2016年秋季学期新人教A版高中必修二4.1.2 圆的一般方程课件
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新课标人教A版高一必修二数学4.1.2圆的一般方程课件(共14张ppt)
思考2:方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 的一般形式是什么？
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
灿若寒星整理制作
高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
灿若寒星整理制作
高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
高中数学必修二4.1.2圆的一般方程课件(1)
1. 圆的一般方程和标准方程； 2. 配方法和待定系数法.
课后作业
P124 A组 第6题 B组 第3题
小 结： 用待定系数法求圆的方程的步骤：
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
例3.已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3)，端点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程．
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是 (4, 2)，底边一个端点B的坐标是 (3, 5)，求另一端点C的轨迹方程， 并说明它是什么图形.
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2)，底边一个端点B的坐标是
(3, 5)，求另一端点C的轨迹方程，
并说明它是什么图形.
解：设c点坐标为(a,b) 则 (a-4)^2+(b-2)^2=(4-3)^2+(2-5)^2=10 端点C的轨迹方程以（4，2）为圆心 10 为半径的圆 A，B，C三点不共线，点（5， -1）除外，B点除外
＝
1 4
( (x
x 2＋y2 ) －3 )2＋y2
＝
1 2
①
化简得： x2 ＋ y2＋2x－3＝0 ②
这就是所求的曲线方程。
y
把 ② 左边配方得(x＋1)2＋ y 2＝ 4
所以方程 ② 的曲线是以C( —1，0） M.
为圆心，2为半径的圆， 它的图形如图：
课后作业
P124 A组 第6题 B组 第3题
小 结： 用待定系数法求圆的方程的步骤：
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
例3.已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3)，端点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程．
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是 (4, 2)，底边一个端点B的坐标是 (3, 5)，求另一端点C的轨迹方程， 并说明它是什么图形.
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2)，底边一个端点B的坐标是
(3, 5)，求另一端点C的轨迹方程，
并说明它是什么图形.
解：设c点坐标为(a,b) 则 (a-4)^2+(b-2)^2=(4-3)^2+(2-5)^2=10 端点C的轨迹方程以（4，2）为圆心 10 为半径的圆 A，B，C三点不共线，点（5， -1）除外，B点除外
＝
1 4
( (x
x 2＋y2 ) －3 )2＋y2
＝
1 2
①
化简得： x2 ＋ y2＋2x－3＝0 ②
这就是所求的曲线方程。
y
把 ② 左边配方得(x＋1)2＋ y 2＝ 4
所以方程 ② 的曲线是以C( —1，0） M.
为圆心，2为半径的圆， 它的图形如图：
人教A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程 课件
5.
，则动点P的轨迹是
（1）若 λ＝1，则点P的轨迹是线段AB的中垂线. （2）若 λ＞0 且 λ≠1 ，则点P的轨迹是圆. （3）若 λ<0，则点P的轨迹不存在.
4x0 2 3 x0
1,
∴ x0＝1，即圆心为(1，－4)，
半径 r (3 1)2 (2 4)2 2 2 ,
故圆的方程为 (x－1)2＋(y＋4)2＝8.
.
C
练习2.
解1：设 M(x，y) ，Q(x0，y0) ，
y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱQ
则由线段中点坐标公式得
M
x
x
y
x0 10 2
y0 0 2
4.1.2 圆的一般方程
将圆的标准方程 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
展开，得
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r 2 0
可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
x2 y2 Dx Ey F 0
反过来，x2 y2 Dx Ey F 0 所表示的曲线是圆吗？
即
x0 y0
2x 10 2y
O
P
（相关点法）
∵点 Q 在圆 x2+y2=16 上 ， x02 y02 16
即 (2 x 10)2 (2 y)2 16
即 ( x 5)2 y2 4 所求点M的轨迹方程.
练习2.
解2：设 M(x，y) ，Q(x0，y0) ，
∵点 Q 在圆 x2+y2=16 上 ，
解3：
∴ 线段AB的中点M轨迹是以( 3 , 3)为圆心、1为半径的圆.
22
小结圆的方程：
1. 圆心为(a，b)，半径为r 的圆的标准方程为：
(x a)2 ( y b)2 r2
高一数学人教A版必修二课件：4.1.2 圆的一般方程
方程.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
解:方法一:设所求的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.
-������ + 5������ + ������ + 26 = 0,
������ = -4,
则由题意有 -2������-2������ + ������ + 8 = 0, 解得 ������ = -2,
解法二:线段 CD 的垂直平分线方程为 x+y-2=0.
∵圆心在直线 y=x 上,
∴解方程组
������ ������
+ =
������-2 ������
=
0,得圆心坐标为(1,1).
则半径 r= (1 + 1)2 + (1-1)2=2.
∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4,
则一般方程为 x2+y2-2x-2y-2=0.
4.1.2 圆的一般方程
目标导航 预习导引
学习 目标
重点 难点
1.知道二元二次方程表示圆的条件,会根据圆的一般方程 求圆的圆心坐标和半径; 2.会根据所给条件求圆的一般方程; 3.会解答简单的轨迹问题. 重点:求圆的一般方程; 难点:求动点的轨迹方程.
目标导航 预习导引
12
1.圆的一般方程
圆的一般方程的定义
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
三、求动点的轨迹方程 1.求动点的轨迹方程,就是根据题意建立动点的坐标(x,y)所
满足的等量关系,并把这个方程化成最简形式. 2.求轨迹方程的常用方法:
(1)直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如 圆及以后要学习到的椭圆、双曲线、抛物线等),可用定义直
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
解:方法一:设所求的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.
-������ + 5������ + ������ + 26 = 0,
������ = -4,
则由题意有 -2������-2������ + ������ + 8 = 0, 解得 ������ = -2,
解法二:线段 CD 的垂直平分线方程为 x+y-2=0.
∵圆心在直线 y=x 上,
∴解方程组
������ ������
+ =
������-2 ������
=
0,得圆心坐标为(1,1).
则半径 r= (1 + 1)2 + (1-1)2=2.
∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4,
则一般方程为 x2+y2-2x-2y-2=0.
4.1.2 圆的一般方程
目标导航 预习导引
学习 目标
重点 难点
1.知道二元二次方程表示圆的条件,会根据圆的一般方程 求圆的圆心坐标和半径; 2.会根据所给条件求圆的一般方程; 3.会解答简单的轨迹问题. 重点:求圆的一般方程; 难点:求动点的轨迹方程.
目标导航 预习导引
12
1.圆的一般方程
圆的一般方程的定义
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
三、求动点的轨迹方程 1.求动点的轨迹方程,就是根据题意建立动点的坐标(x,y)所
满足的等量关系,并把这个方程化成最简形式. 2.求轨迹方程的常用方法:
(1)直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如 圆及以后要学习到的椭圆、双曲线、抛物线等),可用定义直
人教A版高中数学必修二《4.圆的一般方程》课件
方 程x2y2DxEyF0表 示 以 点 D 2,E 2为 圆 , 1 D2E24F为 半 径 的 圆 . 2
（ 2 ） 当 D 2 E 2 4 F 0 时 ，
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 表 示 点 D 2 , E 2
（ 3 ） 当 D 2E 2 4 F 0 时 ，
练一练
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
1:下列方程各表示什么图形?
（ 1） x2y20_________
原点（0,0）.
（ 2 ） x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _
圆 心 为 ( 1 ,2 ),半 径 为 1 1 的 圆 .
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: (用配方法求解) ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待 定系数法求解.
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件 人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
x12 y2 4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标（x，y）,
点A的坐标 x0 , y.0由 于点B的坐
标是（4，3）,且点M是线段 AB的中点,所以
xx04,yy03,
2
2
于是有 x02x4,y02y3.①
y
M
B
A
O
x
图4.1-4
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 不 表 示 任 何 图 形 .
（ 2 ） 当 D 2 E 2 4 F 0 时 ，
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 表 示 点 D 2 , E 2
（ 3 ） 当 D 2E 2 4 F 0 时 ，
练一练
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
1:下列方程各表示什么图形?
（ 1） x2y20_________
原点（0,0）.
（ 2 ） x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _
圆 心 为 ( 1 ,2 ),半 径 为 1 1 的 圆 .
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: (用配方法求解) ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待 定系数法求解.
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件 人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
x12 y2 4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标（x，y）,
点A的坐标 x0 , y.0由 于点B的坐
标是（4，3）,且点M是线段 AB的中点,所以
xx04,yy03,
2
2
于是有 x02x4,y02y3.①
y
M
B
A
O
x
图4.1-4
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 不 表 示 任 何 图 形 .
4.1.2圆的一般方程 课件(人教A版必修2)
题型三
的轨迹方程, 并说明它的轨迹是什么. 解: 设另一端点 C 的坐标为(x, y). 依题意, 得|AC|=|AB|, 由两点间距离公式, 得
求轨迹方程
【例 3】 等腰三角形的顶点是 A( 4, 2) , 底边一个端点是 B( 3, 5) , 求另一个端点 C
整理得(x-4)2+(y-2)2=10. (x 4) 2 (y 2) 2 (4 3) 2 (2 5) 2 , 这是以点 A(4, 2) 为圆心, 以 10 为半径的圆, 如图所示, 又因为 A, B, C 为三角 形的三个顶点, 所以 A, B, C 三点不共线.即点 B, C 不能重合且 B, C 不能为圆 A 的 一直径的两个端点.
1 若方程 x2+y2-4x+2y+5k=0 表示圆, 则实数 k 的取值范围是( A.R C.( -∞, 1] 答案: B B.( -∞, 1) D.[ 1, +∞)
)
解析: 16+4-4× 5k>0, ∴ k<1.
2 若方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示以( 2, -4) 为圆心, 4 为半径的圆, 则 F= .
2
解法二: 原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2, 当 m=2 时, 它表示一个点; 当 m≠2 时, 原方程表示圆的方程, 此时, 圆的圆心为( 2m, -m), 半径为 r= 5 |m-2|.
反思: ( 1)形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的二元二次方程, 判定其是否表示圆时有如下 两种方法: ①由圆的一般方程的定义判断 D2+E2-4F 是否为正.若 D2+E2-4F>0, 则 方程表示圆, 否则不表示圆.②将方程配方变形成“标准”形式后, 根据圆的标准 方程的特征, 观察是否可以表示圆. (2)在书写本题结果时, 易出现 r= 5 (m-2)的错误结果, 导致这种错误的原因 是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数.
4.1.2圆的一般方程 课件(人教A必修2)
C. (－1,2)
D. (－1, －2)
解析: 选A.2).
栏目 导引
第四章 圆与方程
2. 圆x2＋y2－6x＋8y＝0的半径等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 25
解析: 选C.(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
栏目 导引
第四章 圆与方程
典题例证·技法归纳
【满分警示】 求动点的轨迹方程是指动点(x, y)满足的等式 关系, 求动点轨迹是说明动点满足的曲线或者 图形.
(1)当___D__2＋__E__2－___4_F_＝__0_____时, 方程表示一
个点, 该点的坐标为(－D2 , －E2 );
(2)当___D__2＋__E__2－___4_F_<_0_______时, 方程不表
示任何图形;
栏目 导引
第四章 圆与方程
(3)当__D__2＋__E__2－__4_F__>_0___时, 方程表示的曲线 为圆, 它的圆心坐标为 _(_－__D2_,_－__E2__)___, 半径长等于
x－x23＋2y＋2 y2＝12.6 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
两边平方并化简, 得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0. 将方程配方, 得(x＋1)2＋y2＝4.10 分 ∴所求曲线是圆心为(－1,0), 半径为 2 的圆, 其方程为(x＋1)2＋y2＝4.12 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
名师微博
栏目 导引
第四章 圆与方程
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为 (x－1)2＋(y－2)2＝－5, ∴它不能表示圆.
(4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2 ＝452, ∴它表示以45，0为圆心, 54为半径的圆.
高中数学人教A版必修二第四章4.1.2 圆的一般方程课件
圆的一般方程
x2 y2 2x 4y 1 0
(x -1) 2 (y 2) 2 4 配
拆 平
x2 2x 1 y2 4y 4 4 方
方
x2 y2 2x 4y 1 0
看不见圆心、半径
提取圆心和半 径的必经之路
已知x2 y2 2x 6 y 2 0表示圆，
则它的圆心坐标为
，半径为
(2)没有xy这样的二次项.
(3) D2 E 2 4F 0
本节总结：圆的一般方程
方我突程们出x把2了+yD形22++式DEx上2+-E的4yF+特F＞=点00的时轨x2迹+y可2+能D是x+圆Ey、+F点=或0所无表轨示迹.的 圆的方程称为圆的一般方程.
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 明确指出了圆心和半径 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0
x2 y2 2x 6y 2 0
x2 2x 1 y2 6y 2 1 (x 1)2 y2 6 y 2 1
(x 1)2 (y2 6 y 9) 2 10 (x 1)2 (y 3)2 2 10 (x 1)2 (y 3)2 8
圆心（ -1，，3） 半径2 2
。 X配方 y配方
人民教育出版社 高中数学 高一 必修2
4.1.2 圆的一般方程
圆的标准方程: x a2 y bN2 o r2
• 圆心C(a,b),半径为r.
Image
(x -1) 2 (y 2) 2 4
22
No • 圆心C(1,2), •半径为2 Image
(x -1) 2 (y 2) 2No4 拆平方 Image
x2 y2 Dx Ey F 0
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第四章 §4.1 圆的方程
4.1.2 圆的一般方程
学习 目标
1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径. 2.会在不同条件下求圆的一般方程.
栏目 索引
知识梳理
题型探究 当堂检测
自主学习
重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一
圆的一般方程的定义
1.当 D2＋E2－4F>0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程， 其圆心为
足什么条件？ ①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF＞0.
答案
知识点二
由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).则其
位置关系如下表：
位置关系 点 M 在圆 外 点 M 在圆 上 点 M 在圆 内 代数关系
2 2 x0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F>0 2 x2 ＋ y 0 0＋Dx0＋Ey0＋F＝0 2 x2 ＋ y 0 0＋Dx0＋Ey0＋F<0
2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出
恰当的方程，以便简化解题过程.
3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方
程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.
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解析
由题意可知(－2)2＋12－4k>0，
5 即 k<4.
解析答案
题型二 求圆的一般方程
例2 已知△ABC 的三个顶点为 A(1 ， 4) ， B( － 2 ， 3) ， C(4 ，－ 5) ，求
△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.
反思与感悟
解析答案
解析答案
题型三 求动点的轨迹方程
例3 已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点
解析答案
1
2
3
4
5
11 5.圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为_____. 4
解析
因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，
3 ∴r＝ 5－m＝ ， 2
11 ∴m＝ . 4
解析答案
课堂小结
1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y
－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.
1 A.k≤ 2 解析 1 B.k＝ 2 1 C.k≥ 2 1 D.k< 2
1 方程表示圆⇔1＋1－4k>0⇔k< . 2
解析答案
1
2
3
4
5
3.M(3，0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过点M的最长弦所在的直 线方程是( B ) A.x＋y－3＝0 B.x－y－3＝0 C.2x－y－6＝0 D.2x＋y－6＝0
答案
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题型探究
重点突破
题型一 例1
圆的一般方程的定义
判断方程x2 ＋y2 －4mx＋2my＋ 20m－20 ＝0 能否表示圆，若能表示
圆，求出圆心和半径长.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1
5 － ∞ ， 4 __________.
如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是
C的轨迹方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 方程.
解
1 求到点 O (0，0)的距离是到点 A(3，0)的距离的 的点的轨迹 2
1 设 M(x，y)到 O(0，0)的距离是到 A(3，0)的距离的 . 2
|MO| 1 则 ＝ . |MA| 2
1 ∴ 2 2 ＝2. x－3 ＋y x2＋y2
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0.即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.
解析 过点M的最长弦应为过点M的直径所在的直线.
y－1 x－4 易得圆的圆心为(4，1)，则所求直线的方程为 ＝ ，即 x－y－3＝0. 0－1 3－4
解析答案
1
2
3
4
5
4.圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( D )
A.2
解析
2 B. 2
C.1Leabharlann D. 2|1＋2－1| 易得圆的圆心为(1，－2)，它到直线 x－y＝1 的距离为 2 2 ＝ 2. 1 ＋1
例5
的最值.
解后反思
解析答案
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当堂检测
1
2
3
4
5
1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( D )
A.(2，3)
C.(－2，－3)
解析
B.(－2，3)
D.(2，－3)
D E － ＝2，－ ＝－3， 2 2
∴圆心坐标是(2，－3).
解析答案
1
2
3
4
5
2.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为( D )
D E － ，－ 2 2
，半径为
D2＋E2－4F 2 .
2.当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点 思考
答
D E － ，－ 2 2
.
3.当 D2＋E2－4F<0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.
若二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 ，表示圆，需满
解析答案
解题方法
代入法求圆的方程
例4
已知定圆的方程为(x＋1)2＋y2＝4，点A(1，0)为定圆上的一个点，
点C为定圆上的一个动点，M为动弦AC的中点，求点M的轨迹方程.
解后反思
解析答案
易错点
忽略有关圆的范围求最值致误 已知圆的方程为x2＋y2－2x＝0，点P(x，y)在圆上运动，求2x2＋y2
4.1.2 圆的一般方程
学习 目标
1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径. 2.会在不同条件下求圆的一般方程.
栏目 索引
知识梳理
题型探究 当堂检测
自主学习
重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一
圆的一般方程的定义
1.当 D2＋E2－4F>0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程， 其圆心为
足什么条件？ ①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF＞0.
答案
知识点二
由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).则其
位置关系如下表：
位置关系 点 M 在圆 外 点 M 在圆 上 点 M 在圆 内 代数关系
2 2 x0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F>0 2 x2 ＋ y 0 0＋Dx0＋Ey0＋F＝0 2 x2 ＋ y 0 0＋Dx0＋Ey0＋F<0
2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出
恰当的方程，以便简化解题过程.
3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方
程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.
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本课结束
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解析
由题意可知(－2)2＋12－4k>0，
5 即 k<4.
解析答案
题型二 求圆的一般方程
例2 已知△ABC 的三个顶点为 A(1 ， 4) ， B( － 2 ， 3) ， C(4 ，－ 5) ，求
△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.
反思与感悟
解析答案
解析答案
题型三 求动点的轨迹方程
例3 已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点
解析答案
1
2
3
4
5
11 5.圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为_____. 4
解析
因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，
3 ∴r＝ 5－m＝ ， 2
11 ∴m＝ . 4
解析答案
课堂小结
1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y
－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.
1 A.k≤ 2 解析 1 B.k＝ 2 1 C.k≥ 2 1 D.k< 2
1 方程表示圆⇔1＋1－4k>0⇔k< . 2
解析答案
1
2
3
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5
3.M(3，0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过点M的最长弦所在的直 线方程是( B ) A.x＋y－3＝0 B.x－y－3＝0 C.2x－y－6＝0 D.2x＋y－6＝0
答案
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题型探究
重点突破
题型一 例1
圆的一般方程的定义
判断方程x2 ＋y2 －4mx＋2my＋ 20m－20 ＝0 能否表示圆，若能表示
圆，求出圆心和半径长.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1
5 － ∞ ， 4 __________.
如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是
C的轨迹方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 方程.
解
1 求到点 O (0，0)的距离是到点 A(3，0)的距离的 的点的轨迹 2
1 设 M(x，y)到 O(0，0)的距离是到 A(3，0)的距离的 . 2
|MO| 1 则 ＝ . |MA| 2
1 ∴ 2 2 ＝2. x－3 ＋y x2＋y2
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0.即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.
解析 过点M的最长弦应为过点M的直径所在的直线.
y－1 x－4 易得圆的圆心为(4，1)，则所求直线的方程为 ＝ ，即 x－y－3＝0. 0－1 3－4
解析答案
1
2
3
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5
4.圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( D )
A.2
解析
2 B. 2
C.1Leabharlann D. 2|1＋2－1| 易得圆的圆心为(1，－2)，它到直线 x－y＝1 的距离为 2 2 ＝ 2. 1 ＋1
例5
的最值.
解后反思
解析答案
返回
当堂检测
1
2
3
4
5
1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( D )
A.(2，3)
C.(－2，－3)
解析
B.(－2，3)
D.(2，－3)
D E － ＝2，－ ＝－3， 2 2
∴圆心坐标是(2，－3).
解析答案
1
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5
2.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为( D )
D E － ，－ 2 2
，半径为
D2＋E2－4F 2 .
2.当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点 思考
答
D E － ，－ 2 2
.
3.当 D2＋E2－4F<0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.
若二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 ，表示圆，需满
解析答案
解题方法
代入法求圆的方程
例4
已知定圆的方程为(x＋1)2＋y2＝4，点A(1，0)为定圆上的一个点，
点C为定圆上的一个动点，M为动弦AC的中点，求点M的轨迹方程.
解后反思
解析答案
易错点
忽略有关圆的范围求最值致误 已知圆的方程为x2＋y2－2x＝0，点P(x，y)在圆上运动，求2x2＋y2