L 是奇排列，则121n n i i i i -L 是（C ） （A ）奇排列； （B ） 偶排列；（C ）奇偶性不能仅由n 的奇偶性确定的排列； （D ）奇偶性仅由n 的奇偶性确定的排列。

3．一个不等于0的n 阶行列式中非零元素个数至少为（D ）；22()(1)()()(1)()A n n B n C n D n --4．以下数集作成数环的是( C )(1)S={}b Z ∈; (2) S={}0a a Q ≠∈;(3)S={},a b Z +∈; （4）S={},a a b Q +∈.（A ）（1）、（3） （B ）（2）、（4） （C ）（3）、（4） （D ）（1）、（4）5．行列式00000ae bfg c hd中元素f 的代数余子式是（ C ） ()()()()d e d e a eaeA B C gD gfgfh dh d --四、计算下列各题（每小题5分，满分20分）1．计算()πL (2k)1(2k-1)2(k+1)k ；11121314352111052.,13132413设求的值.D A A A A --=+++----3．计算行列式D=222333444345345345345的值。

222222223333333344444444111112345634534563453456345345634532)42)52)62)43)53)63)54)64)65==----------解（（（（（（（（（（4．计算行列式 123111000220000011n nn n--=---LLLM M M M M Ln D 的值。

1111053133-=-11121314A A A A +++解 4.=21231110000220000011123101000(1)022n n n n D n n n n n n--==-----+-L L L M M M M M L L L L将第至列都加到第一列解五、证明下列各题（满分16分）1212,F F F F I 1.设均为数域，证明也是数域。

（5分）2．已知a,b,c 均不为0，证明ay bx c cx az b bz cy a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩有唯一解。

（5分）证明 因为方程组的系数行列式020(,,00b a D c a abc a b c c b==-≠Q 均不为）所以有克莱姆法则知，方程组有唯一解。

3．设a,b,c 是一个三角形的三边，证明000.00a b ca c bb c a c b a <（6分）证明011000010101010101a b ca b ca c bc bac b b cbca ca c aba c cb a b a b a a bc---==------（a+b+c)（a+b+c).====-ac-b b-c -a c-b b-c（a+b+c)c-a-ba-c （a+b+c)c-c a-b b-a a-b-c b a-c-b-111=（a+b+c)(a-(b+c))c-c a-b b a-c -b -100（a+b+c)(a-(b+c))c0a+c-b ba+b-c（a+b+c)(a-(b+c))(a+b-c)(a+c-b)<0（因为a,b,c 是三角形的三边）本讲作业：（一）解答下列各题1.计算行列式1231131211231n x n D x n x +=++L L LM MM O M L110,(1)|.2),,[(1)]()2)[(1)]|1=2)[(1)]n n n nn n n x D x D x x n D x i x j i j x x n D D x D x x n -==------≠------L L L 解当时，所以同理（均为的因式。

又与各不相同，所以（x-1)（ 但的展开式中最高次项的系数为，所以（x-1)（2.计算n 阶行列式5100065100065000005100065D =L L L M M M OM M L L12111156560,5A231,223194,93-2.n n n n n n n n n D D D x A B D B n A B A B D ----++=--+=+=⎧=+=⎨+=⎩=-=⇒=2解由于按第一列展开有 ，作特征方程 x 解此方程得二根2,3，令 ，令可得 解得0121101212103123013.(1)()(),22(),cos sin .n n n n n n n n ii i a a a a a a a a D a a a a f f f a a a a f x a x i n n εεππε--------=====+∑L L L L M M M L M L证明 其中0121211012242(1)210312(1)(1)(1)12301111111n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a εεεεεεεεε------------⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L LL L L M M M L M MMMLM LL证明作矩阵乘积2122112422(1)112(1)2(1)(1)121242(1)12(1)(1)((1)()()()(1)()()()(1)()()()(1)()()()1111111n n n n n n n n n n n n n n n n f f f f f f f f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε---------------⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭=L L L MMMLM LL L L M MM L M L 11)(1)()()n f f f εε--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭O两边取行列式即得所征。

222222222222222212312(1)(1)1(2)2341n n n n n n ---L L L M M M L M L说明:此行列式称为循环行列式，以后见到以下类型的行列式计算，可直接利用这一结果。

例如计算行列式 D=（二）阅读教材P49-60，并回答什么是矩阵、矩阵的相等？矩阵有哪些运算和性质？有哪些特殊矩阵和特殊性质？。