和硕高中数学第一章三角函数14正弦函数余弦函数图像教学案新人教A版必修4
高中数学 第一章 三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象导学案 新人教A版必修4-新人教A版
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.知识点一 正弦函数、余弦函数的概念思考 从对应的角度如何理解正弦函数、余弦函数的概念？答案 实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值.这样，任意给定一个实数x ，有唯一确定的值sin x (或cos x )与之对应.由这个对应法则所确定的函数y ＝sin x (或y ＝cos x )叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义域是R .知识点二 几何法作正弦函数、余弦函数的图象思考1 课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的？其基本步骤是什么？ 答案 利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：①作出单位圆：作直角坐标系，并在直角坐标系中y 轴左侧的x 轴上取一点O 1，作出以O 1为圆心的单位圆；②等分单位圆，作正弦线：从⊙O 1与x 轴的交点A 起，把⊙O 1分成12等份.过⊙O 1上各分点作x 轴的垂线，得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线；③找横坐标：把x 轴上从0到2π这一段分成12等份；④找纵坐标：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上对应的点x 重合，从而得到12条正弦线的12个终点；⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象，如图.因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π)，k ∈Z 且k ≠0的图象与函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π)的图象的形状完全一致.于是只要将函数y ＝sinx ，x ∈[0，2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x ，x ∈R 的图象，如图.思考2 如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？答案 把y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度，即可得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象.梳理 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 知识点三 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象 思考1 描点法作函数图象有哪几个步骤？ 答案 列表、描点、连线.思考2 “五点法”作正弦函数、余弦函数在x ∈[0，2π]上的图象时是哪五个点？ 答案画正弦函数图象的五点 (0，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1(π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1 (2π，0)画余弦函数图象的五点(0，1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 (π，－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0 (2π，1)梳理 “五点法”作正弦函数y ＝sin x 、余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]图象的步骤： (1)列表x0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 cos x1－11(2)描点画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象，五个关键点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象，五个关键点是(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1). (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线、余弦曲线的简图.类型一 “五点法”作图的应用例1 利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图. 解 (1)取值列表：x0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121描点连线，如图所示.反思与感悟 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y ＝sin x 或y ＝cos x 的图象在[0，2π]内的最高点、最低点和与x 轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.跟踪训练1 用“五点法”作出函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图. 解 列表如下：x0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x121描点并用光滑的曲线连接起来，如图.类型二 利用正弦、余弦函数的图象求定义域 例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域.解 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，－4≤x ≤4，作出y ＝sin x 的图象，如图所示.结合图象可得x ∈[－4，－π)∪(0，π).反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.跟踪训练2 求函数y ＝log 21sin x－1的定义域. 解 为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即0<sin x ≤12.由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为{x |2k π<x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z }.类型三 与正弦、余弦函数有关的函数零点问题 命题角度1 零点个数问题例3 在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数.解 建立平面直角坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象，再向右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象.描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示.由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个.反思与感悟 三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.跟踪训练3 方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是 . 答案 2解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象可知，原方程有两个实数解.命题角度2 参数范围问题例4 方程sin(x ＋π3)＝m2在[0，π]上有两实根，求实数m 的取值范围及两实根之和.解 作出y 1＝sin(x ＋π3)，y 2＝m2的图象如图，由图象可知，要使y 1＝sin(x ＋π3)，y 2＝m 2在区间[0，π]上有两个不同的交点，应满足32≤m2<1，即3≤m <2.设方程的两实根分别为x 1，x 2，则由图象可知x 1与x 2关于x ＝π6对称，于是x 1＋x 2＝2×π6，所以x 1＋x 2＝π3.反思与感悟 准确作出函数图象是解决此类问题的关键，同时应抓住“临界”情况进行分析. 跟踪训练4 若函数f (x )＝sin x －2m －1，x ∈[0，2π]有两个零点，求m 的取值范围. 解 由题意可知，sin x －2m －1＝0在[0，2π]上有2个根，即sin x ＝2m ＋1有两个根， 可转化为y ＝sin x 与y ＝2m ＋1两函数的图象有2个交点.由y ＝sin x 图象可知， －1＜2m ＋1＜1，且2m ＋1≠0， 解得－1＜m ＜0，且m ≠－12.∴m ∈(－1，－12)∪(－12，0).1.用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A.0，π2，π，3π2，2πB.0，π4，π2，3π4，πC.0，π，2π，3π，4πD.0，π6，π3，π2，2π3答案 B解析 “五点法”作图是当2x ＝0，π2，π，3π2，2π时的x 的值，此时x ＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.2.下列图象中，y ＝－sin x 在[0，2π]上的图象是( )答案 D解析 由y ＝sin x 在[0，2π]上的图象作关于x 轴的对称图形，应为D 项. 3.函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝－12的交点有 个.答案 2解析 作y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象及直线y ＝－12(图略)，可知两函数图象有2个交点.4.函数y ＝2sin x －1的定义域为 . 答案 [π6＋2k π，5π6＋2k π]，k ∈Z解析 由题意知，自变量x 应满足2sin x －1≥0， 即sin x ≥12.由y ＝sin x 在[0，2π]的图象，可知π6≤x ≤5π6，所以y ＝2sin x －1的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z .5.请用“五点法”画出函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象.解 令X ＝2x －π6，则x 变化时，y 的值如下表：X 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 13π12 y12－12描点画图：将函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，13π12上的图象向左、向右平移即得y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象.1.对“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图. (2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x 轴的交点. 2.作函数y ＝a sin x ＋b 的图象的步骤：3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0，2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出.课时作业一、选择题1.对于正弦函数y ＝sin x 的图象，下列说法错误的是( ) A.向左右无限伸展B.与y ＝cos x 的图象形状相同，只是位置不同C.与x 轴有无数个交点D.关于y 轴对称 答案 D解析 由正弦曲线知，A ，B ，C 均正确，D 不正确.2.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π6，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 C.(π，0) D.(2π，0)答案 A 解析 易知⎝⎛⎭⎪⎫π6，12不是关键点.3.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，则将f (x )的图象( )A.与g (x )的图象相同B.与g (x )的图象关于y 轴对称C.向左平移π2个单位，得g (x )的图象D.向右平移π2个单位，得g (x )的图象答案 D解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ， f (x )的图象向右平移π2个单位得到g (x )的图象.4.函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )答案 D5.方程sin x ＝x10的根的个数是( )A.7B.8C.9D.10 答案 A解析 在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示.根据图象可知方程有7个根.6.函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0，2π]的大致图象为( )答案 D解析 由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，0≤x ≤π2或3π2≤x ≤2π，0，π2<x <3π2.显然只有D 合适.7.若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( ) A.4 B.8 C.2π D.4π 答案 D解析 作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知，该阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积，又∵OA ＝2，OC ＝2π， ∴S 阴影部分＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. 二、填空题8.函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域为 . 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－3π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，5 解析 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0，25－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0，－5≤x ≤5，作出y ＝cos x 的图象，如图所示.结合图象可得x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－3π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，5. 9.函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝－12的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝ . 答案 3π 解析 如图所示，x 1＋x 2＝2×3π2＝3π. 10.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x ＜0，则不等式f (x )＞12的解集是 .答案 {x |－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜5π6＋2k π，k ∈N }解析 在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和y ＝12的图象(图略)，由图易得－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜5π6＋2k π，k ∈N . 11.设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为 . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象，如图所示.观察图象知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4.三、解答题12.用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x ，x ∈[0，2π]的简图.解 (1)取值列表如下：x0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 12＋sin x 123212－1212(2)描点、连线，如图所示.13.利用正弦曲线，求满足12<sin x ≤32的x 的集合.解 首先作出y ＝sin x 在[0，2π]上的图象，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的交点横坐标为π6和5π6； 作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的交点横坐标为π3和2π3. 观察图象可知，在[0，2π]上，当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立. 所以12<sin x ≤32的解集为{x |π6＋2k π<x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z }.四、探究与拓展14.已知函数y ＝2sin x (π2≤x ≤5π2)的图象与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为( ) A.4 B.8 C.4π D.2π答案 C解析 数形结合，如图所示.y ＝2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2的图象与直线y ＝2围成的封闭平面图形的面积相当于由x ＝π2，x ＝5π2，y ＝0，y ＝2围成的矩形面积，即S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－π2×2＝4π.15.函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围.解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π].图象如图所示，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k 的取值范围是(1，3).。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)教案 新人教A版必修4(20
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1.4。
2 正弦、余弦函数的性质（二)教学目的：知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；能力目标:掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用教学过程： 复习引入：偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？二、讲解新课：奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？（1）余弦函数的图形当自变量取一对相反数时,函数y 取同一值。
例如：f （—3π)=21，f （3π)=21 ，即f （—3π)=f(3π)；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f(—x ）= f(x)。
以上情况反映在图象上就是：如果点（x ，y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(—x ，y ）也在函数y=cosx 的图象上,这时,我们说函数y=cosx 是偶函数。
（2)正弦函数的图形观察函数y=sinx 的图象,当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系?这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图象关于原点对称。
2019_2020学年高中数学第1章三角函数1.4.1正弦函数、余弦函数的图象教案(含解析)新人教A版必修4
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象1．正弦曲线正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象叫正弦曲线．2．正弦函数图象的画法 (1)几何法：①利用单位圆中正弦线画出y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象； ②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法：①画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线连接；②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．思考：把用“五点法”作出的图象向左、右平行移动2π的整数倍单位就得到整条曲线，依据是什么？提示：依据是诱导公式(一)：sin(2k π＋α)＝sin α(k ∈Z )，或者说终边相同的角的正弦线相同．3．余弦曲线余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫余弦曲线．4．余弦函数图象的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可．(2)用“五点法”画余弦曲线y ＝cos x 在[0，2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0，1)，⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)， ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．思考：y ＝cos x (x ∈R )的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象平移得到的原因是什么？ [提示] 因为cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，所以y ＝sin x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位可得y＝cos x (x ∈R )的图象．1．用“五点法”作函数y ＝2sin x －1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3A [根据“五点法”作图，x 的取值为0，π2，π，3π2，2π.]2．函数y ＝sin|x |的图象是( )B [y ＝sin|x |是偶函数，x ≥0时，其图象与y ＝sin x 的图象完全相同．] 3．请补充完整下面用“五点法”作出y ＝－sin x (0≤x ≤2π)的图象时的列表．π 0 1 [用“五点法”作y ＝－sin x (0≤x ≤2π)的图象的五个关键点为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0)故①为π，②为0，③为1.] 4．函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝－12的交点有________个．2 [由图象可知：函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝－12有两个交点．]①y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； ②y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称； ③正、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围． A ．0 B ．1个 C ．2个 D ．3个 (2)下列函数图象相同的是( ) A ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(π＋x )B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－xC ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(－x )D ．f (x )＝sin(2π＋x )与g (x )＝sin x(1)D (2)D [(1)分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]和y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．(2)A 中g (x )＝－sin x ；B 中，f (x )＝－cos x ，g (x )＝cos x ；C 中g (x )＝－sin x ；D 中f (x )＝sin x ，故选D.]解决正、余弦函数图象的注意点对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．1．关于三角函数的图象，有下列说法：①y ＝sin x ＋1.1的图象与x 轴有无限多个公共点； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos |x |的图象相同；③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称．其中正确的序号是________．②④[对②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；对④，y＝cos(－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确．](1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；(2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π)．描点→用平滑曲线连接[解] (1)①取值列表如下：(2)①取值列表如下：用“五点法”画函数y＝A sin x＋b(A≠0)或y＝A cos x＋b(A≠0)在[0，2π]上简图的步骤：(1)列表：(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y 1)，⎝⎭⎪2，y 2，(π，y 3)，⎝ ⎛⎭⎪2，y 4，(2π，y 5)，这里的y i (i ＝1，2，3，4，5)值是通过函数解析式计算得到的．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y ＝A sin x ＋b (y ＝A cos x ＋b )(A ≠0)的图象．提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x 轴、y 轴上尽量统一单位长度．2．用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x ，x ∈[0，2π]上的图象．[解] 取值列表如下：1．解三角不等式sin x ＞a (或cos x ＞x ＞a )一般有几种方法？提示：一般有两种方法：一是利用三角函数线，结合单位圆求解；一是利用正、余弦函数图象解决．2．如何处理方程f (x )＝g (x )的根的个数问题？[提示] 在同一坐标中，分别画出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，观察交点个数，如求sin x＝x 的实根个数时，可以在同一坐标系内分别作出y ＝sin x ，y ＝x 图象(略)可知在x ∈[0，1]内，sin x ＜x 没有交点，当x ＞1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.【例3】 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为________．(2)在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数．思路点拨：(1)列出不等式→画出函数图象→写出解集 (2)画出y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象→找准关键点（10，1） →判断两个函数图象的公共点个数→判断方程sin x ＝lg x的解的个数(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z [由2sin x －1≥0得sin x ≥12， 画出y ＝sin x 的图象和直线y ＝12.可知sin x ≥12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z .](2)[解] 建立平面直角坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．1．本例(1)中的“sin x ”改为“cos x ”，应如何解答？[解] 由2cos x －1≥0得cos x ≥12，画出y ＝cos x 的图象和直线y ＝12.观察图象可知cos x ≥12的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .2．把本例(2)中两函数改为“y ＝x ，y ＝cos x ”，方程“sin x ＝lg x ”改为“x ＝cosx ”，应如何解答？[解] y＝x中x的取值范围是[0，＋∞)．分别作出y＝x，y＝cos x的图象，如图．由图象可观察到两个函数图象只有一个交点，所以方程x＝cos x只有唯一一个根．1．用三角函数的图象解sin x＞a(或cos x＞a)的方法(1)作出y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．(3)确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集．2．利用三角函数线解sin x＞a(或cos x＞a)的方法(1)找出使sin x＝a(或cos x＝a)的两个x值的终边所在的位置．(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．1．三角函数图象是本节课的重点．三角函数图象直观地反映了三角函数的性质，所以画好三角函数的图象是研究三角函数性质的关键，因此一定要掌握正弦、余弦函数的图象特征，特别是会灵活运用五点作图法准确作出函数图象．2．“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．3．作函数y＝A sin x＋b的图象的步骤1．对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述： ①向左向右无限延伸； ②与x 轴有无数多个交点；③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个D [根据正余弦函数图象可知，①②③正确．] 2．函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的图象( ) A ．关于直线x ＝1对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称C [由解析式可知y ＝cos x 的图象过点(a ，b )，则y ＝－cos x 的图象必过点(a ，－b )，由此推断两个函数的图象关于x 轴对称．]3．若方程sin x ＝4m ＋1在x ∈[0，2π]上有解，则实数m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 [因为x ∈[0，2π]时，－1≤sin x ≤1，∴方程有解可转化为－1≤4m ＋1≤1，解得－12≤m ≤0.]4．用“五点法”画出函数y ＝2sin x ，x ∈[0，2π]上的图象． [解] (1)列表：(2)。
2019-2020年高中数学1.4.1正弦函数、余弦函数的图象教案新人教A版必修4
2019-2020年高中数学1.4.1正弦函数、余弦函数的图象教案新人教A版必修4一．教材的地位与作用《正弦函数、余弦函数的图象》是高中数学（人民教育出版社A版）必修四第一章《三角函数》第1.4.1节《三角函数的图像与性质》的内容。
本节课是在学生已经学习了任意三角函数的定义，三角函数线，三角函数的诱导公式等知识基础上进行学习的，主要是对正弦函数和余弦函数的图象进行系统的研究。
作为函数，它是已学过的指数函数与对数函数的后继内容，也是后面学习三角函数的性质的重要基础依据，为今后学习正弦型函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础。
因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识的掌握起到了承上启下的作用。
二．学情分析高一学生对函数概念的理解本身就是难点，再加上与三角有关的知识，就要求学生有较高的理解和综合的能力。
在作图方面，学生在初中已经学习过三步作图法（列表，描点、连线）——“描点作图”法，对于函数y＝sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y＝sinx的图象的真实面貌。
基于上述情况，预测学生对于本节课的内容，会有以下的一些困难：1．概念的引出，把三角与函数两个概念结合起来，正确理解正弦函数和余弦函数。
2．利用单位圆的正弦线作出正弦函数在上的图象。
3．正确掌握五点法的作图步骤与要求。
4．按照正弦函数的作图方法，学生自己解决画正、余弦函数图像的一些方法。
在教学活动中，通过教师提出疑问，引导学生主动观察、主动思考、主动探究、讨论交流；在积极的双边活动中解决疑难，获得知识；整个过程贯穿“疑问”——“思索”——“发现”——“解惑”四个坏节，注重学生思维的持续性和发展性，促进学生数学思维的形成，提高学生的综合素质。
三．方法分析根据上述教材分析，贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化教学改革，确定本课主要的教法为：1. 讨论式教学：通过学生对图形的观察，让学生分组讨论、交流、总结，并发表意见，说出正弦、余弦函数图象的特征，归纳作函数图象的步骤方法以及图象之间的变化与联系。
人教A版数学必修4第一章第四节第一小节《正弦函数、余弦函数的图像》教学设计(附导学案)
《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计方案x x的图象步骤：sin,0,2第一步：在直角坐标系的x轴上的左边取一点O的值——弧度制下角与实数的对应）.,,, 263,使得正弦线的起点与则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等x x的图象sin,0,2讲授新课合作探究二：作函数sin,Ry x x和cos,Ry x x的图象1.如何作出sin,Ry x x的图象呢？2.如何作出cos,Ry x x的图象呢？你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数的图象得到余弦函数的图象吗？合作探究三：利用“五点法”作正弦函数sin,0,2y x x和cos,0,2y x x的简图.活动1：观察正弦函数的图象,你认为哪些点是关键点？活动2：观察余弦函数的图象你认为哪些点是关键点？并作出它在[0,2]上的图象？师生共同总结“五点法”作图：当函数图象要求不那么精确时,我们可以通过这五个关键的点来作出正弦函数[0,2]的简图.实战演练,巩固新知.例1 利用“五点法”作函数sin1,0,2y x x上的简图.解:（1）列表x0 π2322xsin0 1 0 -1 0sin1x 1 2 1 0 1（2）描点,并将它们用光滑的曲线顺次连接起来.教师提示进行思考学生从正弦线的“周而复始”的变化规律.进一步让学生从诱导公式出发,回答出两个函数的关系,再利用坐标变换作出余弦函数的图象.学生讨论,观察发现sin,0,2y x x上的图象中有五个关键点.学生分组完成导学案上作图要求.小组选代表上台演示.学生根据所学知识尝试画出正弦函数的图象,然后观看动画演示正弦曲线的形成过程学生观察sin1y x在0,2上的动画演示图.象形成过程.学生经历“发现问题-分析问题-解决问题”的过程,体验成功的喜悦,增强信心,成为学习的主人.让学生从“眼看”转为“手动”,发挥学生的主观能动性,培养学生观察发现,合作交流的能力.以问题引发学生的思考和讨论.（12分钟）例题安排不多,学生接受起来比较容易.---23πxy0π2π11-----cos,0,2x x上的简图y x,在0,2上的简图：利用“五点法”作函数|sin|lg x零点的个数正弦函数、余弦函数的图象导学案班级：__________ 小组：___________姓名：_____________学习目标:一．【三维目标】2.知识与技能：学会用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；掌握正弦、余弦函数图象的“五点法”作图；掌握与正弦函数有关的简单图象平移变换和对称变换.3.过程与方法：通过几何作图和“五点法”作图,提升作图能力和观察能力；培养运用已有数学知识解决新问题的能力；体会数形结合思想.4.情感态度与价值观：通过“五点法”作图,体现数学中的对称美.二.【学习重点、难点】重点: 用“五点法”画出正弦函数,余弦函数的简图..,发展思维】y x x的图象？(2)如何作正弦函数sin,0,2yO x(3)如何由正弦函数sin ,0,2y x x作出函数sin ,y x x R 的图象?yO x(4)五点作图法：请同学们观察正弦函数sin ,0,2yx x 的图象有哪些关键点？这几个关键点是：______________________________,在精确度要求不太高时,描出这五个点后,函数sin ,0,2yx x 的图象的形状就基本上确定了.【巩固深化,发展思维】（5）例题讲解例1 画出函数1+sin ,0,2y x x 的简图．解：列表 xsin x 1sin x描点yO xy x x的简图．例2 画出函数-cos,0,2画出下列函数的图象：y x x的简图.（1）画出函数|sin|,0,2yO xf x x x的零点的个数.（2）求函数()sin lgyO x。
2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.4 正弦函数、余弦函数图像教学案新人教A版必修4.doc
2019-2020学年高中数学第一章三角函数 1.4 正弦函数、余弦函数图像教学案新人教A版必修4知识梳理问题1：如何画出正弦函数[]π2,0,sin∈=xxy的图像呢？第一步：列表，首先在单位圆中画出正弦线．在直角坐标系的x轴上任取一点1o，以1o为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成12等份，过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应角ππππ2,...,2,3,6,0，的正弦线（这等价于描点法中的列表）．第二步：描点。
我们把x轴上从0到π2这一段分成12等份，把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．第三步：连线。
用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数[]π2,0,sin∈=xxy的图象．问题2：用这种方法作图象，虽然比较精确，但不太实用，在精确度要求不高的情况下，如何快速地画出正弦函数的图象呢？方法二：五点法作图]2,0[,sinπ∈=xxy中，起关键作用的五个点是：()()()0,2,1,23,0,,2,0,0ππππ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛动手：用五点法作出]2,0[,sinπ∈=xxy的图像。
由浅入深、由易到难,帮助学生体会从三角函数线出发，“以已知探求未知”的数学思想方法,培养学生的思维能力。
通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。
数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像与性质教案 新人教A版必修4(20
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1、4、1正弦函数、余弦函数的图像我们知道，实数集与角的集合之间可以建立一一对应的关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（或余弦）值。
这样，任意给定一个实数x,有唯一确定的值sinx(或cosx）与之对应.由这个对应法则所确定的函数y=sinx（或y=cosx）叫做正弦函数（或余弦函数）,其定义域是R.遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图像，观察图像的形状,看看有什么特殊点,并借助图像研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最值、对称性、周期性等等。
特别地，从前面的学习中我们可以看到，三角函数具有“周而复始”的变化规律。
下面我们就来研究正弦函数、余弦函数的图像和性质。
首先,我们来看一下本章章头图表示的“简谐振动”的实验.将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标轴的横轴。
把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可以在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像.物理中把简谐运动的图像叫做“正弦曲线”或“余弦曲线".它表示了漏斗对平衡位置的位移s （纵坐标）随时间t（横坐标）的变化的情况。
人教版高中数学必修4第一章三角函数-《1.4.1正弦函数和余弦函数的图象》教案(2)
1.4.1正弦、余弦函数的图象教学目的：（1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状； （2）根据关系)2sin(cos π+=x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象；（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； 教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 教学难点：作余弦函数的图象。
教学过程： 一、复习引入：1、正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离r (02222>+=+=y x y x r )则比值r y叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值rx叫做α的余弦 记作： rx =αcos 2、正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM rx==αcos 向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．二、讲解新课：1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．（1）函数y=sinx 的图象第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.（2）余弦函数y=cosx 的图象探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？根据诱导公式cos sin()2x x π=+,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx 的图象.正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？ 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是哪几个？(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1)只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握． 优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以 3、例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， （2）y=-COSx探究1． 如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 （1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π/3)的图象？ 小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。
高中数学 (1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象)教案 新人教A版必修4
1.4 三角函数的图象与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象整体设计教学分析研究函数的性质常常以图象直观为基础,这点学生已经有些经验,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用.正弦函数、余弦函数的教学也是如此.先研究它们的图象,在此基础上再利用图象来研究它们的性质.显然,加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求.由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就完全清楚了,因此,教科书把对周期性的研究放在了首位.另外,教科书通过“旁白”,指出研究三角函数性质“就是要研究这类函数具有的共同特点”,这是对数学思考方向的一种引导.由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.三维目标1.通过实验演示,让学生经历图象画法的过程及方法,通过对图象的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象.3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,树立科学的辩证唯物主义观.重点难点教学重点:正弦函数、余弦函数的图象.教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx与y=cosx的图象是怎样的呢?回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么?是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?进而引导学生通过取值,画出当x∈［0,2π］时,y=sinx的图象.思路 2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.有了上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?画函数的图象,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象.推进新课新知探究提出问题问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x 角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精确图象呢?问题②:如何得到y=sinx,x∈R 时的图象?活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,对于程度较弱的学生,教师指导他们查阅课本上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象,怎样在x 轴上标横坐标?为什么将单位圆分成12份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了y=si nx,x∈［0,2π］的图象,就很容易得到y=sinx,x∈R 时的图象了.对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O 1上的各分点作x 轴的垂线,就可以得到对应于0、6π、4π、3π、2π、…、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx 在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.图1对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx 在x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z 且k≠0上的图象与函数y=sinx 在x∈[0,2π]上的图象的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,x∈[0,2π］的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R 的图象.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)图2讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x∈［0,2π］的图象. ②左、右平移,每次2π个长度单位即可.提出问题如何画出余弦函数y=cosx,x∈R 的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗?活动:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础.讨论结果:把正弦函数y=sinx,x∈R 的图象向左平移2π个单位长度即可得到余弦函数图象.如图3.图3正弦函数y=sinx,x∈R 的图象和余弦函数y=cosx,x∈R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点.提出问题问题①:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点?问题②:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在［0,2π］上的图象吗?活动:对问题①,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx 在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下:(0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0). 因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握.对问题②,引导学生通过类比,很容易确定在［0,2π］上起关键作用的五个点,并指导学生通过描这五个点作出在［0,2π］上的图象.讨论结果:①略.②关键点也有五个,它们是:(0,1),(2π,0),(π,-1),(23π,0),(2π,1). 应用示例思路1例1 画出下列函数的简图(1)y=1+sinx,x∈[0,2π];(2)y=-cosx,x∈[0,2π].活动:本例的目的是让学生在教师的指导下会用“五点法”画图,并通过独立完成课后练习1领悟画正弦、余弦函数图象的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”画图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有好处.解:(1)按五个关键点列表:x0 2π π 23π 2π sinx0 1 0 -1 0 1+sinx 1 2 1 0 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4).图4(2)按五个关键点列表:x0 2π π 23π 2π cosx1 0 -1 0 1 -cosx -1 0 1 0 -1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5).图5点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的目的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些动手操作的时间,或者增加图象纠错的环节,效果将会令人满意,切不可教师画图学生看.完成本例后,让学生阅读本例下面的“思考”,并回答如何通过图象变换得出要画的图象,让学生从另一个角度熟悉函数作图的方法.变式训练2007山东临沂一摸统考17(1)在给定的直角坐标系如图6中,作出函数f(x)=2cos(2x+4π)在区间[0,π]上的图象. 解:列表取点如下: x 0 8π 83π 85π 87π π42π+x 4π 2π π 23π 2π 49π f(x)1 0 2- 0 21 描点连线作出函数f(x)=2cos(2x+4π)在区间[0,π]上的图象如图7所示.图6 图7思路2例1 画出函数y=|sinx|,x∈R 的简图.活动:教师引导学生观察探究y=sinx 的图象并思考｜sinx ｜的意义,发现只要将其x 轴下方的图象翻上去即可.进一步探究发现,只要画出y=|sinx|,x∈[0,π]的图象,然后左、右让学生尝试寻找在[0,π]上哪些点起关键作用,易看出起关键作用的点有三个:(0,0),(2π,1),(π,0).然后列表、描点、连线,让学生自己独立操作完成,对其失误的地方再予以一一纠正.解:按三个关键点列表:x0 2π π sinx0 1 0 y=｜sinx ｜ 0 1 0描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图8).图8点评:通过本例,让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义,并进一步从图象变换的角度认识函数之间的关系,也为下一步将要学习的周期打下伏笔.变式训练1.方程sinx=10x 的根的个数为( ) A.7 B.8 C.9 D.10解:这是一个超越方程,无法直接求解,可引导学生考虑数形结合的思想方法,将其转化为函数y=10x 的图象与y=sinx 的图象的交点个数问题,借助图形直观求解.解好本题的关键是正确地画出正弦函数的图象.如图9,从图中可看出,两个图象有7个交点.图9 答案:A 2.用五点法作函数y=2sin2x 的图象时,首先应描出的五点横坐标可以是( )A.0,2π,23π,2π B.0,4π,2π,43π,π C.0,π,2π,3π,4π D.0,6π,3π,2π,32π 答案:B知能训练课本本节练习解答:1.可以用单位圆中的三角函数线作出它们的图象,也可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象.y=sinx,x∈[0,2π]的图象,可以通过将函数y=cosx,x∈[2π,23π]的图象向右平行移动2π个单位长度而得到(图10).图10点评:在同一个直角坐标系中画出两个函数图象,利于对它们进行对比,可以加强正弦函数与余弦函数的联系.通过多种方法画图,渗透数形结合思想,强化学生对数学概念本质的认识.2.两个函数的图象相同.点评:先用“五点法”画出余弦函数的图象,再通过对比函数解析式发现另一函数的图象的变化规律,最后变换余弦曲线得到另一函数的图象(图11).图11课堂小结以提问的方式,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完善.1.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图象扩展到整个定义域的?2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线?这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外,余弦函数图象还可由平移交换法得到.“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.作业1.课本习题1.4 A组1.2.预习下一节:正弦函数、余弦函数的性质.设计感想1.本节课操作性强,学生活动量较大.新课从实验演示入手,形成图象的感知后,升级问题,探索正弦曲线准确的作法,形成理性认识.问题设置层层深入,引导学生发现问题,解决问题,并对方法进行归纳总结,体现了新课标“以学生为主体,教师为主导”的课堂教学理念.如用多媒体课件,则可生动地表现出函数图象的变化过程,更好地突破难点.2.本节课所画的图象较多,能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求,重在学生动手操作,不要怕学生出错.通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力.开始时要慢些,尤其是“五点法”,每个点都要能准确地找到,然后迅速画出图象.3.本小节设置的“探究”“思考”较多,还提供了“探究与发现”“信息技术应用”等拓展性栏目.教学时,应留给学生一定的时间思考、探究这些问题.。
人教版高中数学必修四1.4.1《正弦函数、余弦函数的图像》教学设计
⼈教版⾼中数学必修四1.4.1《正弦函数、余弦函数的图像》教学设计正、余弦函数图象的教案⼀、教学内容与任务分析本节课是《普通⾼中课程标准实验教科书》⼈民教育出版社A版必修四第⼀章第四节1.4.1正弦函数、余弦函数的图象。
本节课的教学是以任意⾓的三⾓函数、三⾓函数的诱导公式、三⾓函数线等相关知识为基础展开学习的，是学习正弦型函数 y＝Asin (ωx＋φ)+B和余弦型函数y＝Acos (ωx＋φ)+B图象的前提和基础，为学⽣运⽤数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的基础。
⼆、学⽣情况分析学⽣已经学习了任意三⾓函数的定义、三⾓函数的诱导公式、三⾓函数线，并且学习⽤“三⾓函数线”解决本可以⽤“三⾓函数图像”解决的⼀些实际问题，毕竟⽅法相对复杂，⽽正余弦函数图像的学习将为解决这类问题提供更加便捷、合理、有效的办法。
同时，学⽣对三⾓函数图像的形状、产⽣原因、变换、实际应⽤都不清楚，本课的学习也将有助于帮助学⽣对此有初步的了解，为后⾯学习三⾓函数的性质提供保障。
三、教学重难点教学重点：正弦余弦函数图象的“五点作图”法及其正弦曲线、余弦曲线的基本特征。
教学难点：正弦余弦函数图象的三种画法：⼏何画法、五点作图、图像变换，及两种曲线的基本特点。
教学⽬标1.知识与能⼒⽬标了解⽤正弦线画正弦函数的图象，理解⽤平移法作余弦函数的图象。
掌握正弦函数、余弦函数的图象及特征；利⽤图象变换作图的⽅法，体会图象间的联系；掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图。
2.情感与价值⽬标养成寻找、观察数学知识之间的内在联系的意识；激发数学的学习兴趣；体会数学的应⽤价值。
四、教学过程⼀、复习引⼊遇到⼀个新的函数，我们很容易想到的就是画函数图象，那怎么画正弦函数、余弦函数的图象呢？我们先来做⼀个简弦运动的实验，这就是某个简弦函数的图象，通过实验是不是对正弦函数余弦函数的图象有了直观印象呢【设计意图】通过动⼿实验，体会数学与其他的联系，激发学习兴趣。
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Ⅳ、典例讲解
例1．用“五点法”作图:
（1） ;（2) ， .
展示学生所画的图象
思考：能否从函数图像变换的角度，利用函数 的图像来得到 及 的图像？
例2.画出 的简图。
展示学生所画的图象
让学生巩固“五点法”，记住五点的坐标和平移法。
随堂练习与学生展示
课堂练习：
课本第38页练习第1、2题
再次巩固练习
4．对于“五点法”老师让学生通过观察、学生讨论、进一步合作
交流得到“五点法”作图，也是本节课中一大的亮点，充分体现以学生为主的教学思路．
5．通过展示课件，生动形象地再现三角函数线的平移和曲线形成过程．使原本枯燥地知识变得生动有趣，激发学生的兴趣．
6．在得到正弦函数的图象后，通过一个探究，引导学生利用诱导公式，结合图象变换研究余弦函数的图象，体现了新课改中倡导的“自主探究、合作交流”的教学理念。
2.诱导公式
把问题作为教学的出发点，引起学生的好奇，用操作性活动激发学生求知欲，为发现新知识创设一个最佳的心理和认识环境，关注学生动手能力培养，使教学目标与实验的意图相一致。
知识梳理
问题1：如何画出正弦函数 的图像呢？
第一步：列表，首先在单位圆中画出正弦线．在直角坐标系的 轴上任取一点 ，以 为圆心作单位圆，从这个圆与 轴的交点A起把圆分成12等份，过圆上的各分点作 轴的垂线，可以得到对应角 ，的正弦线（这等价于描点法中的列表）．
例1
二、正弦函数的图像四、余弦函数的图像
例2
9．教学反思
1．教学思路清晰，各个环节过渡比较自然，课堂教学设计得比较紧凑．
2．教学设计对于正弦曲线、余弦曲线首先从实验入手形成直观印象，然后探究画法，列表，描点、连线——“描点法”作图，这样设计比较自然，合理，符合学生认知的基本规律．
3．利用正弦线作出y＝sinx的图象，再得到正弦曲线，这里借助角周而复始的变化，体会后面性质“周期”，这样的设计由局部到整体，符合探究的一般方法．
《正弦函数.余弦函数的图象》
一、教学内容分析
《正弦函数,余弦函数的图象》是高中新教材人教A版必修四的内容，作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继内容，是在已有三角函数线知识的基础上，来研究正余弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数 的图象的知识基础和方法准备。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。
7.时间的把握要恰当，否则会影响课堂后面内容的安排．
8.在由正弦函数的图象得到余弦函数的图象的探究过程中，设计了让学生“自主探究、合作交流”的教学思路，但学生对“合作—交流”的热情不够，不太主动——在调动学生积极参与课堂活动方面做得不够好．
本节共分两个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出 的图象，考察图象的特点，用“五点作图法”画简图，并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换
二、教学目标
一、知识与技能：
1．理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法；
2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法．
二、过程与方法：
1、通过简谐运动实验，感知正弦、余弦曲线的形状；学生经历利用正弦线作正弦函数图象的过程，理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法；通过观察发现确定函数图象形状的关键点.通过图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过公式运用，渗透方程思想.
四、教学策略选择与设计
正弦函数、余弦函数的图象所以本节课我采用了“启发探究”式的教学方法，重点突出以下两点：（1）以类比思维作为教学的主线
（2）以自主探究、交流合作作为学生的学习方法
五、教学重点及难点
①重点：定义和对通项公式的认识与应用。
②难点：通过不完全归纳法得出的通项公式。
六、教学过程
教师活动
学生活动
将课堂延伸，使学生将所学知识与方法再认识和升华，进一步促进学生认知结构内化。注重学生的个体发展，是每个层次的学生都有所进步。
七、教学评价设计
评价内容
学生姓名
评价日期
评价项目学生自评来自生生互评教师评价优
良
中
差
优
良
中
差
优
良
中
差
课堂表现
回答问题
作业态度
知识掌握
综合评价
寄语
八、板书设计
一、正弦余弦函数函数的定义三、例题分析
方法二：五点法作图
中，起关键作用的五个点是：
动手：用五点法作出 的图像。
由浅入深、由易到难,帮助学生体会从三角函数线出发，“以已知探求未知”的数学思想方法,培养学生的思维能力。通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。
数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点
点评与课堂小结
知识：“五点法”如何列表，怎样画图象。
方法：小结作图步骤：1、列表2、描点3、连线
在梳理本节课所学的知识点归纳的过程中进一步加深对正弦函数、余弦函数图象认知。培养学生归纳总结的能力，自主构建知识体系。
作业布置
Ⅵ、布置作业
必做：P46习题1
课外提升：用“五点法”画出下列函数的图像。
（1）
设计意图
目标解读
1、理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法；
2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法．
让学生明白本节课的重点，以及必须要掌握的内容
预习反馈
Ⅰ、新课引入
1.什么叫正弦函数？它的定义域是什么？
2.什么叫余弦函数？它的定义域是什么？
Ⅱ、复习引入：
1. 正弦函数的正弦线并要求学生在单位圆中画出 的正弦线
三、情感态度与价值观：
1.养成寻找、观察数学知识之间的内在联系的意识
2.通过图像激发数学的学习兴趣
三、学习者特征分析
本班学生是高一基础一般的班，学生已经学习了任意三角函数的定义，三角函数的诱导公式，并且刚学习三角函数线，这为用几何法作图提供了基础，但能不能正确应用来画图，这还需要老师做进一步的指导。
第二步：描点。我们把 轴上从0到 这一段分成12等份，把角 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与 轴上相应的点 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．
第三步：连线。用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数 的图象．
问题2：用这种方法作图象，虽然比较精确，但不太实用，在精确度要求不高的情况下，如何快速地画出正弦函数的图象呢？