杆单元和梁单元

（3）形函数矩阵的推导 由单元的节点条件, 两个节点坐标为x1、x2,两个节点位移 u 为u( x) |x x u1， ( x) |xx u2 ，代入上式插值模式公式得： a1 a2 x1 u1
1
2
a1 a2 x2 u2
求解得到
a1 u1 x1 (u1 u2 ) /( x1 x2 ) a2 (u1 u2 ) /( x1 x2 )
u dN ( x) u1 1 ( x) e x dx u2 l u1 1 u1 B e l u2 u2
(4.6)
(4.7)
（5）应力 由弹性力学的物理方程知：
Ee ( x) E e B ( x) δ e S ( x) δ e e l E e u1 e u2 l
δ (1)
u1 u2
K
(1)
E (1) A(1) (1) l
1 1 1 1
P
(1)
R1 R2
4.1 杆件系统的有限2)
u2 u3
(1) (2)
K
(2)
E (2) A(2) l (2)
u 2 , u3
（9）建立系统弹性方程
u2
u3
E (1) A(1) E (2) A(2) l (1) l (2) R2 = F3 E (2) A(2) (2) l
E (2) A(2) (2) u2 l (2) (2) E A u3 l (2)
u1
1 单元1 2
E2 , A2 , l2
u2
单元2 3
F3 10N
x
图 4-1 杆件结构
（1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量, 外载荷及边界 条件。
4.1 杆件系统的有限元分析方法
要建立两种坐标系：单元坐标系（局部坐标系）、整体坐 标系。根据自然离散, 坐标系建立成一维, 单元划分为两个, 给出相应的节点1、2、3以及相应的坐标值（见图4-1）。在 局部坐标系中，取杆单元的左端点为坐标原点，图4-2为任取 的一个杆单元。
4.1 杆件系统的有限元分析方法
这样，u( x) a1 a2 x 可以写成如下矩阵形式
a1 u ( x) [1 x] a2
u1 1 x1 a1 u2 1 x2 a2
a1 1 x1 u1 a2 1 x2 u2
(4.3)
1
导出
1 u1 a1 1 x1 u1 u ( x) [1 x] 1 x u N ( x) u 2 a2 1 x2 2 =
得到形函数矩阵（shape function matrix）
x N ( x) (1 ) x2 x1 x x2 x1
4.1 杆件系统的有限元分析方法
根据最小势能原理， e 0 ，得
K e δe P e
其中节点载荷矩阵为
e
(4.11)
P P 1 P2 （7）把所有单元按结构形状进行组集（assembly of discrete elements）
对于图4.1所示结构 第一个单元：
(4.13)
4.1 杆件系统的有限元分析方法
（8）引入边界条件（Treatment of boundary conditions） 为获取许可位移场，需引入边界条件
BC(u) : u1 0
(4.14)
由于u1 0 ，可划去它所对应的行和列，这样基于许可位移 场的系统总势能为
E (1) A(1) E (2) A(2) T u2 l (1) 1 l (2) 2 u3 E (2) A(2) (2) l
(1) (1) (1)
F3 10N
，进行相应的单元应力计算。得到的结果如下：
0 u1 4 u2 2.5 10 m u 7.5 10 4 m 3
(2) ( x) 5 103 (1) 0.05MPa (2) = 0.1MPa
1 u2 E (2) A(2) (2) 2 u3 l
1 1 u2 1 1 1 u 2 R2 3
u1 在这里，把表达成整体位移矢量 u 2 的函数，如下： u 3
4.1 杆件系统的有限元分析方法
可记作
E A l (1) R1 (1) (1) E A R2 (1) l F 3 0
E A l (1) E (1) A(1) E (2) A(2) (1) l l (2) E (2) A(2) (2) l
u1 (2) (2) E A (2) u2 l u3 (2) (2) E A l (2) 0
（13）各支点反力 各支反力公式是由单元最小势能原理得到的，即
E (1) A(1) 1 1 u1 R1 K δ P （4.19） 1 1 u P (1) l 2 2 为了清楚起见, 将上述两杆结构代入具体数 值： (1) E (2) 2 107 Pa ， A(1) 2 A(2) 2cm2 ，l (1) l (2) 10cm ， E
R1 10 N
(1) 2.5 103
0 = F3
E (2)A (2) l (2) E (2) A (2) l
(2)
u 2 u3
（4.16）
（11）求单元应变
1 ( x) B ( x) δ (1) l
(1) (1) (1)
1 u1 (1) l u2
( x) B ( x) δ
(2) (2)
(2)
1 (2) l
1 u2 l (2) u3
（4.17）
（12）各单元应力 利用物理方程，求单元的应力
(1) E (1) EB(1) ( x)δ(1)
（4.18）
4.1 杆件系统的有限元分析方法
u1 1 u2 2 u3
T
u1 u2 u 3
1 T 1 T (4.12) δ Kδ P δ 2 2 上式的即为整体刚度矩阵。即根据最小势能原理，由各单元 刚度矩阵求出的整体刚度矩阵。下式是由整体刚度矩阵表达的系 统方程： (1) (1) (1) (1)
4.1 杆件系统的有限元分析方法
杆件只承受轴向力，可以视为一种特殊的梁单元，本节将采 用有限元法来分析杆件系统，以下给出规范的有限元法中关于杆 单元的推导过程，以及整个杆系的求解过程。 如图4-1所示的杆件结构，左端铰支，右端作用一个集中力， 相关参数如图。具体求解过程如下：
E1 , A1 , l1
(4.15)
（10）求解节点位移 u 2 由上式方程可以直接求解得到 , 注意到R2是内 u3 力，不做功。在求解过程中，可以视为0。也就是
4.1 杆件系统的有限元分析方法
( (2) E (1) A1) E (2) A (2) l (1) l (2) E (2) A (2) l
上式记作如下矩阵形式：
1 eT e e 1 eT e δ K δ P δ 2 2
e
(4.9)
其中，单元刚度矩阵（element stiffness matrix），或称单 元特性矩阵(element characteristic matrix) le E e Ae 1 1 e T e e K B E BA dx e (4.10) 0 l 1 1
(4.4)
记节点位移矢量 (nodal displacement vector)是 u1 e (4.5) δ u 2
4.1 杆件系统的有限元分析方法
因此，用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移函数是
u( x) N ( x)δe
（4）应变 由弹性力学的几何方程知1维杆单元满足
1 1 1 1
P
(2)
R2 F3
u1 R2 u2
整体结构的总势能是所有单元的势能的和，即

T
1 u1 E (1) A(1) (1) 2 u2 l
T
1 1 u1 1 1 1 u 2 R1 2 u2 F3 u3
E (2) A(2) (2) u2 1 u2 l 0 F3 (2) (2) E A u3 2 u3 l (2)
4.1 杆件系统的有限元分析方法
u 2 由最小势能原理，势能函数对未知位移 求变分，满足 u3 0, 0 ，得如下方程式 的条件是 min
第4章 杆单元和梁单元
本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限 元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用 杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元 ，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学 、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深 读者对有限元法的理解。
P , u1 1
E，A，l 1
图 4-2 杆单元
P2 , u2
2
对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关 系式 u P 1 e 1 (4.1) k
P2
u2
其中， k e 称为单元刚度矩阵
4.1 杆件系统的有限元分析方法
（2）确定位移模式
2 假设单元位移场： u( x) a1 a2 x a3 x a 取其线性部分，系数 a1、2 可由节点位移 u1、u2确定，称为位 移插值模式（interpolation model）. (4.2) u( x) a1 a2 x