2014人教A版数学必修五 1.2《应用举例》(1)导学案
人教A版高中数学必修5精选优课教案 1.2应用举例
正余弦定理及其应用的教案教学目标（一）知识与能力目标1．通过对正余弦定理的应用，加深对正余弦定理的理解．会用正余弦定理解三角形．(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其它的边和角．（3）已知三边，用余弦定理，必有唯一解；（4）已知两边及其中一边的对角，（不妨设为a,b,A）解法有两种：2．理解掌握已知两边和其中一边的对角解三角形时，有一解或两解或无解三种情况，并会判断哪些条件使解三角形时出现一解、两解、无解．（二）过程与方法目标通过对正余弦定理及其变形式的应用，达到边角互化的目的，在题型中的操练，达到熟练掌握的同时，并掌握一定的解题技巧和方法。
（三）情感态度与价值观感受正余弦定理与其他知识间的紧密联系，体会万事万物间也存在着千丝万缕的关系。
教学重点和难点重点：1、正余弦定理的应用，用正余弦定理解三角形，特别是在已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况2、利用正余弦定理实现边角互化，体现正余弦定理搭建边角互化的桥梁，是解三角形有利的两大工具。
难点：在具体的题型中真正体现正余弦定理作为桥梁的作用，并能挖掘出题目中的隐含条件，达到求解的目的。
教学设计：由复习引入到本节主要三个环节，分环节进行，典例剖析，讲练结合，层层递进，环环相扣。
教学过程设计一、复习正余弦定理1、正弦定理：正弦定理精确地表达了三角形中各边和它所对角的正弦成正比．a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ．2、余弦定理：二、教师指导学生完成，教师最后总结．正余弦定理精确地表达了三角形中的边与角之间的关系，我们就可利用它根据三角形中的已知元素去求出未知元素． )(2sin sin sin 外接圆的半径表示ABC R R C c B b A a ∆===，2bca cb cosA 222-+=，2cab ac cosB 222-+=。
2abc b a cosC 222-+=2R sinC c 2R，sinB b 2R，sinA a ===2Rc ，sinC 2R b ，sinB 2R a sinA ===（一）解三角形二、合理使用正、余弦定理，使角边互相转化例3：在 ABC 中，已知acosA=bcosB ，判断三角形的形状。
【学优推荐】高中数学新人教A版必修5学案1.2应用举例(一).doc
1・2应用举例第1课时预习案【学习目标】1. 了解常用的测量相关术语，把一些简单的实际问题飙翁费学问题于聘养数堂的应辱2. 学会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量鞘或彎（有障碍物）夸关脅实际 问题的方法。
' '3. 让学生在独立思考，合作探究中激发学习数学的兴趣，体分析问题和解决问题的能力。
'返〔5。
CD 【重点】:综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决生活中的测量距离或宽度（有障图2 【难点】：根据题意建立数学模型，画岀示意图，并从中找出解决问题的关键条件。
将预习不能解决的问题屮标出来，并写到后面“我的疑惑”处.I •相关知识1. 什么是正弦定理？有几种变式？2. 什么是余弦定理？3. 利用正弦定理可解决哪儿类解三角形的问题？4. 利用余弦定理可解决哪几类解三角形的问题？II ・教材助读1. 课本例1可转化为“已知任意两角与 __________________ ”的解三角形问题，可利用 _________ 定理 得到解决。
2. 在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做 ________________ , 一般来说， _________ 越长, 测量的精度 _____________ o【预习自测】1. 某学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测量AC 的长度为4n ）, A 二E ，则期跨度AB 的长为（）6A. 12mB. 8m30X 碍物）问题。
其C. 3V3mD.4V3m2, （2011,上海）在相距2km的A, B两点处测量目标点C ,若ZCAB = 75°ZCBA = 60°,则A, C 两点之问的距离是 ______________ 【我的疑惑］ ________________________________________________________________________探究案I •质疑探究一一质疑解惑、合作探究探究点：测量不能到达的两点Z 间的距离（重难点）【例1】如图1, A, B 两点在河的两岸（不可到达），测量者在A 的同侧，在所在的河岸边 选定一点C,测11! A, C 两点间的距离是68 m, ZBAC=50° , ZACB 二80° .求A, B 两点|'可 的距离.（精确到0.1 m ）AC【例2】如图2所示，隔河可看到两目标A, B,但不能到达，在岸边选取相距3 km 的 C, D 两点，并测得ZACB=75° , ZBCD=45° , ZADC=30° , ZADB 二45图J A, B, C, D 在同 一平面内，求两目标A, B 之间的距离.km【规律方法总结】测量有关距离问题的应用题可分以下两类:II •我的知识网络图正弦定理、余弦定理的应用“-7:BW4B(2” 当\ - ____________________ 时，如图* 14’'C____________ 的度数及口!勺做可以鮎他在厶ADC^ABDC中求出AC和BC,再在Z\ABC中由 _____________ 求AB.测出可求AB.，测出训练案一、基础巩固-------- 把简单的事做好就叫不简单！1.如图,在河岸AC处测量河的宽度BC,需测量到下列四组数据，较适宜的是（）2.如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时最适合用的数据（）b3.为了开凿隧道，要测量隧道上D、E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C,如下图，测得CA=400m, CB=600m, ZACB = 50 J又测得A，B 两点到隧道口的距离AD二80m, BE=40m（A. D、E、B在一条直线上），计算隧道DE的长。
高中数学必修5《应用举例》导学案
§1．2 应用举例[学习指导语] 生活中，许多实际问题都可以用解三角形知识来解决．运用三角形边角关系等丰富的知识，将实际问题抽象为数学模型，不少“可望而不可及”的问题都能轻松获解．[预备知识]1．正弦定理：2．余弦定理：[预习反馈] 实际问题中的有关名词和术语．1．仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 时叫仰角，目标视线在水平视线 时叫俯角．（如图①）2．方位角：从 方向 转到目标方向线的水平角．（如图②）3．方向角：相对于某一正方向的水平角．（如图③）4．坡角和坡比：（如图④）坡角为 ，坡比为 ．[小试牛刀]1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α与β之间的关系是 ( ) ．(A)αβ> (B) αβ= (C) 90αβ+= (D) 180αβ+=2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东 40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的（ ）．(A) 北偏东10°(B) 北偏西10°(C) 南偏东10°(D) 南偏西10°3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A 、B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定A 、B 间 距离的是 ( ) ．(A) ,,a b α (B),,a αβ (C) ,,a b γ (D) ,,b αβ4．轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船 的航行速度分别为25海里/h 、15海里/h ，则下午2时两船之间的距离是 海里．5．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°， ∠CBA ＝75°，AB ＝120m ，则这条河的宽度为 m ．。
2014人教A版数学必修五 1.2 《解三角形应用举例》(1)教学案
高中数学人教版必修五 1.2 解三角形应用举例（1）一、教学目标1能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语2激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点、难点1.重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解.2.难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.三、教学设计（一）预习教材指导预习思考：.如何将测量距离的实际问题转化为解三角形问题？（二）新课导学1.课题导入★【例题讲解】(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒75.求A、B两点51，∠ACB=︒的距离(精确到0.1m)例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离.3.课堂练习课本4.课堂小结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解（三）作业设计四、课后反思。
人教新课标版数学高二-人教A必修5学案 1.2 应用举例(一)
1．2 应用举例(一)[学习目标] 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神．[知识链接]在本章“解三角形” 引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？ [预习导引]1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如下图所示)要点一 测量可到达点与不可到达点间的距离例1 如下图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是a ，∠BAC ＝α，∠ACB ＝β.求A 、B 两点间的距离．解 在△ABC 中，根据正弦定理，得AB sin C ＝AC sin B，AB ＝AC sin C sin B ＝a sin βsin (π－α－β)＝a sin βsin (α＋β).答 A 、B 两点间的距离为a sin βsin (α＋β).规律方法 解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解． 跟踪演练1 如图，在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米． 答案6解析 由题意知C ＝180°－A －B ＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝222·32＝ 6.要点二 测量两个不可到达点间的距离例2 在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C 和D 测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离． 解 ∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°， 又∠DCA ＝60°，∴∠DAC ＝60°. ∴AD ＝CD ＝AC ＝32a . 在△BCD 中，∠DBC ＝45°， ∴BC sin 30°＝CD sin 45°，∴BC ＝64a . 在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34a 2＋38a 2－2×32a ×64a ×22＝38a 2. ∴AB ＝64a . ∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为64a .规律方法 测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的两点A ，B 之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边．跟踪演练2 如下图，A 、B 两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠CDB ＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A 、B 两点间的距离是多少？解 应用正弦定理得AC ＝40sin (45°＋60°)sin[180°－(30°＋45°＋60°)]＝40sin 105°sin 45°＝40sin 75sin 45°＝20(1＋3)，BC ＝40sin 45°sin[180°－(60°＋30°＋45°)]＝40sin 45°sin 45°＝40.在△ABC 中，由余弦定理得 AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC cos ∠BCA ＝20 6 m.∴A 、B 两点间的距离为206米．1．如图，在河岸AC 上测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( ) A ．a ，c ，α B ．b ，c ，α C ．c ，a ，β D ．b ，α，γ答案 D解析 由α、γ可求出β，由α、β、b ，可利用正弦定理求出BC .故选D.2．某人向东方向走了x 千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好13千米，那么x 的值是________． 答案 4解析 由余弦定理：得x 2＋9－3x ＝13，整理得：x 2－3x －4＝0，解得x ＝4(x ＝－1舍去)．3．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，求A 、B 两点的距离．解 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．答 A 、B 两点间的距离为50 2 m.1.解三角形应用题常见的两种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解． 2．正、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．一、基础达标1．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile答案 D解析 由题意知，在△ABC 中AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，则C ＝180°－A －B ＝45°. 由正弦定理，得BC ＝AB sin A sin C ＝10sin 60°sin 45°＝56(n mile)．2．甲骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( ) A ．6 km B ．3 3 km C. 3 2 km D ．3 km答案 C解析 由题意知，AB ＝24×14＝6 km ，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°.由正弦定理，得BS ＝AB sin ∠BAS sin ∠ASB＝6sin 30°sin 45°＝3 2.3．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______m.答案 60解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC . ∴AC ＝AB ＝120(m)．如图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度． 由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，∴120sin 90°＝CDsin 30°，∴CD ＝60(m)． ∴河的宽度为60 m.4．如图，一艘船以32.2 n mile/h 的速度向正北航行．在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向，30 min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？ 解 在△ABS 中，AB ＝32.2×0.5＝16.1 (n mile)，∠ABS ＝115° ， 根据正弦定理，AS sin ∠ABS ＝ABsin (65°－20°)，AS ＝AB ×sin ∠ABS sin (65°－20°)＝AB ×sin ∠ABS ×2＝16.1×sin 115°×2，S 到直线AB 的距离是d ＝AS ×sin 20°＝16.1×sin 115°×2×sin 20°≈7.06(n mile)． 由于7.06＞6.5，所以这艘船可以继续沿正北方向航行．5．要测量对岸两点A 、B 之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离． 解 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°， ∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22 (km)．在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75° ＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝ 5 (km)．∴A 、B 之间的距离为 5 km. 二、能力提升6．一架飞机从A 地飞到B 地，两地相距700 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35°夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700 km 远了多少？解 在△ABC 中，AB ＝700 km ，∠ACB ＝180°－21°－35°＝124°， 根据正弦定理，700sin 124°＝AC sin 35°＝BCsin 21°，AC ＝700·sin 35°sin 124°，BC ＝700·sin 21°sin 124°，AC ＋BC ＝700·sin 35°sin 124°＋700·sin 21°sin 124 °≈786.89(km)，786．89－700＝86.89(km)．答 所以路程比原来远了约86.89 km.7．某人在M 汽车站的北偏西20°的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶．公路的走向是M 站的北偏东40°.开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？解 由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B 处．在△ABC 中，AC ＝31，BC ＝20，AB ＝21，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝2331，则sin 2C ＝1－ cos 2C ＝432312， sin C ＝12331，所以sin ∠MAC ＝sin(120°－C )＝sin 120°cos C －cos 120°sin C ＝35362.在△MAC 中，由正弦定理，得MC ＝AC sin ∠MAC sin ∠AMC ＝3132×35362＝35.从而有MB ＝ MC －BC ＝15.答 汽车还需要行驶15千米才能到达M 汽车站． 三、探究与创新8．如右图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km 到达D 处，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．解 依题意得，DC ＝30， ∠ADB ＝∠BCD ＝30°＝∠BDC ，∠DBC ＝120°，∠ADC ＝60°，∠DAC ＝45°. 在△BDC 中，由正弦定理可得，BC ＝DC sin ∠BDC sin ∠DBC ＝30·sin 30°sin 120°＝10，在△ADC 中，由正弦定理可得， AC ＝DC sin ∠ADC sin ∠DAC＝30·sin 60°sin 45°＝3 5.在△ABC 中，由余弦定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝(35)2＋(10)2－2×35×10×cos 45°＝25，∴AB ＝5. 答 这两座建筑物之间的距离为5 km.。
人教A版数学必修五1.2《应用举例》教案
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河北武中·宏达教育集团教师课时教案 问题与情境及教师活动 （3）已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问 题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚 缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。 解：（1）应用 S= S=
学生活动
1 acsinB，得 2
1 14.8 23.5 sin148.5 ≈90.9(cm 2 ) 2
b sin B
(2)根据正弦定理，
c sin C b sin C = sin B
=
c 教 学 过 程 及 方 法 S =
1 1 2 sin C sin A bcsinA = b 2 2 sin B
b2 c2 a2 a2 b2 c2 c2 a2 b2 +ca +ab ) 2bc 2ca 2ab
2 2 2 2 2 2 2 2
=(b +c - a )+(c +a -b )+(a +b -c ) =a +b +c =左边
变式练习 1：已知在 ABC 中， B=30 ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ABC 的面
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 问题与情境及教师活动 学生活动
Ⅰ.课题导入
以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习 它的另一个表达公式。在 ABC 中，边 BC、CA、AB 上的高分别记为 h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？ 教 学 过 程 及 方 法 h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =asinB=bsinaA 根据以前学过的三角形面积公式 S= 学生回答
人教A版必修5数学 精品导学案：1.2应用举例—①
§1.2应用举例—①班级姓名学号学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题学习过程一、课前准备复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝232+，c＝22，则∠A为.复习2：在△ABC中，sin A＝sin sincos cosB CB C++，判断三角形的形状.二、新课导学※典型例题例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是a，∠BAC=α，∠ACB=β. 求A、B两点的距离.分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.例3、坡度、仰角、俯角、方位角探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.例4. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25︒的方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD.1. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）.A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时2. 在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC ∆的形状（ ）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.在ABC ∆中，已知4a =，6b =，120C =，则sin A 的值是 ．4.在∆ABC 中，cos 5cos 3A bB a ==，则∆ABC 的形状是、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若::a b c A:B:C 的值.1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，的C 、D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.2. 在∆ABC中，b=2a=，且三角形有两解，则A的取值范围是．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
新人教A版必修5高中数学第一章1.2应用举例(一)导学案
§1.2 应用举例(一)课时目标1．了解数学建模的思想；2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A 点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题 1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′ 答案 C2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 答案 B解析 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ， ∴由余弦定理得AB ＝3a .3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile 答案 D解析 在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin B∴BC sin 60°＝10sin 45° 解得BC ＝5 6.4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为()A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案 A解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，∴AB ＝AC ·sin∠ACBsin ∠ABC ＝50×2212＝50 2 (m)．5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时 答案 B解析 由题意，∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) 海里/小时．6．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507 分钟B.157小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟 答案 A解析 设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ， 则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小．二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．答案 32－ 28．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 40 39．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______．答案 60 m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120 m. 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60 m.10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km. 由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°， 解得CD ＝83≈14(n mile)．即A 处与D 处的距离为24 n mile ， 灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.12．如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形．∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34＋616－2×32×64×22＝38， ∴AB ＝64(km)．答 河对岸A 、B 两点间距离为64km.能力提升13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 答案 B解析 设t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得： (20t )2＋402－2×20t ×40·cos 45°＝302. 化简得：4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝1.14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解 如图所示，连结A 1B 2，由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200.∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船速度的大小为 10220×60＝302(海里/小时)． 答 乙船每小时航行302海里．1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解．2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．。
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1.2应用举例第1课时
预习案
【学习目标】
1.
2.学会用正弦定理、
问题的方法。
3
分析问题和解决问题的能力。
.
【重点】：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决生活中的测量距离或宽度(有障
碍物)问题。
【难点】：根据题意建立数学模型，画出示意图，并从中找出解决问题的关键条件。
将预习不能解决的问题中标出来，并写到后面“我的疑惑”处.
Ⅰ.相关知识
1.什么是正弦定理？有几种变式？
2.什么是余弦定理？
3.利用正弦定理可解决哪几类解三角形的问题？
4.利用余弦定理可解决哪几类解三角形的问题？
Ⅱ.教材助读
1.课本例1可转化为“已知任意两角与”的解三角形问题，可利用定理
得到解决。
2.在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做，一般来说，越长，
测量的精度。
【预习自测】
1. 某学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测量AC的长度为4m，A=
6
π，则期跨度AB的长为（） C
C.33m
D.43
2，（2011，上海）在相距2km的A,B两点处测量目标点C ，若0
75
=
∠CAB
60
=
∠CBA,则A,C两点之间的距离是 km
【我的疑惑】
探究案
Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究
探究点：测量不能到达的两点之间的距离（重难点）
【例1】如图1，A，B两点在河的两岸（不可到达），测量者在A的同侧，在所在的河岸边
选定一点C，测出A，C两点间的距离是68 m，∠BAC=50°，∠ACB=80°.求A，B两点间
的距离.(精确到0.1 m)
【例2】如图2所示，隔河可看到两目标 A，B 3 km的
C，D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，A，B，C，D在同
一平面内，求两目标A，B之间的距离.
图1
图2
【规律方法总结】
测量有关距离问题的应用题可分以下两类：
求
Ⅱ.我的知识网络图
→
训练案
一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单！
1．如图,在河岸AC处测量河的宽度BC，需测量到下列四组数据，较适宜的是（）
A、c与α
B、 c 与b
C、 c与β
D、 b与α
2. 如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时最适合用的数据（）
A .a、ɑ、b B.、ɑ、β、a C.a 、 b、γ D.α、β、
b
3.为了开凿隧道，要测量隧道上D、E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如下图，测
得CA=400m，CB=600m，600
=
∠ACB，又测得A，B两点到隧道口的距离AD=80m，BE=40m
（A、D、E、B在一条直线上），计算隧道DE的长。
图3 图4
4.2003年，伊拉克战争初期，美英联军为了准确分析战场的形势，由分别为于科威特和沙特的两个相距a 2
3的军事基地C 和D ，测得伊拉克两支精锐部队分别在A 处B 处且
030=∠ADB ,030=∠BDC ,060=∠DAC ,045=∠ACB ,如图所示，求伊军这两支精锐部
队间的距离。
D C
二、综合应用-----挑战高手，我能行！
5．在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线 成15°方向把球击出，根据经验，通常情况下，球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样 布置，游击手能否接着球？
三、拓展探究题------战胜自我，成就自我！
6.如图要计算西湖岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制需要在岸上选取A 和D 两点，现
测CD AD ⊥，AB=14km,AD=10km,060=∠BDA , 0
135=∠BCD ,求两景点B 与C 的距离。