旋转几何证明

巧用旋转解题温州市实验中学 周利明传统几何中，有许多旋转的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。

因此旋转的方法是几何学习中必备的技巧，本文将介绍旋转方法的几种典型用法，与广大读者共同学习、交流。

1．利用旋转求角度的大小例1：在等腰直角△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=BC, P 是△ABC 内一点,满足PA=6、PB=2、PC=1求∠BPC 的度数.分析：本题借助常规方法的入手是比较困难的，虽然三条线段的 长度是已知的，但是这三条线段不是三角形的三条边长，因此 要得到角度的大小是不太容易的，因此我们可以借助 旋转来分析问题，因为AC=BC ，这就给我们利用旋转创造了条件，因此可以考虑将APC ∆绕点C 逆时针旋转090，得C P B '∆,连接P P '，通过三角形的边与角的关系分别求得P CP '∠和PB P '∠，就可得到BPC ∠的大小。

解：由已知AC=BC ，将APC ∆绕点C 逆时针旋转090，得C P B '∆,连接P P '；由旋转可知：ACP CB P ∠='∠，P C CP '=，AP BP '=；∴090=∠=∠+'∠ACB PCB CB P ，∴CP P '∆是等腰直角三角形 ， ∴045='∠='∠P P C P CP 且2='P P ，在PB P '∆中，∵222222226PB PP AP BP ''+=+====，∴PB P '∆是直角三角形，且090='∠PB P ， ∴01359045=+='∠+'∠=∠PB P P CP BPC ．例2：如图所示,正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边AB 、AD 上的点,APQ ∆的周长为2，求PCQ ∠的大小．分析：本题在已知三角形的周长和正方形的边长的条件下求角度的大小是比较困难的，因为正方形的边长BC=DC,所以可以考虑将PBC ∆绕点C 顺时针旋转90°，易证E 、D 、Q 三PABC P ’点共线，通过证明ECQ ∆和PCQ ∆全等即可求得PCQ ∠的大小．解：∵ BC=DC ，∴ 将PBC ∆绕点C 顺时针旋转90°得EDC ∆；∴ 090=∠=∠CBP EDC ，PCB ECD ∠=∠，PB ED =，CP CE =；∴ 090=∠+∠+∠=∠+∠+∠PCQ DCQ PCB PCQ DCQ ECD且 0180=∠+∠CDA EDC ， ∴ E 、D 、Q 三点共线，∵ APQ ∆的周长为2，即2=++PQ AP AQ ， 又 ∵2=+=+++AD AB QD PB AP AQ ， ∴ EQ DQ ED DQ PB PQ =+=+=，在ECQ ∆和PCQ ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧===CQ CQ PQ EQ CP CE ，∴≅∆ECQ PCQ ∆；∴045=∠=∠ECQ PCQ ．练习１：P 为正方形内一点,且PA=1,BP=2,PC=3,求∠APB 的大小．2．利用旋转求线段的长度例3：如图，P 是等边△ABC 内一点，PA=2，32=PB ，PC=4，求BC 的长。

分析：本题BC 虽然和CP 、BP 同处一个三角形，但是要求其长还缺角度，因此直接从已知条件入手是比较困难的，但是我们只要适当运用旋转的 方法，就可以是问题简单化；因为本题的△ABC 是等边三 角形，所以其三边是相等的，因此联想到将△ABC 内部的 某个三角形进行旋转也是比较容易的；解：∵ △ABC 是等边三角形，PPACEB∴ 将△BPA 绕点B 逆时针旋转60°，则BA 与BC 重合， ∴ ABP EBC ∠=∠ 且 BP=BE ，PA=EC ，连接EP ； ∵ 060=∠+∠=∠+∠CBP EBC CBP ABP ， ∴ EBP ∆是等边三角形， ∴ 32==PB EP∵ 在ECP ∆中：22222162)32(CP EC EP ==+=+；∴ 090=∠CEP ， ∵ PC EC 21=， ∴ 030=∠EPC ， ∴ 090=∠BPC ， ∴ 7228)32(42222==+=+=PB PC BC ．例4：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC （BC>AD ），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10。

求CE 的长度。

分析：仔细分析就会发现本题所给的条件不易 直接求得CE 的长度，还需要做一些变化，经观察 容易发现把把△BCE 绕点B 顺时针旋转90°， 可构成一个正方形，然后通过三角形全等，就找出 边之间的关系。

解：把△BCE 绕点B 顺时针旋转90°得BGF ∆，连接AG ，易证A 、G 、F 三点一线，且易知四边形BCDG 为正方形．由旋转可得：GBF CBE ∠=∠，BF BE =，∵ 045=∠ABE ， ∴045=∠+∠=∠+∠=∠CBE ABG GBF ABG ABF∴ 在ABE ∆和ABF ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AB AB ABF ABE BFBE ，∴ 在≅∆ABE ABF ∆， ∴10==AF AE ，设 x CE =，则x AG -=10，x x AG DG AD +=--=-=2)10(12，x CE DC DE -=-=12；在ADE Rt ∆，222DE AD AE +=，即222)12()2(10x x -++=；ADBCGFE∴ 024102=+-x x ， 解之得：;6,421==x x∴ CE 的长为4或6．练习2：如图四边形ABCD 中，AB=AD ，∠A=∠C=90°，其面积为16，求A 到BC 的距离．3．利用旋转探求线段之间的关系例5：如图，在凸四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC ，求证：222BC AB BD +=．分析：由本题的结论不难想到在直角三角形中应用 勾股定理可以证得含有平方关系的线段之间的关系，因此 我们就需要将结论中的这三条线段放到同一个直角三角形中， 由于AD=DC ，所以可以考虑将ADB ∆绕点D 顺时针方向旋转60°， 使AD 和DC 重合，这样就可以得到BCE Rt ∆，然后通过证明DBE ∆是等边三角形就可以得到结论中线段之间的关系．解：将ADB ∆绕点D 顺时针方向旋转60°，使AD 和DC 重合，得DCE ∆并连接EB ， 由旋转可得：CDE ADB ∠=∠，DAB DCE ∠=∠，DE DB =；∴ 060=∠=∠+∠=∠+∠=∠ADC ADE BDC CDE BDC BDE ， ∴ DBE ∆是等边三角形， ∴ BE DB =，∵ 0270=∠+∠=∠+∠DAB DCB DCE DCB∴ 090=∠BCE ，∴ BCE Rt ∆中：222BC CE BE +=， ∴ 2222BC CE BE BD +==．例6：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，D 、E 在BC 上，∠DAE=45°，求证：222DE BE CD =+ ．分析：由本题的结论我们可以联想到直角三角形中勾股定理的结论，因此我们就需要将结论中的三条线段放在同一个直角三角形中，再由AB=AC, 我们不难想到将ADC ∆绕点A 延顺时针方向旋转90°， ABD C EACF这样我们就将DC 、BE 放到了同一个三角形中，同时我们也不难证明090=∠FBE ，然后我们只要设法证明≅∆AFE AED ∆，则结论可得． 解：∵ AB=AC ，将ADC ∆绕点A 延顺时针方向旋转90°得AFB ∆，连接EF ， 由旋转可得：CAD FAB ∠=∠，045=∠=∠ACD FBA ，DC FB =，AD AF =； ∵ 045=∠EAD ， ∴ 045=∠=∠+∠=∠+∠FAE FAB BAE CAD BAE ，在AFE ∆和AED ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE EAD ADAF ，∴ ≅∆AFE AED ∆；∴ ED EF =，∵ 090=∠+∠=∠+∠=∠ABC ACD ABC FBA FBE ∴ FBE ∆是∆Rt ，∴ 2222ED EF BE BF ==+．练习3：如图①、②、③，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120º的等腰三角形，以D 为顶点作一个60º角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ．探究：线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明．4．利用旋转求面积的大小例7： 如图正方形ABCD 中，3=AB ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF 的面积．分析：本题由已知条件直接去求结论是比较困难的， 由于该题中含15°，30°等特殊角度，因此通过旋转△ADF 可构作出45°角，构造三角形全等，通过等积变形来解决 问题是比较容易的。

解：将△ADF 绕A 点延顺时针方向旋转90°得△ABG ，由旋转性质可知：AF AG =，015FAD BAG =∠=∠，009FDA A =∠=∠BG ，CAD F∵ 0180A A =∠+∠BC BG ， ∴ 点G 、B 、E 三点共线， 又∵ 045=∠+∠=∠BAE GAB GAE ， ∴ 045)3015(90=+-=∠EAF ，在AFE ∆和AGE ∆中：AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ≅∆AFE AGE ∆；∴ EG EF =，又∵ 060=∠=∠AEG AEF ，ABE Rt ∆中：3=AB ，∠BAE=30°， ∴1=BE ，在Rt △EFC 中，060)6060(180=+-=∠FEC ， ∴ 13-=-=BE BC EC ， ∴ )13(22-==EC EF ，∴ )13(2-==EG EF ， ∴ 333)13(22121-=⋅-⨯=⨯⨯=∆AB EG S AEG ， ∴ 33-==∆∆AEG AEF S S例8：如图A 、B 、C 、D 是圆周上的四个点，»»»»AB CD AC BD +=+．且弦AB=8，弦CD=6，则图中两个弓形（阴影）的面积和是多少？分析：从已知条件直接求两个弓形面积难度较大，抓住已知条件»»»»AB CD AC BD +=+，容易发现»»AB CD +正好是整个圆弧的一半，因此通过将弓形CmD 绕圆心旋转使点D 与点B 重合，就可以得到直角三角形，然后求阴影部分的面积就会很容易．解：由于»»»»AB CD AC BD +=+，知»»AB CD +的长正好是整个圆弧的一半，将弓形CmD 绕圆心旋转，使点D 与点B 重合（如图2）：则¼ABC 恰好为半圆弧， ∴ AC 为e O 的直径， ∴∠ABC=90°， ∴ 由勾股定理可求得10AC =，21156812.52422Rt ABC S S S ππ∆=-=⋅-⨯⨯=-阴影半圆．图1图2练习4：如图△ABC 是等腰直角三角形，D 为AB 的中点，AB=2，扇形ADG 和BDH 分别是以AD 、BD为半径的圆的41，求阴影部分面积．参考答案：练习１： 0135，提示：如图将BPC ∆逆时针旋转090得AEB ∆，连接PE ，分别求得APE ∠和BPE ∠．练习2： 距离为4，如图通过旋转变换得正方形．练习3：MN NC BM =+，把△BDM 绕点D 顺时针旋转120°得到CDM '∆，易证DMN CDM '∆≅∆．练习4：1(1)2π-，将扇形BDH 和△BDC 绕D 点顺时针旋转180°．观察巧旋转 妙解题沈岳夫旋转是几何图形运动中的重要变换，随着课程改革的进一步深入，利用旋转知识进行有关计算或证明的题目很多，尤其是题目中没有涉及到旋转等文字，使不少学生在解答时无从着手，找不到解题的途径，但如果能根据题目特征加以观察，通过旋转，找到解题的突破口，那么问题就简单化了，现采撷部分试题加以归纳，供参考。