椭圆的离心率
椭圆 离心率 焦点
椭圆离心率焦点
椭圆是几何学中一种常见的复杂图形，它具有独特的形状特征，可以在日常生活中见到。
椭圆是一种广泛存在的图形，出现在自然界和现代科学中，如太阳系，宇宙发展过程中，甚至人体活动轨迹等等。
要了解椭圆，首先要了解它的两个重要概念：离心率和焦点。
椭圆的离心率是由它的长轴、短轴以及长短轴的比值综合而成的。
椭圆的长短轴分别为a和b，它们之间的比值称为离心率，符号为e，即e=a/b。
由于e的值总是小于1的，称为椭圆的离心率取值范围在0到1之间。
椭圆的焦点有两个，分别为F1和F2，它们之间的距离称为焦距，符号为c，即c=F1F2。
它们是椭圆形状上最远点和最近点，且它们都在椭圆的长轴上。
在椭圆上进行几何计算时，椭圆的离心率和焦点可以为我们提供重要的线索。
比如，假设椭圆的长短轴分别为a和b，焦距为C，则
椭圆的离心率可以计算出来：e=√(a2-b2)/a2。
这就意味着我们可以通过测量长短轴，以及焦距c来确定椭圆的离心率。
此外，离心率亦可以用来表示椭圆的曲率。
椭圆的曲率表征了椭圆边界上每一点的“弯曲程度”。
若e=0，则椭圆就会变成一个圆形，而若e接近1，则椭圆的曲率就接近无限大，这就意味着椭圆的曲率与e成反比。
椭圆的离心率和焦点对于理解椭圆的形状具有重要意义。
它们可以用来计算椭圆的各种参数，比如长短轴，离心率和焦点距离。
它们
也具有一定的物理意义，比如前面提到的椭圆曲率。
由此可见，椭圆的离心率与焦点是理解和利用椭圆形状的重要工具，它们在几何学以及相关领域发挥着重要作用。
椭圆的离心率标准方程
椭圆的离心率标准方程首先，我们来了解一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆的离心率e定义为焦距与长轴长度的比值，即e=c/a，其中c为焦距，a为长轴长度。
离心率描述了椭圆形状的“瘦胖”程度，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。
接下来，我们来推导椭圆的离心率标准方程。
设椭圆的两个焦点分别为F1（c,0）和F2（-c,0），椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
根据椭圆的定义，椭圆上任意一点P（x,y）到两个焦点的距离之和等于常数2a，即|PF1|+|PF2|=2a。
根据距离公式，可以得到：√((x-c)²+y²)+√((x+c)²+y²)=2a。
整理得到：(√((x-c)²+y²))²+(√((x+c)²+y²))²=4a²。
化简得到：(x-c)²+y²+(x+c)²+y²=4a²。
化简得到：2x²+2y²+2c²=4a²。
除以2得到：x²/a²+y²/b²=1。
这就是椭圆的标准方程。
在标准方程中，a和b分别代表椭圆的长轴半径和短轴半径，c代表焦距的一半。
通过标准方程，我们可以直观地看出椭圆的形状和大小，进而计算出椭圆的离心率。
最后，我们来计算椭圆的离心率。
根据前面的定义，椭圆的离心率e定义为e=c/a，其中c为焦距，a为长轴长度。
根据标准方程x²/a²+y²/b²=1，可以得到c²=a²-b²，代入离心率的定义式中，得到：e=√(1-b²/a²)。
椭圆离心率的公式ab
椭圆离心率的公式ab
椭圆离心率公式是用于描述椭圆形状的一个重要公式，它由椭圆的长轴a和短轴b计算得出。
在本文中，我们将详细介绍椭圆离心率的公式ab，并讨论其意义和用途。
首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆是一个平面图形，由两个焦点和所有到这两个焦点距离之和相等的点组成。
椭圆还有两个主轴，一个长轴和一个短轴，分别穿过椭圆的两个焦点。
椭圆的离心率是描述椭圆形状的一个参数，它可以用长轴a和短轴b来计算，公式为：
离心率e = (a² - b²) / a
该公式的意义是，椭圆的离心率是椭圆长轴a和短轴b的比值，再减去一个1。
也就是说，它表示了椭圆形状的“扁程度”，在0到1之间取值。
当离心率为0时，椭圆退化为圆形；当离心率为1时，椭圆变为一条线段。
椭圆离心率的公式ab在工程中有着广泛的应用。
在航天领域中，离心率可以用于描述卫星轨道的形状和轨道的稳定性。
如果轨道的离心率太高，卫星可能会偏离原本的轨道，造成通信中断或失去控制。
因此，离心率是卫星轨道设计中需要重点考虑的因素之一。
此外，在光学领域中，椭圆形的反射镜和折射镜常用于望远镜和激光器等设备中。
由于椭圆形的特殊性质，可以实现多种反射和折射
路径，从而实现光束的聚焦和成像。
离心率是决定椭圆镜形状的重要因素之一，其大小决定了镜面反射或折射的程度和方向，进而影响到光学系统的性能和精度。
总之，椭圆离心率的公式ab是描述椭圆形状的一个重要工具，在航天、光学等领域中得到广泛应用。
了解这个公式的意义和用途，能够帮助我们更好地理解和应用椭圆形状，进而提升工作效率和创新能力。
椭圆性质的离心率计算公式
椭圆性质的离心率计算公式椭圆是数学中非常重要的一种曲线，它具有许多独特的性质和特点。
其中，离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它可以帮助我们更好地理解和分析椭圆的形态和结构。
在本文中，我们将介绍椭圆性质的离心率计算公式，以及离心率在椭圆研究中的应用。
首先，让我们来了解一下椭圆的基本定义和性质。
椭圆是一个平面上的闭合曲线，其所有点到两个给定点（焦点）的距离之和是一个常数。
这两个给定点称为焦点，而这个常数称为椭圆的半长轴长度。
椭圆还有一个重要的参数叫做离心率，它可以用来描述椭圆的形状和偏心程度。
离心率的计算公式如下：e = c/a。
其中，e表示椭圆的离心率，c表示椭圆的焦点之间的距离，a表示椭圆的半长轴长度。
通过这个公式，我们可以很容易地计算出椭圆的离心率，从而更好地理解椭圆的形状和结构。
离心率的计算公式为什么是这样的呢？这涉及到椭圆的几何性质。
在椭圆中，焦点之间的距离c与半长轴长度a之间的关系是很特殊的。
事实上，根据椭圆的定义，焦点之间的距离c与半长轴长度a之间的关系是固定的。
这个关系就是椭圆的离心率。
通过这个关系，我们可以将椭圆的形状和结构用一个参数来描述，这就是离心率。
因此，离心率的计算公式e=c/a就是根据这个几何性质得到的。
离心率在椭圆研究中有着重要的应用。
首先，离心率可以用来描述椭圆的形状和偏心程度。
当离心率接近于0时，椭圆的形状接近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆的形状趋向于长条形。
因此，通过离心率，我们可以直观地了解椭圆的形状特点。
其次，离心率还可以用来计算椭圆的面积和周长。
椭圆的面积和周长与离心率之间有着特定的数学关系，通过离心率的计算，我们可以更方便地计算出椭圆的面积和周长。
此外，离心率还可以用来分析椭圆的运动轨迹和力学特性，在天文学、航天学等领域有着广泛的应用。
除了椭圆，离心率的概念还可以推广到其他几何图形中。
例如，在圆锥曲线、双曲线等曲线中，离心率也是一个重要的参数，它可以用来描述这些曲线的形状和特性。
椭圆的离心率
椭圆的离心率一、求离心率：（一）直接法：公式： e =c a =c 2a 2 =a 2-b 2a 2 =1-b 2a2 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为3.已知1m +2n =1(m >0,n >0)则当mn 取得最小值时，椭圆x 2m 2 +y 2n 2 =1的离心率为（二）寻找a ,b ,c 的齐次方程求解4.若椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)短轴端点为P 满足PF 1⏊PF 2,则椭圆的离心率为5.已知椭圆C ：x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y =-3 (x -c )与椭圆C 的一个交点为M （M 在第一象限）， 且满足条件∠MF 2F 1＝2∠MF 1F 2，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2 2 B ．2 -1C ．3 -1D ．3 26.已知椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且∠F 1AF 2=34 cos ，则椭圆的离心率e ＝（ ）A ．12 B ．2 2 C ．14D ．2 4 二、求离心率的取值范围：（一）利用题中的不等关系求解7.椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的焦点为F 1,F 2,两条准线与x 轴的交点为M ,N ,若MN ≤2F 1F 2,则该椭圆的离心率的取值范围为8.已知椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的焦点为F 1,F 2,B 为短轴的端点，BF 1∙ BF 2≥12 F 1F 2, 求椭圆的离心率的取值范围（二）借助平面几何的关系建立不等关系9. 已知F 1,F 2是椭圆x 2a 2 +y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点，若在其右准线上存在P ，使得线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是10.已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且∠F 1PF 2=600,椭圆离心率e 的取值范围是 2019级高二数学一级部 制作人：麻文芳 使用时间：2020年12月3日。
专题椭圆的离心率及范围
一、利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 221÷øöçèæ-=a b e ）1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率=e322，椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则=m [解析]当焦点在x 轴上时，32124=Þ=-m m ； 当焦点在y 轴上时，316214=Þ=-m m m ， 综上316=m 或3334，已知m,n,m+n 成等差数列，成等差数列，m m ，n ，mn [解析解析]]由Þïîïíì¹=+=02222mn n m n n m n îíì==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 5，已知)0.0(121>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为23 6，设椭圆2222by a x +=1=1（（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是21 椭圆的离心率及范围（2013年椭圆专题复习） ，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列等差数列，则椭圆的离心率是5成等比数列，则椭圆122=+n y m x 的离心率为1。
二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e 7，在D Rt ABC 中，90=ÐA ，1==AC AB ，如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率上，求这个椭圆的离心率 ()36-=e8， 如图所示如图所示,,椭圆中心在原点椭圆中心在原点,F ,F 是左焦点是左焦点,,直线1AB 与BF 交于D,D,且且901=ÐBDB ,则椭圆的离心率为则椭圆的离心率为( ) ( )2 F 2M F 1O M P F 2F 1O [解析解析] ]=Þ=-Þ-=-×e ac c a cba b 221)(215-ìa 2 –c 2=m(2a-c) 2(a 2-c 2)=m(2a+c)两式相除：2a-c 2a+c =12 Þe=231111．设椭圆．设椭圆）（0b a 1by a x 2222>>=+的左、右焦点分别为21F F 、，如果椭圆上存在点P ，使°=Ð90PF F 21，求离心率e 的取值范围。
椭圆离心率公式扩展
椭圆离心率公式扩展
椭圆离心率公式是一种用来描述椭圆的公式，它能够提供对椭圆形状的准确描述。
在几何学中，椭圆离心率公式是一个直观和强大的工具，可以准确描述椭圆的几何性质，例如长短轴、离心率和焦点。
椭圆离心率公式定义为椭圆的长轴和短轴之比例，它的计算公式为：e=√[(a²-b²)/a²]，其中，a是椭圆的长轴，b是椭圆
的短轴。
椭圆离心率扩展了椭圆拉格朗日函数，利用椭圆拉格朗日函数解决了双曲线方程。
椭圆离心率公式扩展可以用于球面投影，更广泛地应用于常见的空间分析方法，例如拓扑学、地理信息系统，还有空间数据模型，给定一定空间位置，可以准确定位。
另外，椭圆离心率公式还可以用来对对象进行计算机视觉检测，找出各种目标物的形状和大小，例如在图像处理中检测人脸、文本和物体的形状。
总之，椭圆离心率公式是一种牢固而完整的数学解决方案，它对于描述椭圆形
状具有重要的意义，广泛应用于空间分析、计算机视觉和图像处理等方法，解决了一系列复杂的几何问题，使人们能够更加准确地理解椭圆状物体。
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
垂线交椭圆于点 P，F2 为右焦点，若∠F1PF2＝60° ，则椭圆 的离心率为 2 A. 2 3 B. 3 1 C.2 1 D.3 (
B
)
解析
由题意知点 P
2 2 b b 的坐标为－c， a 或(－c，－ )， a
2c ∵∠F1PF2＝60° ，∴ b2 ＝ 3，即 2ac＝ 3b2＝ 3(a2－c2)． a 3 2
3
问题探究
椭圆的离心率
例 1 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，A，B 是椭圆的顶点， P 是椭圆上一点，且 PF1⊥x 轴，PF2∥ AB，求此椭圆的离心率．
4
问题探究
跟踪训练 3
椭圆的离心率
x2 y2 过椭圆 2＋ 2＝1 (a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的 a b
∴ 3e ＋2e－ 3＝0，∴e＝
3
5 )． 或 e＝－ 3(舍去
y x x y 2＋ 2＝1 (a>b>0) 2＋ 2＝1 (a>b>0) a b a b
2
2
2
2
2
问题探究
椭圆的离心率
问题 要求椭圆的离心率，是否一定要确定 a、c 的值？
求椭圆的离心率，常见的思路一般有两种： c 一是确定 a，c 的值，由公式 e＝ 求出； a 二是建立关于 a，b，c 的齐次等式方程，消去 参数 b，两边同除以 a 的最高次幂转化为 e 的方程，解方程求出离心率．
【学习目标】 1．会求椭圆的离心率。 2．了解并掌握椭圆的第二定义。 【学法指导】 通过观察椭圆的几何图形，从整体上把握椭圆；用坐标 法研究椭圆的性质，将几何关系转化为椭圆方程的特点 .
1
复习回顾
椭圆的简单几何性质
归纳：椭圆的简单几何性质 焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形
标准 方程