佳鑫诺专接本数学教案资料规范标准答案

习题1.11． （2）定义域不同，｛X ≠-1｝；R （3）X =且定义域也不同，｛X ≠0｝；R （4）值域不同[-1，1];[0,1] (5)定义域不同，｛X>0｝；R 2. (4)()()ln lnf x x x -=-=()(()1ln ln lnf x x x x ---=--+=+=故()()f x f x -=-，()f x 为奇函数.（6）()()()()()()f x g x g x g x g x f x -=--=----⎡⎤⎣⎦，奇函数。

3． （1）y=sinx 与y=cosx 的周期都是2π，故y=sinx+cosx 的周期为2π（2）设周期为T,则1+sin2x=1+sin2(x+T) ⇒ sin2x=sin(2x+2T) ⇒2T=2TV ⇒T=TV5.010X X X ≥⎧⎪⇒≥⎨≥⎪⎩6. 2222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2y x x x x x x x =+=++=+ 又[]0,2x π∈，故[]1sin 20,2x π+∈，故y的值域为⎡⎣7.令u x =-则x u =-故()()22sin()sin ,0,0()1,01,0u uu u f u f u u uu u u u -⎧⎧-<>⎪⎪-=⇒-=-⎨⎨⎪⎪-+-≥+≤⎩⎩ 故()f x -2sin ,01,0xx x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩8. ()1f x =-是偶函数()()1f x f x -==Q()0f x =是奇函数()()0f x f x ∴-==-9．定义域为0220x x x ≠⎧⇒>⎨->⎩10.（1）22290933101x x x x x ⎧⎧-≥≤⇒⇒-≤≤⎨⎨-≠≠±⎩⎩且1x ≠±(2) .0. 1 (2)x k k ππ≠+=±(3) 111021*******10x x xx x x x x ≤-≤⎧≤≤⎧⎪-⎪⎪<⇒-<<⇒≤<⎨⎨+⎪⎪≠-⎩+≠⎪⎩(4) R12. ()f x Q 的定义域为[-2,2]则21213x x -≤-≤⇒-≤≤故()1y f x =-的定义域为[-1,3] 13.设它的一个边为x =故面积()S x = 0<x<2习题1.2-1.31. 否，例如数列()1nn x =- 2. 否，同上3. 否，例如数列()1nnx n-=5.不一定，例：()1nn x =-，()11n n y +=-，n=1.2.3.4.5……则0n n x y +=6.是7.否，()1nn x =-，lim 1n x x →∞=则lim n x x →∞是不存在的8.否12．cos cos lim lim 1sin sin x x xx x x x xx x x x→∞→∞++==++14．01sinsin lim lim 01x u u x u x→→∞== 15.因为222113lim lim 1112x x a x a x x x x x →→--⎛⎫+== ⎪---⎝⎭，故21lim 02x a x x a →--=⇒= 17. 1lim xx e →不存在110lim 0,lim xxx x e e -+→→==+∞ 18. 2200limlim 0sin 22x x x x x x →→== 222200limlim 1x x x x arctg x x→→== 22200limlim 21cos 2x x x x xx →→==- ()220lim 0ln 2x x x →=+ 20．()()()()()222221111sin 1sin 1sin 1limlim1limlim 12111x x x x x x x x x x x x →→→→---=+=+=---21．（1）123233lim lim 323213nn n n n n n n +→∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）1111211111...282222lim lim lim 1151151 (155)445545n nn n n n nn n-→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭+++-===⎛⎫+++-- ⎪⋅⎝⎭(3)原式= 111111111lim1 (2335577)2121n n n →∞⎛⎫-+-+-++- ⎪-+⎝⎭ =()111111lim1lim 221222212n n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ （4）原式=()22212122limlim 1122n n n n n n n →∞→∞+-==++ (5) 原式=2224221111lim lim 1111nnn n n e n n e e n n --→∞→∞⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭=== ⎪⎛⎫ ⎪++ ⎪⎝⎭⎝⎭(6) 原式= lim 33nn n nx →∞⋅= (7) 原式= 111112224lim 22 (2)lim 22nnn n -→∞→∞⋅==(8) 原式=2252n n n ⎡⎤-⎢⎥==22.（1）原式= 24223342232sin 1sin lim lim sin lim 1001111x x x x x x x x x x x x x-→∞→∞→∞=⋅=⋅=⋅=+++ （2）原式= 088lim 55x x x →= （3）1x →故10x -→又0x →时()11nx +-~ nx即 原式=()11lim1x n x n x →-=-（4）()()()()sin sin limlim 1x x x x x x πππππππ→→-+--==----（5）原式= 121211lim 112xx e x e e x →∞⎛⎫+ ⎪== ⎪ ⎪+⎝⎭ （6）原式= 221x x x ===（7）原式= ()()211220lim 12lim 12xx x x x x e ---→→⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭（8）原式= ()001sin 1ln cos cos 1ln cos lim lim 00lim cos lim 1x x xx x x xxxxx x x eeee →→-⋅→→=====23.（1）()1lim lim 211xx x f x --→→=-=- ()0lim lim 1x x xf x tgx++→→== ()()00lim lim x x f x f x -+→→≠故()0lim x f x →不存在. (2)①2200limlim 0x x tgx x xx →→== ②200cos 12lim lim 0x x x x xx →→-==③()00ln 122limlim 2x x x xxx →→+==④2001sin1limlim sin 0x x x x x x x→→==(3) 22lim 01x x ax b x →∞⎛⎫---= ⎪-⎝⎭Q 故()()212lim 01x a x a b x b x →∞⎛⎫-+-+-= ⎪-⎝⎭则10,0a a b -=-=则1a b ==习题1.42.否，例：()()()11,1f x x xg x x =+=+ ()()f x g x x =在01x =-处不间断. 3.否，例：()131f x x x =++ ()11g x x =-+ ()()3g x f x x +=在01x =-处不间断 4.否，例：()x f x x ⎧⎨-⎩ 00x x ≥< 5.否，例：()0f x x ⎧⎨-⎩0112x x ≤<≤≤ 6.否，例：()x f x e = x -∞<<+∞ 7.否，例：()11f x -⎧=⎨⎩ 0112x x ≤≤<≤ 12. ()()()111lim 1lim 10xxx x x x e f k -+-→→-=-=== 13. ()f x 在0x 点连续，则()()()00lim lim x x x x f x f x e f x -→→===14.定义域229032,2340x x x x ⎧-≥⇒-≤<-<≤⎨->⎩故连续区间()()3,22,3-⎡⎤⎣⎦U 15. 1x =-和2x =为间断点，2x =为第二类间断点. 17. 0lim 1x y -→=- 0lim 1x y +→=-故在x=0处不连续. 18. 220001cos 1cos 11lim lim lim sin 1cos 1cos 2x x x x x x x x ---→→→--===-+ 2011lim 22x x +→+= 故001lim lim 2x x y y +-→→== 故在R 上连续 19. 00lim lim 110x x tgx xa a x x--→→===-⇒=01lim sin 11x x b b a b x+→+==-⇒= 20. 定义域为x ≠1，故间断点为x=111lim 12x xarctg x π-→=-- 11lim 12x xarctg x π+→=-21. 证明：令()51xf x x =⋅-，考虑闭区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是连续的。

且()010f =-<，1102f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭由零点存在定理，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少存在一点ξ使得，()0fξ=即510ξ-=22. 证：令()()F x x f x =-则()F x 在[]0,1上是连续的，且()()()00000F f f =-=-≤ ()()1110F f =-≥由零点存在定理，在()1,0上至少存在一点ξ使得，()0f ξξ-=即得证习题2.11. ()()()()()0000002021limlim 2h h f x h f x f x h f x f x h h ∆→-→+∆---'===∆∆ 2. ()0sin00f -'=-= ()00f a +'==∵可导故在x=0处连续，则()()0lim lim cos 1lim x x x f x x ax b b --+→→→===+=故a=0，b=1. 5.由题意得：()()0003lim0x f x x f x xx∆→+∆--∆=∆()()()()000000limlim 30303x x f x x f x x f x f x x∆→∆→+∆-''⇒-∆=⇒-=⇒=∆ 6. ()211lim lim 12x x f x x --→→=+=()11lim lim 22x x f x x ++→→==故连续 ()0022f x x -'== ()02f x +'=故可导习题2.21. ()()()1ln ln ln y f t t f t t''''==⋅()()()()()()()22111111ln ln ln ln ln ln y f t f t f t f t f t f t t t t t t t'⎛⎫⎛⎫''''''''''=+⋅=⋅+⋅-=-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 2. 1e y x '=-故切线的斜率为1e x -，又t 与x 轴平行，则100ex x -=⇒=代入11ey x y =-⇒=-则切点为（0，-1）5. 22cos1111112sec cos 1222sin sin cos 2sin cos 2222xx y x x x x x x tg x '=⋅⋅=⋅⋅=== 6.（1）()()()ln ln ln ln ln xxx x x x y x ee===故()()()()ln ln 111ln ln ln ln ln ln ln x x x y ex x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤'=⋅+⋅⋅=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （2）()()2sin sin ln121xx x y x e+=+=故()()()()2sin sin ln 12222212cos ln 1sin 21cos ln 1sin 11x x x x y ex x x x x x x x xx +⎛⎫⎡⎤'=⋅⋅++⋅⋅=+⋅++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦7. （1）()22121211y x arctgx xxarctgx x'=⋅++⋅=++ 21221y arxtgx x x''=+⋅+ （2）212x y e-=⋅ 2122x y e -''=⋅⋅()104y e -''=8.（1）()()()2sec 1y tg x y y x y y ''=+⇒=+⋅+()()()()22222sec 11cos 1sec cos 1sin ()x y y x y x y x y x y +'⇒====-+-++--+（2）1yyyy xe y e xe y ''=+⇒=+⋅1yye y xe '⇒=-9.（1）11dxdx dt dy dy t tdt-===-22231111d x t dx dy t t t dt-⎛⎫=-=⋅= ⎪⎝⎭ （2）32439t ttdx dx e dt e dy dy e dt-===- 22232214143339t t ttd xe e e dx dy e dt-'⎛⎫=-⋅=-⋅= ⎪-⎝⎭10.（1）ln y x x =1ln ln 1y x x x x '=+⋅=+11y x x-''== 2y x -'''=- 32y x -'''=故()()()112!n n n n d y n x dx--=-- （n ≥2） (2) xy xe =x x y e xe '=+ x x x y e e xe ''=++()n x x x nd yne xe e x n dx=+=+ 11. ()22y f xx ''=⋅()()()()2222222242y f x x x f x x f x f x ''''''''=⋅⋅+=+习题2.32. ()()()()2221sin cos 212cos x y x x y x y y x x y ''+=⇒+⋅+=⇒=-+ 故()()()22212cos 12cos cos x x y dy x dx dx x y x y ⎡⎤-+⎢⎥=-=++⎢⎥⎣⎦习题2.42. ()14f -= ()316f = ()41f x x '=-则()()()()()31124411f f f b a ξξξ''--=-⇒=-⇒= 3. ()00f = ()14f = ()212f x x '= 则2214123ξξ=⇒=又[]0,1ξ∈故ξ=习题2.51. ()1111211ln 1ln 1lim lim lim lim 1111ln 1ln 2ln (1)x x x x xx x x x xx x x x x x x x x→→→→-+⎛⎫-====⎪--⎝⎭+-+2. 123000021ln lim lim lim lim 20112x x x x x x x x x++++→→→→-===-=- 3. 1001sin sin lim ln lim ln 00sin lim 1xx x x x xx x x x e ee x ++→→+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→⎛⎫==== ⎪⎝⎭习题2.61. 定义域 101x x +>⇒>- 又111y x'=-+ 令00y x '=⇒= 当0x <时0y '<；当0x >时0y '>故在[-1，0]上单调减少，在[0，+∞]上单调增加.2. 22002lim lim 1sin cos 2x x x xx x e e e e x x x--→→+--==⋅ 3. 212ln 2ln y x x x x x xπ'=⋅+⋅=⋅+令00y x '=⇒=或12x e -=又定义域为x ≠0故在12x e-=处有极值当12x e-<时，0y '<. 当12x e ->时，0y '>故为极小值.4. 232y ax bx '=+ 62y ax b ''=+令06206203b y ax b ax b x a''=⇒+=⇒+=⇒=- ∵(1,3)为拐点 ∴13b a -=又293,32a b a b =+⇒=-= 5. （1）定义域为[0,+∞)又110y '=+=+> 故[0,+∞)为单调增区间. （2）2ln 1(ln )x y x -'=令0y x e '=⇒=定义域()()0,11,+∞U 当()0,1x ∈时0y '<；当()0,x e ∈时0y '<，当[,)x e ∈+∞时，0y '>故单调减区间()0,1和()0,e ，单调增区间[,)e +∞6. 344y x x '=-+ 令00y x '=⇒=或1x =± 则当0x =时，0y =为极小值， 当1x =±时，y=1为极大值 7. 11ln x xx y x e==，()11ln 222111ln 1ln x xx y ex x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令0y x e '=⇒=当x<e 时0y '>，当x>e 时0y '< 故x=e 的极大值，为1ee 8. 22ex y xex e --'=-令()0200xy xex x -'=⇒-=⇒=或2x =极小值()00y =，极大值()224y e -= 9. 3416y x x '=-解：0y '=得y 在[-1,3]上的驻点为，10,2x x ==，由于()()()()15,02,214,311y y y y -=-=-= 故最大值()311y =，最小值()214y -. 10. 设矩形的边a.b ，周长为c ，面积为S 则()2,c a b s ab =+= 则2c s a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 02c a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭又22c s a '=- 令0s '=得驻点，4c a =，又S 为可导函数，且最大值一定存在，故当4c a =时S 最大，此时216c s =，此时4ca b ==即为正方形的面积最大11. 设扇形面积为S ，弧长为L ，周长为C则2L rS ⋅=，2C r L =+ 则25022S C r r r r =+=+ (0<r<+∞)又21250C r'=-，令05C r '=⇒=由于C 为可导函数，且只有一个驻点a 和b ，且最小值一定存在，故5r =时，C 取最小值. 12. 设小屋的长和宽分别为a 和b ，面积为S ，则20220,2aa b S ab S a -+==⇒= 又0S '=得a=10故a=10时S 最大，此时b=5. 13. (1)定义域为R.e x y e xe --'=-()2e x x x y e xe e e x ----''=-+-=-令0y ''=得x=2故拐点22,2e -,在(),2-∞凸，在()2,+∞凹（2）定义域R 2121y x x '=⋅+ ()()()22222221222211x x x x y x x +-⋅-''==++ 令0y ''=则1x =±15.（1）定义域为(－∞, +∞)2321y x x '=-- 262y x =-（2）0y '=的根为1x =或者13x =-，0y ''=的根为13x =则与划分为几个区间：1111(,],[,],(,1),[1,)3333-∞--+∞（3）（4）该曲线无水平渐近线与垂直渐近线（5）由127332y ⎛⎫-=⎪⎝⎭，116327y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10y = （6）故可做出图形（略） 16. 令()2(1)ln 1x f x x x -=-+ ()2212(1)2(1)(1)01(1)x x x f x x x x x +---'=-=>++ （x>0） 故在x>1上，()f x 为单调增，则()()10f x f >=则2(1)ln 01x x x -->+ 习题2.7 1. ()C Q CC aQ b Q Q==++2CC a Q '=-令 0C Q '=⇒=2. ()343151535dQ P P P P dP Q Q P η---=-⋅=--⋅== 3. ()90020C x C x x x==++ 29001C x -'=-+令030C x '=⇒=31800C x -''=则2(30)03C ''=>故30x =时平均成本最小(30)80C =（万元） 4. 设总利润为S则()21610001000499616S y x x x x x x ⎛⎫=-⋅=---⋅=-- ⎪⎝⎭9962S x =-令0498S x '=⇒=，且S '处处存在又20S ''=-<，故498x =时，S 最大习题3.1（一）2.（A ）()21cos 2112sin 2(1cos 2)22sin 2222x xdx dx x d x x x c -=⋅=-=-+⎰⎰⎰()11cos 2cos 22sin 222xdx xd x x c ==+⎰⎰ （C ）()21cos 22sin 21cos 22x xdx dx x dx -=⋅=-⎰⎰⎰（二）3. 2sec xdx tgx c =+⎰过,24π⎛⎫⎪⎝⎭则 214tg c c π=+⇒=（三）6.()()2221122112122ln x x xdx dx x x dx x x x c x x----+-==+-=--+⎰⎰⎰ 7. 21cos 11sinsin 2222x x dx dx x x c -==-+⎰⎰ 9. ()()222222221221111111x x dx dx arctgx C x x x x x x x ++⎛⎫==-=-++ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰ 10. ()()()323211111132x x x x x dx dx x x dx x x C x x +--==-=-+++⎰⎰⎰11.(22212x x dx x C ==-=+⎰12. 222222221122222111x x x dx dx dx x arctgx C x x x +++-⎛⎫==-=-+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰ 13. 3222222cos cos 1sin 11sin sin 1sin sin sin sin sin sin sin x x x dx d x d x d x x C x x x x x -⎛⎫===-=--+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 14.2222cos 24cos 222sin 2sin cos sin 2sin 2sin 2x x dx dx d x C x x x x x===-+⎰⎰⎰ 15. 2222221cos 1cos 1cos sin 1cos 21cos sin 2s x x x dx dx d x x x x co x +++==++-⎰⎰⎰ 22111111sec 2cos 22222dx x dx tgx C x ⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 16. 2135225235333ln 2ln33xx xx dx dx x C +⎛⎫-⋅⎛⎫⎛⎫=-⋅=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 17.4444x x x edx e dx e C ---=-=+⎰⎰（一）1. ()()()2222211d x x d x x d x +=++=+2. 211darctgx dx x =+ 211darcctgx dx darctgx darcctgx x=-⇒=-+（二）3. 10210111sec 11tg x xdx tg xdtgx tg x C ==+⎰⎰4.11ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x x C x x x x x ==+⎰⎰5. 221111x x x xx x x e dx dx de arctge c e e e e -===++++⎰⎰⎰ 6.()22444sin cos sin 111sin sin sin 1sin 1sin 21sin 2x x x dx d x d x arctg x C x x x ==⋅=++++⎰⎰⎰ 7. ()()233sin cos sin cos2d x x x x C =-=-+ 8. ()()32222222222211991ln 9929292229x x x x dx dx dx dx x C x x x x ⎛⎫==⋅=-=-++ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 9.22212ln 4242dx dx x C x x x -=-=-+--+⎰⎰10. ()()()()()()332226626322111ln ln 4362444344dx dx dx dt t t C x x x x x x x t t====-++++⋅⋅++⋅⎰⎰⎰⎰ 则()6661ln 2444dx x C x x x =+++⎰ 11. 2222cos cos cos sin cos 2cos sin sin 2222222x x x x x x x x dx dx d ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 224212sin sin 2sin sin 22232x x x xd C ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰ 12. ()22322232sin 111sec sec 11cos cos 3x tg x xdx tg xd x d t dt t dt t t C x x t ⎛⎫⎛⎫===-=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 则 331sec sec sec 3tg x xdx x x C =-+⎰13.()22arctan 122arctan arctan 2arctan 12t dt td t t C t ===⋅++⎰⎰则(2C =+14.()()()()()()2221ln 1ln 11ln ln ln ln 1ln ln ln xxdx d x x d x x C x xx x x x x x x ++===-++⎰⎰⎰16.()112211C x ===+⎰⎰17.()2212ln 1C ⎛====+ ⎝⎰18.22222=-=-+2arcsin x a C a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰22arcsin x a C a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭则22arcsin 2a x C a ⎛⎫= ⎪⎝⎭19.sec tan sec tan d d C θθθθθθθ===+⎰⎰又1arccos xθ=故1arccos C x =+20.23sec cos sin sec d d C θθθθθθ===+⎰⎰ 又tan x θ=则 2222222111sin 1cos 111sec tan 111x x x θθθθ=-=-=-=-=+++ 则sin θ=则C =21. 令 2sin x t = 则cos2x=1－2t 2tan 1t x t =- 则 ()121tf t t t'=-+- 则()121tf t t t'=-+- 1.sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰2. sin arcsin arcsin arcsin arcsin arc xdx x x xd x x x x x C =⋅-=⋅-=+⎰⎰3.xx x x x x xedx xde x e e dx x e e C ------=-=-⋅+=-⋅-+⎰⎰⎰4. 3333321ln ln ln ln ln 33333x x x x x x xdx xd x d x x dx x ==⋅-=-⋅⎰⎰⎰⎰3333111ln ln 33339x x x x C x x C =-⋅+=-+ 5.cos cos cos cos cos sin x x x x x xe xdx xde e x e d x e x e xdx ------=-=-⋅+=-⋅-⋅⎰⎰⎰⎰()cos sin sin sin cos x x x x x e x xde e x e x e xdx C -----=-⋅--=-⋅+⋅-⋅+⎰⎰()1cos sin cos 2x x e xdx e x x C --⇒⋅=-+⎰6.()()222tan sec 1sec x xdx x dx x x x dx ⋅=⋅-=-⎰⎰⎰2tan tan tan 2x xd x xdx x x xdx C =-=⋅--+⎰⎰⎰2tan ln cos 2x x x x C =⋅+-+7.()()()()22221ln ln ln ln 2ln x dx x x xd x x x x x dx x=⋅-=⋅-⋅⋅⎰⎰⎰()()22ln 2ln ln 2ln 2ln x x xdx x x x x xd x =⋅-=⋅-⋅+⎰⎰()()221ln 2ln 2ln 2ln 2x x x x x dx x x x x x C x=⋅-⋅+⋅=⋅-⋅++⎰8. 1111sin cos sin 2cos 2cos 2cos 22444x x xdx x xdx xd x x x xdx ==-=-⋅+⎰⎰⎰⎰1111cos 2cos 22cos 2sin 24848x x xd x x x x C =-⋅+=-⋅++⎰9. ()()()()()()3333322ln ln ln 1111ln ln 3ln x x x dx x d d x x dx x x x x xx x =-=---=-+⋅⋅⎰⎰⎰⎰()()()()33222ln ln 113ln 3ln x x x dx x d xx x x=-+⋅=-+-⎰⎰ ()()()()()333222ln ln ln 3ln 12ln 3ln 3x x x x x d x dx xx x x x x ⎛⎫=-+-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ ()()()()3232ln 3ln ln 3ln 1ln 116ln 66x x x x x xd dx x x x x x x x x =--+-=---+⋅⎰⎰ ()()32ln 3ln ln 166x x x C xx x x=----+10.()()()()()1cos ln cos ln sin ln cos ln sin ln x dx x x x x dx x x x dx x=⋅+⋅⋅=⋅+⎰⎰⎰ ()()()1cos ln sin ln cos ln x x x x x x x dx x=⋅+⋅-⋅⋅⎰故 ()()()1cos ln cos ln sin ln 2x dx x x x C =++⎡⎤⎣⎦⎰ 11.()()()()ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln x dx x d x x x xd x x ==-⎰⎰⎰()()()111ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln x x x dx x x dx x x x C x x x=-⋅⋅=-=-+⎰⎰12.222xd x =-=-⎰⎰2424x x =-=-⎰2x C =-13.()()2221ln 1ln 121x dx x x x xdx x +=+-⋅⋅+⎰⎰ ()()222222222ln 1ln 1211x x x dx x x dx x x +-⎛⎫=+-=+-- ⎪++⎝⎭⎰⎰ ()2ln 122arctan x x x x C =+-++14. 2233sin tan sec tan sec tan sec sec cos x dx x xdx xd x x x xdx x===-⎰⎰⎰⎰ 32sec tan sec sec tan tan sec x x xdx x x x xdx ==⋅-⎰⎰⎰()2sec tan sec 1sec x x x xdx =⋅--⎰3sec tan sec sec x x xdx xdx =⋅-+⎰⎰31111sec sec tan sec sec tan ln sec tan 2222xdx x x xdx x x x x C ∴=+=+++⎰⎰23sin 11sec tan ln sec tan cos 22x dx x x x x C x ∴=-++⎰15.11x x x =⋅+⎰⎰()11211x dx xx x⎛⎫==-⎪++⎝⎭⎰⎰x C=()1x C=+1. ()()22311ln2ln5325xdx dx x x Cx x x x+⎛⎫=+=-+++⎪+-+⎝⎭⎰⎰2. ()()()222222222212111111ln221211211x xdx dx dx dx Cx x x x x x x x x⎛⎫===-=+⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰3.()2222222122213sin62sin61cos27cos117cos7221wdx dx dx du dwduwx x x u w wuw+=====++++--⎛⎫+---⎪+⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222221211134444dw dw dw dwC Cww w w======+ ++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰5.cos1cot11sin sin sin sin1sin1sin1sin sin1sinxx x xdx dx d x d xx x x x x⎛⎫===-⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰1sinln sin ln1sin ln ln csc1sinxx x C C x Cx+=-++=-+=-++6. 22222tan11113cos231xudx du du C Cux uu+===+=+-++++⎰⎰⎰8. dxx令2211tt xt-=⇒=+则()241tdx dtt-=+则()()()22222221441111dx t t tt dt dtx t t tt+--=⋅⋅=-+-+⎰⎰()()22111122arctan2ln2111tdt t Ctt t⎛⎫-⎪=+=+⋅+⎪++-⎝⎭⎰ln C=+7.()3224144111t t dt dt t dt t t t t ⎡⎤===--⎢⎥+++⎣⎦⎰⎰⎰ 24ln 12t t t C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭(4ln 1C =+-习题3.22.（1）在[1，4]上，m=2，M=17，b －a=3,则()4216151xdx ≤+≤⎰（2）在[2，0]上，14m e-=，2M e =， b －a=2，则21024222x xe edx e ---≤≤-⎰3. （2）在[1，2]上32x x >，则331x dx ⎰大（3）在[0，1]上ln(1)x x >+，则1xdx ⎰大5.220sin sin 2td u dudx t t dtdt==⋅⎰220cos cos 2td u dudy t t dtdt==⋅⎰222cos 2cot sin 2dy dt dy t t t dt dx dx t t⋅⋅===⋅ 6.()2x dI x xe dx -= 令 ()0dI x dx= 则x=0 故x=0时()I x 有极值. 7.（1） 22220200cos cos 2limlim lim cos 12x x x x t dt x xx x x →→→⋅===⎰ （2）()()()()22222arctan arctan arctan limlimlim arctan 24xx x x x t dtx x x xxπ→∞→∞→∞==== （3）210lim 1n x dx x→∞+⎰ []0,1x ∈Q 故 原式=0 8. （1）()()()12F x f x a f x a a'=+--⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()()()()001limlim 222x a x a a a f x a f x a f x f x f t dt f x a +-→→----+===⎰ 9.（1）()()()12F x f x f x '=+≥1.()()332201sin sin sin cos 1cos cos d d d d d πππππθθθθθπθθπθθ-=-=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰314cos cos 033ππθθπ=+-=-2.())222212111ln 12ln 1211e e e d x e x +===+=⎰⎰⎰3. ()()()()00022222201arctan 122221111d x dx dx x x x x x π---+===+=-++++++⎰⎰⎰ 4.222x dx xdx xdx πππ--===+⎰⎰2224cos cos 333x x π-=+=+=⎰5.2202xdx xdx x x πππππππ==-==⎰⎰⎰6.1002244sin sin tan cos t tdt tdt t ππ---=-⋅=⎰⎰ ()()24sec1tan 144t dt t t πππ-=-=-=--⎰7.3332221444sec cos 113sin tan sin sin sin 4t t dt dt d t t t tt ππππππππ====-=⎰⎰⎰8.22111335514286t t t dt dt t---⎛⎫=⋅-== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰9.()()111111011120x x xx xe dx xde xe e d x e e e -------=-=---=----=-⎰⎰⎰() 4ln4ln4ln4ln4222222000002ln4ln42244ln444ln41002t t t t t ttt te dt te dt tde t e e d ee=⋅==⋅=⋅-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰11. ()111001sin ln sin sin cose t t tx dx t e dt t e e tdt=⋅=⋅-⎰⎰⎰11001cos cos sint t te tdt e t e tdt=+⎰⎰()()1100sin sin1cos11sint tt e dt e e tdt∴-=⋅---⎰⎰()11sin sin1cos112tt e dt e e∴⋅=⋅-+⎰12. 0001111lne t t tex dx t e dt t e dt t e dt---=⋅=-⋅+⋅⎰⎰⎰⎰0110t tt e dt tde-=-⋅+⎰⎰()()01110012210t t t tte e d t te e d t e--=---+-=--⎰⎰13.（1）()4sinf x x x=为奇函数，则()0f x dxππ-=⎰（2）()2242220021cos24cos2421cos22d d dππππθθθθθθ-+⎛⎫=⋅=+⎪⎝⎭⎰⎰⎰()22222001cos421cos22cos2212cos22d dππθθθθθθ+⎛⎫=++=++⎪⎝⎭⎰⎰311132sin42sin2222422πθθθπ⎛⎫=+⋅+⋅=⎪⎝⎭（3）221122600arcsin arcsin22coscosx x ttdttπ==⋅⎰⎰⎰3262324t dtππ==⎰（4）()f x为奇函数，则()55f x dx-=⎰14.()()()()222aad x dxa a a daϕϕϕϕ-=+=⎰()()22022ad x dxa daϕϕ=⎰()()220aax dx x dx ϕϕ=⎰⎰习题3.3 1.（1）431111133dx x x +∞+∞=-=⎰（2）11+∞=⎰ 发散 （3）()()()00110k p tk p t ktpte e e dt e d k p t k p k p k p -+∞+∞--+∞⋅=-==---⎰⎰ （4）11011sin sin sin cos 0ptpt pt pt ewtdt wtde wte e w wtdt p p+∞+∞+∞----+∞=-=--⋅⋅⎰⎰⎰ 2200cos cos sin 0pt pt ptww wtde wt e e w wtdt p p +∞+∞---⎛+∞⎫=-=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰ 22222sin sin pt pt w w we wtdt e wtdt p pp w +∞+∞--=+-⇒=+⎰⎰（5）()()()2221arctan 10221111dx dx dx x x x x x π+∞+∞+∞-∞-∞-∞+∞+===+=++++++⎰⎰⎰ 2.10x x xx xxe dx xde xe e dx e +∞+∞+∞-----+∞+∞=-=-+=-=⎰⎰⎰2220220xxxx x e dx x dex exe dx +∞+∞+∞----+∞=-=-+=⎰⎰⎰33300330x x xx x e dx x de x e xe dx +∞+∞+∞----+∞=-=-+=⎰⎰⎰!n xn x x e dx x de n +∞+∞--=-=⎰⎰3. 21lim lim 1xx cc c x x c x c e x e c x c e x -→∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎛⎫=== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭ 222222211111122222224cc c t tt t c t c c c c c te dt tde te e dt e e e -∞-∞-∞⎛⎫==-=-⋅=- ⎪-∞-∞⎝⎭⎰⎰⎰ 2215242c c c e e c ⎛⎫∴=-⇒= ⎪⎝⎭习题3.4 1.（1）221213ln ln 2122x A x dx x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰（2）()110120xxxxA eedx eee e ---=-=-=+-⎰2. 24y x '=-+ 则在()0,3-与()3,0处的切线的斜率为4和－2则这两切线分别为43x y -=，26x y -+=，两直线焦点为3,32⎛⎫⎪⎝⎭则()()3322230243432643A x xx dx x x x dx =-+-++-++-+⎰⎰()33222302934x dx x dx =+-=⎰⎰ 3. 22y px =在点,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为1y '==则法线斜率为-1，则发现方程为32x p y -+=2322x p y y px⎧-+=⎪⇒⇒⎨⎪=⎩发现与抛物线的交点为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭9,32p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭则92220231623pp p A x p dx p ⎛=+-+= ⎝⎰⎰4. ()()22222212244a a A ae d e d e e ππθθππππθθ---===-⎰⎰5.（1）例题3.486.当焦点为通径时，面积最小，通径为x=a 习题4.21. a r垂直于b r ，230a b ⋅=r r ，()()2sin ,2a b a b a b a b ⋅-=⋅⋅=⋅r r r r r r r ra r ∥b r ，()236sin 0a b a b ab ⨯==r r r r r r2. 不存在5. ()()32339632a b a b a a b a a a b b -⋅+=⋅-⋅+⋅-⋅=-r r r r r r r r r r r r6. 设i i k c x y z =++r u r u u r u u r 且2221x y z ++=则220c a x y z ⋅=++=r r5063b c x y z x y z ⋅=-++=⇒===-r r或 63x y z ==-= 7.（1）28100a b ⋅=--+=r r垂直（2）517010214333ij kc d ⋅=-=-r r r r u r平行8. cos ,0a b <>==r r则夹角为2π9. cos ,a b <>==r r则a r 在b r 上的投影为cos ,5a a b ⋅<>=r r r10. ()()2220a kb a kb a k b +⋅-=-=r r r r r r 则 293255k k =⇒=±习题4.31. ()12,3,4n =u r ()22,3,4n =-u u r1π与2π的夹角为θ111111cos 29n n n n θ⋅==u r u ru r u r 故补充和也不垂直但相交 3. 设平面方程为3x+2y+3z+d=0 则61206d d -++=⇒=-4. 设平面方程为ax+by+cz+d=0 则2022040b c d a b c d a b c d ++=⎧⎪-+++=⎨⎪-++=⎩5. 垂直于x 轴，则平面方程为x=k ，又过（1，-2，4）则 x=16. 设平面法向量为()12,3,4n =u r。