没答案 华南理工大学高等数学统考试卷下12期中(2)
华南理工大学2011高数下期中考试及答案
华南理工大学2011-2012学年第二学期《高等数学》期中考试试卷评分标准一. 解答下列各题 (每小题5分,共20分) 1.求极限22()lim (e x y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：lim e 0k t t t -→+∞= ２＇22()2()lim (e lim (e 20x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） ３＇２．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x . 解：()()226023220xdx z dz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ ３＇ 6,1326dz x dy x xydx z dx y yz+==-++ ２＇３．设,u f 可微，证明： ()()grad grad f u f u u '= 证明：()()()()()()(){}()()(){},,,,x y z xyzf u f u f u f u f u u f u u f u u '''''''''==⋅⋅⋅grad ３＇(){}(),,x y z f u u u u f u u '''''==grad ２＇４．求曲线23x ty t z t =⎧⎪=-⎨⎪=⎩的切线，使它与平面21z y z ++=平行.解：设切点为()23000,,M t t t -，则切向量为{}2001,2,3T t t =- . １＇_____________ ________学号学院 专业 座位号( 密 封 线 内 不 答 题 ) ……………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………{}{}2200001,2,31,2,11430T n t t t t ⋅=-⋅=-+=解得01t =或013t =，相应切点为()1,1,1-或111,,3927⎛⎫- ⎪⎝⎭， ２＇ 因此，所求切线为1111:123x y z L -+-==-， 21113927:321x y z L -+-==- ２＇二. 解答下列各题 (每小题10分,共30分)５．设()()()()()22,,0,0,0,,0,0x y xy x y x y f x y x y -⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，试研究该函数在()0,0点的可微性. 解：()()()()0,00,00,0lim0,0,000x y x f x f f f x →-===- ４＇又()()()()2222022(,)()limlim0(()())x x y y f x y x y x y x y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆∆∆∆∆-∆=≠∆+∆∆+∆∆+∆ ５＇函数(),f x y 在点()0,0处是不可微的 １＇６．设函数(),f x y 具有二阶连续偏导数，满足等式2220x yy x y xy y xx f f f f f f f -+=，且0y f ≠，(,)y y x z =是由方程(,)z f x y =确定的函数.求 22yx∂∂.解：x yf yx f ∂=-∂ ４＇ 220yx ∂=∂ ６＇7．在经过点12,1,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的所有平面中求一个，使这个平面在第一卦限内与三个坐标平面所围成的四面体的体积最小.解：设该平面为1x y za b c++=， １＇ 四面体的体积为16V abc =. １＇问题化为求16V abc =在约束条件21110,0,0,03a b c a b c++-=>>>下的最小值点.构造拉格朗日函数()1211,,,163f a b c abc a b c λλ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭３＇ 由22222110,0,0,1066633a b c bc ac ab f f f f a b c a b cλλλλ=-==-==-==++-= ３＇ 得唯一一组解6,3,1a b c ===，该实际问题的最小值一定存在，从而该点一定是要求的最小值点了.因此所要求的平面为163x yz ++= ２＇三. 解答下列各题 (每小题8分，共32分) ８．计算11301ydy x dx +⎰⎰.解：21113330111x yDdy x dx x d dx x dy σ+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰４＇()112333011113x x dx x d x =+=++⎰⎰ ３＇ ()22219=- １＇ 9．计算22y Dx edxdy -⎰⎰，其中区域D 是由直线0,1,x y y x ===所围成的区域.解：22y Dx e dxdy -⎰⎰21200yy dy x e dx -=⎰⎰ 4’ 213013y y e dy -=⎰ 2’ 1163e =- 2’10．计算2()x y dV Ω+⎰⎰⎰.其中Ω是曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与两平面2,8z z ==所围成的区域.解：求出旋转面方程为222x y z += １＇2()x y dV Ω+⎰⎰⎰＝()22x y dV Ω+⎰⎰⎰ １＇ ＝()8222Dzdz x y dxdy +⎰⎰⎰ ３＇82283220022336z dz d r dr z dz πθππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ３＇ 11．计算三重积分2y dV Ω⎰⎰⎰，其中(){}222,,2x y z xy z z Ω=++≤.解：2y dV Ω⎰⎰⎰22cos 2342sin sin d d dr ππϕθθϕϕρ=⎰⎰⎰５＇415π=３＇四. 解答下列各题 (每小题9分,共18分)12.求由两圆周()22224x y a a +-=和()222(0)x y a aa +-=>所围的均匀薄片的质心.解：0x = ２＇4sin 2202sin 11sin 3a a D Dy ydxdy d r dr S a πθθθθπ==⎰⎰⎰⎰５＇＝73a ２＇13. 计算由曲面22x y az +=和222(0)z a x y a =-+>所围立体的表面积.解：22222224412x y a x y S dxdy a a+≤=+++⎰⎰６＇2(2)3a a π=+ ３＇。
华南理工大学高等数学统考试卷下自测wjf2
《微积分（下）》自测试卷2（时间120分钟，总分100）学院（系） 专业班姓 名： 成绩报告表序号：一、填空题1．[3分] 已知级数1(2)n n u ∞=-∑收敛，则()sin limn n nu u π→∞= 2．[3分]幂级数)11n n n x ∞=+的收敛域为 3．[3分]若(),ln f x y =()1,1df =4．[3分] 二元函数3322339z x y x y x =-++-的极小值点为5．[3分]二重积分(),D f x y dxdy ⎰⎰在极坐标下的二次积分为()2sin 00cos ,sin d f r r dr πθθθθ⎰⎰，则积分区域D 在直角坐标系中可表示为6、[3分]若()f x 满足方程()()02x f t dt f x =-⎰，则()f x = 二、计算1、[4分]设2y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求,z z x y ∂∂∂∂2、[6分]设()2x yxy z x y f t dt +=+⎰，其中()f t 可导，求2,z dz x y∂∂∂ 3、[7分]求函数()()22,2x f x y e x y y =++的极值 4、[7分] 计算二重积分D xydxdy ⎰⎰，D 为22(2)1x y -+≤ 5、[6分] 求幂级数21(2)1nn x n ∞=+∑的收敛半径及收敛域6、[7分]设()()1111n n n x x u x x n n +=--≤≤+，求()1n n u x ∞=∑的和函数7、[6分] 将函数()f x =展开为x 的幂级数，并求出其收敛域8、[6分]求微分方程30y y x y '-=-的通解 9、[7分]利用代换cos u y x =将方程cos 2sin 3cos x y x y x y x e '''-+=化简，并求出原方程的通解10、[8分]设()f t 函数在[0,)+∞上连续，且满足方程222244()t x y t f t e f dxdy π+≤=+⎰⎰，求()f x 三、证明题 1、[5分] 设函数y x z x y =，求证：()ln z z x y x y z z x y∂∂+=++∂∂ 2、[6分] 求证：原点到曲面()221x y z --=上的点的最短距离为23、[7分] 设()01,2,n a n >= 单调，且级数11n n a ∞=∑收敛，证明：级数112n n n a a a ∞=+++∑ 收敛参考答案及提示 一、()()223110;[,);;1,0;2;2223x dx dy x y y e ++≤ 二、2221,y x x f f x y xy y ⎛⎫⎛⎫'-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22212,x x f f x y y y ⎛⎫⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()()()()()()22,2xy f x y yf xy dx x f x y xf xy dy x f x y f xy xyf xy ''⎡⎤++-+++-++--⎡⎤⎣⎦⎣⎦；极小值为()()13111,1;;,,;11;228222e f S x x x -⎛⎫⎡⎤-=-=-≤≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 12cos 24,2sin cos 5cos xxx e u u e y c c x x x ''+==++ ()()()()()2222442402,88,412tt t t r f t e f rdr f t te tf t f t t e πππππππ⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰三、1、2略，3、提示：122222,n n n n n a a a na a ≤=+++ ，1221212(1)2,(1)n n nn n a a a n a a +++≤=++++ 由12n n a ∞=∑收敛知112n n n a a a ∞=+++∑ 收敛。
高等数学统考卷11-12届附答案
高等数学统考卷 1112届附答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，哪个函数是奇函数？A. y = x^3B. y = x^2C. y = x^4D. y = |x|A. 积分的上下限互换，积分值不变B. 被积函数乘以常数，积分值也乘以该常数C. 积分区间可加性D. 积分中值定理3. 下列极限中，哪个是正确的？A. lim(x→0) (sin x) / x = 0B. lim(x→0) (1 cos x) / x^2 = 1C. lim(x→∞) (1 / x) = 0D. lim(x→∞) (x^2 1) / x = 1A. ∫∫(x^2 + y^2) dxdyB. ∫∫xy dxdyC. ∫∫x dxdyD. ∫∫y dxdy5. 下列级数中，哪个是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …B. 1 1/2 + 1/3 1/4 + …C. 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …二、判断题（每题1分，共5分）1. 高斯公式可以用来计算曲面积分。
（）2. 泰勒公式可以用来近似计算函数值。
（）3. 无穷小量相乘仍为无穷小量。
（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
（）5. 偏导数连续必可微。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x 在x = 0处的导数值为______。
2. 曲线y = x^3 在点(1, 1)处的切线方程为______。
3. 若f(x, y) = x^2 + y^2，则f_x(1, 2) =______。
4. 设A为矩阵，若|A| = 0，则A为______矩阵。
5. 空间曲线r(t) = (cos t, sin t, t) 在t = π/2处的切线方向向量为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述罗尔定理的内容。
2. 解释复合函数求导法则。
3. 举例说明什么是隐函数。
华南理工大学高等数学统考试卷下2005
2005-2006高等数学下册考试试卷姓名： 班级： 成绩单号： 一、单项选择题 1、[3分]设y z xyf x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且()f u 可导，则z x x ∂+∂z y y ∂∂为(A)2xy ； (B)()2x y z +； (C)()2x y +； (D) 2z2、[3分] 从点()2,1,1P --到一个平面引垂线，垂足为点()0,2,5M ，则此平面方程是（ ）(A)236360x y z +-+=； (B) 236360x y z --+=； (C) 236360x y z ---=； (D) 236360x y z -++= 3、[3分] 微分方程()11x y ''-=的通解是(A) ()211ln 1y x x c =--+ (B) 12ln 1y x c x c =-++ (C) 212ln 1y x x c x c =-++ (D) ()121ln 1y x x c x c =--++4、[3分]设平面曲线L为下半圆周y =，则曲线积分()22Lx y ds +=⎰(A)π； (B) 2π； (C)3π； (D)4π5、[3分]累次积分2111xydx e dy y+⎰⎰4221xyxdxe dy y=⎰⎰(A)e ； (B) 2e ； (C) 3e ； (D) 4e 二、填空题 1、[3分]已知单位向量,,a b c适合等式0a b c ++=，则a b c ⋅+⋅ a b c +⋅= .2、[3分]设2yu x =，则d u = .3、[3分]曲面333xyz z a -=在点()0,,a a -处的切平面方程是 .4、[3分]微分方程232x y y y xe -'''--=的待定特解形式是 .5、[3分]设∑为球面222x y z a ++=的外侧，则曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyxy z∑++=++⎰⎰.三、a.[7分]（非化工类做本题，化工类不做本题）求无穷级数113n nn xn -∞=⋅∑的收敛域及在收敛域上的和函数b. [7分]（化工类做本题，非化工类不做本题）一条直线在平面:20x y π+=上，且与另两条直线11:141x y z L -==-及2412:21x y z L ---==都相交，求该直线方程四、a.[7分]（非化工类做本题，化工类不做本题）求函数()()()2ln 4f x x x =-+在01x =处的展开式b. [7分]（化工类做本题，非化工类不做本题）求函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数五、应用题[8分]做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？ 六、计算题[8分]设积分域为22:4,0,0D x y x y +≤≥≥，试计算二重积分()22sin Dx y d σ+⎰⎰七、计算题[8分]计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，式中:2z z Ω≥≤≤八、a.[8分]（非化工类做本题，化工类不做本题）将函数0,20()1,02x f x x -≤<⎧=⎨≤≤⎩展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围b. [7分]（化工类做本题，非化工类不做本题）设()f x 在(),-∞+∞上有连续的一阶导数，求曲线积分()()22211Ly f xy xdx y f xy dy yy +⎡⎤+-⎣⎦⎰，L 为从点23,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭到点()1,2B 的直线段 九、计算题[8分]计算曲面积分()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为上半球面()22220x y z R z ++=≥十、计算题[8分] 求微分方程cos tan 20,12xdy x ey y dxπ⎡⎤⎛⎫⋅-+==- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的解十一、 证明题[4分] 试证()()()()()224,,0,0,0,,0,0xy x y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处不连续，但存在一阶偏导数 十二、 计算题[4分]设二阶常系数线性微分方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解为()21x x y e x e =++，试确定常数,,αβγ，并求该微分方程的通解。
华南理工大学期中考试
华南理工大学线性代数与解析几何期中考试
一．选择题
1.设A 为n 阶对称矩阵, B 为n 阶反对称矩阵, 则下列矩阵中为反对称矩阵的是( ).
(A)BA AB -; (B)BA AB +; (C)2)(AB ; (D)BAB ;
2.均为n 阶方阵, 则下面结论正确的是( ).
(A)若A 或B 可逆, 则AB 必可逆; (B)若A 或B 不可逆, 则AB 必不可逆; (C)若B A 、均可逆, 则B A +必可逆; (D)若B A 、均不可逆, 则B A +必不可逆.
3.若n 阶方阵B A 、都可逆, 且BA AB =, 则下列( )结论错误.
(A)11--=BA B A ; (B)A B AB 11--=; (C)1111----=A B B A ; (D)11--=AB BA ;
4.设C B A 、、为同阶方阵, 且E ABC =, 则下列各式中不成立的是( ).
(A)E CAB =; (B)E C A B =---111; (C)E BCA =; (D)E B A C =---111.
二．填空题
2. 求此平面方程
3.设n i a i ,3,2,1,0=≠, 且⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=-00
000000000121
n
n a a a a A ,则1-A
=
三．解答题 1.设n 阶矩阵A 和B 满足:
AB B A =+.
(1)证明: E A -为可逆矩阵, 其中E n 阶单位矩阵; (2)证明: BA AB =
;
(3)已知⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=200012031B , 求矩阵A .
2.（附加题）计算下面行列式。
华南理工大学高等数学统考试卷下2012
高等数学下册试卷2013．6一、填空题（每题4分，共20分） 1. 2(,)e ,2_____.xy u u u x y x y x y∂∂=+=∂∂则2. (1,0,1)(,)d |____.z x y xyz z -==已知由方程确定，则3. (,,)ln((1,0,1)(3,2,2)____.u x y z x A A B =-在处沿从指向的方向导数为4. 22222=()d d ____.D x y a x y x y ++=⎰⎰D 已知为围成的区域，则5. 2=(0,0)(1,1)____.L L y x =已知为从到的一段，则二、（本题7分）已知242,(,)(0,0)(,),0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪≠⎩证明函数(,)f x y 在(0,0)处不连续，但偏导数存在.三、（本题7分）2ln 0,,,.x z z z z z y x y x y∂∂∂-=∂∂∂∂已知求 四、（本题7分）22max{,}e d ,{(,)|01,01}.x y D D x y x y σ=≤≤≤≤⎰⎰计算二重积分其中五、（本题7分） 22222222d 2.z v x y z Rz x y z R ΩΩ++=++=⎰⎰⎰计算二重积分,其中为球面和围成的封闭区域 六、（本题8分）32sin (3e )d (sin )d (0,0)(,2).1cos 3xL x t t x x y x x y y y L y t π=-⎧++-⎨=-⎩⎰计算,其中为摆线从到的部分 七、（本题8分）323232(2)d d +(2y )d d (2)d d ,0)x xy y z yz z x z zx x y z a ∑--+-∑=>⎰⎰计算其中为的上侧. 八（本题7分）求定解问题2d cos tan [2]0,|1d x y x xe y y x π=-+==-的解. 九（本题7分）求微分方程44x y y e '''-=的通解.十（本题7分）()(,)f x -∞+∞函数在内有连续的导数，且满足22222224()()()d d ,x y t f t x y f x y x y t +≤=+++⎰⎰().f x 求十一（非化工类，每小题5分，共15分）（1）判断级数1201d 1n n x x ∞=+∑⎰的敛散性； （2）求幂级数113(2)nn n n x n ∞=+-∑的收敛区间，并讨论区间端点的处的收敛性； （3）将函数2()ln(1)f x x x =--展开成关于x 的幂级数，并指出其收敛区间.十一（化工类，每小题5分，共15分）（1）求曲面e e 4x y z z +=在点(ln 2,ln 2,1)处的切平面和法线方程；（2）在曲面z =(1,的距离最短，并求最短距离;（3）求曲面22z x y =+包含在圆柱面222x y x +=内那部分（记作∑）的面积.。
04届,华南理工大学,高等数学第二学期重修(考)试卷(共3页)
04届,华南理工大学,高等数学第二学期重修（考）试卷华南理工大学高等数学第二学期重修试卷院系：专业班级：学号：姓名：题号一二三四五六总分得分题号七八九十十一得分一、选择题：在括号内填上所选项字母 1、过点和直线的平面方程是 (A)；(B)；(C)；(D) 2、已知曲面上在点处的切平面平行于平面，则点的坐标是(A)；(B) ；(C) ；(D) 3、设为连续函数，则改换二次积分的积分次序等于(A) ；(B) ；(C) ；(D) 4、设曲线为圆周且取正向，则曲线积分 (A)；(B) ；(C) ；(D) 5、通解为的微分方程是(A)；(B) ；(C)；(D) 二、填空题：将答案填写在横线上 1、已知空间向量的方向余弦为，且，又向量，则。
2、函数在点处沿点指向点方向的方向导数为。
3、设是圆域，则当时，有4、改变二次积分的积分次序，则。
5、微分方程的特解的形式是。
三、设，其中和具有二阶连续导数，求。
四、计算三重积分，其中是由曲面与所围成的闭区域。
五、求曲线积分，其中为从点沿曲线到点的一段。
六、计算对面积的曲面积分，其中是球面被柱面截下的部分。
七、求经过点且与三个坐标面所围成的四面体体积为最小的平面，并求其最小的体积。
八、设，其中是由确定的隐函数，求。
求幂级数的收敛域。
九、计算二重积分，其中。
将函数展开成的幂级数。
十、求微分方程满足初始条件的特解。
十一、设具有二阶连续导数，且曲线积分与积分路径无关，求函数。
十二、。
华南理工大学2009-2010高等数学下册期中考试试卷答案.
华南理工大学期中考试2009-2010学年第二学期《高等数学》期中考试试卷注意事项：1. 考试形式：闭卷；．本试卷满分100分，考试时间90分钟。
. 解答下列各题 (每小题5分,共20分)设函数由方程确定，其中F为可微函数，且，求z是由方程所确定的函数，其中具有二阶导数，且22求dz.对等式两端取微分得22，x在点处的梯度. yiP为椭球面上的一动点，若S在点P处的切平面与xoy面垂直，P的轨迹C。
椭球面S点处的法向量是，222《高等数学》试卷第 1 页共 6 页点P处的切平面与xoy面垂直的充要条件是n⋅{0,0,1}=2z-y=0⎧232⎧x2+y2+z2-yz=1⎪x+y=1所以点P的轨迹C的方程为：⎨，即⎨ 4⎩2z-y=0⎪⎩2z-y=0二. 解答下列各题 (每小题10分,共30分)５．求二元函数f(x,y)=x解 fx'(x,y)=2x2+y2(2+y)+ylny的极值 22y(2),f'(x,y)=2xy+lny+1令fx'(x,y)=0,fy'(x,y)=0，解得唯一驻点 0,⎪⎛⎝1⎫e⎭'' 0,⎪=2 2+由于A=fxx⎛⎝1⎫e⎭⎛⎝1⎫1⎛1⎫''>0,B=f0,=4⋅0⋅=0 xy⎪2⎪e⎭e⎝e⎭1⎫1⎫⎛22''⎛C=fyy0,=2⋅0+e=e,B-AC=-2e2+<0 ⎪ 2⎪ee⎝⎭⎝⎭从而f 0,⎪=-是f(x,y)的极小值⎛⎝1⎫e⎭1e∂2u∂2u∂2u+52=0。
确定的６．设函数u=f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式42+12∂x∂x∂y∂y∂2u=0 a,b值，使等式在变换ξ=x+ay,η=x+by下简化为∂ξ∂η2∂u∂u∂u∂2u∂2u∂u∂u2=+,=+2+解，∂x∂ξ∂η∂x2∂ξ2∂ξ∂η∂η222∂u∂u∂u∂2u∂2u∂2u∂2u∂2u∂2u2∂u2∂u=a+b,2=a+2ab+b=a2+(a+b)+b222∂y∂ξ∂η∂y∂ξ∂ξ∂η∂η∂x∂y∂ξ∂ξ∂η∂η将以上各式代入原等式，得∂2u∂2u∂2u2(a+12a+4)2+⎡⎣10ab+12(a+b)+8⎤⎦∂ξ∂η+(5b+12b+4)∂η2=0 ∂ξ2《高等数学》试卷第 2 页共 6 页由题意，令a+12a+4=0,10ab+12(a+b)+8≠0,5b+12b+4=0 22解得a=-2,b=-22，或a=-,b=-2 55⎧x2+y2-2z2=07．已知曲线C:⎨，求C上距离xOy面最远的点和最近的点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012-2013学年第二学期《高等数学》期中考试试卷评分标准
. 填空题 (每小题3分,共15分) 求极限222200ln 1(lim =x y x x y x y →→⎡⎤++⎣⎦+） . ()1z x y =+-(),1x z x ∂=∂ 224z x y =--上的点M 处的切平面平行于已知平面2350x y z --+=，则M 的坐标是 ()1x y x f x e dy =⎰，则()10f x dx =⎰ 、函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数为 . 解答下列各题 (每小题6分,共30分) ．设()2,sin z f x y y x =-，其中(),f u v 有连续的二阶偏导数，求2z x y ∂∂∂ ．设函数(),,u f x y z =，其中sin y x =，而()z z x =是由方程()2,,0y x e z ϕ=所确定的,f ϕ都具有一阶连续偏导数，且0z ϕ∂≠∂，求du dx
3．计算
sin D
y dxdy y ⎰⎰，其中D
是由曲线y =y x =围成。
4．求空间曲线22221010x y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩在点()03,1,1M 处的切线方程 。
5、求()x z dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω
是由曲面z =
与z =
三. 解答下列各题 (每小题6分，共24分)
1、计算
D xdxdy ⎰⎰，其中D 为22222,2x y x y x +≥+≤.
2．计算
Ω，其中Ω是由()223z x y =+与4z =围成的闭区域.
3．求二元函数()()
22,2ln f x y x y y y =++的极值
4．计算三重积分z e dv Ω⎰⎰⎰，其中(){}
222,,1x y z x y z Ω=
++≤.
四. (本题7分)
15.求常数λ，使得曲面xyz λ=与椭球面222
231x y z ++=相切。
（说明：两曲面g 相切即它们有公共的切平面）
五、(本题7分)
16. 已知函数()(
)2222220,0,0
x y x y z f x y x y ⎧++≠⎪==⎨⎪+≠⎩，试问：(),f x y 在点
()0,0是否可微？
六、(本题7分)
17. 设球体2222x y z R ++≤内任一点(),,x y z 处的密度()2
x y z ρ=++，计算该球体的质量。
七、(本题10分) 18、求椭球面2
22
14z x y ++=在第一卦限的一点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小。