初一数学尺规作图
七年级数学同步拔高第四讲《尺规作图》讲义
第四讲尺规作图（讲义）一、知识点睛1．五种基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知线段的垂直平分线；④作已知角的角平分线；⑤过平面内一点，作已知直线的垂线．书写作法时注意：________________，________________．2．应用作图：①______________________，设计作图方案；②调用__________________完成图形．二、精讲精练1.作一条线段等于已知线段．已知：如图，线段a．求作：线段AB，使AB=a．作法：（1）作射线AP；（2）以为圆心，为半径作弧，交射线AP于点B；___________即为所求．2.作一个角等于已知角．已知：如图，∠ABC．求作：∠DEF，使∠DEF=∠ABC．作法：（1）作射线EF；（2）以_____为圆心，______为半径作弧，交BA于点M，交BC于点N；（3）以____为圆心，_____为半径作弧，交EF于点P；（4）___________，___________作弧，交前弧于点D；（5）作射线ED．∠DEF______________．证明：连接_____，_____．在______和______中___________()___________()___________()⎧⎪⎨⎪⎩已作已作已作∴_______________（）∴_______________3.作已知线段的垂直平分线．已知：线段MN ．求作：直线AB ，使AB 垂直平分MN．作法：（1）分别以_______，______为圆心，___________为半径作弧，两弧相交于点A 和点B ；（2）_______________________________________．_______________________________________．4.作已知角的角平分线．已知：如图，∠AOB ．求作：射线OP ，使∠AOP =∠BOP （即OP 平分∠AOB）．作法：（1）________________，________________作弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ；（2）分别以_______，_______为圆心，_________为半径作弧，两弧在交于点P ；（3）_____________________________________．_____________________________________．5.（1）过直线上一点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN上一点．求作：直线AB，使AB⊥MN．作法：（1）___________________________________________ ______________________________________；（2）__________________________________________ ______________________________________；（3）________________________________________．___________________________________________．5.（2）过直线外一点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN外一点．求作：直线AB，使AB⊥MN．作法：（1）__________________________________________ _______________________________________；（2）__________________________________________；_______________________________________；（3）__________________________________________；（4）__________________________________________．____________________________________．6.已知三边作三角形．已知：如图，线段a，b，c．求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a．作法：（1）作线段__________；（2）___________________作弧，_______________作弧与前弧相交于点B；（3）连接AB，BC．__________________．7.过直线外一点作已知直线的平行线．已知：如图，A是直线MN外一点．求作：直线AB，使AB∥MN．作法：（1）过点A作_____________________________；（2）过点A作_____________________________．直线AB即为所求．8.已知两边及夹角作三角形．已知：如图，线段m，n，∠α．求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n．作法：（1）___________________；（2）在射线______上截取__________，在射线______上截取____________；（3）连接BC．___________________．9.以下叙述的作图方法中能够实现的有____________．①过点A作直线BC的垂线；②过点A作线段BC的垂直平分线；③作∠AOB的平分线；④延长AB交CD的中点于E；⑤延长AB使AB⊥CD．10.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m，n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？11.为打造“宜居城市”，某市拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示．请在题目给的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．12.请画出草图，解决下列问题：（1）已知：在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于E，过点E 作ED∥AC交BC于D，过D作DF∥CE交AB于F，则∠EDF和∠BDF的数量关系是______________________．（2）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E，则∠AED和∠EDB的数量关系是____________________________．（3）已知：在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，BO与CO交于点O，过点O作DE∥BC交AB于D，交AC 于E，则DE_____BD+CE（选填“>”、“<”或“=”）（4）已知：在Rt△ABC中，∠C=90º，BD平分∠B交AC于点D，在AB边上取一点E，使BE=BC，连结ED．则∠BED=_________．三、回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________。
数学人教版七年级上册尺规作图
5、已知线段AC = 1，BC = 3则线段AB的长度 是（ D ）. A .4 B.2 C. 2或4 D. 以上答案都不对
变式：已知A、B、C是同一条直线上的三
点，且线段AC = 1，BC = 3，则线段AB的
长度是（ C ）.
现有A、B两个村庄位于小河边，要修一水 库，供应村民饮用水，请问该水库应当修 在哪里，费用最少？
间的距离.
A
B
C
D
线段AC的中点
A B C
你记住什么 是线段的中 点了吗？
定义：把一条线段分成相等的两条线段的点, 叫做这条线段的中点.
数量关系: AB + BC=AC 如上图,若AB=2cm,
1 AC 2
AB = BC=
则线段AC= 4 cm,
线段BC= 2 cm.
AC=2AB=2BC
例3 如图，点P是线段AB的中点，点C、D
6
∴ AB=6PC=6×1.5=9(cm) 即 AB的长是9cm.
例2 已知线段a、b,画一条线段c,使它 的长度等于两条已知线段的长度的和.
a b
画法： 1、画射线AD. 2、用圆规在射线AD上截取AB=a.
3、用圆规在射线BD上截取BC=b.
c a b B C D
A
线段AC就是所求的线段c.
线段c的长度是线段a、b的长度的和， 我们就说线段c是线段a、b的和， 记做c=a+b，即AC=AB+BC.
把线段AB三等分.已知线段CP的长为1.5cm， 求线段AB的长.
A C P
1.5cm
D
B
?
∵ 解：
点P是线段AB的中点，
1 ∴ AP=PB= AB. 2 ∵ 点 C、D把线 段AB三等分，
初中尺规作图详细讲解(含图)
初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们(或一部分）所组成的图形,因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法。
最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线;⑵已知圆心和半径可以作一圆;⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点;以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆;用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题。
历史上,最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题:三等分一个任意角;⑵倍立方问题:作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍;⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”。
直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数)，由此即可推得根号π(即当圆半径1r=时所求正方形的边长)不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书。
还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规,作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形—-这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的。
初中中考尺规作图十例(打印)
BPAaOQPNM 尺规作图【常识归纳】1.尺规作图的界说：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图.最根本,最经常应用的尺规作图,平日称根本作图.一些庞杂的尺规作图都是由根本作图构成的.2.五种根本作图：1.作一条线段等于已知线段;2.作一个角等于已知角;3.作已知线段的垂直等分线;4.作已知角的角等分线;5.过一点作已知直线的垂线; （1）标题一：作一条线段等于已知线段. 已知：如图,线段a . 求作：线段AB,使AB = a .作法：（1） 作射线AP;（2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形.（2）标题二：作已知线段的中点. 已知：如图,线段MN.求作：点O,使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法：（1）分离以M.N 为圆心,大于的雷同线段为半径画弧,ON MBPA NM BOA③②①A'A'N'O'B'M'O'A'N'M'M'O'两弧订交于P,Q;（2）衔接PQ 交MN 于O ．则点O 就是所求作的ＭＮ的中点.（3）标题三：作已知角的角等分线. 已知：如图,∠AOB,求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 等分∠AOB ）. 作法：（1）以O 为圆心,随意率性长度为半径画弧,分离交OA,OB 于M,N;（2）分离以M.Ｎ为圆心,大于 的线段长 为半径画弧,两弧交∠AOB 内于Ｐ; （3） 作射线OP.则射线OP 就是∠AOB 的角等分线.（4）标题四：作一个角等于已知角. 已知：如图,∠AOB. 求作：∠A ´O ´B ´,使∠A ´O ´B ´=∠AOB作法：（1）作射线O ´A ´;（2）以O 为圆心,随意率性长度为半径画弧,交OA 于M,交OB 于N;PBBAP（3）以O ´为圆心,以OM 的长为半径画弧,交O ´A ´于M ´; （4）以M ´为圆心,以MN 的长为半径画弧,交前弧于N ´; （5）衔接O ´N ´并延伸到B ´. 则∠A ´O ´B ´就是所求作的角.（5）标题五：经由直线上一点做已知直线的垂线. 已知：如图,P 是直线AB 上一点. 求作：直线CD,是CD 经由点P,且CD ⊥AB. 作法：（1）以P 为圆心,随意率性长为半径画弧,交AB 于M.N;（2）分离以M.N 为圆心,大于MN 21的长为半径画弧,两弧交于点Q;（3）过D.Q 作直线CD. 则直线CD 是求作的直线.（6）标题六：经由直线外一点作已知直线的垂线 已知：如图,直线AB 及外一点P.求作：直线CD,使CD 经由点P,且CD ⊥AB.作法：（1）以P 为圆心,随意率性长为半径画弧,交AB 于M.N;（2）分离以M.N 圆心,大于MN 21长度的一半为半径画弧,两弧交于点Q;（3）过P.Q 作直线CD.ca bmn 则直线CD 就是所求作的直线.（7）标题七：已知三边作三角形. 已知：如图,线段a,b,c.求作：△ABC,使AB = c,AC = b,BC = a. 作法：（1） 作线段AB = c;（2） 以A 为圆心,以b 为半径作弧,以B 为圆心,以a 为半径作弧与 前弧订交于C;（3） 衔接AC,BC.则△ABC 就是所求作的三角形.（8）标题八：已知双方及夹角作三角形. 已知：如图,线段m,n, ∠α.求作：△ABC,使∠A=∠α,AB=m,AC=n. 作法：（1） 作∠A=∠α;（2） 在AB 上截取AB=m ,AC=n; （3） 衔接BC.则△ABC 就是所求作的三角形.（9）标题九：已知两角及夹边作三角形. 已知：如图,∠α,∠β,线段m .求作：△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=m.作法：（1）作线段AB=m;在AB的同旁作∠A=∠α,作∠B=∠β,∠A与∠B的另一边订交于C.则△ABC就是所求作的图形（三角形）.（10）标题十：已知三角形,作三角形的外接圆和内切圆.已知：如图,△ABC.求作：△ABC外接圆和内切圆.作法：（1）外接圆的圆心是△ABC三条边的垂直等分线的交点（转化为作AB.BC的垂直等分线交点,半径是交点与△ABC个中一个极点的长度）（2）内切圆的圆心是△ABC三个角的角等分线的交点（转化为作∠B.∠C的角等分线交点,半径是交点到△ABC个中一条边的长度）。
(初一)尺规作图
E C
A
α
B F
几何作图Βιβλιοθήκη 基本作图三、利用基本作图解决实际问题
例2 如图，107国道OA和320国道OB在某市相交于 点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个 货站P，使P到OA、OB的距离相等且PC=PD，用尺
规作出货站P的位置(不写作法,保留作图痕迹，写出
结论)．
A D O C
实际作图
B A
灌 溉总 渠
2、A、B是两个村庄，要从灌溉总渠 引两条水渠，使它们到A、B两村距 离之和最短，请你作出方案，不写 作法，保留作图痕迹。
B A
灌 溉总 渠
四、反思与提高
对尺规作图再认识的过程中，你有何 新的收获？ 实际作图
几何作图
基本作图
作业： 书本P86习题2、3、4、6。
校本:尺规作图(2)
第19章 全等三角形
19.3 尺规作图
一、基本尺规作图
1、作一条线段等于已知线段.
2、作一个角等于已知角. 3、作已知角的平分线.
α a
4、过一点做已知直线的垂线；
(1) 过在直线上的点C 作出直线的垂线。
(2) 过直线外的点C ，作出直线的垂线。
5、作已知线段的垂直平分线.
小耍一下！看你怎么样
1．作线段PQ=BC； 2．作∠EDF=∠ABC ； 3．作射线AG平分∠BAC； 4．作线段AB的垂直平分线DH．
B C
A
5. 作BP⊥AC
二、基本作图的应用
例1 已知两边及其夹角，求作三角形．
E
C
α a
A
α
B F
b
练习：在上题图形的基础上，以线段 a、b为邻边作一个平行四边形．
初一数学第四章《几何图形初步》尺规作图——作线段
教案尺规作图——线段一、学习目标：1．会用尺规画一条线段等于已知线段；2．会比较两条线段的长短；3．理解线段中点的概念，了解“两点之间，线段最短”的性质；4．体验运用“两点之间，线段最短”解决生活中的问题；5．了解两点之间的距离的定义，并会求两点之间的距离．二、知识回顾：1．已知一条线段，如何画一条线段等于已知线段？先量出已知线段的长，再画一条这个长度的线段.2. 怎样比较两条线段的长短？用刻度尺分别量出两条线段的长度来比较.三、知识梳理：1．尺规作图和基本作图在几何里，把只用直尺和圆规画图的方法称为尺规作图；最基本、最常用的尺规作图，通常成为基本作图. 2．作一条线段等于已知线段已知线段a,画一条线段等于已知线段．作法：（1）作射线AM（2）在AM上截取AB= a．则线段AB为所求．3．比较两条线段的长短两条线段可能相等，也可能不相等，那么怎样比较两条线段的长短呢？（1）度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度从而进行比较．（2）叠合法：把一条线段移到另一条线段上，使一端对齐，从而进行比较．（如下图）4．线段的中点及等分点如图(1)，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点；记作AM=MB或AM=MB=1/2AB或2AM=2MB=AB．如图(2)，点M、N把线段AB分成相等的三段AM、MN、NB，点M、N叫做线段AB的三等分点．类似地，还有四等分点，等等．5．线段的性质两点所连的线中，线段最短．简单地说成：两点之间，线段最短．6．两点间的距离连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．注意：距离是用“数”来度量的，它是线段的长度，而不是线段本身．四、典例探究1．用尺规作已知线段的和、差【例1】如下图，已知线段a，b，画一条线段，使它等于a+b．总结：1.画线段的和时，一般在第一条线段向右的延长线上画，画图工具可选用直尺和圆规，注意保留圆弧的痕迹．2.画线段的差时，一般从被减的那线段的右端点向左在线段上画．3.所画线段含已知线段的和、差时，通常先画和，再画差.4.画完线段后，最后别忘了写结论.练1如图，已知线段a，b，c，画一条线段，使它等于a－b+c．2．线段中点的有关计算【例2】如图，已知线段AD=6，线段AC=BD=4，E、F分别是线段AB，CD的中点，求线段EF的长．总结：1.一条线段的中点只有一个.2.某一点要成为一条线段的中点，必须同时满足两个条件：①点必须在这条线段上；②它把这条线段分为相等的两条线段.3.若点C是线段AB 的中点，则AB=2AC=2BC，或AC=BC=12AB.反之，若AB=2AC=2BC，或AC=BC=12AB，则点C是线段AB 的中点．练2已知线段AB=12，直线AB上有一点C，且BC=6，M是线段AC的中点，求线段AM的长．3．两点之间线段最短的实际应用【例3】如图，A、B是公路l两旁的两个村庄，若两村要在公路上合修一个汽车站，使它到A、B两村的距离和最小，试在l上标注出点P的位置，并说明理由．总结：解决平面图形中最短路径（即最小距离或距离之和最小）问题时，通常会运用到线段的基本性质：两点之间，线段最短．练3如下图，一只壁虎要从圆柱体A点沿着表面尽快地爬到B点，因为B点有它要吃的一只蚊子，而它饿的十分厉害，问壁虎怎样爬行路线最短？4．两点之间的距离问题【例4】A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（）A．1cm B．9cm C．1cm或9cm D．以上答案都不对总结：对于题目中没有给出图的几何问题，要注意考虑全面，必要时需分类讨论. 结合题目已知条件正确画图很重要，既直观形象，又不易漏掉情况．练4已知点A、B、C都是直线l上的点，且AB=5cm，BC=3cm，那么点A与点C之间的距离是（）A．8cm B．2cm C．8cm或2cm D．4cm五、课后小测一、选择题1．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短C．两点之间线段最短 D．三角形两边之和大于第三边2．如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm3．已知线段AB=16cm，O是线段AB上一点，M是AO的中点，N是BO的中点，则MN=（）A．10cm B．6cm C．8cm D．9cm4．如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CD=3cm，AB=10cm，那么BC的长度是（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm5．在直线l上顺次取A、B、C三点，使得AB=5cm，BC=3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是（）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm6．如图所示，A、B两点所对的数分别为a、b，则AB的距离为（）A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b7．如图，O是线段AB的中点，C在线段OB上，AC=4，CB=3，则OC的长等于（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．28．已知A，B两点之间距离是10cm，C是线段AB上任意一点，则AC的中点与BC的中点距离是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．不能确定9．下列说法中，正确的有（）A．两点之间，直线最短 B．连结两点的线段叫做两点的距离C．过两点有且只有一条直线 D．AB=BC，则点B是线段AC的中点10．下列说法错误的是（）A．若AP=BP，则点P是线段的中点 B．若点C在线段AB上，则AB=AC+BCC．若AC+BC＞AB，则点C一定在线段AB外 D．两点之间，线段最短11．A、B两点的距离是（）A．连接A、B两点的线段 B．连接A、B两点间的线段的长度C．过A、B两点的直线 D．过A、B两点的射线12．下列说法正确的是（）A．两点之间的连线中，直线最短 B．如果AP=BP，那么点P是线段AB的中点C．两点之间的线段叫做这两点之间的距离 D．如果点P是线段AB的中点，那么AP=BP13．下列说法中，正确的是（）A．若AC=12AB，则C是AB的中点 B．若AC=BC，则C是AB的中点C．若C在线段AB上，且AC=BC，则C是AB的中点 D．若C在直线AB上，且AC=12AB，则C是线段AB的中点二．填空题14．已知线段AB=10，如图，若C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA=6，DB=4，则CD的长度是．15．（1）线段的大小比较可以用测量出它们的长度来比较，也可以把一条线段另一条线段上来比较；（2）将一条线段分成两条相等的线段的点叫做_________，若P是AB•的中点，•则PA=12_____，或AB=2________．三、解答题16．如图，已知线段a，b，c，画一条线段，使它等于a+3b－2c．17．如图，P是线段AB上一点，M，N分别是线段AB，AP•的中点，若AB=16，BP=6，求线段MN的长．18．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．19．平面上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它与四个村庄的距离之和最小（A，B，C，D四个村庄的地理位置如图所示），你能说明理由吗？20．如图，线段AC=6cm，线段BC=15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB=1：2，求MN的长．21．如图所示，A，B，C三棵树在同一直线上，量得树A与树B的距离为4m，树B与树C的距离为3m，小亮正好在A，C两树的正中间O处，请你计算一下小亮距离树B多远？22．如图所示，已知点C是线段AB的中点，D是AC上任意一点，M、N分别是AD、DB的中点，若AB=16，求MN的长．六、小结。
新北师大版七年级数学下册第二章《尺规作图》公开课课件.ppt
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THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/142021/1/142021/1/142021/1/14
谢谢观看
。2021年1月14日星期四2021/1/142021/1/142021/1/14
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年1月2021/1/142021/1/142021/1/141/14/2021
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/1/142021/1/14January 14, 2021
尺规作图
用没有刻度的直尺和圆规画图 （不能使用测量工具测量）
z```xxk
1、已知线段a，作线段AB=a，保留作图痕迹， 不写做法。
a
2、已知∠ABC，作∠A’B’C’， 使得∠A’B’C’=∠ABC，保留作图痕迹， 不写做法。
A
B
C
3、已知∠ABC，作∠A’B’C’， 使得和∠2，作∠ABC和∠DEF z``xxk
使得∠ABC= ∠1+∠2，∠DEF= ∠2 －∠1
尺规作图(含五种基本作图)
O
c
B
第十三页，共32页。
探索
基本作图3 "平分已知角".
（1）以O 为圆心，以适当长为半径画弧，交OA 于C 点，交OB 于D 点；
（2）分别以C、D 为圆心，以大于
1 C2 D
长为半
径画弧，两弧相交于P 点；
A
（3）作射线OP ，
你想自己画出它来吗？
那就让我们从最初的步骤开始吧！
1、 以点O为圆心， r 为半径作圆O；
以2、圆O上任意一点为圆心， r 为半径作圆，与圆O交于两点；
3、 分别以两个交点为圆心， r 为半径作圆；
4、继续作下去，
在适当的区域涂上颜色， 你作出美丽的“邹菊图案” 吗？
第十二页，共32页。
什么叫做角平分线？
D、作线段AB，使它等于已知线段m
第四页，共32页。
基本作图1、“作一条线段等于已知线段。”
已知：线段a．
求作：线段AB，使AB＝a．
作法与示范：
a
(1) 作射线AC ；
(2) 以点A为圆心，
以a的长为半径 画弧，
交射线AC 于点B，
则：AB即所求。
A
第五页，共32页。
BC
练习：
求作一条线段AB,使AB=2a.
O
A
C
O`
C`
A`
证明：
,由作法可知
△C`O`D`≌△COD(SSS),
∴∠C`O`D`=∠COD(全等三角形的对 应角相等)，
即∠A`O`B`=∠AOB。
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练习
1、已知： ∠AOB。 求作： ∠A’O’B’ ，使∠A’O’B’=2∠AOB。
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B P A a O Q P N
M O N M B P A
尺规作图
【知识回顾】
1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
2、五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段；
2、作一个角等于已知角；
3、作已知线段的垂直平分线；
4、作已知角的角平分线；
5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . 作法：
（1） 作射线AP ； （2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。
（2）题目二：作已知线段的中点。
已知：如图，线段MN.
求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法：
（１）分别以M 、N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ 交MN 于O ．
则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。
（3）题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB ，
求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。
作法：
（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，
分别交OA ，OB 于M ，N ；
（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。
则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
（4）题目四：作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB 。
③
②
①
P B
B A P
求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOB
作法：
（1）作射线O ’A ’；
（2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； （4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’； （5）连接O ’N ’并延长到B ’。
则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。
（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。
已知：如图，P 是直线AB 上一点。
求作：直线CD ，是CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。
作法：
（1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ；
（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 2
1
的长为半径画弧，两弧交于点Q ；
（3）过D 、Q 作直线CD 。
则直线CD 是求作的直线。
（6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 已知：如图，直线AB 及外一点P 。
求作：直线CD ，使CD 经过点P ，
且CD ⊥AB 。
作法：
（1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ；
c a
b
m
n
（2）分别以M、N圆心，大于MN
2
1
长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q；（3）过P、Q作直线CD。
则直线CD就是所求作的直线。
（5）题目七：已知三边作三角形。
已知：如图，线段a，b，c.
求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.
作法：
（1）作线段AB = c；
（2）以A为圆心，以b为半径作弧，
以B为圆心，以a为半径作弧与
前弧相交于C；
（3）连接AC，BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目八：已知两边及夹角作三角形。
已知：如图，线段m，n, ∠α.
求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.
作法：
（1）作∠A=∠α；
（2）在AB上截取AB=m ,AC=n；
（3）连接BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目九：已知两角及夹边作三角形。
已知：如图，∠α，∠β，线段m .
求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m.
作法：
（1）作线段AB=m；
（2）在AB的同旁
作∠A=∠α，作∠B=∠β，
∠A与∠B的另一边相交于C。
则△ABC
【考点练习】
1、如图:107国道OA和320国道OB
A
内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使P到OA、OB的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论)
2、三条公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？用尺规作图作出所有可能的加油站地址。
3、过点C作一条线平行于AB。
4、如图，平行四边形纸条ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点。
张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形ABEF沿EF翻折，得到一个V字形图案。
请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A1B1FE；(用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹)。
5、如图，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠AOB画在方格纸上，请用利用格点和直尺(无刻度)作出∠AOB的平分线。
O
B
A
6、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案，图中AB 为直径，O 为圆心(要求用尺规作图,保留作图痕迹)。
7、已知线段AB 和CD ，如下图，求作一线段，使它的长度等于AB ＋2CD.
8、如图，已知∠A 、∠B ，求作一个角，使它等于∠A-∠B.
9、如图，画一个等腰△ABC ，使得底边BC=a ，它的高AD=h
10、如图，有A ，B ，C 三个村庄，现要修建一所希望小学，•使三个村庄到学校
H G F
E B A
的距离相等，学校的地址应选在什么地方？请你在图中画出学校的位置并说明理由（•保留作图痕迹）．
11、如图，A 、B 两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？ （2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ 请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．
.B
A .
12、如图，A 为∠MON 内一点，试在OM 、ON 边上分别作出一点B 、C ，使△ABC 的周长最小．
13、如图，已知两点P 、Q 在锐角∠AOB 内，分别在OA 、OB 上求点M 、N ，使PM ＋MN ＋NQ 最短．
18．如图所示，EFGH 是一矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A 、B 两点位置上，试问：怎样撞击黑球A ，使黑球先碰撞台边EF 反弹后再击中白球B ？
N
A
O
M Q P
B O A。