最短路径问题(将军饮马问题)
人教版八年级数学上册：13.4课题学习最短路径问题(将军饮马为题)教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握轴对称的性质，以及在实际问题中的应用。
-学会利用轴对称性质解决最短路径问题，特别是将军饮马问题。
-掌握通过直观感知、操作确认、推理证明等数学活动来解决几何问题。
其次，小组讨论环节，学生的参与度很高，大家积极分享自己的观点。但我注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，讨论一些与最短路径问题不相关的内容。这提示我在今后的教学中，需要更加明确讨论的主题和目标，适时引导学生回到主题上来。
另外，实践活动的设计上，我觉得还可以进一步优化。虽然实验操作能够帮助学生理解最短路径的概念，但我觉得可以增加一些更具挑战性和实际意义的任务，让学生在实践中遇到更多的问题，从而激发他们更深层次的思考和探索。
教学内容：
（1）回顾线段的性质，强调线段是两点间距离最短的路径。
（2）引入将军饮马问题，探讨在给定条件下如何找到最短路径。
（3）学习轴对称的性质，掌握将问题转化为轴对称问题的方法。
（4）应用轴对称性质解决将军饮马问题，得出最短路径的解法。
（5）通过例题和练习，巩固最短路径问题的求解方法。
二、核心素养目标
在难点和重点的讲解上，我尽量使用了简单的语言和生动的例子，但仍有部分学生在理解上存在障碍。我考虑在下一节课前，通过一些小测验来检测学生对这些概念的理解程度，以便我能够更有针对性地进行辅导。
此外，我也意识到，对于一些接受能力较强的学生，他们在掌握了基本概念后，可能需要更多拓展性的内容来满足他们的学习需求。因此，我计划在后续的课程中，提供一些难度较高的题目，让他们在挑战中进一步提升自己的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调轴对称性质和线段性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图形比较来帮助大家理解。
中考最短路径问题专题训练(将军饮马-胡不归-瓜豆原理-辅助圆-费马点)
最短路径问题专题训练一、将军饮马问题特征：定直线上找一动点到两定点距离之和最小. 解法:做不动点对称点 如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？例1.（一动点两定点）如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．例2.（一定点两动点）如图，点P 是△AOB 内任意一点，△AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．例3.（一定点两动点）已知P 为△AOB 内部一定点，在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。
二、费马点问题若点P 满足∠PAB =∠BPC =∠CPA =120°，则PA +PB +PC 值最小，P 点称为该三角形的费马点． 在∠ABC 内找一点P ，使得PA +PB +PC 最小．PBAP OBAMNP'M NAPOOPBMABCDMN例1.如图，在△ABC 中，△BAC =90°，AB =AC =1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．例2.如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．三、胡不归问题从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V 的值最小．ABCPCABCDME2驿道2MM【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD 使得sin △DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH △AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．例1. 如图，△ABC 中，AB =AC =10，tanA =2，BE △AC 于点E ，D 是线段BE上的一个动点，则CD 的最小值是_______．例2. 如图，平行四边形ABCD 中，△DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD上的一动点，则PB 的最小值等于________．总结：在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．四、瓜豆原理引例：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？考虑到Q 点始终为AP 中点，连接AO ，取AO 中点M ，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP 一半，ABCDEABCDP任意时刻，均有△AMQ △△AOP ，QM :PO =AQ :AP =1:2． 【模型总结】为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠P AQ =∠OAM ；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP :AQ =AO :AM ，也等于两圆半径之比． 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与P 的关系相当于旋转+伸缩．例1 如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．例2 如图，正方形ABCD 中，25AB ，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．五、辅助圆（轨迹圆/隐圆） 定直线对定角/四点共圆例1 如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，△APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．例2 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，△A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．O yxA BCM POABCDEF例3 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，BC =42 ，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为__________．例4 如图，∠A O B =45°，边O A 、OB 上分别有两个动点C 、D ，连接C D ,以CD 为直角边作等腰Rt △CDE ，且CD =CE ，当CD 长保持不变且等于2cm 时，OE 最大值为__________．综合练习1. 如图，菱形ABCD 中，AB =2，△A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为__________．2. 如图，在Rt △ABC 中，△C =90°，AB =17，AC =8，D 为AB 边上的一动点，E 、F 分别为AC 、BC 上两点，且DE △DF ，则EF 的最小值为__________．3. 如图，△MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为__________．4. 已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为 2 +6,则正方形的边长 .5. 如图，在四边形ABCD 中，AB =2，BC =5，若AC =AD 且△ACD =60°，则当对角线BD 取得最大值时，对角线AC 的长是_________．lPO CBA A'NMABCD6. 在等边△ABC 中，AB =4，点D 是BC 的中点，连接AD ，P 为AD 上一动点，则CP +12BP 最小值为____．7. 如图，在等腰直角△ABC 中，BC =8，D 为BC 中点，E 为DC 中点，P 为AD 上一动点，则2PE +2AP 的最小值________．8. 如图，在△ABC 中，AB =AC =10，tan △A =2，BE △AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +55BD 的最小值为________．9.如图，已知正方形ABCD 的边长为4.点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动.连接AM 和BN ，交于点P ，则PC 长的最小值为________．10. 如图，AC 为边长为4的菱形ABCD 的对角线，∠ABC =60°，点M 和N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CA 运动.连接AM 和BN ，交于点P ，则PC 长的最小值为________．11. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF .连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H .若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．。
最短路径问题(将军饮马问题)
C
B N
M A
O
2020/4/5
15
变式2：
M
作法:(1)作点A关于OM的对称点A' ,
点B关于ON的对称点B'.
(2)连结A'和B'，交OM于C，交ON于D。. A
则点C、D为所求。
B.
.
N
.D
A.' .C
O
2020/4/5
B'
16
课堂小结：
本节课研究问题的基本过程是什么？
把实际问题变成数学问题或数学模型 →推理 →猜想 →证明 ↓
N 河边
9
如图:已知 MON 内一点A
求作:OM上一点B,ON 上一点C,使 AB+BC+AC最小
作法: (1)作点A关于OM、
ON的对称点A'、A''
.A' B.
O
M
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.A .N C .A''
2020/4/5
(2)连结A'和A''，交OM于B,交ON于C, 则点B、C为所求。
10
变式1：
已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC 上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？
2020/4/5
11
两点在两相交直线内部
如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马 厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边 饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。
2020/4/5
12
答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩 牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后 回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.
最短路径(将军饮马+造桥选址).
Ｍ
Ｎ B
2、利用线段公理解决问题我们遇到了什 么障碍呢？
2020/7/8
思维火花
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提 下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助 我们呢？
各抒己见
2020/7/8
1、把A平移到岸边. 2、把B平移到岸边. 3、把桥平移到和A相连. 4、把桥平移到和B相连.
合作与交流
A
向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿 A1
垂直于第二条河岸方向平移
Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1
M
分别交A、B的对岸于N、P 两点，建桥MN和PQ.
N P
最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为
AA1+A1B1+BB1.
Q B
2020/7/8
思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于 P点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化 为AB2+B2B1+B1B．
A
C
l
B
② 点A,B分别是直线l同 侧的两个点 B
A l
C
B′
解决问题 1
① 作图
B A
l C
B′
② 证明
B A
C l
C′B′A来自C′CB 证明: l
B′
问题 2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河 上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河 的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）
将军饮马最短距离原理
将军饮马最短距离原理1.引言1.1 概述将军饮马最短距离原理是一种常见的数学问题，根据传说中的典故“将军饮马”，通过解决这个问题我们可以得到最短距离的最优解。
这个问题在数学领域中被广泛研究和应用，尤其在图论、最优路径规划、网络优化等领域中具有重要的意义。
将军饮马最短距离问题可以简单描述为：一个将军要从指定位置A饮马到指定位置B，同时他必须经过多个中间位置，并且需要选择经过这些中间位置的最短路径。
这个问题可以用图论中的有权有向图来模拟和解决。
每个位置可以看作图中的一个节点，将军的移动可以看作是节点之间的有向边，每条边的权值表示将军从一个位置到另一个位置的移动距离。
通过这个问题的求解，我们可以找到从起点到终点的最短路径，即将军饮马的最短距离。
将军饮马最短距离原理的研究不仅可以用于解决实际问题，还可以用来优化和改进一些相关算法和模型。
例如，在网络优化中，我们可以利用这个原理来找到网络中数据传输的最短路径，从而提高网络的传输效率。
此外，通过将军饮马问题的研究，还可以挖掘和发现一些潜在的规律和规划策略，进一步推动相关领域的发展。
本文将从将军饮马最短距离原理的背景和原理解析两个方面进行详细探讨，通过对相关理论和算法的介绍和分析，旨在增加对这一原理的理解和认识。
同时，本文还将探讨将军饮马最短距离原理的应用价值和未来发展方向，以期为相关领域的研究和实践提供一定的参考和指导。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行叙述和分析将军饮马最短距离原理：1. 引言：为了引出将军饮马最短距离原理的背景和意义，概述本文将要介绍的内容。
2. 正文：2.1 将军饮马最短距离原理的背景：详细介绍将军饮马最短距离原理的起源和历史背景，包括相关的故事或传说，以便读者能够更好地理解该原理。
2.2 将军饮马最短距离原理的原理解析：深入分析将军饮马最短距离原理的具体原理，包括数学模型和算法等相关内容。
通过展示相关的数学推导或图表，让读者理解这一原理的运作机制。
生活中的轴对称图形：将军饮马
A
O
N
三、课堂练习
【精讲精练】
1．如图，在台球桌面ABCD上，有白和黑两球分别位于M，N两点处，问： 怎样撞击白球M，使白球先撞击台边BC，反弹后再去击中黑球N？
A
D
M
N
B
C
三、课堂练习
【精讲精练】 2． 已知，如图△ABC为等边三角形，高AH＝10cm，P为AH上一动点， D为AB的中点，则PD＋PB的最小值为 cm．
将军饮马
——最短路径问题初探
将军饮马问题：
在古罗马时代，传说亚历山大城有一位 精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天， 一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个 百思不得其解的问题：
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中
马要到河边饮水一次。将军问怎样走路程最 短？据说海伦略加思索就解决了它。
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
为
.
A
D
P E
B
C
三、课堂练习
【精讲精练】 5．如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交
BC 于 点 D ， M ， N 分 别 是 AD 和 AB 上 的 动 点 ， 则 BM ＋ MN 的 最 小 值
是
．
C
M
D
A
N
B
三、课堂练习
【精讲精练】 6．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、 N，当BM＋MN的值最小时，求AN．
一、两点一线型（两定一动）
【变式训练】 1．如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA＋PB最小．
A B l
二、一点两线型（一定两动）
最短路径(将军饮马+造桥选址)
为ＡM＋MN＋ＮＰ＋Ｐ
B
Ｑ＋ＱＢ．
11/24/2019
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方
A
向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿 A1
垂直于第二条河岸方向平移
Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1
M
分别交A、B的对岸于N、P 两点，建桥MN和PQ.
N P
最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为
AA1+A1B1+BB1.
Q B
M N P Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
11/24/2019
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
A A1
B
11/24/2019
最短路径 问题
将军饮马 造桥选址
问题
问题
郧西县河夹中学
段廉洁
最短路径问题
①垂线段最短。
B L
A
②两点之间，线段最短。
A L
C B
问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马
人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
A C
B
L
两种情形
① 点A，B分别是直线l异 侧的两个点
a
A
M
b
N
B
解决问题 2
① 作图
A A′
M N
a b
B
② 证明
A A′
a
M′
b
M
N′
N
B
最短路径问题最短路径(完整版)4
3.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上 有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数. 解:如图，依题意,分别作点P关于ON、OM的 对称点P1、P2,连接P1P2交ON于点B，交OM于
点A，依次连接A、B、P，此时△PAB的周长为
最小值.
祝你学业有成
角形，就是最短路径。
求解原理 两点之间，线段最短
A1
m
B A
C
n
A2
探索新知
知识点1 将军饮马问题
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点
，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
E BF
EF B
E BF
探索新知
知识点1 将军饮马问题
l
A
问
题
将两地抽象为A、B两个 点，将河抽象为直线l ．
B 数 学 问 题
引例
将两地抽象为A、B两个点，将河抽象为直线l ．
A
问题一 你能用自己的语言把问题抽象为
l
数学问题吗？
C B
连接AB，与l 交于C点
在直线l 上找一点C，使AC+BC最短
问题二 点C应该在哪里？ 为什么呢？
两点之间线段最短
知识点1 将军饮马问题
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点
，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
【解析】∵△ABC为等边三角形，D是BC边的中点，∴
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M 草地
O
.驻地A
N 河边
如图:已知 MON 内一点A
求作:OM上一点B,ON上 一点C,使AB+BC+AC最 小
. A' B.
作法:
(1)作点A关于OM、
O
ON的对称点A'、A''
M
.A .N C .A''
(2)连结A'和A''，交OM于B,交ON于C,则点 B、C为所求。
变式1：
已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC 上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？
A
M
D
N
C B
两点在两相交直线内部
如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马 厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边 饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。
答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩 牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然 后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.
A
B
作法：
（1）作点B关于直线 MN 的对称点 B' （2）求的点．
A
B
M
N
P
B'
证明：
A B
在MN 上任取另一点P'， M
N
P
P'
连结BP、BP'、AP' 、B'P' ． B'
∵ 直线MN是点B、B'的对称轴，点P、P'在对称轴上， ∴BP=B'P，BP'=B'P'．
M A'
N
B'
B A
变式1：
已 求作知：：点MCO和N点内D两,使点得A、点BC.在OM上，点D在ON
上，且AC+CD+BD+AB最短。
AM
'
C
A
B
O
N
D
B'
变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有 黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试 问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边 OM、ON后，反弹击中黑球？
——将军饮马问题及延伸
为什么有的人会经常践踏草地呢？
两点之间，线段最短
绿地里本没有路，走的人多 了… …
禁止践 踏
在公路l两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一 所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短， 试确定候车亭P的位置。
A P
l
B
★思考：本题运用了 两点之间，线段最短.
.
将军饮马问题：
∴ BP+AP=B'P+AP =B'A． ∴ BP'+AP'= B'P'+AP'
在△AB'P'中，AB'<AP'+B'P'，
∴ BP+AP < BP'+AP'，即AP+BP最小．
变式1：
已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在 BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？
如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A 问：这位将军怎样走路程最短？
C
B N
M A
O
变式2：
M
作法:(1)作点A关于OM的对称点A' , 点B关于ON的对称点B'.
(2)连结A'和B'，交OM于C，交ON于D。. A
则点C、D为所求。
B.
.
N
.D
B'
A. ' .C
O
课堂小结：
本节课研究问题的基本过程是什么？
把实际问题变成数学问题或数学模型 →推理 →猜想 →证明 ↓
应用到实际问题中← 得出结论
今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应 该怎么样找到它们的最短路径呢？
1、确定对称轴，找出定点的对称点。 2、连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各 对称点确定所求位置点）。
课后拓展：
在矩形ABCD中，在边和对角线AD、BD上有两个动点M、 N,当M、N运动到何处时，BM+MN最短？
两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就 有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的 学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜 访他，向他请教一个百思不得其解的问题：
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途 中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程 最短？
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要 到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？