三角形练习二
人教版初二上数学全等三角形专题练习二(含解析)
全等三角形1．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A、6B、4C、23D、52．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，有以下结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm4．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7 D．3.55．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．46．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD ＝3，BD＝5，则四边形ABCD的面积为_______.7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE:ED=2:1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED 的面积是．8．如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是2，那么△A1B1C1的面积是．9．如图，AB=AD，只需添加一个条件，就可以判定△ABC≌△ADE．10．如图点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是．11．如图，∠A=90°，∠ABC的角平分线交AC于E，AE=3，则E到BC的距离为．12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=4，O为AC的中点，OE⊥OD 交AB于点E．若AE=3，则OD的长为．13．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．15．（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B，C，D三点共线，连接AD，BE 相交于点P，求证：BE = AD；（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连接AD，BE和CF交于点P，下列结论正确的是（只填序号即可）①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE．16．已知：如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF.求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）BE∥DF．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE为BC边上的中线，CD⊥AE于点F，BD⊥BC于点B．（1）试说明：AE＝CD；（2）若AC＝10cm，求线段BD的长．18．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．19．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．20．如图，在△ABC中，AB=5，AD=4，BD=DC=3，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F．（1）请写出与A点有关的三个正确结论；（2）DE 与DF在数量上有何关系？并给出证明．21．已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．22．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF ≌△CEB ；（2）AF=2CD ．23．在△ABC 中, ∠C=90°,BD 是△ABC 的角平分线,P 是射线AC 上任意一点（不 与A,D,C 三点重合）,过P 作PQ ⊥AB,垂足为Q,交直线BD 于E.（1）如图①,当点P 在线段AC 上时,说明∠PDE=∠PED.（2）如图②，作∠CPQ 的角平分线交直线AB 于点F,则PF 与BD 有怎样的位置关系?24．已知：如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD 。
人教版八年级数学上册第十一章三角形综合练习2
第十一章 三角形 综合练习（2）一、单选题1．下列说法中错误的是（ ）A ．三角形的中线、角平分线高线都是线段B ．任意三角形的外角和都是360︒C ．三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形D ．三角形的一个外角大于任何一个内角2．十二边形的每个内角都相等，它的一个外角的度数是（ ）．A ．30B ．35︒C ．40︒D ．45︒ 3．设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ 中 ( )A ．有两个锐角、一个钝角B ．有两个钝角、一个锐角C ．至少有两个钝角D ．三个都可能是锐角4．如果一个多边形内角和是外角和的4倍，那么这个多边形有（ ）条对角线． A ．20 B ．27 C ．35 D ．44 5．一个八十二边形中，它的内角中的锐角最多可以有的个数是（ ）． A ．1 B ．3 C ．41 D ．82 6．如果一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 7．如图，ABC 中，BD 是ABC ∠的平分线，//DE BC ，交AB 于点E ，60A ∠=︒，95BDC ∠=︒，则BDE ∠=（ ）．A ．30B ．35︒C ．45︒D ．50︒8．如图，ABC 中，ABD DBE EBC ∠=∠=∠，ACD DCE ECB ∠=∠=∠，若130BEC ∠=︒，则A ∠等于（ ）．A ．30B ．35︒C ．80︒D ．85︒9．一个多边形截去一个角后，得到的多边形的内角和为1980，那么原来的多边形的边数为（ ）．A ．12或13取14B ．13或14C ．12或13D ．13或14或15 10．如图，ABC 中，80BAC ∠=︒，D 是ABC 外一点，ADC ACD ∠=∠，ADB ABD ∠=∠，则BDC ∠=（ ）． A ．70︒ B ．60︒ C ．45︒ D ．40︒二、填空题11．一等腰三角形的底边长为15cm ，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm ，那么这个三角形的周长为__________．12．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L 的取值范围是__________13．如图，AD 平分∠CAE ，∠B =30°，∠ACD =80°，则∠EAD =___________．14．如图，如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =________．15．已知过m 边形的一个顶点有3条对角线，n 边形没有对角线，k 边形共有k 条对角线，则()m k n -=________．16．如图，:1:3AD AC =，:BCD ABD S S =________．17．等腰三角形的一个角是70°，则它的一腰上的高与底边的夹角是 ________． 18．∠ABC 中，∠A =55°，∠B =75°，将纸片的一角折叠，点C 落在∠ABC 内，如图，若∠CDA =20°，则∠CEB =________．19．一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350︒，则这个多边形的边数是_________.20．如图，在∠ABC 中，∠CAD =∠CDA ，∠CAB −∠ABC =30°，则∠BAD =________︒． 21．已知非直角三角形ABC 中，∠A ＝45°，高BD 与高CE 所在直线交于点H ，则∠BHC 的度数是_______．三、解答题22．∠ABC 中，内角∠A 和外角∠CBE 和∠BCF 的角平分线交于点P ，AP 交BC 于D ．过B 作BG ∠AP 于G ．若∠GBP = 55°，求∠ACB 的度数．23．在如图所示的星形中，14B ∠=︒，15C ∠=︒，16F ∠=︒，45A D E G k ∠+∠+∠+∠=⋅︒，求k 的值．24．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图∠中是一个五角星，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的和．（2）如果把图∠中的点A 向下移到BE 上，形成如图∠中五个星的和（即CAD B C ∠+∠+∠+D E ∠+∠）有无变化？说明你的结论的正确性．（3）如果把图∠中点C 向上移动到BD 上，形成如图∠的图形，则此时五个角的和（即CAD B ∠+∠+ACE D E ∠+∠+∠）有无变化？说明你的理由．25．若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足a b b c->-（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为->-，所以这个三角形为“不均衡三角形”．7554（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为________（填序号）∠4cm，2cm，1cm∠13cm，18cm，9cm∠19cm，20cm，19cm∠9cm，8cm，6cmx-（x为整数）求x的值．（2）已知“不均衡三角形”三边分别为22x+，16，2626．已知；D是∠ABC中BC边的中点，（1）图∠中面积相等的三角形是_________．（2）图∠中，若MN // AB，则图∠中面积相等的三角形是__________________．（3）画图：图∠中过A点画一条直线把四边形ABCD的面积平分，并说明原因．参考答案：1．D【分析】要熟悉三角形中的概念及其分类方法和三角形的内角和定理及其推论．【详解】解：A、三角形的中线、角平分线、高线都是线段，故A正确；B、任意三角形的外角和都是360°，故B正确；C、三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形，故C正确；D、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，故D错误．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的高、中线、角平分线的概念，三角形的内角和定理及其推论，三角形的分类方法，难度适中．2．A【分析】由十二边形的每个内角都相等，可得这个十二边形的每个外角也都相等，再利用多边形的外角和可得答案.【详解】解：十二边形的每个内角都相等，∴这个十二边形的每个外角也都相等，∴它的一个外角的度数是36030, 12︒=︒故选：.A【点睛】本题考查的是多边形的外角和为360︒，多边形的任何一个内角与其相邻的外角互补，掌握以上知识是解题的关键.3．C【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，可以把α+β，β+γ，α+γ相当于这个三角形的三个外角；根据三角形的外角与内角是邻补角，结合三个内角的情况，可以得到α+β，β+γ，α+γ这三个角的情况，从而确定选项.【详解】∠α，β，γ是三角形的三个内角，∠α+β，β+γ，α+γ相当于这个三角形的三个外角，∠α+β，β+γ，α+γ分别是γ，α，β的邻补角.∠α，β，γ是三角形的三个内角，∠α，β，γ中，至少有两个锐角，∠α+β，β+γ，α+γ至少有两个钝角.故选:C.【点睛】本题主要考查三角形的外角定理和三角形的内角和定理，可以根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和进行考虑；4．C【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解，多边形对角线的条数可以表示成()32n n-．【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n-2）•180°=4×360°，解得n=10．10×（10-3）÷2=35（条）．故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对角线的条数公式．5．B【分析】利用多边形的外角和是360度即可求出答案．【详解】解：因为八十二边形的外角和是360度，在外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于360度，八十二边形的内角与其相邻外角互为邻补角，则外角中最多有三个钝角，内角中就最多有3个锐角．故答案为：B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，由于内角不是定值，不容易考虑，而外角和是360度不变，因而内角的问题可以转化为外角的问题进行考虑.6．C【分析】根据线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．此点称为外心，也是这个三角形外接圆的圆心．）依题意画出直角三角形，锐角三角形以及钝角三角形的垂直平分线的交点即可求解．【详解】一个三角形三边垂直平分线的交点是这个三角形外接圆的圆心，如果在外部，则这个三角形是钝角三角形．故选C.【点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，解题关键是画出图形即可求解．7．B【分析】根据角平分线的性质，可得∠ABD 与∠CBD 的关系，根据平行线的性质，可得∠CBD 与∠BDE 的关系，根据三角形外角的性质，可得∠EBD 的大小，进而得出结论．【详解】解：∠BD 是∠ABC 的平分线，∠∠ABD ＝∠CBD ．∠DE //BC ，∠∠CBD ＝∠BDE ，∠∠EBD ＝∠BDE ．∠∠BDC 是∠ABD 的外角，∠∠A ＋∠ABD ＝∠BDC ，∠∠EBD ＝∠BDC −∠A ＝95°−60°＝35°，∠∠BDE ＝∠DBE ＝35°．故答案为：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理．解答的关键是要熟练掌握：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和为180°．8．A【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠EBC ＋∠ECB 的度数，然后得到∠ABC ＋∠ACB 的度数，再利用三角形的内角和等于180°列式求解即可．【详解】解：在∠BCE 中，∠∠BEC ＝130°，∠∠EBC ＋∠ECB ＝180°−130°＝50°，∠ABD DBE EBC ∠=∠=∠，ACD DCE ECB ∠=∠=∠，∠∠ABC ＋∠ACB ＝3（∠EBC ＋∠ECB ）＝3×50°＝150°，在∠ABC 中，∠A ＝180°−（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°−150°＝30°．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，把两个角的和看作一个整体进行求解，整体思想的利用是解题的关键．9．A【分析】首先设新的多边形的边数为n ，由多边形内角和公式，可得方程180（n −2）＝1980，即可求得新的多边形的边数，继而求得答案．【详解】解：设新的多边形的边数为n ，∠新的多边形的内角和是1980°，∠180（n −2）＝1980，解得：n ＝13，∠一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形是十三边形， ∠原多边形的边数可能是：12或13或14．故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，注意掌握方程思想的应用．10．D【分析】设2CAD x ∠=︒，则ACD ∠()90x =-︒，BAD ∠802x =︒+︒，ABD ∠()50x =-︒，由BDC ∠=ADC ADB ∠-∠，即可求出BDC ∠．【详解】设2CAD x ∠=︒，则()()11802902ACD ADC x x ∠=∠=︒-︒=-︒， 802BAD BAC CAD x ∠=∠+∠=︒+︒，()()1180802502ABD ADB x x ∠=∠=︒-︒-︒=-︒， 40BDC ADC ADB ∴∠=∠-∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，解题关键是灵活运用相关知识进行求解． 11．55cm 或35cm【分析】先画出图形，根据图形结合已知写出条件，再分两种情况讨论：根据一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm ，构建方程，再解方程可得答案.【详解】解：如图，ABC 为等腰三角形，,,15,AB AC AH CH BC ===设,AH CH x == 则2,AB AC x ==当()5AB AH BC CH +-+=时，()2155,x x x ∴+-+=解得：10,x =20,AB AC ∴==20201555,ABC C ∴=++=当()5BC CH AB AH +-+=时，()1525,x x x ∴+-+=解得：5,x =10,AB AC ∴==10101535,ABC C ∴=++=故答案为：55cm 或35.cm【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的中线的性质，清晰的分类讨论是解题的关键.12．10<L<16【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据不等式的性质求出答案．【详解】设第三边长为x ，∠有两条边分别为3和5，∠5-3<x<5+3,解得2<x<8，∠2+3+5<x+3+5<8+3+5，∠周长L=x+3+5,∠10<L<16,故答案为: 10<L<16．【点睛】此题考查三角形三边关系，不等式的性质，熟记三角形的三边关系确定出第三条边长是解题的关键．13．65︒【分析】先根据三角形的外角性质求得∠BAC 的度数，再根据平角的性质以及角平分线的定义求得∠EAD的度数．【详解】解：∠∠ACD是∠ABC的外角，∠∠BAC=∠ACD-∠B=80°-30°=50°，∠∠CAE =180°-50°=130°，∠AD平分∠CAE，∠∠EAD=12CAE∠=65°．故答案为：65°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的外角性质，解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．14．540︒【分析】连接BC、AD．根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和是180°进行分析求解．【详解】解：如图，连接BC、AD．在四边形BCEG中，得∠E+∠G+∠ECB+∠GBC=360°，又因为∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠F=180°，∠4+∠5+∠3+∠6=∠CAF+∠BDF，即∠1+∠2+∠5+∠6=∠CAF+∠BDF，所以∠CAF+∠B+∠C+∠BDF+∠E+∠F+∠G=540°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°．故答案为：540°．【点睛】本题考查了四边形内角和定理以及三角形内角和定理，解题的关键是能够巧妙构造四边形，根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理进行求解．15．64【分析】根据m 边形从一个顶点出发可引出（m -3）条对角线．从k 个顶点出发引出（k -3）条，而每条重复一次，所以k 边形对角线的总条数为：()32k k -（k ≥3，且k 为整数）可得到m 、k 、n 的值，进而可得答案．【详解】解：据题意得，m -3=3，n =3，解得：m =6， 1 2k （k -3）=k ， 解得：k =5，所以（k -n ）m =（5-3）6=64．故答案为：64．【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握对角线条数的计算公式． 16．2:1【分析】过点B 作BE AC ⊥于E ，设AD 为x ，则AC 为3x ，用面积公式表示出BCD S △和ABD S ，根据:1:3AD AC =，即可求解．【详解】过点B 作BE AC ⊥于E ，:1:3AD AC =，设AD 为x ，则AC 为3x ，12BCD S CD BE ∆=⨯⨯， 12ABD S AD BE ∆=⨯⨯， :BCD ABD S S ∆∆∴，11:22CD BE AD BE =⨯⨯⨯⨯， :CD AD =，():AC AD AD =-，()3:x x x =-，2:x x =，2:1=故答案为：2:1．【点睛】本题考查了三角形的面积公式的应用，熟练掌握面积公式是解题关键． 17．35°或20°【分析】题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解．【详解】解：如图，在∠ABC 中，AB =AC ，BD 是AC 边上的高．∠当∠A =70°时，则∠ABC =∠C =55°，∠BD ∠AC ，∠∠DBC =90°-55°=35°；∠当∠C =70°时，∠BD ∠AC ，∠∠DBC =90°-70°=20°；故答案为：35°或20°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．18．80°【分析】如图延长AD、BE交于点F，连接CF．首先证明∠1+∠2=2∠AFB，求出∠AFB即可解决问题．【详解】解：如图延长AD、BE交于点F，连接CF．在∠ABF中，∠AFB=180°-55°-75°=50°，∠∠ECD=∠AFB=50°，∠1=∠ECF+∠EFC，∠2=∠DCF+∠DFC，∠∠1+∠2=∠ECF+∠EFC +∠DCF+∠DFC =2∠AFB=100°，∠∠1=∠CDA=20°，∠∠2=∠CEB=80°，故答案为：80°．【点睛】本题考查了翻折变换、三角形的内角和定理、三角形的外角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19．9n-•°，用1350除以180，商就是n-2，余数就是【分析】根据多边形的内角和公式()2180加上那个外角的度数.【详解】1350÷180=790,∴-=27n解得n=9故答案为9.【点睛】本题考查多边形内角和，熟练掌握多边形的内角和公式及计算法则是解题关键. 20．15【分析】根据三角形的外角性质得到∠CDA=∠BAD+∠ABC，由已知通过计算即可求解．【详解】解：由三角形的外角性质得∠CDA=∠BAD+∠ABC，∠∠CAD=∠CDA，∠CAB−∠ABC=30°，∠∠CAD+∠BAD−∠ABC=30°，即∠BAD+∠ABC+∠BAD−∠ABC=30°，∠∠BAD=15°，故答案为：15．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．21．45°或135°【分析】∠∠ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；∠∠ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC=∠A，从而得解．【详解】如图1，∠ABC是锐角三角形时，∠BD、CE是∠ABC的高线，∠∠ADB=90°，∠BEC=90°.在∠ABD中，∠∠A=45°，∠∠ABD=90°-45°=45°，∠∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；∠如图2，∠ABC是钝角三角形时，∠BD、CE是∠ABC的高线，∠∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，∠∠ACE=∠HCD（对顶角相等），∠∠BHC=∠A=45°．综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．故答案为45°或135°．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分∠ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．22．70【分析】由∠GBP=55°，∠BGP=90°，得到∠BPG=35°，根据角平分线的定义得到∠EBP=∠CBP，根据三角形外角的性质得到∠EBP=∠BAP+∠APB=∠BAP+35°，由∠ACB=∠EBC-∠BAC=2∠EBP-2∠BAP，于是得到结论．【详解】解：∠∠GBP=55°，∠BGP=90°，∠∠BPG=35°，∠BP平分∠CBE，∠∠EBP=∠CBP，∠∠EBP=∠BAP+∠APB=∠BAP+35°，∠AP平分∠BAC，∠∠ACB=∠EBC-∠BAC=2∠EBP-2∠BAP=2(∠BAP+35°-∠BAP)=70°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的外角性质，解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．k=23．3【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可．【详解】解：如图：由三角形的外角性质得，∠1=∠B+∠E，∠3=∠A+∠D，∠2=∠F+∠GOF=∠F+∠C+∠G，由三角形的内角和定理得，∠1+∠2+∠3=180°，∠∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．∠∠B+∠C+∠F=14°+15°+16°=45°，∠∠A+∠D+∠E+∠G=180°-45°=135°=k⋅45°，∠k=3．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．24．（1）180︒；（2）无变化，见解析；（3）无变化，见解析．【分析】（1）如图，连接CD，把五个角和转化为同一个三角形内角和．根据三角形内角和定理可得．（2）如图，连接CD，把五个角和转化为同一个三角形内角和．根据三角形内角和定理可得．（3）利用三角形内角和定理及三角形的外角性质求解.【详解】（1）连接CD，并设BD和CE交于点O，如下图：∠∠COD＝∠BOE（对顶角相等），∠∠B＋∠E＝∠ECD＋∠BDC（等量代换），∠∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠ECD＋∠BDC＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°.（2）无变化连接CD，并设BD和CE交于点O，如下图：∠∠COD＝∠BOE（对顶角相等），∠∠B＋∠E＝∠ECD＋∠BDC（等量代换），∠∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E＝∠CAD＋∠ACE＋∠ADB＋∠ECD＋∠BDC＝∠CAD＋∠ACD＋∠ADC＝180°．故∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E等于180°没有变化．（3）无变化如下图：∠∠ECD 是∠BCE 的一个外角，∠∠ECD ＝∠B ＋∠E （三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和），∠∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝∠CAD ＋∠ACE ＋∠D ＋∠ECD ＝∠CAD ＋∠ACD ＋∠D ＝180°，故∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E 等于180°，没有变化．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理及三角形的外角性质，属于一个综合题，要想正确解答这类问题，就要熟练掌握相关的定理和性质．25．（1）∠；（2）10、12、13或14．【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义及三角形三边关系逐一判断即可得答案； （2）分别讨论22x +>16>26x -，16>22x +>26x -，22x +>26x ->16三种情况；利用“不均衡三角形”的定义列不等式可求出x 的取值范围，结合x 为整数即可得答案．【详解】（1）∠∠1+2<4，∠不能组成三角形，不符合题意，∠∠18-13>13-9，∠能组成“不均衡三角形”，符合题意，∠∠有两条相等的边，∠不能组成“不均衡三角形”，不符合题意，∠∠9-8<8-6，∠不能组成“不均衡三角形”，不符合题意，故答案为：∠（2）当22x +>16>26x -，即7<x <11时，∠“不均衡三角形”三边分别为22x +，16，26x -，∠221616(26)261622x x x x +->--⎧⎨-+>+⎩， 解得：x >9，∠9<x <11，∠x 为整数，∠x =10，当16>22x +>26x -，即x<7时，∠“不均衡三角形”三边分别为22x +，16，26x -，∠16(22)22(26)222616x x x x x -+>+--⎧⎨++->⎩，即35x x <⎧⎨>⎩， ∠此不等式组无解，∠此种情况不存在，当22x +>26x ->16，即x>11时，22(26)2616261622x x x x x +-->--⎧⎨-+>+⎩， 解得：x <15，∠11<x <15，∠x 为整数，∠x 的值为12或13或14，综上所述：x 的值为10、12、13或14．【点睛】本题考查三角形的三边关系及解一元一次不等式组，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；根据“不均衡三角形”的定义及三角形三边关系列出不等式组并灵活运用分类讨论的思想是解题关键．26．（1）ABD ACD S S ∆=，（2）ABC ABD S S =△△，ACD CBD S S =，AOC BOD S S =△△，（3）见解析【分析】（1）利用等底等高的两个三角形面积相等即可得解；（2）利用等底等高的两个三角形面积相等即可得解；（2）连接AC 、BD ，取BD 中点E ，过点E 作EF //AC ，连接AF 即可．【详解】解（1）∠D 是∠ABC 中BC 边的中点，∠ABD ACD S S ∆=；故答案为：ABD ACD S S ∆=；（2）∠MN //AB ，∠ABC ABD S S =△△，ACD CBD S S =，∠ABC AOB ABD AOB S S S S -=-△△△△，∠AOC BOD S S =△△，故答案为：ABC ABD S S =△△，ACD CBD S S =，AOC BOD S S =△△；（3）如图所示：AF 即为所求．连接AC 、BD ，取BD 中点E ，过点E 作EF //AC ，连接AF 即为所求．∠点E 是BD 的中点，∠ABE AED S S =△△，ECD CBE SS =，即12ABE CBE ABCD S S S =+四边形， ∠EF //AC ，∠AEF CEF S S =△△，∠12ABE CBE ABE BEF AEF ABF ABCD S S S S S S S =+++==四边形． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，并熟练掌握三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分以及等底等高的两个三角形面积相等．。
专题 全等三角形(三) 课后练习二及详解
题一题面：已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。
求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD =DE题二题面：如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。
请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
O P AM N E B C DF A E F BD图① 图② 图③题三题面：我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。
那么在什么情况下，它们会全等?(1)阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)．对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C l，∠C=∠C l。
求证：△ABC≌△A1B1C1。
(请你将下列证明过程补充完整。
)证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1 D1⊥C1 A1于D1.则∠BDC=∠B1D1C1=90°，∵BC=B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1．(2)归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论。
题四题面：下列4个判断：（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；（2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；（3）三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；（4）一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等。
直角三角形练习题二(含答案)
17.下列三角形①三边之比为1∶2∶4②三角之比为2∶3∶5③三边之比为2∶3∶4④三边之比为9∶40∶41⑤三边长分别为 、 、2⑥三边长分别为32、42、52
其中是直角三角形的有（填序号）。
18.△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC沿直线BC折叠后，落在△BCA’位置，则AA’=。
21.一只蚂蚁从短路线的长。
22.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点.
求证：⑴△ACE≌△BCD；⑵AD2+AE2=DE2
23.如图，△ABC中，∠BAC=∠ABC，点P在AB上，若AD⊥CP，BE⊥PC，垂足分别为D、E，且BE=CD，
⑴试探求这个图形中还有哪些相等的线段？并证明；⑵试判断AD、DE、BE间的关系，并证明。
24.如图，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求BC和AD的长。
25.如图，是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边长分别为a、b,斜边长为c，另一个以c为直角边的等腰直角三角形，请开动脑筋将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
19.长方体盒子的长、宽、高分别为4、3、12，在这个长方体内放入一根木棒（木棒的粗细不计），这个木棒最长为。
20.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km,CB =10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E占应建在离A多少km处？答：
7.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=8，沿直线CE折叠，使点D落在点F处，则BF=，AF=，AE=。
解三角形练习二1
必修5第一章《解三角形》练习二一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，已知b ＝43，c ＝23，∠A ＝120°，则a 等于( )A ．221B ．6C ．221或6D ．23615+ 2．在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，则∠C 等于( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°3．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是( )A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，若c 4-2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则∠C 等于( )A ．90°B ．120°C ．60°D ．120°或60°5．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边是方程x 2-9x ＋8＝0的两个正实数根，那么BC 边长是________．2．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1413，则最大角的余弦值是________． 3．若△ABC 中，∠C ＝60°，a ＋b ＝1，则面积S 的取值范围是________． 4． 5．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．2．3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且c c a B C -=2cot cot ，a 2＋b 2＝c 2＋2ab ，求A ．4．已知△ABC 的三边长a 、b 、c 和面积S 满足S ＝a 2-(b -c )2，且b ＋c ＝8，求S 的最大值．5．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．A 分析：由余弦定理得:a 2＝b 2＋c 2-2bc cos A ＝48＋12-2×43×23×(-21)＝84，∴ a ＝221．2．D 分析：由(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，得a 2＋2ab ＋b 2-c 2＝3ab ∴ 212222=-+ab c b a ，∴ cos C ＝60°3．4．D5．D 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．57 分析：∵ A ＝60°，∴ 最大边和最小边所夹的角为A ，AB 、AC 为x 2-9x＋8＝0的两个正实数根，则AB ＋AC ＝9，AB ×AC ＝8∴ BC 2＝AB 2＋AC 2-2×AC ×AB ×cos A＝(AB ＋AC )2-2×AC ×AB ×(1＋cos A )＝92-2×8×23＝57 2．-71 分析：先由c 2＝a 2＋b 2-2ab cos C 求出c ＝3，∴ 最大边为b ，最大角为B ， ∴ cos B ＝712222-=-+ac b c a ． 3．4．15．4或5 分析：设BC ＝x ，则5＝x 2＋25-2·5·x ·109，即x 2-9x ＋20＝0，解得x ＝4或x ＝5．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：b 2＝a 2＋c 2-2ac cos B ＝(33)2＋22-2·23·2·(-23)＝49． ∴ b ＝7，S △＝21ac sin B ＝21×33×2×21＝233．2．3．解：∵ a 2＋b 2＝c 2＋2ab ∴ 222222=-+ab c b a ∴ cos C ＝22 ∴ C ＝45°由正弦定理可得C C A B B C C C C A c c a B C s i ns i n s i n 2s i nc o s s i n c o s s i ns i n s i n 22c o t c o t -=∴-=-=∴ sin B cos C ＝2sin A cos B -sin C cos B∴ sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B∴ sin(B ＋C )＝2sin A cos B∴ sin A ＝2sin A cos B ∵ sin A ≠0∴ cos B ＝21 ∴ B ＝60°，∴ A ＝180°-45°-60°＝75°4．解：∵ S ＝a 2-(b -c )2又S ＝21bc sin A ∴ 21bc sin A ＝a 2-(b -c )2 ∴ 412222=-+bc a c b (4-sin A ) ∴ cos A ＝41 (4-sin A ) ∴ sin A ＝4(1-cos A )∴ 2sin2sin 82cos 22A A A = ∴ tan 2A 41= ∴ sin A ＝178)41(14122tan 12tan 222=+⨯=+A A17644)(174174sin 212=+⋅≤==c b S bc A bC S ∴ c ＝b ＝4时，S 最大为1764 5．。
专题练习2 解三角形的实际应用问题专练
解三角形的实际应用问题专练一、选择题1．从A处望B处的仰角为，从B处望A的俯角为，则与的关系为（）A ．＞B．=C．+=90°D．+=180°【答案】B【解析】根据仰角和俯角的概念，根据平行线的性质得解.【详解】因为与为两平行线的内错角，所以=.故答案为：B【点睛】本题主要考查仰角和俯角的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )A．0.5 km B．1 km C．1.5 km D． km【答案】B【解析】根据题意作图，设出相应参数，根据∠BAC=∠ABD﹣∠C，求得∠BAC=∠C，判断出三角形ABC 为等腰三角形，进而求得BC．【详解】如图设坡顶为A，A到地面的垂足为D，坡底为B，改造后的坡底为C，根据题意要求得BC的长度，∵∠ABD=20°，∠C=10°，∴∠BAC=20°﹣10°=10°．∴AB=BC，∴BC=1，即坡底要加长1km，故选：B．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．3．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A．n mile/h B．n mile/hC．n mile/h D．n mile/h【答案】B【解析】由题意可知：，与正东方向的夹角为，与正东方向的夹角为，，中利用正弦定理可得货轮的速度故选4．要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120m ，由此可得河宽为(精确到1 cm)()A ．170 mB ．98 mC ．95 mD ．86 m 【答案】C【解析】在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45406sin60︒=︒.设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽，所以h ＝BC ·sin ∠CBA ＝406 ×sin 75°≈95(m)．故选C.【点睛】正弦定理对于任意三角形都成立，它指出三角形三条边与对应角的正弦之间的关系式，描述了任意三角形中边与角的数量关系，主要功能是实现三角形中边角的关系转化.本题的关键是根据正弦定理利用角大小来求出边长大小.5．两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在C 北偏东300，B 在C 南偏东600，则A 、B 之间相距： A ．a km B ．3a km C ．2a km D ．2a km【答案】C【解析】如图，由题意可得90ACB ∠=︒，在Rt ACB ∆中， 22222AB CA CB a a =+=+ 22a =，∴2AB a =。
三角形的边练习题
三角形的边练习题在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
它由三条边和三个角组成。
在本练习题中，我将为您提供一些三角形的相关问题，帮助您巩固对三角形边的理解。
请按照下面的题目依次回答，并用适当的格式写出答案。
题目一：等边三角形1. 如果一个三角形的三条边长度相等，它是什么类型的三角形？解答：一个三角形的三条边长度相等时，它是等边三角形。
等边三角形的特点是三条边都相等，同时三个角也相等，每个角都是60度。
题目二：等腰三角形2. 如果一个三角形的两条边长度相等，它是什么类型的三角形？解答：一个三角形的两条边长度相等时，它是等腰三角形。
等腰三角形的特点是两条边相等，第三条不等边叫做底边，顶角对应的两条边相等。
题目三：直角三角形3. 如果一个三角形的一个角是90度，它是什么类型的三角形？解答：一个三角形的一个角是90度时，它是直角三角形。
直角三角形的特点是其中一个角是直角（90度角）。
题目四：钝角三角形4. 如果一个三角形的一个角大于90度，它是什么类型的三角形？解答：一个三角形的一个角大于90度时，它是钝角三角形。
钝角三角形的特点是其中一个角大于90度，而其他两个角都是锐角。
题目五：锐角三角形5. 如果一个三角形的三个角都小于90度，它是什么类型的三角形？解答：一个三角形的三个角都小于90度时，它是锐角三角形。
锐角三角形的特点是三个角都是锐角，即小于90度。
题目六：任意三角形6. 如果一个三角形的三个角都不相等，它是什么类型的三角形？解答：一个三角形的三个角都不相等时，它是任意三角形。
任意三角形的特点是三个角都不相等，同时三条边的长度也不完全相等。
总结：在几何学中，三角形是由三条边和三个角组成的基本图形。
根据边的长度和角的大小，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形和任意三角形。
通过对这些三角形的分类和特点的理解，我们可以更加深入地研究和解决与三角形相关的问题。
四年级三角形练习题 (2)
四年级三角形练习题一.填空：1.由( )围成的图形叫作三角形.三角形有( )条边.( )个角.（）个顶点。
2.三角形按角可以分为（）三角形.（）三角形.（）三角形。
3.等边三角形的三个内角（）.都是（）度.等边三角形又叫（）三角形。
4．从三角形的( )到它的对边作一条垂线.顶点和垂足之间的线段叫作三角形的( )。
这条边叫做三角形的（）5.三角形一个内角的度数是108°.这个三角形是（）三角形6.一个三角形三条边的长度分别为7厘米.8厘米.7厘米.这个三角形是（）三角形。
7.一个三角形两个内角的度数分别为35°.67°.另一个内角的度数是（）.这是一个（）三角形。
8.等腰三角形的底角是75°.顶角是（）.9.在一个直角三角形中.一个锐角是75°.另一个锐角是（）。
10.一个等腰三角形的一条边是5厘米.另一条边长4厘米.围成这个等腰至少需要（）厘米长的绳子。
11.最少用（）个等边三角形可以拼成一个12．一个三角形最多有( )个直角.最少要有( )个锐角。
13．如果一个三角形有两个内角的度数之和等于900.那么这个三角形就是( )三角形。
14、如右图.一块三角形纸片被撕去了一个角。
这个角是（）度.原来这块纸片的形状是（）三角形.也是（）三角形。
二.判断题：（正确的打“∨”.错误的打“×”）1.一个钝角三角形里最多有两个钝角。
（）2.两个一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
（）3．有一个内角是600的等腰三角形一定是等边三角形。
( )4．等腰直角三角形的底角一定是450 （）5．底和高都分别相等的两个三角形.它们的形状一定相同。
（）6.用三根长度分别为5厘米.5厘米和11厘米的绳子可以围成一个等腰三角形。
（）7.直角三角形.钝角三角形只有一条高。
（）8.在一个五边形中.画上两条线段可以把这个五边形分成3个三角形.因此五边形的内角和是540°。
1.2直角三角形的性质和判定(II)同步练习含答案
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时勾股定理要点感知直角三角形的性质定理(勾股定理)：直角三角形两直角边a、b的平方和等于__________的平方.即a2+b2=c2.预习练习△ABC中,∠C＝90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.(1)若a＝5,b＝12,则c＝__________；(2)若c＝41,a＝40,则b＝__________.知识点勾股定理1.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=10，BC∶AC=3∶4，那么BC=( )A.6B.8C.10D.以上都不对2.一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的斜边长为( )A.6B.8C.10D.123.已知一个三角形三个内角的比是1∶2∶1,则它的三条边的比是( )A.1∶2∶1B.1∶2∶1C.1∶2∶3D.1∶4∶14.如图,长方形OABC的边OA长为2,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是( )A.2.5B.22C.3D.55.如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合.若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )A.1B.2C.3D.46.在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为__________.7.等腰△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=12 cm，则BC边上的高是__________cm.8.一个直角三角形的斜边长比直角长边大2，另一直角边长为6，则斜边长为__________.9.如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，AD=15，且AD⊥AC，求BD长.10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，CD⊥AB交AB于点D.求：(1)AC的长；(2)△ABC的面积；(3)CD的长.11.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为( )A.5B.6C.7D.2512.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为( )A.3B.23C.33D.4313.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图,则三角板的最大边的长为( )A.3 cmB.6 cmC.32 cmD.62 cm14.如图，在直线l上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为( )A.6B.5C.6D.3615.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )A.53B.52C.4D.516.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD=6，DE=5，则CD的长等于__________.17.已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__________.18.如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD的长.19.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.20.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB 于点E，交BC于点F，若AE=4，FC=3，求EF长.参考答案要点感知斜边c预习练习 13 91.A2.C3.A4.D5.D6.67.88.109.∵AD⊥AC，AC=20，AD=15，∴222015∴BD=BC-CD=32-25=7.10.(1)∵∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，∴AC=8 cm；(2)S△ABC =12BC·AC=12×6×8=24(cm2)；(3)∵S△ABC =12BC·AC=12CD·AB，∴CD=·BC ACAB=245cm.11.A 12.D 13.D 14.A 15.C 16.8 17.57 18.设DC=x，则BD=14-x.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理可得： (14-x)2+AD 2=152，x 2+AD 2=132.两式相减得(14-x)2-x 2=56.解得x=5. 在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD=12.19.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD=30°. ∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ， ∴BD=10 cm.∴∴20.连接BD ，∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点， ∴BD ⊥AC ，BD=CD=AD ，∠ABD=∠C=45°. ∵DE ⊥DF ， ∴∠FDC=∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，,,ABD C FDC EDB BD CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△EDB ≌△FDC. ∴BE=FC=3.∴AB=7，则BC=7. ∴BF=4.在Rt △EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2=32+42， ∴EF=5.第2课时 勾股定理的实际应用要点感知 应用勾股定理解决实际问题时，应先根据题意画出几何图形，分析图形中各线段之间的数量关系，正确运用勾股定理求解.求边长时，一般有两种情况：一是直接运用勾股定理通过计算求解，二是借助勾股定理列方程求解.预习练习 (2019·东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行__________米.知识点1 直接利用勾股定理1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米2.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米3.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为( )A.5米B.3米C.(5+1)米D.3米4.假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，仅走了1千米，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )A.20千米B.14千米C.11千米D.10千米5.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.知识点2 利用勾股定理列方程求解6.小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )A.2 mB.2.5 mC.2.25 mD.3 m7.在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )A.13 mB.12 mC.4 mD.10 m8.如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为__________米.9.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？10.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为( )A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米11.如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B 取∠ABD=120°，BD=210 m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于( )A.1053 mB.2103 mC.703 mD.105 m12.在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )A.5 cmB.12 cmC.13 cmD.153 cm13.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为__________mm.14.如图,一辆小汽车在一条东西走向的城市公路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路边的车速检测仪的正前方30 m处,过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪的距离为50 m,问这辆小汽车是否超速了？（中华人民共和国交通管理条例规定：小汽车在城市公路上行驶时的速度不得超过70 km/h）15.为了丰富居民的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB=25 km，CA=15 km，DB=10 km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？16.两条公路OM、ON相交成30度角，在公路OM上，距O点80米的A处有一所小学，当拖拉机沿公路ON方向行驶时，路两旁50米以内会受到噪音的影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么拖拉机沿ON方向行驶时，是否会给小学带来噪声影响？若受影响，计算影响的时间.参考答案预习练习 101.A2.B3.C4.D5.4806.A7.B8.39.设BD=x米，则AD=(10+x)米，CD=(30-x)米，根据题意得(30-x)2-(x+10)2=202.解得x=5.即树的高度是10+5=15（米）.10.A 11.A 12.C 13.15014.小汽车超速了.理由：在Rt△ABC中,AC=30 m,AB=50 m,根据勾股定理得：22AB AC小汽车的速度是40÷2=20(m/s)=72(km/h).而规定速度为70 km/h,72>70，∴小汽车超速了.15.设AE=x km，则BE=(25-x)km.在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152.同理可得：DE2=(25-x)2+102.若CE=DE，则x2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：图书室E应该建在距A点10 km处，才能使它到两所学校的距离相等.16.过点A作AD⊥ON于点D，即点A到ON的最短距离为AD，已知在Rt△OAD中，∠O=30°，OA=80，可得AD=40＜50，故学校会受到拖拉机的影响；在D点两侧分别取两点E、F，使得AE=AF=50，在Rt△ADE中，AE=50，AD=40，可得DE=30，又易证Rt△ADE≌Rt△ADF，即DE=DF=30，即EF=60.又拖拉机的速度为18千米/时，故拖拉机经过EF段所用的时间t=0.0618×3 600=12（s）.答：拖拉机会给小学带来噪声影响，影响时间为12秒.第3课时勾股定理的逆定理要点感知直角三角形的判定定理(勾股定理的逆定理)：如果一个三角形的三边长a、b、c有下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是__________三角形.预习练习1-1三角形的三边长满足（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形1-2以下列数组为三角形的边长：①5,12,13；②10,12,13；③7,24,25；④6,8,10,其中能构成直角三角形的有( )A.4组B.3组C.2组D.1组知识点勾股定理的逆定理1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A.4，5，6B.1.5，2，2.5C.2，3，4D.1，2，32.已知三角形的三边长之比为1∶1∶2，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.已知两条线段的长分别为2 cm、3 cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是( )A.1 cmB.5 cmC.5 cmD.1 cm与5cm4.如图，正方形小方格边长为1，则网格中的△ABC是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对c +|a-8|+(b-15)2=0，则△ABC的形状是( )5.若a、b、c表示△ABC的三边，且满足17A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.在Rt△ABC中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是( )A.∠C=90°B.∠B=90°C.△ABC是锐角三角形D.△ABC是钝角三角形7.在△ABC中，a=2，b=6，c=22，则最大边上的中线长为( )A.2B.3C.2D.以上都不对8.三角形三边长分别为4、8、43,则该三角形最小角与最大角依次是( )A.30°,60°B.30°,90°C.60°,90°D.45°,90°9.若在△ABC中，AB=5 cm，BC=6 cm，BC边上的中线AD=4 cm，则∠ADC的度数是__________度.10.如图,一根电线杆高8 m.为了安全起见,在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2 m(不计捆缚部分),则电线杆与地面__________(填“垂直”或“不垂直”).11.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，AC=23，∠C=30°，求∠B的大小.12.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A.CD、EF、GHB.AB、EF、GHC.AB、CF、EFD.GH、AB、CD13.已知一个三角形的三边长分别为n+1，n+2，n+3，则当n=__________时，这个三角形是直角三角形.14.如图所示,是一个零件的形状,按规定这个零件中的AD与CD必须互相垂直,工人师傅通过测量得到A到C的距离是10 cm,AD=8 cm,CD=6 cm.问这个零件是否合格？15.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,BC=3,AB=4,AD=12,CD=13.求四边形ABCD的面积.16.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.17.如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5.(1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数.参考答案要点感知直角预习练习1-1 C1-2 B1.B2.D3.D4.A5.B6.A7.A8.B9.90 10.不垂直11.∵△ABC中，AB=2，BC=4，3，∴AB2+AC2=4+12=16=BC2.∴∠A=90°.∴∠B+∠C=90°.又∵∠C=30°，∴∠B=60°.12.B 13.214.合格.连接AC.∵AD2+CD2=82+62=102=AC2,根据勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°,∴零件合格.15.连接AC.∵∠ABC=90°,在Rt△ABC中，BC=3,AB=4,∴在△ACD中,∵AC2+AD2=52+122=132=CD2, ∴△ACD是直角三角形.∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36.16.证明：∵CD是AB边上的高，∴△ADC和△BCD都是直角三角形.∴AC2＝AD2+CD2，BC2＝BD2+CD2.∴AC2+BC2=AD2+CD2+BD2+CD2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2＝AB2.∴△ABC是直角三角形.17.(1)根据旋转的性质，得AD=EC=4，BD=BE=3，AB=BC，∠DBE=∠ABC=60°，∠ADB=∠BEC.∴△ABC和△DBE均为等边三角形.∴DE=BD=3.∵CD=5，∴DE2+EC2=32+42=52=CD2.故△DEC为直角三角形.(2)∵△DEC为直角三角形，∴∠DEC=90°.又∵△BDE为等边三角形，∴∠BED=60°.故∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°.。
大题专项训练6：三角函数与解三角形(综合练习二)-2021届高三数学二轮复习
二轮大题专练6—三角函数与解三角形（综合练习二）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若a，b，c成等差数列，求cos B的值；（2）是否存在△ABC满足B为直角？若存在，求sin A的值；若不存在，请说明理由．2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos C﹣c sin A＝b．（1）求A；（2）若c＝2，且BC边上的中线长为，求b．3．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）最小正周期为2π，且f（x）的图象过坐标原点．（1）求ω、φ的值；（2）在△ABC中，若2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），且三边a、b、c所对的角依次为A、B、C，试求的值．4．已知在△ABC中，sin（A+B）＝1+2sin2．（1）求角C的大小；（2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．5．已知f（x）＝cos2x﹣1+sin x cos x，x∈R．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c cos B+b cos C＝1且f（A）＝0，求△ABC的面积的最大值．6.已知函数的最小值为﹣2，其图象经过点（0，﹣1），且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，求实数k的取值范围，并求出x1+x2的值．7．已知函数21()sin sin()cos ()6122f x x x x ππ=++--． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3(),32B f b ==，求cos cos a B b C -的取值范围．8．已知函数f （x ）＝4cos ωx sin （ωx +φ）﹣1（0＜φ＜π，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为． （Ⅰ）求函数y ＝f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若x ∈[0，π]时，函数g （x ）＝f （x ）﹣b 有两个不同的零点x 1，x 2，求b 的取值范围及x 1+x 2的值．二轮大题专练6—三角函数与解三角形（综合练习二）答案1.解：（1）若a ，b ，c 成等差数列，所以a +c ＝2b ，由于．所以cos B ＝＝，由于，所以．（2）假设B为直角，则sin B＝1，sin C＝cos A，由于，根据正弦定理（sin A+sin C）sin B＝，即sin A+cos A＝，上式两边平方得：，所以（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0，由于0＜sin2A≤1，所以9sin2A+5＞0，4sin2A﹣5＜0，与（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0矛盾，故不存在△ABC满足B为直角．2.解：（1）因为a cos C﹣c sin A＝b，由正弦定理可得sin A cos C﹣sin C sin A＝sin B，因为B＝π﹣A﹣C，所以sin A cos C﹣sin C sin A＝sin A cos C+cos A sin C，可得﹣sin C sin A＝cos A sin C，因为sin C≠0，所以sin A＝﹣cos A，可得tan A＝﹣，又因为A∈（0，π），可得A＝．（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+4+2b，①又在△ABC中，cos B＝＝，设BC的中点为D，在△ABD中，cos B＝＝，可得＝，可得a2+4﹣2b2＝0，②由①②可得b2﹣2b﹣8＝0，解得b＝4．3.解：（1）依题意，得，ω＝1．故f（x）＝sin（x+φ）．因为f（x）的图象过坐标原点，所以f（0）＝0，即sinφ＝0，∵﹣＜φ＜，∴φ＝0．（2）由（1）知f（x）＝sin x，因为2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），所以2sin2B+3sin2C＝2sin A sin B sin C+sin2A，由正弦定理可得：2b2+3c2＝2sin A•bc+a2，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴＝，又，∴sin A﹣cos A＝，且b＝，∴A＝．∴＝＝．4.解：（1）∵sin（A+B）＝1+2sin2，且A+B+C＝π，∴sin C＝1+1﹣cos C＝2﹣cos C，即sin C+cos C＝2，∴2sin（C+）＝2．∵C∈（0，π），∴C+∈（，），∴C+＝，即C＝．（2）∵△ABC的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，＝＝2×2＝4，∴AB＝，∵∠ACB＝，∴∠ABC+∠BAC＝，∵∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，∴∠ABI+∠BAI＝，∴∠AIB＝，设∠ABI＝θ，则∠BAI＝﹣θ，且0＜θ＜，在△ABI中，由正弦定理得，＝＝＝＝4，∴BI＝4sin（﹣θ），AI＝4sinθ，∴△ABI的周长为2+4sin（﹣θ）+4sinθ＝2+4（cosθ﹣sinθ）+4sinθ＝2+2cosθ+2sinθ＝4sin（θ+）+2，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴当θ+＝，即时，△ABI的周长取得最大值，为4+2，故△ABI的周长的最大值为4+2．5.解：（1）f（x）＝cos2x﹣1+sin x cos x＝cos2x﹣+sin2x＝sin（2x+）﹣，令2x+∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，则x∈[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）∵f（A）＝sin（2A+）﹣＝0，∴sin（2A+）＝，∵A∈（0，π），∴A＝，∵c cos B+b cos C＝1，∴c•+b•＝1，即a2＝a，∵a≠0，∴a＝1，由正弦定理知，＝＝＝＝，∴b＝sin B，c＝sin C，∴bc＝sin B sin C＝sin B sin（+B）＝sin B（cos B+sin B）＝sin2B﹣cos2B+＝sin（2B﹣）+，∵B∈（0，），∴2B﹣∈（﹣，），sin（2B﹣）∈（，1]，∴bc≤1，∴△ABC的面积S＝bc sin A≤×1×sin＝，故△ABC的面积的最大值为．6.解：（Ⅰ）由题意，得A＝2，．∴T＝π，．∴f（x）＝2sin（2x+φ）．又函数f（x）的图象经过点（0，﹣1），则2sinφ＝﹣1．由，得．∴．（Ⅱ）由题意，关于x的方程f（x）﹣k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，即函数y＝f（x）与y＝k的图象在上有且仅有两个交点．由（Ⅰ）知．令，则y＝2sin t．∵，∴．则y∈[﹣2，2]．其函数图象如图所示．由图可知，实数k的取值范围为．①当k ∈[1，2）时，t 1，t 2，关于对称，则． 解得．②当时，t 1，t 2关于对称，则． 解得．综上，实数k 的取值范围为，x 1+x 2的值为或．7.解：（1）由题意可得21()sin sin()cos ()6122f x x x x ππ=++-- 311sin (cos )cos(2)226x x x x π++- 3(1cos2)131sin 2sin 244x x x x -=++ 13sin 22x =+， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==， 令322222k x k ππππ++，k Z ∈，解得344k x k ππππ++，k Z ∈， 故函数()f x 的单调递减区间为[4k ππ+，3]4k ππ+，k Z ∈．（2）由（1）知133()sin 22B f B =+=，解得3sin B =， 因为(0,)2B π∈，所以3B π=， 由正弦定理可知32sin sin sin 3a b c A B C ====，则2sin a A =，2sin c C =， 所以3331cos cos 3cos sin 3cos()sin 3cos()sin cos sin cos sin cos()233226a a B b C C A A A A A A A A A A ππππ-=-=---=++=+-=-=+，在锐角ABC ∆中，可得230,202A C A C πππ+=⎧⎪<<⎪⎨⎪<<⎪⎩可得62A ππ<<， 因此2363A πππ<+<，则1cos()(62A π+∈-，1)2， 故cos cos a B b C -的取值范围为1(2-，1)2． 8.解：（Ⅰ）f （x ）＝4cos ωx sin （ωx +φ）﹣1＝4cos ωx （sin ωx cos φ+cos ωx sin φ）﹣1＝4sin ωx cos ωx cos φ+4cos 2ωx sin φ﹣1＝2sin2ωx cos φ+2（1+cos2ωx ）sin φ﹣1＝2sin2ωx cos φ+2cos2ωx sin φ+2sin φ﹣1＝2sin （2ωx +φ）+2sin φ﹣1，因为两相邻对称中心之间的距离为，所以函数f （x ）的周期为π，则，所以ω＝1，则f（x）＝2sin（2x+φ）+2sinφ﹣1，又f（x）的图象关于直线对称，所以有φ＝，解得φ＝，因为0＜φ＜π，所以φ＝，故，令，解得，所以函数y＝f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）当x∈[0，π]时，函数g（x）＝f（x）﹣b有两个不同的零点x1，x2，即当x∈[0，π]时，方程＝有两个不同的根x1，x2，令t＝，则t∈，所以方程sin t＝在上有两个不同的根t1，t2，作出函数的图象如图所示，①当，即1＜b＜2时，y＝与y＝sin t有两个交点，则t1+t2＝，即，解得；②当，即﹣2＜b＜0时，y＝与y＝sin t有两个交点，则t1+t2＝，即，解得；综上可得，当﹣2＜b＜0时，；当1＜b＜2时，．。
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A
D 1.在⊿ABC 和⊿A /B /C /中，AB=A /B /，∠A=∠A /，若证⊿ABC≌⊿A /B /C /还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（ ）
A. ∠B=∠B /
B. ∠C=∠C /
C. BC=B /C /，
D. AC=A /C /，
2.下列各组条件中，不能判定△ABC ≌△A /B /C /的一组是（ ）
A 、∠A=∠A /,∠B=∠
B /,AB= A /B / B 、∠A=∠A / ，AB= A /B /，AC=A /
C /
C 、∠A=∠A / ，AB= A /B /，BC= B /C /
D 、AB= A /B /, AC=A /C / ,BC= B /C /
3.如图.从下列四个条件：①BC ＝B′C ， ②AC ＝A′C ，
③∠A′C A ＝∠B′CB ，④AB ＝A′B′中，任取三个为条件，余下的一个
为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4.如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形。
下列结论：① AE=CD ；②BF=BG ；③BH 平分∠AHD ；④∠AHC=600,⑤△BFG 是等边三角形；⑥ FG ∥AD 。
其中正确的有（ ）
A 3个
B 4个
C 5个
D 6个
5.如图所示，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（ ）A ．80° B ．100° C ．60° D ．45°
6.如图,在△ABC 中,∠C =90 ,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB 于E ,则下列结论:①AD 平分 ∠CDE ；②∠BAC =∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE +AC =AB .其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 7.如图：直线a ，b ，c 表示三条相互交叉环湖而建的公路，现在建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个
8.如图：在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 于F ，且FB=CE ，则下列结论：：①DE=DF ，②AE=AF ，③BD=CD ，④AD ⊥BC 。
其中正确的个数有（ ）
A ：1个
B ：2个
C ：3个
D ：4个
9.如图，将两根钢条AA ′、BB ′的中点 O 连在一起，使 AA ′、BB ′能绕着点 O 自由转动，就做成了一个测量工具，则A ′B ′的长等于内槽宽 AB ，那么判定△OAB ≌△OA ′B ′的理由是 （ ） A 、SAS B 、ASA C 、SSS D 、HL
10.如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，
则说明A O B AOB '''∠=∠的依据是 ．
A 、SSS
B 、SAS
C 、ASA
D 、AAS （第8题） c b a
（第9
题）
F E （第6题）B A
F E
11.如图所示，AD 是△
ABC 中BC 边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD 的取值范围是 12.如图，有一个直角三角形ABC ，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB ，P.Q 两点 分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，问P 点运动到 位置时， 才能使
13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BE=CF 。
（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明。
14.已知：如图，点A B C D 、、、在同一条直线上，EA AD ⊥，FD AD ⊥，AE DF =，AB DC =．求证：ACE DBF ∠=∠．
15.如图，点E 在△ABC 的外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ，若∠1=∠2，AB=AD ，
AC=AE ，求证：BC=DE 。
16. 已知:如图,AB=AE, ∠1＝∠2, ∠B ＝∠E, 求证：BC=ED 。
．
17.如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：（1）△ABC ≌△ADC ；（2）BO ＝DO ．
18.如图，过线段AB 的两个端点作射线AM 、BN ，使AM ∥BN,按下列要求画图并回答：画∠MAB 、∠NBA 的平分线交于E 。
（1）∠AEB 是什么角？
（2）过点E 作一直线交AM 于D ，交BN 于C ，观察线段DE 、CE ，你有何发现？
（3）无论DC 的两端点在AM 、BN 如何移动，只要DC 经过点E ，①AD+BC=AB ；②AD+BC=CD 谁成立？并说明理由。
19.在△ABC 中,∠ACB ＝90o
,AC ＝BC,直线MN 经过点C,且AD ⊥MN 于D,BE ⊥MN 于E. ⑴当直线MN 绕点C 旋转到图⑴的位置时,求证: DE ＝AD ＋BE
⑵当直线MN 绕点C 旋转到图⑵的位置时,求证: DE ＝AD －BE;
⑶当直线MN 绕点C 旋转到图⑶的位置时,试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系. 第20
图1 图2
20.如图1所示，A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE ＝CF ，过E ，F 分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB ＝CD ，可以得到BD 平分EF ，为什么？若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动，变为图2时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.
21.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连结DC ．（8分）
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC ⊥BE ．
22.如图所示，A ，B 两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B 出发沿河岸画一条射线B F ，在B F 上截取BC ＝C D ，过D 作DE ∥A B ，使E ，C ，A 在同一条直线上，则D E 的长就是A ，B 之间的距离，请你说明道理．
23.如图所示，已知线段a 及锐角∠α,求作△ABC ，使∠A=2∠α
G D
F A C B E
G D F A C B
E。