人教版八年级下册17.1.1勾股定理教案

《勾股定理》教案

［教学目标】

1. 知识与技能

(1)了解关于勾股定理的一些文化历史背景。

(2)能用勾股定理解决一些简单问题。

2. 过程与方法

发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。

3. 情感态度和价值观

通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。

【教学重点】

勾股定理的推导

【教学难点】

利用勾股定理解决问题。

【教学方法】

自学与小组合作学习相结合的方法。

【课前准备】

教学课件。

【课时安排】

1课时

【教学过程】

一、情景导入

【过渡】如图所示为2002年在北京举行的国际数学家大会的会徽，它标志着我国古代数学的

成就。这个图形里到底蕴涵了什么样博大精深的知识呢？今天我们就来探究一下，关于这个图形，究竟有哪些知识。

二、新课教学

1 •勾股定理

【过渡】相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中

反映了直角三角形三边的某种数量关系。现在，我们也来观察一下，从图形中能发现什么知识呢？

【过渡】大家来看P22页的思考内容，我们发现，这个图形与上边的图形是一致的，今天，我们

也来当一回科学家，来思考一下，这个图形到底有什么奥秘呢？

【过渡】我们能够看到，在这个图中，有三个正方形A、B、C,现在，我们假设小方格的边长

为1。正方形A、B、C的面积各为多少？

（学生回答）引导学生通过小方格的个数计算。

【过渡】通过观察，我们发现，三个正方形，S A=6，S B=6，S C=12。由此，我们能够回答思考内容中的第一个问题，即三个正方形的关系是S A+S B=S C。

【过渡】现在，我们来看第二个问题，结合正方形的知识，我们知道三个正方形所围成的，即蓝

色部分是一个等腰直角三角形。我们假设A、B、C三个正方形对应的边长分别为a、b、c。则通过

正方形面积的计算，大家能得到什么呢？

（学生回答）

【过渡】大家都是很优秀的科学家，就是这样，我们能够得到a2+b2=c2，而从图中，我们又能发现，a、b、c刚好是等腰直角三角形的三条边。那么，现在谁能来总结一下，等腰直角三角形中三边的关系呢？

对于等腰直角三角形有这样的性质：斜边的平方等于两直角边的平方和。

【过渡】既然等腰三角形中有这样的性质，那大家就可能会说，其他一般的三角形中会不会也有

同样的性质呢？我们来看课本探究的内容。

【过渡】同样是假设小方格为1，我们画出了一般情况下的直角三角形。同样根据刚刚的面积法, 我们来探索一下。

【过渡】同样的，我们能够得到S A+A B=S C,而对应的边所组成的三角形的边长也有同样的关系：

2 2 2

a +

b =c。

【过渡】由以上的例子，我们得到这样的猜想：

如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2。

【过渡】从古至今，有很多科学家对命题1进行了证明，下边我们来介绍证明方法：

（1）赵爽弦图：学生阅读课本，进行理解。

【过渡】赵爽弦图是比较著名的证明方法，他的基本思路是用四个直角三角形围成如图所示的正

方形。从面积角度入手，大正方形的面积为c2，小正方形的面积（b-a）2。与此同时，S大=4S三+S小。

即c2=2ab+a2-2ab+b2。由此得到a2+b2=c2。

【过渡】赵爽弦图证明了命题1的正确性。我们将其成为勾股定理。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

【过渡】禾U用勾股定理，可以简单的解决一些问题。大家来练习一下吧。

【过渡】在勾股定理的应用当中，也会存在一些变式的应用。如确定斜边等。

课件展示变式应用。

【典题精讲】

如果直角三角形两边长分别为3和4,那么第三边的长为_5或

解：(1)当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5,

(2)当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为—，

故答案为5或一•

如图已知AD是直角△ ABC的中线，E为BD的中点，BA=BD，问AC、AE的长度有何等量关系？并证明你的结论。

BED C

解析：AB=2AE .

证明：设AB=x，

•/ AD为斜边BC的中线，

••• BD=DC=DA=x，即△ ABD为等边三角形，

••• AE== AB .

AC=，且BC=2AB，

• AC=AB，• AC=2AE

【知识巩固】1、如图，则正方形A的边长是( A )

A. 6

B. 36

C. 64

D. 8

2、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为(D )

A. 18cm

B. 20cm

C. 24cm

D. 25cm

3、判断题：

⑴直角三角形三边分别为a, b, c，则一定满足下面的式子：a2+b2 =c2错误

(2)直角三角形的两边长分别是3和4,则第三边长是5错误

4、如图，在厶ABC中，/ A=45 °，/ B=30 °，CD丄AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为( D )

A. 2

B. 2

C. +1

D. +1

【拓展提升】1、已知Rt△ ABC的周长为14,面积为7.试求它的三边长。解：设△ ABC的三边长分别为a、b、c,其中c为斜边，依题意得方程组：

2 2 2

a +

b =

c ①；ab= 7②；a+b+c = 14③

由③得：a+b=14-c

从而解得：c=6.

于是，a+b=14-c=8 , ab=98-14c=14 .

从而a、b是方程Z2-8Z+14=0的两根.解得z=4±.

故Rt△ ABC的三边分别为4- 一，4+ 一，6

【板书设计】

1、勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。