高二数学矩阵的概念和运算(教师版)
矩阵的基本概念和运算
矩阵的基本概念和运算矩阵是线性代数中的基本概念之一，广泛应用于数学、工程学、计算机科学和物理学等领域。
它是一个由数字排列成的矩形阵列，其中的数字称为矩阵的元素。
本文将详细介绍矩阵的基本概念和运算。
一、矩阵的基本概念矩阵由m行n列的数字排列组成，可以表示为一个m×n的矩阵。
其中，m为矩阵的行数，n为矩阵的列数。
每个元素可以用下标表示，例如矩阵A的第i行第j列的元素可以用A(i,j)表示。
二、矩阵的表示和分类矩阵可以用方括号表示，例如A = [aij]，其中aij表示矩阵A的第i 行第j列的元素。
矩阵还可以分为不同的类型，如行矩阵、列矩阵、方阵等。
行矩阵是只有一行的矩阵，可以表示为A = [a1, a2, ..., an]，其中ai 为矩阵A的第i个元素。
列矩阵是只有一列的矩阵，可以表示为A = [a1; a2; ...; an]，其中ai 为矩阵A的第i个元素。
方阵是行数和列数相等的矩阵，可以表示为A = [aij]，其中i和j都从1到n。
三、矩阵的运算1. 矩阵的加法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法可以定义为A + B = [aij+ bij]，其中aij和bij分别为矩阵A和B的对应元素。
2. 矩阵的减法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的减法可以定义为A - B = [aij- bij]，其中aij和bij分别为矩阵A和B的对应元素。
3. 矩阵的数乘对于一个矩阵A和一个实数k，它们的数乘可以定义为kA = [kaij]，其中aij为矩阵A的元素。
4. 矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，它们的乘法可以定义为C = AB，其中C的第i行第j列的元素可以表示为C(i,j) = ∑(ai,k * bk,j)，其中k从1到n，n为矩阵A和B的列数。
四、矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
例如，若A = [aij]为一个m×n的矩阵，它的转置矩阵记作AT，即AT = [aji]，其中a ji为矩阵A的第j行第i列的元素。
高二数学矩阵的概念2
51
1 0
0 1
3 1
方程组 的解
1. 矩阵 我们把上述矩形数表叫做矩阵，
矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。
2. 系数矩阵和增广矩阵
其中矩阵
1 3
2 1
叫做方程组的系数矩阵，
它是2行2列的矩阵，记做A22;
矩阵
1 3
2 1
85 叫做方程组的增广矩阵，
它是2行3列的矩阵，记做A23 .
3. 行向量与列向量 1行2列的矩阵(1,-2)，(3,1)叫做系数矩阵的 两个行向量；
写成一个增广矩阵；
（注意：方程要写成ax+by=c的形式。）
第2步，逐步变化矩阵，把增广矩阵变成
的形式，则方程组的解就是
x y
a, b.
1 0
0 1
a b
2. 一般地，矩阵变换有三种： (1) 互换两行 (2) 用非零数乘或除某一行 (3) 某一行乘以一个数加到另一行上
例3：《九章算术》中有一个问题：今有牛五羊二 直金十两，牛二羊五直金八两. 问牛羊各直金几何？
a11
a21
a
m
1
a12 a 22
am2
a1n
a2n
a
mn
叫做mn阶矩阵，记做Amn， 其中aij(i=1,2,…,m，j=1,2,…,n) 叫做矩阵第i行第j列的元素。
1． 矩阵是一个矩形数表。 2． 矩阵是一个数学符号。 3. 常用记号Amn或Amn来表示一个矩阵。
例1：某公司销售部门一季度四名销售员的销售 成绩如下表所示：
y y
5, 8.
步骤 方程组
矩阵数表
x 2 y 5,
1
3 x y 8.
x 2y 5
上教版高二数学教案—矩阵的概念
1 0 叫做单位矩阵。 0 1
注：解方程组的过程即是将方程组的系数矩阵通过矩阵变 换变为单位矩阵的过程。
例5：《九章算术》第八卷方程中的一题：5头牛2只羊值 10两金，2头牛5只羊值8两金，每头牛羊各值多少两金？
小结矩阵的变换：
（1）互换矩阵的两行； （2）把某一行同乘（除）以一个非零常数； （3）把某一行乘以一个数加到另一行。
93
91 85
82 92 88 96 90 93 92 96 91 84 92 85
可将表格中的成绩用一个5行3列的矩阵表示，即： 78 76 77
也可表示成如下的矩阵： 82
78 96 92 84 92 76 90 96 92 88 77 93 91 85
a b b a;
xn yn
容易验证，对n维向量，类似2维向量的运算律仍然成立。如：
(m n)a ma na ; (a b) c a c b c等
例1：统计某校高二（1）班的5名学生的数学平时、期中、期末 成绩如下表：
学号 平时成绩 期中成绩 期末成绩
矩阵和行列式初步
9.1矩阵的概念
教学目标：1．了解矩阵、方阵、二维向量、三维向量、 n维向量、行向量、列向量的概念； 2．掌握n维向量的加减法、实数与向量乘积、 向量的数量积的运算法则； 3．理解同阶的矩阵，理解相等的矩阵； 4．理解线性方程组及其增广矩阵的转换； 5．掌握运用基本变换求线性方程组的解。 教学重点：矩阵等相关概念 教学难点：用矩阵的基本变换求线性方程组。
二、矩阵
由m n个实数aij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) a1n a2 n amn
高二数学上册(秋季)-第12讲-矩阵的概念与运算
高二数学上册（秋季）辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：高二辅导科目：数学授课日期2015年月日时间主题矩阵的概念与运算教学内容1. 掌握矩阵有关的概念；2. 掌握用矩阵变换的方法解二元、三元、四元一次等线性方程组；3. 理解和掌握矩阵的运算及其运算律；知识回顾：1、矩阵的相关概念用加减消元法解下列二元一次方程组：⎩⎨⎧=+=-.83,52yxyx我们把方程组的系数和常数项写成矩形数表. 在解方程组的过程中，方程组逐步会发生变化，相应的矩形数表也发生变化。
步骤方程组矩形数表1⎩⎨⎧=+=-.83,52yxyx⎪⎪⎭⎫⎝⎛-813521225,77.x yy-=⎧⎨=-⎩⎪⎪⎭⎫⎝⎛--775214、数乘矩阵（1）矩阵与实数的积设α为任意实数，把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵.记作：αA （2）运算律：（γλ、为实数）分配律：()B A B A γγγ+=+ ；A A A λγλγ+=+)( 结合律：()()()A A A γλλγγλ==5、矩阵的乘积（1）矩阵的乘积：一般，设A 是k m ⨯阶矩阵，B 是n k ⨯阶矩阵，设C 为n m ⨯矩阵如果矩阵C 中第i 行第j 列元素ij C 是矩阵A 第i 个行向量与矩阵B 的第j 个列向量的数量积，那么C 矩阵叫做A 与B 的乘积.记作：C =AB （2）运算律分配律：AC AB C B A +=+)(，CA BA A C B +=+)( 结合律：()()()B A B A AB γγγ==，()()BC A C AB = 注：交换律不成立，即BA AB ≠（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 写出下列方程组的系数矩阵和增广矩阵并求出增广矩阵的行向量和列向量：{231(1)342x y x y +=-=-1(2)2334x y y z x y z +=⎧⎪+=⎨-+=⎪⎩答案：（1）系数矩阵：()2332，增广矩阵：()231324-，行向量：(231)-，(324)，列向量：()()()231,,324-（2）系数矩阵：110021311⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭，增广矩阵：110102133114⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭，行向量：(1101)，(0213)，(3114)-，列向量： 11010,2,1,33114⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【严格根据定义的形式，把方程化为标准形式后再进行解题】解：53175⎛⎫⎪⎝⎭1、系数矩阵为1221⎛⎫⎪⎝⎭，且解为11xy⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的一个线性方程组是解：2323x yx y+=⎧⎨+=⎩2、已知以,x y为变量的二元一次方程组的增广矩阵为211120-⎛⎫⎪-⎝⎭，则这个二元一次方程组的解为____________.解：21,33x y==3、在n行n列矩阵12321234113451212321n n nn nnn n n n⋅⋅⋅--⎛⎫⎪⋅⋅⋅-⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i行第j列的数为(,1,2,)ija i j n=⋅⋅⋅。
矩阵讲义T
3 0 2 3 0 6 2 2 10 0
3 3 0 0 1 0 0 1 2 2 2 ② 加到③ 3 0 3 0 6 0 1 0 2 0 0 1 3 0 0 2 6 所以x 1, y 2, z 3.
例6
1 已知矩阵 A 1 2 3 , ，矩阵 B 2 ， 3
计算 AB 和 BA 。
例7
3 1 6 4 7 9 2 4 0 1 11 ，计算： ,C 已知下列矩阵 A 3 1 5 , B 2 6 0 3
x－2 y 3, 4 x y 2;
（2）
2 x y 3 0, 2 y x 4.
例3
x y z 6, 试用矩阵变换的方法解三元一次方程组 3 x y 2 z 7, 5 x 2 y 2 z 15.
1、 2、 3行） 矩阵变换过程如下：（ ①、②、③ 分别表示矩阵的第
1 2 、 一 个 系 数 矩 阵 为 单 位 矩 阵 ， 解 为 1 列 3 行的 矩 阵 2 3
的线性方程组可以是
_________________
2 0 3 1 3、若 3 名顾客购买 4 种商品的数据（件）可用下列的矩阵表示： 3 1 0 5 ，则 0 2 2 3
3 x 5 y 6 0 （1 ） 4 x 3 y 7
x 2z 1 （2） y 4 z 6 2 x y z 5
巩固训练
1 -2 5 1、矩阵 3 1 8
的行向量分别是__________________，列向量分别是________________
矩阵的概念与运算教学设计
矩阵的概念与运算教学设计导言：矩阵是线性代数中重要的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
在数学教学中，如何深入浅出地教授学生矩阵的概念与运算是一项关键任务。
本文针对矩阵的概念与运算的教学设计，结合丰富的实例和活动，旨在帮助学生充分理解与掌握矩阵的基本概念与运算规则。
一、基本概念的引入与讲解1. 引入：老师可以通过举一个简单生活中的实例，如矩阵在图像处理中的应用，或者在交通规划中的应用等，来引起学生的兴趣，并说明矩阵的重要性和实用性。
2. 概念讲解：- 矩阵的定义：介绍矩阵的基本概念，即由m行n列元素排列成的矩形阵列。
- 矩阵的分量：解释矩阵中元素的命名规则，如第i行第j列的元素用a_ij表示。
- 矩阵的阶数：定义矩阵的阶数为m行n列的形式。
- 特殊矩阵：介绍特殊矩阵的概念，如零矩阵、单位矩阵和对角矩阵等。
二、矩阵的运算规则与性质1. 矩阵的加法：- 定义矩阵的加法：讲解矩阵的加法规则，即对应元素相加。
- 加法的基本性质：说明矩阵加法满足交换律和结合律。
2. 矩阵的数乘：- 定义矩阵的数乘：说明矩阵的数乘规则，即将每个元素乘以同一个数。
- 数乘的基本性质：说明数乘满足分配律和结合律。
3. 矩阵的乘法：- 引入矩阵乘法：解释矩阵乘法的概念，即行乘列相加的运算规则。
- 矩阵乘法的条件：介绍矩阵乘法存在的条件。
- 乘法的基本性质：说明矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。
三、运算实例与应用1. 矩阵加法与数乘的实例：- 实例一：给出两个矩阵，让学生进行矩阵的加法运算。
- 实例二：给出一个矩阵和一个数，让学生进行矩阵的数乘运算。
2. 矩阵乘法的实例：- 实例一：给出两个矩阵，让学生进行矩阵的乘法运算。
- 实例二：引导学生分析实际应用中的矩阵乘法，如图像变换中的应用。
四、矩阵运算的性质与证明1. 加法和数乘的性质证明：- 性质一：零矩阵的性质证明。
- 性质二：相反矩阵的性质证明。
- 性质三：数乘与矩阵乘法的分配律证明。
高二数学矩阵的概念
1 0 3 1 2 与 3 5 矩阵 2 1 0 2 1 3 2 1 6 4
相对应。对方程
组的解的讨论，可能化为对上述矩阵的讨论。 例2 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成
a11 A a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a24 (也可用方括弧 表示)。其中 a34
a1 a2 a4
7) 数量矩阵: 主对角元素都相等的对角矩阵。记作 kE 或 kE n k
kEn k k
8) 单位方Βιβλιοθήκη ：主对角线上全为1的对角方阵，记作
1 1 E 1
2 3 5 8
是一个 1 4 矩阵,
9
回章目录
是一个 1 1 矩阵.
二、几种特殊矩阵
1) 零矩阵: 元素全为零的 m n 矩阵，记为:O或 0 注意: 不同阶数的零矩阵是不相等的. 0 0 0 0 例如 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 2) 行矩阵: 只有一行的矩阵。 a1 , a2 , , an
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三、小结
(1)矩阵的概念
m 行n列的一个数表
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
(2) 特殊矩阵
零矩阵; 行矩阵与列矩阵; 方阵 m n ; 上(下)三角矩矩阵; 对角矩阵; 数量矩阵. 单位矩阵.
mn
行矩阵也称为行向量。
3) 列矩阵:
高中数学中的矩阵定义及其运算法则
高中数学中的矩阵定义及其运算法则矩阵是一种常见的数学工具，可以描述线性方程组、向量、转化为矢量空间等等。
在高中数学中，矩阵是一个重要的概念。
本文将会引导您深入了解矩阵的定义、性质及其运算法则。
一、矩阵的定义矩阵可以用一个矩形的数字表格表示，该表格中的每一个数字称为矩阵的一个元素。
矩阵的大小由它的行数和列数来确定。
例如，一个名为A的矩阵可以写作：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23][a31 a32 a33]在上面的矩阵中，a11、a12、a13等数字是矩阵的元素，第一行的三个数字是第一行中的三个元素。
同样，第一列的三个数字是第一列中的三个元素。
二、矩阵的特殊矩阵有几种特殊的矩阵在高中数学中具有重要的地位，下面是其中一些：1. 零矩阵零矩阵也称为零矩阵或零矩阵，表示所有元素都是0。
例如：0 0 00 0 00 0 02. 单位矩阵单位矩阵也称为单位矩阵或标准矩阵，表示矩阵的对角线上的元素都是1和其他元素都是0。
例如：1 0 00 1 00 0 13. 对称矩阵如果一个矩阵A等于其转置矩阵AT，则称矩阵A是对称矩阵。
例如：1 2 32 0 43 4 5三、矩阵的运算法则在高中数学中，矩阵的运算法则包括加法、减法、数与矩阵的乘法和矩阵之间的乘法。
这里将一一介绍。
1. 矩阵的加法矩阵的加法规则很简单，对应元素相加。
例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的和是：A +B = [3 6 9][6 7 8][8 9 10]2. 矩阵的减法矩阵的减法规则也很简单，对应元素相减。
例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的差是：A -B = [-1 -2 -3][2 3 4][6 7 8]3. 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法非常简单，只需要将每个元素乘以该数即可。
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两个矩阵相等的意义：（1）两个矩阵的行数，列数分别相等；（2）两个矩阵对应位置上的元素相等。
2、矩阵变换与解线性方程组
为了得到二元一次方程组的解，矩阵最终应变为什么形式？
答：变为 的形式，方程组的解就是
所以解线性方程组得过程实际上就是通过矩阵变化使方程组的系数矩阵变为单位矩阵的过程。
答案：
3、若3名顾客购买4种商品的数据（件）可用下列的矩阵表示： ，则
（1）第2名顾客购买第2件商品的数量是___________件；
（2）第3名顾客购买商品的情况可用行向量表示为________；
（3）第3种商品被购买的情况可用列向量表示为__________。
答案（1）1 （2） （3）
例2写出下列方程组的系数矩阵和增广矩阵，并运用矩阵变换的方法解下列方程组：
（1） （2）
答案：（1） （2）
例3试用代入消元法、加减消元法和矩阵变换的方法分别解三元一次方程组
答案:
巩固训练
1、用矩阵变换的方法求解下列方程组
（1） （2）
答案：（1） （2）
（3）
（3）
2、已知一个线性方程组对应的矩阵为 ，
（1）写出其对应的线性方程组。
（2）解（1）中的方程组。
答案（1） （2）
（4）(B+C)A= BA+CA
巩固训练
求下列矩阵乘积：
（1） （2）
答案：（1） （2）答案：
（3）
（3）答案：
2、计算
（1） （2）若 求 。
答案(1) (2)
【课后练习】
1、 结果是( )
A. B. C. D.
答案：A
2、 （ ）
A. B. C. D.
答案：A
3、若 ，则
答案：
4、已知矩阵 ， ， ，则 。
答案：8
5、求下列矩阵乘积：
（1） （2）
答案：（1） （2）
6、写出下列方程组的系数矩阵和增广矩阵，并运用矩阵变换的方法解下列方程组：
（1） （2）
（3）
答案：（1） （2） （3）
7、已知A= ，B= ，C= 。求（1）A+B+C（2）2A-3C
答案：（1） (2)
8、已知 ， ， ，求（1） （2） （3）
3、甲乙丙三人做一批零件.若甲乙两人合作，甲做8天，乙做5天恰好完成；若甲丙两人合作，甲做6天，丙做9天恰好完成；乙丙两人合作，乙做10天，丙做6天恰好完成.如果甲、乙、丙单独做，各需多少天才能完成？
例4 已知A= ，B= 。求：（1）A+2B；（2）2A-B。
答案（1） （2）
例5 已知矩阵 ，矩阵 ，求矩阵 ，使其满足 。
答案：
巩固训练
已知A= ，B= 。求：（1）A-B；（2）3A-2B。
答案：（1） （2）
例6 已知矩阵 ，矩阵 ， 计算 和 。
答案：
例7已知下列矩阵 ，计算：
（1）A(B+C) (2)(B+C)A (3)BA+CA (4)从（1）（2）（3）的计算结果你能得出什么结论？
答案：（1） （2） （3）
期末
填空题
选择题
解答题
填空题
选择题
解答题
小王
10
3
2
8
44小李9来自537
3
3
填空题每题4分，选择题4分，解答题每题10分
观察并思考（1）如何用矩阵表示他们的答对题数？他们期中、期末的成绩？
（2）如果期中占40%，期末占60%，求两同学的总评成绩？
如何通过矩阵运算来研究上述问题？
1、矩阵的加法
记期中成绩答题数为A期末答题数为B
若矩阵 有 行， 列，则该矩阵可记做： 。特别地，当一个矩阵的行数和列数相等的时候，该矩阵叫做方矩阵，简称方阵，若一个方阵有 行（或列），那么该方矩阵叫做 阶方矩阵。
矩阵的每一行构成的一组数表，叫做矩阵的一个行向量（row vector）。
矩阵的每一列构成的一组数表，叫做矩阵的一个列向量（column vector）。
确定两次考试的小王，小李的各题型答题总数的矩阵C
（1）矩阵的和（差）
当两个矩阵A，B的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵A，B的和（差）,记作：A+B（A-B）
（2）运算律
加法运算律：A+B=B+A
加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）
2、数乘矩阵
计算小王、小李各题型平均答题数的矩阵
学科教师辅导讲义
年级：高二辅导科目：数学课时数：
课题
矩阵的概念和运算
教学目的
1、理解矩阵的概念，理解线性方程组和矩阵的关系；
2、掌握用矩阵变换的方法解二元、三元、四元一次等线性方程组；
3、理解和掌握矩阵的运算及其运算律。
教学内容
【知识梳理】
（一）矩阵的概念
1、矩阵的相关概念
用加减消元法解下列二元一次方程组：
我们把方程组的系数和常数项写成矩形数表.在解方程组的过程中，方程组逐步会发生变化，相应的矩形数表也发生变化。
步骤
方程组
矩形数表
1
2
3
4
这样，矩形数表的最后一列恰好是方程组的解。
我们把上述矩形数表叫做矩阵（Matrix），矩阵中的每个数叫做矩阵的元素，其中仅由方程组的系数组成的矩阵 叫做方程组的系数矩阵，由方程组的系数和常数项组成的矩阵 叫做方程组的增广矩阵。
（2）运算律
分配律： ，
结合律： ，
注：交换律不成立，即
【典型例题分析】
例1 写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵：
（1） （2）
答案：（1） （2）
巩固训练
1、矩阵 的行向量分别是__________________，列向量分别是________________
答案：
2、一个系数矩阵为单位矩阵，解为1列3行的矩阵 的线性方程组可以是_________________
当系数矩阵变为单位矩阵，该方程组的增广矩阵的最后一个列向量就是方程组的解。
由方程组的变化，可推导矩阵的三种变换规则：
（1）互换矩阵的两行；
（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；
（3）某一行乘以一个非零的数，再加到另一行。
（二）矩阵的运算
小王、小李在两次数学考试中答对题数如下表表示：
题型
答题
姓数
名
期中
（1）矩阵与实数的积
设 为任意实数，把矩阵A的所有元素与 相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数 的乘积矩阵.记作： A
（2）运算律：（ 为实数）
分配律： ；
结合律：
3、矩阵的乘积
（1）矩阵的乘积：
一般，设A是 阶矩阵，B是 阶矩阵，设C为 矩阵
如果矩阵C中第i行第j列元素 是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么C矩阵叫做A与B的乘积.记作：C=AB
答案;(1) (2) (3)