苏教版高中数学必修二第15课时——圆与圆的位置关系(配套练习)
高中数学圆与圆的位置关系总结练习含答案解析S
2.2.3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系及判定1.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系外离外切相交内切内含公共点个数0 ①② 1 02.设两圆半径分别为r1,r2,圆心距为d,则两圆相交时,r1,r2,d的关系为③.两圆外切时,r1,r2,d的关系为④.3.设两圆方程分别为x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,联立得{x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,方程组有两组不同实数解⇔两圆⑤,有⑥实数解⇔两圆相切,无实数解⇔两圆外离.圆系方程的应用1.(2014湖北黄冈期中,★☆☆)圆C1:x2+y2+4x-4y+4=0与圆C2:(x-2)2+(y-5)2=9的公切线有条.思路点拨求出圆心距,即可得出结论.2.(2013江苏白蒲模拟,★★☆)求圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0交点的圆的方程.思路点拨本题解法较多,可考虑利用公共弦求解,也可以利用圆系方程求解.3.(2014江苏建湖中学训练,★★☆)已知圆M:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0与圆N:x2+y2+2x+2y-2=0交于A,B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆心M的轨迹方程,并求圆M的半径最小时的方程.思路点拨从几何性质入手分析,抓住圆心和半径分析圆的方程.4.(2013苏南四校月考,★★★)已知☉O:x2+y2=1和点M(4,2).(1)过点M向☉O引切线l,求直线l的方程;(2)求以点M为圆心,且被直线y=2x-1截得的弦长为4的☉M的方程;(3)设P为(2)中☉M上任一点,过点P向☉O引切线,切点为Q.试探究:平面内是否存在一定点R,使得PQPR为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.一、填空题1.已知圆O1:x2+y2-2x-4y+4=0与圆O2:x2+y2-8x-12y+36=0,两圆的位置关系为.2.圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值为.3.若a2+b2=4,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是.4.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是.5.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是.6.点P在圆x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是.7.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2},且M∩N=N,则r的取值范围是.8.设A={(x,y)|y=√2a2-x2,a>0},B={(x,y)|(x-1)2+(y-√3)2=a2,a>0},若A∩B≠⌀,则a的最大值为.9.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为.10.圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在直线被圆C3:(x-1)2+(y-1)2=254截得的弦长是.二、解答题11.试分别确定圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0与C2:x2+y2-2x-14y+k=0(k<50)外切、内切、相交、内含、外离时,k的取值范围.12.已知圆x2+y2-4ax+2ay+20(a-1)=0(a≠2).(1)求证:对于任意实数a(a≠2),该圆过定点;(2)若该圆与圆x2+y2=4相切,求实数a的值.知识清单①1 ②2 ③|r 1-r 2|<d<r 1+r 2 ④d=r 1+r 2 ⑤相交 ⑥两组相同链接高考1.答案 3解析 C 1(-2,2),r 1=2,C 2(2,5),r 2=3,|C 1C 2|=√(-2-2)2+(2-5)2=5,∵|C 1C 2|=r 1+r 2,∴圆C 1与圆C 2外切.所以圆C 1与圆C 2有3条公切线.2.解析 解法一:由{x 2+y 2-4x -6=0,x 2+y 2-4y -6=0,得到两圆公共弦所在直线方程为y=x, 由{y =x ,x 2+y 2-4y -6=0, 解得{x 1=-1,y 1=-1或{x 2=3,y 2=3.∴圆x 2+y 2-4x-6=0和x 2+y 2-4y-6=0的交点分别为A(-1,-1)、B(3,3), 线段AB 的垂直平分线方程为y-1=-(x-1). 由{y -1=-(x -1),x -y -4=0,得{x =3,y =-1. ∴所求圆的圆心为(3,-1), 半径为√(3-3)2+[3-(-1)]2=4. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 解法二:由解法一,求得A(-1,-1)、B(3,3). 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,由{a -b -4=0,(-1-a )2+(-1-b )2=r 2,(3-a )2+(3-b )2=r 2,得{a =3,b =-1,r 2=16. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 解法三:设经过两圆交点的圆系方程为 x 2+y 2-4x-6+λ(x 2+y 2-4y-6)=0(λ≠-1), 即x 2+y 2-41+λx-4λ1+λy-6=0. ∴圆心坐标为(21+λ,2λ1+λ),又∵圆心在直线x-y-4=0上, ∴21+λ-2λ1+λ-4=0,即λ=-13,∴所求圆的方程为x 2+y 2-6x+2y-6=0.3.解析 两圆方程相减,得公共弦AB 所在的直线方程为2(m+1)x+2(n+1)y-m 2-1=0, 由于A,B 两点平分圆N 的圆周,所以A,B 为圆N 直径的两个端点, 即直线AB 过圆N 的圆心N,而N(-1,-1),所以-2(m+1)-2(n+1)-m 2-1=0, 即m 2+2m+2n+5=0,即(m+1)2=-2(n+2)(n≤-2), 又圆M 的圆心M(m,n),所以圆心M 的轨迹方程为(x+1)2=-2·(y+2)(y≤-2), 又圆M 的半径r=2+1≥√5(n≤-2), 当且仅当n=-2,m=-1时半径取得最小值,∴当圆M 的半径最小时,圆M 的方程为x 2+y 2+2x+4y=0.4.解析 (1)显然,直线l 的斜率存在.设切线l 的方程为y-2=k(x-4),易得√k 2+1=1,解得k=8±√1915. ∴切线l 的方程为y-2=8±√1915(x-4). (2)圆心到直线y=2x-1的距离为√5,设圆M 的半径为r,则r 2=22+(√5)2=9,∴☉M 的方程为(x-4)2+(y-2)2=9.(3)假设存在这样的点R(a,b),设点P 的坐标为(x,y),相应的定值为λ(λ>0), 根据题意及勾股定理可得PQ=√x 2+y 2-1, ∴√x 2+y 2√(x -a )+(y -b )=λ,即x 2+y 2-1=λ2(x 2+y 2-2ax-2by+a 2+b 2),(*) 又点P 在☉M 上, ∴(x -4)2+(y-2)2=9,即x 2+y 2=8x+4y-11,代入(*)式得,8x+4y-12=λ2[(8-2a)x+(4-2b)y+(a 2+b 2-11)].若系数对应相等,则等式恒成立,∴{λ2(8-2a )=8,λ2(4-2b )=4,λ2(a 2+b 2-11)=-12,解得a=2,b=1,λ=√2或a=25,b=15,λ=√103, ∴可以找到这样的定点R,使得PQPR 为定值.当点R 的坐标为(2,1)时,比值为√2; 当点R 的坐标为(25,15)时,比值为√103.基础过关一、填空题 1.答案 外切解析 由题意得圆的半径分别为1,4,圆心距为√(4-1)2+(6-2)2=5=4+1,故两圆外切. 2.答案 2或-5解析 圆C 1:(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2,m),半径为3;圆C 2:(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m,-1),半径为2.依题意有√(-2-m )2+(m +1)2=3+2, 即m 2+3m-10=0, 解得m=2或m=-5. 3.答案 外切解析 ∵两圆的圆心分别为O 1(a,0),O 2(0,b),半径r 1=r 2=1,∴O 1O 2=√a 2+b 2=2=r 1+r 2,则两圆外切. 4.答案 (x±4)2+(y-6)2=36解析 设所求圆的圆心为(a,6),由两圆内切,得√a 2+(6-3)2=6-1,解得a=±4,则此圆的方程是(x±4)2+(y-6)2=36.5.答案 (x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9解析 动圆圆心的轨迹是以已知圆的圆心(5,-7)为圆心,以3或5为半径的圆. 6.答案 3√5-5解析 (x-4)2+(y-2)2=9的圆心为C 1(4,2),半径为r 1=3;(x+2)2+(y+1)2=4的圆心为C 2(-2,-1),半径为r 2=2.又|C 1C 2|=3√5,显然两圆外离,所以|PQ|的最小值是3√5-5. 7.答案 (0,2-√2]解析 由于M∩N=N,故圆(x-1)2+(y-1)2=r 2在圆x 2+y 2=4内部,当两圆内切时,√2=2-r,则r=2-√2,因此r 的取值范围是(0,2-√2].8.答案2(√2+1)解析A表示以O(0,0)为圆心,√2a为半径的半圆,B表示以O'(1,√3)为圆心,a为半径的圆.∵A∩B≠⌀,即半圆O与圆O'有公共点,则当两圆内切时,a最大,即√2a-a=OO'=2,∴a的最大值为2(√2+1).9.答案√7解析记直线y=x+1上任意一点与圆心的距离为h,记切线长为l,则始终有等量关系h2=l2+1.故当h取得最小值时,切线长取最小值,易知h的最小值即为圆心到直线y=x+1的距离,故hmin=2√2,此时l=√7.10.答案√23解析圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为x2+y2-1-(x2+y2-2x-2y+1)=0,即x+y-1=0.圆心C3到直线x+y-1=0的距离d=√2=√22,所以所求弦长为2√r2-d2=2√254-12=√23.二、解答题11.解析将两圆的一般方程化为标准方程,C1:(x+2)2+(y-3)2=1,C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k.圆C1的圆心为C 1(-2,3),半径r1=1;圆C2的圆心为C2(1,7),半径r2=√50-k(k<50).从而圆心距d=√(-2-1)2+(3-7)2=5.当两圆外切时,d=r1+r2,即1+√50-k=5,解得k=34;当两圆内切时,d=|r1-r2|,即|1-√50-k|=5,解得k=14;当两圆相交时,|r1-r2|<d<r1+r2,即|1-√50-k|<5<1+√50-k,解得14<k<34;当两圆内含时,d<|r1-r2|,即|1-√50-k|>5,解得k<14;当两圆外离时,d>r1+r2,即1+√50-k<5,解得34<k<50.12.解析(1)证明:将圆的方程整理得(x2+y2-20)+a(-4x+2y+20)=0,此方程表示过圆x2+y2=20与直线-4x+2y+20=0的交点的圆系.解方程组{x2+y2=20,-4x+2y+20=0得{x=4,y=-2,所以该圆恒过定点(4,-2).(2)圆的方程可化为(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2(a≠2).若两圆外切,则2+√5(a -2)2=√(2a -0)2+(-a -0)2,解得a=1+√55. 若两圆内切,则|2-√5(a -2)2|=√(2a -0)2+(-a -0)2,解得a=1-√55或a=1+√55(舍去). 综上所述,a=1±√55.。
苏教版学案必修2高中数学 2.2.3圆与圆的位置关系课时作业
2．2．3 圆与圆的位置关系【课时目标】 1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．2．会利用圆与圆位置关系的判断方法进行圆与圆位置关系的判断．3．能综合应用圆与圆的位置关系解决其他问题．圆与圆位置关系的判定有两种方法：1．几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒ Δ＝0⇒ Δ<0⇒一、填空题1．两圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝4和(x －3)2＋(y ＋6)2＝64的位置关系是________． 2．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有________条． 3．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是__________．4．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为__________．5．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是________________________________________________________________________．6．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r>0}，且M∩N ＝N，则r的取值范围是__________．7．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为________．8．两圆交于A(1,3)及B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋n＝0上，则m＋n的值为________．9．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦长为____________．二、解答题10．求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．11．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求MN的最大值．能力提升12．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．13．已知点P(－2，－3)和以点Q为圆心的圆(x－4)2＋(y－2)2＝9．(1)画出以PQ为直径，Q′为圆心的圆，再求出它的方程；(2)作出以Q为圆心的圆和以Q′为圆心的圆的两个交点A，B．直线PA，PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？(3)求直线AB的方程．1．判定两圆位置关系时，结合图形易于判断分析，而从两圆方程出发往往比较繁琐且不准确，可充分利用两圆圆心距与两圆半径的和差的比较进行判断．2．两圆的位置关系决定了两圆公切线的条数．3．两圆相交求其公共弦所在直线方程，可利用两圆方程作差，但应注意当两圆不相交时，作差得出的直线方程并非两圆公共弦所在直线方程．2．2．3 圆与圆的位置关系答案知识梳理1．2．相交内切或外切外离或内含作业设计1．外切解析圆心距d＝10＝R＋r，∴外切．2．3解析∵两圆标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴圆心距d＝＋2＋－1－2＝5，r1＝2，r2＝3，∴d＝r1＋r2，∴两圆外切，∴公切线有3条．3．3x－y－9＝0解析两圆圆心所在直线即为所求．4．2或－5解析外切时满足r1＋r2＝d，即m＋2＋－2－m2＝5，解得m＝2或－5．5．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9解析设动圆圆心为P，已知圆的圆心为A(5，－7)，则外切时PA＝5，内切时PA＝3，所以P 的轨迹为以A 为圆心，3或5为半径的圆．6．(0,2－2]解析 由已知M ∩N ＝N 知N ⊆M ，∴圆x 2＋y 2＝4与圆(x －1)2＋(y －1)2＝r 2内切或内含，∴2－r ≥2，∴0<r ≤2－2． 7．±25或0解析 ∵圆心分别为(0,0)和(－4，a )，半径分别为1和5，两圆外切时有－4－2＋a －2＝1＋5，∴a ＝±25，两圆内切时有－4－2＋a －2＝5－1，∴a ＝0．综上，a ＝±25或a ＝0． 8．3解析 A 、B 两点关于直线x －y ＋n ＝0对称， 即AB 中点(m ＋12，1)在直线x －y ＋n ＝0上，则有m ＋12－1＋n ＝0， ①且AB 斜率41－m＝－1 ②由①②解得：m ＝5，n ＝－2，m ＋n ＝3． 9． 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0 ①x 2＋y 2＝5 ②②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x －y －3＝0， ∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为d ＝|－3|1＋－2＝32，设公共弦长为l ，∴l ＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝2．10．解 设所求圆的方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则⎩⎨⎧a＝b ①b ＝3 ②a 2＋b 2＝r ③由①②③得⎩⎨⎧a ＝b ＝3r ＝32．∴(x －3)2＋(y －3)2＝18．11．解 把圆的方程都化成标准形式，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝9，(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4．如图，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2．所以，C 1C 2＝－3＋2＋＋2＝13．因此，MN 的最大值是13＋5． 12．4解析 如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25， ∴OO 1＝5， ∴AC ＝5×255＝2， ∴AB ＝4． 13．解(1)∵已知圆的方程为 (x －4)2＋(y －2)2＝32， ∴Q (4,2)．PQ 中点为Q ′⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，半径为r ＝PQ 2＝612，故以Q ′为圆心的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝614．(2)∵PQ 是圆Q ′的直径，∴PA ⊥AQ (如图所示) ∴PA 是⊙Q 的切线，同理PB 也是⊙Q 的切线． (3)将⊙Q 与⊙Q ′方程相减，得6x ＋5y －25＝0． 此即为直线AB 的方程．。
高中数学第二章第15课时圆与圆的位置关系学案苏教版必修2
第二节圆与方程第15课时圆与圆的位置关系1 •掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法；2 •了解用代数法研究圆的关系的优点；3 •了解算法思想.自学评价1 .圆与圆之间有外离，外切，相 _ 内切，内含五种位置关系.2. 设两圆的半径分别为r i,r2，圆心距为d , 当d r r2时，两圆外离，当d r r2时，两圆外切，当K - 卜：d ::: r i D时，两圆相交，当d —&时，两圆内切，当d <h —r2时，两圆内含.3. 思考：用代数方法，通过联立方程组，用判别式法可以判断两个圆的位置关系吗？为什么？【精典范例】例1:判断下列两圆的位置关系：(1) (x 2)2(y 一2)2=1 与(x-2)2(y -5)2=16(2) x2 y2 6x-7=0与x2 y2 6y-27=0【解】(1)根据题意得，两圆的半径分别为r1 =1和D=4，两圆的圆心距d - [2 -(-2)]2(5 -2)2=5.因为r1r2，所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程，得(x 3)2 y2 =16,x2y 3) = 36故两圆的半径分别为* = 4和口r2 6 ,两圆的圆心距d = (0 匚3厂(3二0)2因为I * - r21：：： d ::: r1r2，所以两圆相交.点评：判断两圆的位置关系，不仅仅要判断d与* •D的大小，有时还需要判断d与例2:求过点A(0,6)且与圆2 2C :x2 y2 10x 10y =0切于原点的圆的方程.分析：如图，所求圆经过原点和A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确定圆的方程.【解】将圆C化为标准方程，得2 2(x 5) (y 5) =50,则圆心为C(-5,-5),半径为5 2 .所以经过此圆心和原点的直线方程为x - y = 0.设所求圆的方程为(x _a)2• (y _b)2二r2. 由题意知，0(0,0), A(0,6)在此圆上，且圆心M(a,b)在直线x-y=0上，则有(0-a)2+(0-b)2=r2, a = 3,£(0-a)2 +(6-b)2 =r2戶<b = 3, a_b=0 r=3/S.于是所求圆的方程是(x-3)2，(y-3)2=18 .点评：此题还可以通过弦的中垂线必过圆心这一性质来解题，由题意，圆心必在直线y=3上，又圆心在直线x-y = 0 ,从而圆心坐标为(3,3) , r =3 2，所以所求圆的方程为2 2(x-3) (y-3) =18 .追踪训练一1. 判断下列两个圆的位置关系：(1) (x-3)2 (y 2)2 =1与(x-7)2 (y-1)2 =36 ;(2) 2x2 2y2 -3x 2y =0与32 3y2-x-y =0 . 答案：(1)内切，(2)相交.第二章平面解析几何初步听课随笔「1 —D的关系.【学习导航】2. 若圆x2• y2= m 与圆x2■ y2，6x-8yT1=0相交，求实数m的取值范围. 答案：1 ：：：m <121 .例 3: 已 知 圆 2 2G : x y 2x _6y 1=0 , 圆2 2C 2: x y -4x • 2y -1仁0 ,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方 程，联立方程组，消去 x 2项、y 2项，即得 两圆的两个交点所在的直线方程， 利用勾股 定理可求出两圆公共弦长.【解】设两圆交点为Ad ,,%)、B(x 2,y 2), 则A B两点坐标满足方程组-2 2 x y 2x -6y 1 =0, (1)2 2， x y -4x 2y -11 =0, (2)(1)一(2)得 3x —4y 6 =0 .因为，A B 两点坐标都满足此方程，所以，3x - 4y • 6 =0即为两圆公共弦所在所以，所求圆方程为(x —1)2・(y ・7)2 =89 , 2 2 2 2 2 即 x y —x 7y 一32 = 0 (法二)设所求圆的方程为 2 2 2 2 x y 6 x4 . - ( x y 6 y2即8 ) 2 2 6 6■ 4 28■ x y x y 0 . 1 + & 1 + 扎 1 + k 故此圆的圆心为(一丄，二竺),它在直线 1+扎1+扎 x-y-4=0 上，所以 一 3—-4 = 0, 1 +人1 +九 所以，--7 . 所以所求圆方程为 x 2 • y 2 _x • 7y-32 = 0 点评：“解法二”中设出的经过两已知圆交点的 圆方程叫做经过两已知圆的圆系方程.的直线方程.易知圆G 的圆心(-1,3)，半径r =3 . 又G 到直线的距离为99 .所以,524点评：本题较为复杂，要讨论的情况比较多, 解题过程中要注重分析.思维点拔： 解题时要充分利用两圆位置关系的几何性质. 追踪训练二 1 .一个圆经过圆 G :x 2 • y 2-8x-9 = 0和圆 C 2 ：x 2 • y 2 -8y • 15 = 0的两个交点，且圆心 在直线2x-y-1=0上，求该圆的方程. 2 2 10 14 答案：x y x y-12 = 0. 3 3 2 .已知一个圆经过直线2x y ^0与圆 x 2 y 2 2x -4y • 1 = 0的两个交点，并且有 最小面积，求此圆的方程.例5 :求过两圆x 2 • y 2 • 6x - 4 = 0和 x 2 y 2 6y -28 =0的交点，且圆心在直 线x - y -4 =0上的圆的方程.分析：所求圆圆心是两已知圆连心线和已知 直线的交点，再利用弦心距、弦长、半径之 间的关系求圆半径【解】(法一)可求得两圆连心线所在直线 的方程为x y 3 0.1x —y —4=0, 1 7由 得圆心(丄，-上).x y 3 = 0, 2 2 利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得 公共弦长d 二・.50 , 所以，圆半径 听课随笔 | -1 3 -4 3 6| .32 (4)2 两圆的公共弦长为答案：(x 1■一)2 . (y _6)5 5。
苏教版高中数学高一必修二 圆与圆的位置关系
① ②
由①－②，得(D1－D2)x0＋(E1－E2)y0＋F1－F2＝0， 这个方程说明了 M(x0，y0)在直线(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1 －F2＝0 上．
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问题 2 若两圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 和 C2：x2＋y2
＋D2x＋E2y＋F2＝0 相交，它们的交点弦所在的直线方程
目 开
(4)当 d＝|r1－r2|时，圆 C1 与圆 C2内切 ；
关 (5)当 d<|r1－r2|时，圆 C1 与圆 C2 内含 ．
2．代数法判断圆与圆的位置关系：将两个圆方程联立，消去其
中的一个未知数 y 或 x，得关于 x 或 y 的一元二次方程. 若
方程中Δ>0 ，则两圆相交；若方程中Δ＝0，则两圆相切；
本 答 (1)将两圆的方程化为标准方程；
课 时
(2)求两圆的圆心坐标和半径 R、r；
栏 目
(3)求两圆的圆心距 d;
开 关
(4)比较 d 与|R－r|，R＋r 的大小关系得出结论.
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例 1 判断下列两圆的位置关系：
(1)(x＋2)2＋(y－2)2＝1 与(x－2)2＋(y－5)2＝16；
.
所以所求圆的圆心坐标是12，－72.
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设所求圆的方程是 x2＋y2－x＋7y＋m＝0.
由三个圆有同一条公共弦，
x2＋y2＋6x－4－(x2＋y2＋6y－28)＝0，
本 得 x－y＋4＝0，
课
时 x2＋y2＋6x－4－(x2＋y2－x＋7y＋m)＝0，
栏
目 开 关
得 x－y－4＋7 m＝0，
2019—2020年最新苏教版高中数学必修二同步课堂精练-2.2.3圆与圆的位置关系课堂同步练习题.docx
（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二圆与圆的位置关系1．两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.(1)当a＝__________时，两圆外切；(2)当a＝__________时，两圆相内切．2．(1)圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线方程为__________．(2)已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是__________．3．已知点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则PQ 的最小值是__________．4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为23，则a＝__________.5．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．6．圆x2＋y2＝1和圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的公共弦所在直线被圆4x2＋4y2＝25所截，则截得的弦长为__________．7．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．8．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．9.已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，圆C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0.当a，b变化时，圆C2始终平分圆C1的周长，求圆C2的面积最小时圆的方程．参考答案1．(1)－5或2 (2)－2或－1 ∵圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，圆心C 1(a ，－2)，r 1＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －a )2＝4，圆心C 2(－1，a )，半径r 2＝2.当221212125C C a a r r =(--)+(+)=＋＝时，两圆外切，此时可解得a ＝－5或2；当221212121C C a a r r =(+)+(+)=－＝时，两圆内切，此时可解得a ＝－1或－2.2．(1)x ＋y －1＝0 (2)x ＋3y ＝0 (1)由题意知，两圆的连心线即为AB 的垂直平分线．由已知得两圆圆心分别为(1,0)，(－1,2)，∴由两点式方程得012011y x --=---，即x ＋y －1＝0. (2)两圆方程联立消去二次项得到的x 、y 的二元一次方程即为直线AB 的方程．设点P (x ，y )为交点弦上任意一点，则2222101320x y x y ⎧+=⎨(-)+(-)=⎩相减得2x －1＋6y －9＝10－20，即x ＋3y ＝0.3．355- 由x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0得(x －4)2＋(y －2)2＝9.∴圆心C 1为(4,2)，半径r 1＝3；由x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0得(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4， ∴圆心C 2为(－2，－1)，半径r 2＝2. ∴22min 12124221323532355PQ C C r r (+)+(+)＝－－＝－－＝－－＝－4．1依题意，画出两圆的位置如图，公共弦为AB ，交y 轴于点C ，连结OA ，则OA ＝2. 两圆方程相减，得2ay ＝2，解得1y a =，∴1OC a=. 又公共弦长为23， ∴3AC =.于是，由Rt △AOC 可得OC 2＝AO 2－AC 2，即22212(3)a=－， 整理得a 2＝1.又a ＞0，∴a ＝1.5．2x －y ＝0 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝1，可知圆心为(1,2)，半径为1. 设直线方程为y ＝kx ，则圆心到直线的距离为2|2|1k d k -=+，故有：2|2|01k k -=+，解得k ＝2.故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 6.23 由两圆方程可得其公共弦方程为x ＋y －1＝0，原点O 到该直线的距离22d =，而半径52r =，故弦长22251222342r d -=-=＝. 7．解法一：联立两圆方程22221221301216250.x y x y x y x y ⎧+---=⎨+++-=⎩ 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由224320122130x y x y x y +-=⎧⎨+---=⎩ 联立得两交点坐标A (－1,2)、B (5，－6)．∵所求圆以AB 为直径，∴圆心是AB 的中心点M (2，－2)，圆的半径为152r AB =＝.于是圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)，得圆心C 1212162,.2121λλλλ⎛⎫---- ⎪(+)(+)⎝⎭. ∵圆心C 应在公共弦AB 所在直线上， ∴121216243202121λλλλ-(-)(--)⨯+⨯-=(+)(+). 解得12λ= ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.8．(1)证明：将圆的方程整理，得(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0， 此方程表示过圆x 2＋y 2＝20与直线－4x ＋2y ＋20＝0的交点的圆系．解方程组222042200x y x y ⎧+=⎨--=⎩得42.x y =⎧⎨=-⎩所以该圆恒过定点(4，－2)．(2)解：圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5a 2－20a ＋20＝5(a －2)2. 若两圆外切，则r 1＋r 2＝O 1O 2， 即222525a a (-)=＋，整理，得252560a a (-)=－＞， 所以65a ＞，解得515a ＝＋. 若两圆内切，则|r 1－r 2|＝O 1O 2， 即225225a a (-)-=，整理，得252650a a (-)=－＞，所以65a ＜. 解得515a ＝－或515a ＝＋ (舍去)． 综上所述，515a ±＝. 9.解：将两圆方程相减，得到两圆相交弦所在直线方程为2(1＋a )x ＋2(1＋b )y －a 2－1＝0. 由于圆C 2始终平分圆C 1的周长，因此C 1(－1，－1)必在相交弦所在直线上，∴2(1＋a )×(－1)＋2(1＋b )×(－1)－a 2－1＝0， 即2252a ab ++=-. 由圆C 2方程，得21r b +＝，∴S ＝πr 2＝π(1＋b 2)2222254[(1)4]4a a a ππππ(++)⨯=+＝＋＋＋. ∴当a ＝－1时，S 取最小值5π，此时b ＝－2，∴圆C 2的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0.。
苏教版数学高一必修2试题 圆与圆的位置关系
2．2.3圆与圆的位置关系基础巩固知识点一圆与圆的位置关系1．两圆x2＋y2＋6x＋4y＋9＝0和x2＋y2－6x－12y－19＝0的位置关系是________．解析：圆心分别为O1(－3，－2)，O2(3,6)，半径满足r21＝4，r22＝64，∴r1＝2，r2＝8.又O1O2＝3＋32＋6＋22＝10＝r1＋r2，∴两圆相外切．答案：外切2．已知0＜r＜22，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是________．解析：∵两圆的圆心距为O1O2＝2，又R＝2，0＜r＜22，∴|R－r|＜O1O2＜|R＋r|，故两圆相交．答案：相交3．若圆C1：x2＋y2＋m＝0与圆C2：x2＋y2－6x＋8y＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．解析：因为圆C1以原点为圆心，而圆C2过原点，所以两圆无公共点必有圆C2内含于圆C1，从而－m>100，即m<－100.答案：(－∞，－100)4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．解析：两圆相交其交点所在的直线方程为：(x－1)2＋(y－3)2－20－x2－y2＋10＝0，即：x＋3y＝0.答案：x＋3y＝0知识点二 利用圆与圆的关系确定圆的方程5．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线x －y ＋3＝0对称的圆的方程是________．解析：已知圆方程为(x －1)2＋y 2＝2，则该圆圆心关于直线x －y ＋3＝0的对称点为(－3,4)，半径也是 2.答案：(x ＋3)2＋ (y －4)2＝26．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程是________．解析：半径为1的圆内切于半径为6的圆．答案：(x±4)2＋(y －6)2＝367．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．解析：求出两圆的交点后用待定系数法；或利用圆系方程：设所求圆方程为(x 2＋y 2－x－y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0，又过点(3,1)代入求出λ＝－25. 答案：x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0 知识点三 两圆的公切线与公共弦8．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有________条．解析：易判知两圆相外切，故有3条公切线．答案：39．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0相交于A 、B 两点，求公共弦AB 的长．解析：由方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0，x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0，消去二次项得6x －6y ＋6＝0，即x －y ＋1＝0为所求的公共弦AB 所在的直线的方程．圆C 1即：(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，∴C 1(－2,2)到直线AB 的距离d ＝|－2－2＋1|2＝32， 又圆C 1半径r ＝3，故弦长AB ＝232－322＝3 2.能力升级综合点一 与圆有关的最值问题10．若直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的周长，则mn 的最大值是________．解析：由直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的周长，知直线过圆的圆心(2,1)，∴2m ＋2n －4＝0，m ＋n ＝2.∴mn ＝m(2－m)＝－(m －1)2＋1≤1.答案：111．一束光线从点A(－1,1)出发经x 轴反射，到达圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路程是________．解析：圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1关于x 轴的对称圆C′：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1.∴A(－1,1)到C′的圆心C′(2，－3)的距离AC′＝5.∴从A 发出的光线经x 轴反射到圆C 上一点的最短距离等于A 到圆C′的圆心C′的距离减去半径长1.即d min ＝5－1＝4.答案：412．过直线x ＝2上一点M 向以C 为圆心的圆(x ＋5)2＋(y －1)2＝1作切线，切点分别为A ，B ，则四边形MACB 的面积的最小值为________．解析：易知S MACB ＝2S △MAC ＝MA·AC ＝MC 2－1显然MC 的最小值为7，故四边形MACB 的面积的最小值为49－1＝4 3.答案：4 3综合点二 圆的位置关系及其应用13．求圆C 1：x 2＋y 2＋2kx ＋k 2－1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2(k ＋1)y ＋k 2＋2k ＝0的圆心距的最小值及相应的k 值，并指出此时两圆的位置关系．[]解析：两圆的圆心C 1(－k,0)，C 2(0，－k －1)，∴圆心距C 1C 2＝k 2＋k ＋12＝2k 2＋2k ＋1，当k ＝－12时，C 1C 2有最小值22. 此时，两圆的方程为C 1：⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝1， C 2：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝1，由|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，可知两圆相交．14．已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2＝4}，集合B ＝{(x ，y)|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2，r ＞0}．若A∩B 中有且仅有一个元素，求r 的值．解析：∵A∩B 中有且仅有一个元素，∴圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2∶(x －3)2＋(y －4)2＝r 2外切或内切．又∵圆心距C 1C 2＝5.∴r ＝3或7.综合点三 轨迹与证明问题15．已知两定圆O 1：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆O 2：(x ＋5)2＋(y ＋3)2＝4，动圆P 恒将两定圆的周长平分．试求动圆圆心P 的轨迹方程．解析：设动圆P 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，即：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0. 将此方程分别与圆O 1，圆O 2的方程相减得公共弦所在的直线方程为：(2－2a)x ＋(2－2b)y ＋a 2＋b 2－r 2－1＝0.(10＋2a)x ＋(6＋2b)y ＋30－a 2－b 2＋r 2＝0.由于圆P 平分两定圆的周长，所以公共弦分别过两圆圆心，从而有：⎩⎪⎨⎪⎧－2a －2b ＋3＋a 2＋b 2＝r 2，10a ＋6b ＋a 2＋b 2＋38＝r 2. 消去r 2得：12a ＋8b ＋35＝0.用(x ，y)替换(a ，b)得：点P 的轨迹方程为：12x ＋8y ＋35＝0.。
苏教版数学高一必修2试题 圆与圆的位置关系
2.2.3 圆与圆的位置关系双基达标 限时15分钟1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是________．解析 化为标准方程：O 1：(x －1)2＋y 2＝1，O 2：x 2＋(y －2)2＝4，则圆心为O 1(1,0)，O 2(0,2)；∴O 1O 2＝1－02＋0－22＝5＜3＝R ＋r ，O 1O 2＝1－02＋0－22＝5＞1＝R －r ；∴两圆相交．答案 相交2．圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4外切，则m 的值为________． 解析 外切得圆心距等于半径之和，即m ＋12＋－2－m 2＝3＋2，解得m 的值为2或－5.答案 2或－53．两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的连心线方程为________．解析 将两圆的一般方程配方整理得标准方程分别为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13和(x －3)2＋y 2＝9，故它们的圆心为(2，－3)与 (3,0)；所以它们的连心线方程为y －0－3－0＝x －32－3，即为3x －y －9＝0.答案 3x －y －9＝04．若两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0与x 2＋y 2－6x ＋2y －40＝0相交于两点，则它们的公共弦所在直线的方程是________．解析 两圆方程相减即得公共弦所在直线的方程为4x ＋12y －40＝0，即为x ＋3y －10＝0.答案 x ＋3y －10＝05．两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有________条解析 先确定两圆的位置关系：圆C 1即为(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，故圆心为(－2,2)，半径为r ＝1；同理得圆C 2的圆心为(2,5)，半径为R ＝4；∵C 1C 2＝42＋32＝5＝R ＋r ，故两圆外切，有3条公切线．答案 36．已知圆x 2＋y 2－4ax －2ay ＋20(a －1)＝0，其中常数a ＜2；若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求常数a 的值．解 圆的方程可化为(x －2a )2＋(y －a )2＝5a 2－20a ＋20＝5(a －2)2，所以圆心为(2a ，a )，半径为5(2－a )． 若两圆外切，则2a －02＋a －02＝2＋5(2－a )，即5|a |＝2＋5(2－a )，由此解得a ＝1＋55. 若两圆内切，则2a 2＋a 2＝|2－5(2－a )|，即5|a |＝|2－5(2－a )|，由此解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)． 综上所述，两圆相切时，a ＝1－55或a ＝1＋55. 综合提高 限时30分钟7．圆x 2＋y 2＋8x －4y ＝0与圆x 2＋y 2＝20关于直线y ＝kx ＋b 对称，则k 的值为________，b 的值为________．解析 因两圆相交，且两圆的半径相等，故相交弦所在的直线方程即为对称轴，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋8x －4y ＝0x 2＋y 2＝20⇒8x －4y ＋20＝0即2x －y ＋5＝0为对称轴方程，∴k ＝2，b ＝5. 答案 2 58．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________.解析 x 2＋y 2＋2ay ＝6，x 2＋y 2＝4两式相减得y ＝1a. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1a ，x 2＋y 2＝4.消去y 得x 2＝4a 2－1a 2(a ＞0)． ∴2×4a 2－1a＝23，解得a ＝1. 答案 19．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆周，则a ，b 应满足的关系式为________．解析 因为圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆周，所以两圆的公共弦为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的一条直径；而两圆方程相减即得公共弦所在直线方程，为－＝b 2＋1－4，即为(2a ＋2)x ＋(2b ＋2)y －a 2－1＝0；所以圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心(－1，－1)在公共弦所在直线(2a ＋2)x ＋(2b ＋2)y －a 2－1＝0上，即a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.答案 a 2＋2a ＋2b ＋5＝010．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程(即动圆圆心坐标所满足的关系式)为________．解析 设动圆圆心的坐标为(x ，y )，若两圆外切，则x －52＋y ＋72＝4＋1，即(x －5)2＋(y ＋7)2＝25；若两圆内切，则x －52＋y ＋72＝4－1，即(x －5)2＋(y ＋7)2＝9；综上，所求的动圆圆心的轨迹方程为(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9. 答案 (x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝911．求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x－1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． 解 圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线方程为：x 2＋y 2－1－(x 2＋y 2－2x －2y ＋1)＝0即x＋y －1＝0；圆心C 3到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|1－1－1|2＝22. 所以所求弦长为2r 2－d 2＝2 254－12＝23. 12．已知两个圆C 1：x 2＋y 2＝4，C 2：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，直线l ：x ＋2y ＝0，求经过C 1和C 2的交点且和l 相切的圆的方程．解 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，解得圆C 1和C 2的交点为(0,2)与⎝⎛⎭⎫85，65；设经过C 1和C 2的交点且和l 相切的圆的圆心为(a ，b )，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b －22＝r ，⎝⎛⎭⎫a －852＋⎝⎛⎭⎫b －652＝r ，|a ＋2b |12＋22＝r ， 解得⎩⎨⎧ a ＝12，b ＝1，r ＝52，∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝54. 法二 设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋4＋λ(x 2＋y 2－4)＝0，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－2x －4y ＋4－4λ＝0；∴圆心为⎝⎛⎭⎫11＋λ，21＋λ，半径为 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－21＋λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－41＋λ2－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ1＋λ； 依题意有⎪⎪⎪⎪11＋λ＋41＋λ5＝4＋16－161－λ21＋λ2， 解之得λ＝1，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－x －2y ＝0.13．(创新拓展)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －2)2＋(y －4)2＝1，由两圆外一点P (a ，b )引两圆的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，满足PA ＝PB .(1)求实数a ，b 间满足的等量关系；(2)求切线长PA 的最小值；(3)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，说明理由．解(1)连接PO、PC，∵PA＝PB，OA＝CB＝1；∴PO2＝PC2，从而a2＋b2＝(a－2)2＋(b－4)2，化简得实数a，b间满足的等量关系为：a＋2b－5＝0.(2)由a＋2b－5＝0，得a＝－2b＋5；∵PA＝PO2－OA2＝a2＋b2－1＝－2b＋52＋b2－1＝5b2－20b＋24＝5b－22＋4，∴当b＝2时，PA min＝2.(3)∵圆O和圆C的半径均为1，若存在半径为R圆P，与圆O相内切并且与圆C相外切，则有PO＝R－1且PC＝R＋1；于是有：PC－PO＝2，即PC＝PO＋2，从而得a－22＋b－42＝a2＋b2＋2，整理得a2＋b2＝4－(a＋2b)；将a＋2b＝5代入上式，得a2＋b2＝－1＜0；故满足条件的实数a、b不存在．∴不存在符合题设条件的圆P.。
高中数学第2章平面解析几何初步 2.2.2.3 圆与圆的位置关系练习苏教版必修
2.2.3 圆与圆的位置关系A级基础巩固1．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是( )A．相离B．相交C．内切D．外切解析：圆C1：x2＋y2＝9的圆心为C1(0，0)，半径长为r1＝3；圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0化为(x－4)2＋(y＋3)2＝16，圆心为C2(4，－3)，半径长为r2＝4，圆心距|C1C2|＝42＋（－3）2＝5.因为|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2＝3＋4，所以两圆相交．答案：B2．已知0<r<2＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是( ) A．外切 B．相交 C．外离 D．内含解析：设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．圆x2＋y2＝r2的圆心O(0，0)，两圆的圆心距离d OO′＝12＋（－1）2＝ 2.显然有|r－2|<2<2＋r.所以两圆相交．答案：B3．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1解析：⊙O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，⊙O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2，4)，R＝8，所以|O1O2|＝（3＋2）2＋（－8－4）2＝13.所以r－R<|O1O2|<R＋r.所以两圆相交．所以公切线有2条．答案：C4．(2014·湖南卷)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( ) A．21 B．19 C．9 D．－11解析：将圆C2的方程化为标准方程，利用圆心距等于两圆半径之和求解．圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，所以|C1C2|＝5.又因为两圆外切，所以5＝1＋25－m，解得m＝9.答案：C5．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( )A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：因为半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6. 再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.答案：D6．圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0公共弦长为( ) A. 5 B. 6 C ．2 5 D ．2 6解析：x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x ＋y －15＝0，圆x 2＋y 2＝50的圆心(0，0)到2x ＋y －15＝0的距离d ＝35，因此，公共弦长为2（52）2－（35）2＝2 5.答案：C7．若圆C 1：x 2＋y 2＋m ＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析：因为圆C 1以原点为圆心，而圆C 2过原点，所以两圆无公共点必有圆C 2内含于圆C 1，从而－m >100，即m <－100.答案：(－∞，－100)8．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线x －y ＋3＝0对称的圆的方程是________．解析：已知圆方程为(x －1)2＋y 2＝2，则该圆圆心关于直线x －y ＋3＝0的对称点为(－3，4)，半径也是 2.答案：(x ＋3)2＋(y －4)2＝29．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是________．解析：设所求圆方程为(x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0，又过点(3，1)代入求出λ＝－25. 答案：x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0 10．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有________条．解析：易判知两圆相外切，故有3条公切线．答案：311．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0相交于A ，B 两点，求公共弦AB 的长．解：由方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0，x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0，消去二次项得6x －6y ＋6＝0，即x －y ＋1＝0为所求的公共弦AB 所在的直线的方程．圆C 1即：(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，所以C 1(－2，2)到直线AB 的距离d ＝|－2－2＋1|2＝32. 又圆C 1半径r ＝3，故弦长|AB |＝2 32－322＝3 2. B 级 能力提升12．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．1C ．35－5D ．35＋5 解析：圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4，2)；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.答案：C13．若直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的周长，则mn 的最大值是________．解析：由直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的周长，知直线过圆的圆心(2，1)，所以2m ＋2n －4＝0，m ＋n ＝2.所以mn ＝m (2－m )＝－(m －1)2＋1≤1.答案：114．一束光线从点A (－1，1)出发经x 轴反射，到达圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路程是________．解析：圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.关于x 轴的对称圆C ′：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1.所以A (－1，1)到C ′的圆心C ′(2，－3)的距离|AC ′|＝5.所以从A 发出的光线经x 轴反射到圆C 上一点的最短距离等于A 到圆C ′的圆心C ′的距离减去半径长1.即d min ＝5－1＝4.答案：415．求圆C 1：x 2＋y 2＋2kx ＋k 2－1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2(k ＋1)y ＋k 2＋2k ＝0的圆心距的最小值及相应的k 值，并指出此时两圆的位置关系．解：两圆的圆心C 1(－k ，0)，C 2(0，－k －1)，所以圆心距|C 1C 2|＝k 2＋（k ＋1）2＝2k 2＋2k ＋1，当k ＝－12时，C 1C 2有最小值22. 此时，两圆的方程为C 1：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝1， C 2：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝1，由|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，可知两圆相交． 16．已知两定圆O 1：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆O 2：(x ＋5)2＋(y ＋3)2＝4，动圆P 恒将两定圆的周长平分．试求动圆圆心P 的轨迹方程．解：设动圆P 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，即x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0. 将此方程分别与圆O 1，圆O 2的方程相减得公共弦所在的直线方程为：(2－2a )x ＋(2－2b )y ＋a 2＋b 2－r 2－1＝0.(10＋2a )x ＋(6＋2b )y ＋30－a 2－b 2＋r 2＝0.由于圆P 平分两定圆的周长，所以公共弦分别过两圆圆心，从而有：⎩⎪⎨⎪⎧－2a －2b ＋3＋a 2＋b 2＝r 2，10a ＋6b ＋a 2＋b 2＋38＝r 2. 消去r 2得：12a ＋8b ＋35＝0.用(x ，y )替换(a ，b )，得点P 的轨迹方程为：12x ＋8y ＋35＝0.。
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高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
第15课 圆与圆的位置关系
分层训练
1． 圆222220x y x y +-+-=与圆22x y +
68240x y ---=的位置关系是 （ ）
()A 相离 ()B 相交 ()C 外切 ()D 内切
2． 两圆1C ：22
4470x y x y ++-+=，2C ： 22410130x y x y +--+=的公切线有（ ）
()A 2条 ()B 3条 ()C 4条 ()D 0条
3．已知半径为1的动圆与圆
22(5)(7)16x y -++=相切，则动圆圆心的轨
迹方程(动圆圆心坐标所满足的关系式)为（ ） ()A 22(5)(7)25x y -++= ()B 22
(5)(7)17x y -++=或22(5)(7)15x y -++= ()C 22(5)(7)9x y -++= ()D 22(5)(7)25x y -++=或22(5)(7)9x y -++= 4．若圆222
()()1x a y b b -+-=+始终平分圆
22(1)(1)4x y +++=的圆周，则,a b 应满足的
关系式为 （ ）
()A 22250a a b +++= ()B 22230a a b ---= ()C 222210a b a +++=
()D 22322210a b a b ++++=
5．若圆224x y +=和圆22
(2)(2)4x y ++-=关于直线l 对称，则l 的方程为 ．
6．圆22
4410x y x y ++--=与圆222130x y x ++-=相交于,P Q 两点，则直线PQ 的方程为 ，公共弦PQ 的长为 ．
7．已知动圆0264222=-+--+m my mx y x 恒过一个定点,这个定点的坐标是______ ． 8．求经过点(4,1)A -，且与圆
22:2650C x y x y ++-+=相切于点(1,2)
B 的圆的方程．
9．求与两条平行直线210x y +-=和2x y +
50-=相切，且圆心在直线310x y ++=上的
圆的方程．
拓展研究
10．已知圆221:2280C x y x y +++-=与圆222:210240C x y x y +-+-=相交于,A B 两点．
（1）求直线AB 的方程； （2）求经过,A B 两点且面积最小的圆的方程； （3）求圆心在直线y x =-上，且经过,A B 两点的圆的方程．
11．若两圆22
16x y +=及222(4)(3)x y r -++=在交点处的切线互相垂直，求实数r 的值．
本节学习疑点：学生质疑
教师释疑。