一章(勾股定理一讲教案)

星海学校2013年秋季龙湖校区 3L个性化一对一名师培优精讲第 1 讲学科：数学年级：初二姓名：老师：罗老师日期2013-9
【教学标题】勾股定理
【教学目标】
1、了解勾股定理的历史背景，体会勾股定理的探索过程。

2、掌握直角三角形中的三边关系和三角关系
【重点难点】直角三角形三边关系、勾股数
【教学内容】
一．知识归纳：
1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
A
B
C
a
b
c
弦
股
勾
勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个
三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么
ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）
*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13
3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角
三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为c）；
（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；
若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）
4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段
6、直角三角形的性质：
（1）两锐角互余
（2）斜边上的中线等于斜边的一半
（3）30°角所对的直角边等于斜边的一半
（4）勾股定理
（5）
易错题
1、在△ABC中，∠A,∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a+b)(a-b)=c2，则（）
A.∠A为直角
B.∠C为直角
C.∠B为直角
D.不是直角三角形
2、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）
A.1,2,3
B.32,42,52
C.1, 2,3
D. 3,4,5
3、在Rt△ABC中，∠A=90°，a=15，b=12，则第三边c的长为（）
A.314
B.9
C. 314或9
D.以上都不是
4、已知△ABC中，AB=20,AC=15,BC边上的高为12，求△ABC的面积
【例题讲解】
应用勾股定理简单计算
【例1】 如图，∠BAC=90°，∠DBC=90°，AB=3,AC=4,BD=12,则CD=
【过手练习】
1、在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长
2、在Rt △ABC 中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a.
类型二：勾股定理的构造应用
例2、如图，已知：在
中，
，
，
. 求：BC 的长.
B
A C
D
举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：
.
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

类型三：利用勾股定理作长为的线段
例3、作长为、、的线段。

举一反三【变式】在数轴上表示的点。

类型四：勾股定理逆定理
例4、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

举一反三【变式1】四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

【变式2】已知:△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2(m,n 为正整数,且m ＞n),判断△ABC 是否为直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD ，E 为BC 中点，F 为AB 上一点，且BF=AB 。

请问FE 与DE 是否垂直?请说明。

构造直角三角形利用勾股定理解几何计算题
例5、如图，点P 是∠AOB 的角平分线上一点，过点P 作PC ∥OA 交OB 于点
C.若∠AOB=60°，OC=4,则点P 到OA 的距离PD 等于
举一反三 如图，△ABC 是边长为2的正三角形，E
是AB 边的中点，延长BC 至D,使CD=BC,连接ED,求ED 的长。

B
O
A P D C E A B
C
D
E
利用勾股定理整体代入，设而不求
【例6】直角三角形有一个直角边为11，另外两边也是自然数，那么它的周长为
（ ）
A.132
B.121
C.120
D.110
举一反三在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=5，c=4，则ABC △S =
利用勾股定理及其逆定理证明
【例7】如图，已知在四边形ABCD 中，BC ⊥CD,∠ACD=∠ADC,求证：
AB+AC>22CD BC
练习、在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，AB=2,AD=6 AC=126,求∠ABC
A B
D
C
A B
D
C
2、在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC,D 为斜边上任一点，求证：BD 2+CD 2=2AD 2
【拓展训练】
A B
C D A
B C
E
D A
B
C
D'
D
1.已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则∆ABC 为 三角形
2.在∆ABC 中，若2
a =（
b +
c ）（b -c ），则∆ABC 是 三角形，且∠ ︒90
3.在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为
4、已知2512-++-y x x 与25102
+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。

5.已知：在∆ABC 中，三条边长分别为a 、b 、c ，a =12-n ，b =2n ，c =12
+n （n >1） 试说明：∠C=︒90。

6、.若∆ABC 的三边a 、b 、c 满足条件2
a c
b a
c b 2624103382
2++=+++，试判断
∆ABC 的形状。

7、已知,0)10(8262=-+-+-c b a 则以a 、b 、c 为边的三角形是
8、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积
9、某片绿地的形状如图所示，其中∠A=60°，AB ⊥BC,AD ⊥CD,AB=200m ，
CD=100m ，求AD 、BC 的长（精确到1m ，3=1.732）
【课后作业】
1、等边三角形的边长为2，求它的面积
2、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积。

3、若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n 。

4、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A 、8，15，17
B 、4，5，6
C 、5，8，10
D 、8，39，40
5、如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为（ ） A.82m B.163m C.52m D.70m
A
B
C
D
E
A
D B
C
6、等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm ，则它的底边长为（ ） A.cm 3 B.
cm 3
3
4 C.2cm D.2cm 3 A
B
C A
B
C
D
7、已知，如图：△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=10,D 为△ABC 外一
点，连接AD,BD,过D 作DH ⊥AB,垂足为H,交AC 于E 。

若△ABD 是等边三角形，求DE 的长。

E
A
D B
C
H
成功在励志 成才要得法
11 8、在Rt △ABC 中，两直角边的和为3cm ，此三角形的面积为1cm 2，求这个三角形的斜边长度
9、如图，在Rt △ABC 中，AC ⊥BC,D 是AB 的中点，E 、F 分别在AC 和BC 上。

且DE ⊥DF,求证：EF 2=AE 2+BF 2 C A B G D F E
C A
B D F E。