高中数学解题方法-换元法
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是一种广泛应用于高中数学解题中的方法。
它的核心思想是通过一定的变换将问题转化为更易于解决的形式，从而得到问题的解。
一、函数换元法1. 基本思想函数换元法是一种利用函数的运算性质，将复杂函数转化为较为简单的函数，从而帮助我们解决问题的方法。
例如，在求函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ 的零点时，我们可以采用换元法将 $x-1$ 替换为 $t$，从而得到 $f(t)=\frac{1}{t}$，这样我们就可以较为容易地求得 $t=0$，进一步得到 $x=1$ 这一解。
2. 具体应用函数换元法在高中数学中广泛应用于函数的求导、求极限等方面。
例如，在求函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的导数时，我们可以采用函数换元法将$2x+\frac{\pi}{6}$ 替换为 $t$，这样就可以得到$\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dt}\sin t \times\frac{d}{dx}(2x+\frac{\pi}{6})=\cos(2x+\frac{\pi}{6})\times2=\sqrt{3}\cos(2x+\frac{\pi}{6})$。
这样问题就被转化为了求 $\sin t$ 的导数，从而便于计算。
二、微分方程的换元法微分方程是一种描述物理现象的重要工具，但由于其求解的困难度较大，我们需要采用适当的方法来简化问题。
其中，微分方程的换元法就是其中一个重要的方法。
例如，在求解微分方程 $y'+y=e^x$ 时，我们可以采用换元法将 $y=e^{-x}u$，得到$\frac{dy}{dx}=e^{-x}\frac{du}{dx}-e^{-x}u$，代入原方程后得到$\frac{du}{dx}=e^x$，进一步得到 $u=e^x+C$，从而得到原方程的通解为$y=e^{-x}(e^x+C)$。
微分方程的换元法在高中数学的物理问题中经常被应用。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用王凤梅(山东省青岛市城阳区第一高级中学㊀２６６１０８)摘㊀要:换元法是高中生数学解题中较为常用的方法ꎬ对换元法进行灵活应用ꎬ将数学解题中的问题实施转化ꎬ以促使许多难题迎刃而解.因此ꎬ在高中数学的解题中运用换元法ꎬ将复杂结构实现简单化ꎬ混乱的思路清晰化ꎬ这不仅有助于学生思路的简化ꎬ而且还能使学生清晰的找到解题思路ꎬ从而实现高效解题.关键词:高中数学ꎻ换元法ꎻ解题ꎻ教学ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３３－００１６－０２收稿日期:２０２０－０８－２５作者简介:王凤梅(１９７０.８－)ꎬ女ꎬ山东省临沂人ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀换元法作为高中数学具体教学中ꎬ较为常见的一种解题方法ꎬ在数学的解题中ꎬ通常会出现较为复杂或存有两个及其以上的未知条件的相关数学题ꎬ在解题的时候ꎬ可依据知识之间存在的内在联系ꎬ对数学题中存有的数量关系实施转化ꎬ并通过各变量的条件转换ꎬ将一种问题转变成另种问题ꎬ以实现整个解题的简化.同时ꎬ换元方法有许多种ꎬ如函数换元㊁变量换元㊁不等量换元㊁三角函数的换元等.在具体解题的时候ꎬ教师通过换元法的灵活应用ꎬ不仅能够对学生自身的思维敏捷度进行锻炼ꎬ而且还能使学生自身的思维能力得到有效提高.㊀㊀一㊁换元法内涵及其应用技巧归纳１.换元法内涵所谓的换元法ꎬ其主要就是把数学题目中原先的部分变量通过另一些变量进行替代ꎬ经过换元ꎬ通常能够产生缩减变量㊁简化形式的效果.较为常见的换元方式包含三种ꎬ具体为:(１)整体换元ꎬ如将ｘ表达式的ｆ(ｘ)进行整体替换成ｔꎬ并通过ｔ表示成其他的与ｘ有关的表达式ꎻ(２)利用关系ꎬ其主要指将较为相似的表达式进行换元ꎬ其主要是通过已知代数式和三角知识的联系实施换元ꎬ也就是在解题的时候ꎬ通过相同的参数ꎬ对两个变量进行表示ꎬ以减少变元ꎬ促使问题简化ꎻ(３)均值换元ꎬ当能够确切求出两个变量和的时候ꎬ就能通过均值换元.不论是何种换元ꎬ在换元之后ꎬ都能够对新变量实施运算ꎬ在对变量完成计算后ꎬ再对原变量进行取值ꎬ通过这样的解题思路ꎬ需确保换元时的等效变换ꎬ特别是定义域转变ꎬ只有确保变换的等效ꎬ才能确保计算结构的有效性.２.应用技巧归纳首先ꎬ常规换元法的掌握.对于不同换元法ꎬ其通常具有相应的形式ꎬ特别是三角换元.因此ꎬ对于难度较低的题目ꎬ学生只要充分掌握较为常规化的换元规律ꎬ并做出迅速反应ꎬ就能实现迅速解题.其次ꎬ注重题目形式的观察.对于难度相对较高的数学题型ꎬ其题目的条件通常具有较强的隐藏性ꎬ此时ꎬ就需对题目条件实施相应的梳理与分析ꎬ并找到换元实施的突破点.需要注意的是ꎬ题型的难度通常不会对换元的相关条件造成影响ꎬ因此ꎬ对条件实施初步解算以及分析ꎬ不仅有利于学生打开解题思路ꎬ而且还能实现高效解题.最后ꎬ注意等效的条件.应用换元法的前后ꎬ其等效性通常是其正确应用的重要保证ꎬ但也是在解题中最容易被忽略的部分.不论是哪种题型ꎬ难度如何ꎬ都需对等效性进行牢固记忆.㊀㊀二㊁换元法在高中数学解题中的应用策略１.基于换元法的三角函数教学高中数学的解题中ꎬ三角换元已经得到广泛应用.三角换元的解题中ꎬ其主要是通过相应的三角换元ꎬ把代数表达转变成三角表达ꎬ也就是把代数式解答或者证明转变成三角式解答与证明ꎬ以达到简化题目㊁理顺思路的作用.可应用同角三角关系ꎬ或者辅助角公式ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎ(ｘ＋φ)ꎬ其中的ａ㊁ｂ均是非零实数ꎬφ角则能通过ｔａｎφ＝ｂａ进行确定ꎬ以此对解题过程进行简化ꎬ从而使解题效率得到有效提高.例１㊀已知ｘ㊁ｙ满足ｘ２－ｘｙ＋ｙ２＝１ꎬ求ｘ２－ｙ２的取值６１ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.范围.解㊀设ｘ＝ρｃｏｓθꎬｙ＝ρｓｉｎθꎬ那么ꎬρ２－ρ２ｓｉｎθｃｏｓθ＝１ꎬ也就是ρ２＝２２－ｓｉｎ２θꎬ因此ꎬｘ２－ｙ２＝２ ｃｏｓ２θ２－ｓｉｎ２θ.设ｋ＝ｃｏｓ２θ２－ｓｉｎ２θꎬ由此可知ꎬｋｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝２ｋꎬｓｉｎ(２θ＋φ)＝２ｋｋ２＋１ꎬ其中ｔａｎφ＝１ｋꎬθɪ[０ꎬ２π).根据三角函数的有界性可得:２ｋｋ２＋１ɤ１ꎬ也就是－３３ɤｋɤ３３ꎬ因此ꎬｘ２－ｙ２的取值范围是－２３３ɤｘ２－ｙ２ɤ２３３.２.基于构造辅助的函数换元基于构造辅助的函数换元属于极其重要的一种解题方法.对于函数而言ꎬ其作为高中数学具体教学中的核心知识ꎬ通常具有相应的导向性与工具性ꎬ大部分问题都能够以巧妙的构造进行函数辅助ꎬ促使复杂难解的问题转变为直观明了ꎬ转变为程序化.例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｍｘ－ａＩｎｘ－ｍꎬｇ(ｘ)＝ｅｘ/ｅｘꎬ其中的ｍꎬａ都是实数ꎬ设ｍ＝１ꎬａ<０ꎬ如果对任意的ｘ１ꎬｘ２ɪ[３ꎬ４](ｘ１ʂｘ２)ꎬ且ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)<１ｇ(ｘ２)－１ｇ(ｘ１)恒成立ꎬ求取ａ最小值.解㊀若ｍ＝１ꎬａ<０的时候ꎬｆ(ｘ)＝ｘ－ａＩｎｘ－１ꎬｘɪ(０ꎬ＋ɕ).由于ｆᶄ(ｘ)＝ｘ－ａｘ>０位于[３ꎬ４]上恒成立ꎬ那么ꎬｆ(ｘ)位于[３ꎬ４]区间内为增函数假设ｈ(ｘ)＝１ｇ(ｘ)＝ｅｘｅｘꎬ因此ꎬｈᶄ(ｘ)＝ｅｘ－１(ｘ－１)ｘ２>０位于[３ꎬ４]上恒成立ꎬ即ｈ(ｘ)位于[３ꎬ４]区间内为增函数.假设ｘ２>ｘ１ꎬ那么ꎬｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)<１ｇ(ｘ２)－１ｇ(ｘ１)等价为ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)<ｈ(ｘ２)－ｈ(ｘ１)ꎬ即ｆ(ｘ２)－ｈ(ｘ２)<ｆ(ｘ１)－ｈ(ｘ１).构造函数ｕ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｈ(ｘ)＝ｘ－ａｌｎｘ－１－１ｅｅｘｘꎬ那么ꎬｕ(ｘ)位于[３ꎬ４]区间内为减函数ꎬ因此ꎬｕᶄ(ｘ)＝１－ａｘ－１ｅ ｅｘ(ｘ－１)ｘ２ɤ０位于[３ꎬ４]区间恒成立ꎬ也就是ａȡｘ－ｅｘ－１＋ｅｘ－１ｘ恒成立.假设ｖ(ｘ)＝ｘ－ｅｘ－１＋ｅｘ－１ｘꎬ由于ｖᶄ(ｘ)＝１－ｅｘ－１＋ｅｘ－１(ｘ－１)ｘ２＝１－ｅｘ－１[(１ｘ－１２)２＋３４]ꎬｘɪ[３ꎬ４]ꎬ因此ꎬｅｘ－１[(１ｘ－１２)２＋３４]>３４ｅ２>１ꎬ那么ｖᶄ(ｘ)<０ꎬｖ(ｘ)是减函数ꎬ因此ꎬｖ(ｘ)位于[３ꎬ４]上的最大值是ｖ(３)＝３－２３ｅ２ꎬ由此可知ꎬａ的最小值是３－２３ｅ２.通过构造辅助函数方法ꎬ对具体问题进行分析ꎬ明确原问题和和辅助函数之间的联系ꎬ并通过相应的推理ꎬ构造出合理的辅助函数ꎬ从而对问题进行有效解决.３.基于换元法的不等式解题不等的证明与解答相关问题属于高中数学中的重要模块ꎬ通过换元法ꎬ对题实施新元替换ꎬ不仅有助于学生解题思路进行梳理ꎬ而且还能实现高效解题.例３㊀若(ｘ－１)２９＋(ｙ＋１)２１６＝１ꎬ不等式ｘ＋ｙ－ｋ>０恒成立ꎬ则ｋ值的取值范围是多少?解㊀首先进行换元ꎬ即ｘ－１３＝ｃｏｓαꎬ且ｙ＋１４＝ｓｉｎαꎬ由此可知ꎬｘ＝１＋３ｃｏｓαꎬｙ＝－１＋４ｓｉｎα.将其代入到不等式ｘ＋ｙ－ｋ>０当中ꎬ可得出ｋ<４ｓｉｎα＋３ｃｏｓα＝５ｓｉｎ(α＋φ)ꎬ而－５ɤ５ｓｉｎ(α＋φ)ɤ５ꎬ所以ｋ<－５.在实际解题中ꎬ经过换元法进行新不等式的构建ꎬ不仅使解题思路得到有效简化ꎬ而且还能促使解题方式实现简便化ꎬ这对不等式相关问题解答是个重要突破口ꎬ也是一种高效的解法.综上所述ꎬ高中数学的具体教学中ꎬ换元法属于较为常见的一种解题方法ꎬ其不仅指解题过程的简化ꎬ而且还有助于学生形成良好的解题思路ꎬ并形成发散思维ꎬ同时ꎬ灵活的应用各种换元法ꎬ还能使繁琐且复杂的数学问题实现简化计算.㊀㊀参考文献:[１]潘帅.换元法在高中数学解题中的应用[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１９(０１):１３０.[２]钟文.高中数学解题中换元法的有效运用探析[Ｊ].读与写(教师)ꎬ２０１９(０２):２６４.[３]李京玉.高中数学解题思想方法之一 换元法[Ｊ].教育教学论坛ꎬ２０１７(５０):２０５－２０６.[４]程子祺.关于换元法在高中数学数列部分的应用讨论[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１９(０１):１０５.[５]杜娟.换元法在高中数学中的应用[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１８(２６):７２.[６]黄高乐.如何利用换元法解高中数学题[Ｊ].语数外学习(高中版中旬)ꎬ２０１９(０１):４２.[责任编辑:李㊀璟]７１ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
高中数学数列学习中换元法的运用
高中数学数列学习中换元法的运用数列学习中，换元法是一种常见的解题方法。
它是通过将原数列中的项替换为其他变量或函数，从而简化或转化问题的解法。
以下是换元法的运用及例题解析。
1.线性变换法线性变换法是将数列的项用一个直线函数的表达式来表示。
这可以让我们更好地理解问题和方便求解。
例如：已知数列$\{a_n\}$满足$a_n=3n-1$，求$a_0,a_1,a_2$。
解题思路：我们可以将$a_n$表示成一个直线函数$y=3x-1$。
这表示一个过原点的直线。
因此$a_0$就是$y=3x-1$的截距，即$a_0=-1$；$a_1$则是这条直线上横坐标为1对应的纵坐标，即$a_1=2$；同理，$a_2$就是这条直线上横坐标为2对应的纵坐标，即$a_2=5$。
因此，数列$\{a_n\}$的前三项为-1，2，5。
2.递推公式换元法递推公式是指数列中每一项可以通过前一项和公式推导得到的一种表达式。
在数列学习中，递推公式是一种非常重要的概念。
换元法可以使递推公式更易于阅读和处理。
例如：已知数列$\{a_n\}$满足$a_n=3a_{n-1}-2$，且$a_0=1$，求$a_1,a_2,a_3$。
解题思路：我们可以将递推公式变形，转换成$a_n-1=3(a_{n-1}-1)$。
这里我们将$a_{n-1}$替换成$x_{n-1}=a_{n-1}-1$，变成$x_n=3x_{n-1}$。
因此，$a_1=x_1+1=3(1)+1=4$，$a_2=x_2+1=3(3)+1=10$，$a_3=x_3+1=3(9)+1=28$。
因此，数列$\{a_n\}$的前三项为1，4，10。
3.指数函数换元法解题思路：我们将指数函数的形式代入到数列，有$a_0=2^0=1$，$a_1=2^1=2$，$a_2=2^2=4$。
因此，数列 $\{a_n\}$的前三项为1，2，4。
三角函数是一个复杂但非常有趣的函数类型。
三角函数换元法是将数列的项表示成一个三角函数的形式。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中的一种重要解题方法，它常常应用在代数、微积分和函数等领域。
换元法是一种通过引入新的变量或函数来简化原问题的方法，它能够将原问题转化为更容易处理的形式，从而解决原问题。
本文将着重介绍换元法在高中数学解题中的应用，探讨它的作用和优势。
在代数中，换元法常常用于简化复杂的代数式或方程。
当我们要求解一个关于变量的复杂方程时，可以通过引入新的变量或代数式来简化原方程，从而更容易求解。
当我们要对一个复杂的代数式进行因式分解或化简时，也可以运用换元法来转化成更简单的形式，便于进行后续操作。
对于如下代数式：x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1，我们可以引入新的变量y=x+1，从而将原式转化为y^4的形式，进而进行简化或因式分解操作。
这种方法能够大大简化代数式的求解过程，提高解决问题的效率。
二、换元法在微积分中的应用在微积分中，换元法是一种常用的积分方法，它常常用于求解含有根式、三角函数等特殊形式的积分。
通过引入新的变量或函数，可以将原积分转化为更容易处理的形式，从而利用已知积分的性质或方法求解原积分。
对于积分\int \frac{1}{x\sqrt{x^2+1}} dx，我们可以通过引入新的变量u=x^2+1，从而将原积分转化为\int \frac{1}{2\sqrt{u}} du的形式，利用已知积分\int\frac{1}{\sqrt{u}} du的性质求解原积分。
这种方法在解决含有根式的积分时具有很大的优势，能够简化积分的求解过程，提高解题的效率。
在函数的研究中，换元法也具有重要的应用价值。
当我们要对一个复杂的函数进行求导或积分时，可以通过引入新的变量或函数来简化原函数，从而利用已知函数的性质或方法求解原函数。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 介绍换元法换元法是高中数学中常用的一种解题方法，通过对变量进行替换或者转化，可以简化问题的处理过程，使得原本复杂的数学题目变得更容易解决。
换元法在数学中的应用非常广泛，不仅可以用来解一元二次方程、化简代数式，还可以用来证明数学定理、解决几何问题以及处理微积分问题等。
在数学中，换元法是一种灵活的工具，能够帮助我们更加深入地理解数学概念，提高问题解决效率。
通过适当选择变量的替换，可以将原本复杂的问题简化为更容易处理的形式，从而更快地得出解答。
换元法在高中数学学习中起着举足轻重的作用，不仅可以帮助我们更好地掌握数学知识，还可以培养我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
要想在高中数学学习中取得更好的成绩，掌握好换元法这一重要的解题工具是至关重要的。
通过不断练习和理解，我们可以更好地运用换元法解决各种数学问题，提高自己的数学解题能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
1.2 换元法在解高中数学问题中的重要性在高中数学中，换元法可以用于解一元二次方程。
通过适当的变量替换，可以将原问题转化为简单的一次方程问题，从而更容易地求解方程的解。
换元法还可以用于化简复杂的代数式，从而简化计算过程，提高计算效率。
换元法还可以用于证明数学定理。
通过巧妙地引入新的变量，可以简化证明过程，使得证明更加清晰和简洁。
换元法还可以用于解决几何问题和微积分问题，在解决这些问题时发挥着非常重要的作用。
换元法在高中数学解题中的灵活运用可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题效率和解题能力。
换元法是高中数学学习中不可或缺的重要工具，学生应该认真学习和掌握这一方法，以便更好地应对各种数学问题。
2. 正文2.1 利用换元法解一元二次方程利用换元法解一元二次方程是高中数学学习中非常常见的问题。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
当解一元二次方程时，有时候可以通过换元法来简化计算过程。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中一种重要的解题方法，在解决各类函数的求导、定积分以及一些简单的微分方程中都有广泛的应用。
它是一种通过合理的变量替换来简化问题、降低难度的数学技巧，能够极大地提高解题的效率，因此在高中数学的学习中至关重要。
一、换元法的概念与基本思想换元法是一种将复杂的算术计算问题转化为简单的计算问题的数学方法，它通过构造适当的变量替换来简化原问题。
换元的基本思想是通过替换自变量，使问题的解能够进行简化或者直接得到。
对于一个给定的函数，我们可以对其进行合适的变换，从而使函数的形式更加简单。
这种变换可以通过引入一个新的变量来实现，这个新的变量通常被称为“中间变量”或者“代换变量”。
通过代入变量替换原函数，我们可以得到一个形式更加简单的函数。
换元法的核心是将问题转化为新的问题求解，通过合适的代换使问题变得更简单。
二、换元法的主要应用换元法在高中数学中的应用很广泛，主要包括以下几个方面：1.函数的求导换元法在函数求导的计算中有重要的应用。
对于复杂的函数，我们可以通过引入合适的变量替换来简化计算过程。
对于含有根号的函数，可以通过引入一个新的变量来简化计算。
具体而言，如果要计算函数y=f(x)的导数，我们可以令y=g(u)，其中u是一个函数，然后通过计算导数du/dx和函数关系g(u)得到dy/dx。
这样，我们可以通过导数的链式法则将原函数的导数表示为新变量的导数和链式法则的乘积。
2.定积分3.微分方程在求解一些简单的微分方程中，换元法也有重要的应用。
通过引入恰当的变量替换，我们可以将微分方程转化为更简单的形式，从而使求解过程更加容易。
具体而言，我们可以将微分方程中的变量替换为新变量，并根据新变量的定义和微分方程的关系来求解新变量。
通过求解新变量，我们可以得到原微分方程的解。
三、换元法的常用方法在使用换元法求解问题时，我们需要根据具体问题选择合适的代换方法。
常见的代换方法主要有以下几种：1.代换叠加法对于一些含有多项的复杂函数，我们可以通过分别代换每一项来简化计算。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用【摘要】换元法是高中数学中常用的解题方法之一，本文通过分析换元法在代数、微积分和几何问题中的应用，探讨了其灵活运用对于解决复杂问题的重要性。
首先介绍了换元法的基本概念，然后讨论了其在不同领域中的具体应用，包括代数方程求解、微积分函数积分和几何图形变换等方面。
文章强调了掌握换元法对于提高数学解题能力的重要意义，指出通过灵活运用换元法可以更好地解决各种数学问题。
通过本文的学习，高中数学学生可以更好地掌握换元法这一重要的解题方法，提高数学解题能力，为今后的学习打下坚实的基础。
【关键词】换元法、高中数学、应用、基本概念、代数、微积分、几何、注意事项、灵活运用、提高数学解题能力、重要意义1. 引言1.1 换元法在高中数学解题中的应用在高中数学学习中，换元法是一个非常重要的解题方法，它可以帮助学生解决复杂的问题，提高数学解题能力。
换元法实际上是一种代数运算技巧，通过引入新的变量或者函数，将原问题转化为更易解决的形式。
在代数问题中，换元法常常用于简化方程、求解方程组，解决多项式的因式分解等问题。
在微积分问题中，换元法可以用来简化积分运算，求出复杂函数的原函数。
在几何问题中，换元法常常用于证明几何定理，求解几何问题。
在应用换元法时，需要注意选择合适的换元变量，使得问题更容易解决，避免引入不必要的复杂性。
掌握换元法对于高中数学学生来说是非常重要的，它可以帮助他们更好地理解数学知识，提高解题能力，培养逻辑思维能力，解决问题的能力。
换元法的灵活运用可以让数学变得更加有趣和具有挑战性，对学生的数学学习和考试都有着积极的促进作用。
2. 正文2.1 一、换元法的基本概念换元法是高中数学中常见的解题方法之一，它主要是通过引入新的变量或函数来简化原问题的解答过程。
换元法的基本概念包括以下几点：换元法的核心思想是将原问题中复杂的部分用一个新的变量或函数替代，从而转化为一个更简单的形式。
这个新的变量或函数通常会与原问题中的变量之间存在某种特定的函数关系，通过这种关系可以将原问题转化为一个更容易求解的形式。
高中数学解题秘籍系列换元法解决三角函数求值
【高中数学解题秘籍系列(上)】————换元法解决三角函数求值换元是很好的可以将复杂问题简单化的工具，其本质是转化，通过转化把隐性的条件显现出来，能有效衔接条件与结论。
比如在三角函数中，求值作为三角函数最常见的问题之一，很多同学在学习过程中只会硬解，有时不仅耗时长，而且易算错。
解决这类问题的关键在于寻找角的关系，寻找已知和未知条件的关系，利用换元的思想、整体与部分的思想，就会简化此类题目的难度，提高解题效率。
类型一、由tan ba α=, 则可令sin cos bt at αα=⎧⎨=⎩例1. 若3tan 4α=, 则2cos 2sin 2αα+=( ) A.6425 B. 4825 C. 1 D. 1625【解答】解: 由3tan 4α=， 可令sin 3,cos 4k k αα==, 进而由22sin cos 1αα+=可得2251k =, 即2125k = 所以, 222cos 2sin 2cos 4sin cos 16k ααααα+=+=2264486425k k +==, 故选A .类型二、由sin cos m αα+=, 则可令sin 2cos 2m d m dαα⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩这种换元方法通常称为均值换元法, 由于结构对偶, 因此, 可以使换元后的计算量在一定程度上得到淢少.例2. (2012年大纲卷理科第7题) 已知α是第二象限角, 3sin cos 3αα+=, 则cos 2α=( ) A. 53-B. 59-C. 59D. 53【解答】解: 由3sin cos 3αα+=, 可令3sin ,cos 6d αα=+36d =-,进而由22sin cos 1αα+=,易得2512d =, 即d 156=±,若156d =-, 则315cos 06α+=>, 这与已知α是第二象限角矛盾, 故必有156d =. 所以, 222233cos 2cos sin 66d d ααα⎛⎫⎛⎫=-=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23231553363d =-=-⨯=-, 故选A. 【赏析】同理, 由sin cos m αα-=, 则可令： sin 2cos 2m d m d αα⎧=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩, 即sin 2cos 2m d m d αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.例3. (2012年高考辽宁卷理科第7题) 已知sin αcos 2,(0,)αα-=∈π, 则tan α=( )A. 1-B. 22-C. 22D. 1 【解答】解: 由sin cos 2αα-=, 可令2sin ,cos 2d αα=+22d =-, 由22sin cos 1αα+=，得0d =, 故2sin 2α=, 2cos 2α=-, 进而tan 1α=-, 故选A.【赏析】若出现形如sin cos m αα±=，这样的条件，也可以用上面的换元法求解.1.2d211322d ⎫⎛++⎪ ⎭⎝2t1sin cos x x =2121+-当4x π=时类型五、若条件中出现复角x ω+cos α⎛- ⎝cos x ∴=-又0β<<42βαπ∴<-<sin 2βα⎛⎫- ⎪⎝⎭455sin ,cos 93x y ∴==, 8545791sin 2,sin 2,cos2,cos2819819x y x y ∴=-==-=, ()4224cos()cos cos 2233x y x y x y αβ--⎛⎫∴+=+=- ⎪⎝⎭7918545239cos 2cos 2sin 2sin 2819819729x y x y =+=-⨯-⨯=-. 【赏析】上述例题中, 我们利用换元法, 借助方程组, 把已知角α ,β用角,x y 表示出来, 再代入所求的cos()αβ+中, 将问题转化为关于角,x y 的三角函数求值问题, 从而实现问题的解决。
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高中数学解题方法2013年高考数学二轮复习 换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：代数换元、三角换元、均值换元等。
例如解不等式：0224≥-+x x ，先变形为设)0(2>=t t x ，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现[]1,0∈x ，设α2sin =x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈22,0α，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
如变量y x ,适合条件)0(222>=+r r y x 时，则可作三角代换θθsin ,cos r y r x ==化为三角问题。
均值换元，如遇到S y x =+形式时，设t S y t S x -=+=2,2等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
题型一：代数换元例1：（1）方程1313++-xx＝3的解是_______________ （2）x x x f --=2)(的值域是___________. (3)2log log )12(2)22(2<⋅--x x 的解为_____________________________. 变式练习：已知221)1(x x x x f +=-，则=)(x f _________________。
例2 求函数43P x x =- 解 设4a x b x =-=，则224a b +=，0a ≥，0b ≥.在平面直角坐标系xoy 中，点(,)M a b 是圆弧224(0,0)x y x y +=≥≥上的点，如图所示。
2P a=+=，所以P表示点(,)M a b到直线:0l x=的距离的2倍。
过点(,)M a b作直线:0l x=的平行线l，则P表示直线l与l的距离的2倍。
设平行直线l与l 的距离为d.则当l过点A时（直线1l），d取最小值1，此时2P=；当l与圆弧相切时（直线2l），d取最大值2，此时4P=.所以函数P=的值域为[2,4].此题通过做a b==的代换，问题转化为两直线距离问题，简明直观。
当然由224a b+=，0a≥，0b≥可设2cos,2sin,02a bπααα==≤≤则是三角换元。
题型二：均值换元例1：（1）已知,1->x，求13++xx的最小值（2）设实数yx,满足0122=-+xyx，则yx+的取值范围是___________。
例2 已知,,x y z是正数，求证32x y zy z x z x y++≥+++证明设,,a y zb x zc x y=+=+=+，则,,222b c a a c b a b cx y z+-+-+-===.所以222x y z b c a a c b a b cy z x z x y a b c+-+-+-++=+++++3()()()2222222b ac a b ca b a c c b=+++++-32≥3322≥=例3 已知1,1,1a b c>>>. 求证：22212111a b cb c a++≥---.证明：由1,1,1a b c>>>，可设1,1,1,0,0,0a xb yc z x y z>>>－＝－＝－＝.于是222222(1)(1)(1)1114()412a b c x y zb c a y z xx y zy z x+++++=++≥+---=+≥⋅=＋例4． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：B B A 2=+，1cos A ＋1cos C ＝－2cos B ，求2cos C A -的值。
【分析】 由已知“B B A 2=+”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 A C B +=⎧⎨⎩12060°＝°；由“0120=+B A °”进行均值换元，则设⎩⎨⎧-+αα°＝°＝6060C A ，再代入可求αcos 即2cos C A -。
【解】由△ABC 中已知A ＋C ＝2B ，可得 A C B +=⎧⎨⎩12060°＝°, 由A ＋C ＝120°，设⎩⎨⎧-+αα°＝°＝6060C A ，代入已知等式得： 1cos A ＋1cos C ＝160cos()︒+α＋160cos()︒-α＝11232cos sin αα-＋11232cos sin αα+＝cos cos sin ααα143422-＝cos cos αα234-＝－22, 解得：cos α＝22， 即：cos A C -2＝22。
题型三：三角换元例:1： 实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，求S 的最大值和最小值。
解 设cos ,sin x r y θθ==，则2245cos sin 5r r θθ-=，2545cos sin r θθ=- 所以22251045cos sin 85sin 2S x y r θθθ=+===-- 所以当sin 21θ=时，max 103S =；当sin 21θ=-时，min 1013S =. 例2： 已知224a b +=，229x y +=，求ax by +的最大值。
解 由224a b +=，可设2cos ,2sin a b αα==；由229x y +=，可设3cos ,3sin x y ββ==.于是6cos cos 6sin sin 6cos()6ax by αβαβαβ+=+=-≤又当2()k k Z αβπ-=∈时，上式中等号成立。
即ax by +的最大值是6. 例3.求函数的值域21x xy -=。
解：令=x t sin ，t ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππ则：tt y 2sin 1sin -= ∵t t cos sin 12=-当t ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππ时∴t y tan = ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππt ∴值域为()∞∞-, 例4.已知R b a ∈,，且122≤+b a ，求证：2222≤-+b ab a 。
证明：设θθsin ,cos r b r a ==，其中[)πθ2,0,1∈≤r 则θθθθ2222222sin cos sin 2cos 2r r r b ab a -+=-+242sin 22sin 2cos 222≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=πθθθr r r ∴2222≤-+b ab a 。
原不等式得证。
题型四：解析几何中换元法的运用1. 已知实数y x ,满足01)2()2(22=--+-y x ，求yx y x ,2+的最大值与最小值。
2. 已知椭圆192522=+y x ，直线04054:=+-y x l ，椭圆是是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？3. 已知x x y 264++-=的最大值。
解：令x v x u 26,4+=-=； 易得1147722222=+⇒=+v u v u ； 令θθsin 14,cos 7==v u ；所以)sin(21sin 14cos 7ϕθθθ+=+=y 21max =y4.双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． （Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+解：由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立 将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。