椭圆离心率问题专题练习
椭圆离心率专题
椭圆离心率专题1．从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e 为2．F 1，F 2分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，以1OF 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点A 、B ，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为3．若椭圆上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为4．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是5．椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项，椭圆的离心率是6．椭圆2222x y a b+＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．7．直线x －2y ＋2＝0经过椭圆2222x y +＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________．8．已知椭圆12222=+by a x （a >0,b >0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。
9．以1F 、2F 为焦点的椭圆2222x y a b +＝１（0a b >>）上一动点P ，当12F PF ∠最大时12PF F ∠的正切值为2，则此椭圆离心率e 的大小为 。
10．对于椭圆22221(0,x y a b c a b +=>>=，定义c e a=为椭圆的离心率，椭圆离心率的取值范围是(0,1)e ∈，离心率越大椭圆越“扁”，离心率越小则椭圆越“圆”．若两椭圆的离心率相等，我们称两椭圆相似．已知椭圆2214x y m +=与椭圆2219x y m +=相似，则m 的值为11．如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB AB ⊥时,其离心此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e 等于12．以等腰直角△ABC 的两个顶点作为焦点，且经过另一顶点的椭圆的离心率为 .13．直线022=-+y x 经过椭圆)(12222o b a by ax >>=+的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．14．已知正方形ABCD 的四个顶点在椭圆）（0122>>=+b a b ya x 上，AB ∥x 轴，AD 过左焦点F ，则该椭圆的离心率为 ． 15．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______．16．已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为17．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 满足a ≤，离心率为e ，则2e 的最大值是_______．19．若椭圆221x my +=_______________.20．已知P 是以1F ,2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一点,若021=⋅PF PF ,21tan 21=∠F PF ,则此椭圆的离心率为____________.23．如图椭圆12222=+by a x (a >b >0)的上顶点为A ，左顶点为B , F 为右焦点, 过F 作平行与AB 的直线交椭圆于C 、D 两点. 作平行四边形OCED, E 恰在椭圆上．（1）求椭圆的离心率；参考答案1．D【解析】由题意得：0tan 60a b==，∴b a =，∴2213b a =，∴22213a c a -=，即2113e -=，∴223e =，∴e =。
高三离心率练习题
高三离心率练习题离心率是椭圆曲线的一个重要属性，它反映了椭圆形状的扁平程度。
在高三数学的学习中，离心率也是一个重要的知识点。
下面是一些关于高三离心率的练习题，供同学们加深对这一概念的理解。
练习题1：已知一个椭圆的长轴为6，短轴为4，求该椭圆的离心率。
解答：椭圆的离心率e的计算公式是e = √(a^2 - b^2)/a，其中a为长轴的长度，b为短轴的长度。
代入已知条件，可以得到e = √(6^2 -4^2)/6 = √(36-16)/6 = √20/6 ≈ 0.58。
练习题2：已知椭圆的离心率为0.75，长轴的长度是8，求短轴的长度。
解答：同样利用离心率的计算公式，可知0.75 = √(8^2 - b^2)/8。
通过解方程可以得到b ≈ 3.06。
练习题3：已知一个椭圆的长轴为10，离心率为0.6，求短轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可以得到0.6 = √(10^2 - b^2)/10。
解方程可得b ≈ 6.67。
练习题4：若一个椭圆的长轴和短轴之和为16，离心率为0.8，求长轴和短轴的长度。
解答：设长轴长度为a，短轴长度为b，则离心率e = √(a^2 - b^2)/a，长轴和短轴之和可表示为a + b = 16。
根据这两个方程，可以解方程组得到a ≈ 12.25，b ≈ 3.75。
练习题5：已知一个椭圆的长轴为8，短轴为4，求该椭圆的离心率。
解答：根据离心率的计算公式，可得e = √(8^2 - 4^2)/8 = √(64-16)/8 = √48/8 = √6 ≈ 2.45。
练习题6：已知椭圆的离心率为1.5，短轴的长度为6，求长轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可得1.5 = √(a^2 - 6^2)/a。
解方程可得a ≈ 17.82。
练习题7：已知一个椭圆的离心率为1，长轴的长度为10，求短轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可以得到1 = √(10^2 - b^2)/10。
解方程可得b ≈ 0。
离心率求解经典例题
1、已知椭圆 C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/3，过点 A(0,b) 和 B(a,0) 的直线与直线 x = -a 交于点 M，且 |MA| = 2|MB|。
(1) 求 a，b 的值；(2) 设 P 为椭圆 C 上一点，E、F 分别为线段 OP 的中点，以EF 为直径的圆在点 P 处切于点 T，求向量 PT 与向量 PE 的夹角的余弦值。
(1) 设点 M 的坐标为 $(-a, y_0)$。
由 $|MA| = 2|MB|$，得 $\sqrt{(-a - 0)^2 + (y_0 - b)^2} = 2\sqrt{(-a - a)^2 + (y_0 - 0)^2}$。
化简得 $a^2 + (y_0 - b)^2 = 4(a^2 + y_0^2)$。
又因为 $e = \frac{\sqrt{3}}{3}$，得 $e^2 = \frac{c^2}{a^2} = \frac{a^2 - b^2}{a^2} = \frac{1}{3}$。
解得 $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{2}$。
(2) 由(1) 得椭圆 C 的方程为$\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$。
设点P 的坐标为$(x_0, y_0)$，则由$\frac{x_0^2}{3} + \frac{y_0^2}{2} = 1$，得 $y_0^2 = 1 - \frac{2}{3}x_0^2$。
设点 E、F、T 的坐标分别为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$，则 $x_1 = \frac{x_0}{2}, y_1 = \frac{y_0}{2}$，从而$x_2 = x_1 - \frac{y_1}{x_1}, y_2 = -y_1$。
因此 $x_3 = x_2 - \frac{y_2}{x_2}, y_3 = -y_2$。
(完整版)椭圆离心率题型总结,推荐文档
）【解析】选 C
( A) 1 2
(B) 2 3
(C)
(D)
解：
F2PF1 是底角为 30 的等腰三角形 PF2
F2 F1
2( 3 a c) 2c e c 3
2
a4
x 2 y 2 1(a 0, b 0)
3、（12 辽理）已知点（2，3）在双曲线 C： a 2 b 2
上，C 的焦距为 4，则它的离心率为 ．
y2 b2
（1 a b 0）和圆 x 2
y2
b 2
c 2 （其中 c 为椭圆半焦距）有四个不同的交点，求椭圆的
离心率的取值范围。 解：要使椭圆与圆有四个不同的交点，只需满足
b
b 2
c
a
，即
b b
2c 2a
2c
b b
2 2
4c 2 4a2
8ac 4c 2
Байду номын сангаас
c2 a2
5
3a 5c
椭圆离心率题型：
e c a
1
b2 a2
一）求离心率
1）用定义（求出 a,c 或找到 c/a）求离心率
1、已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1, (a
b
0)
的两个焦点分别为
F1
(1,
0),
F2
(1,
0)
,且椭圆
C
经过点
P(
4 3
,
1) 3
.求椭圆
C 的离心率;
【答案】解: 2a PF1 PF2
x2 2ax 2b2 0 的两根，由 (2a)2 4 2b2 0 ， 可得 a2 2b2 ，即 a2 2(c2 a2 ) 所以 e c
椭圆的离心率专题训练汇总
椭圆的离心率专题训练（带详细解析）一．选择题（共29小题）1．（2015•潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．2．（2015•河南模拟）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b ，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）A．B．C．D ．3．（2015•湖北校级模拟）已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ）A．B．C．D．4．（2015•西安校级三模）斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D ．5．（2015•广西模拟）设椭圆C ：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（ ）A．B．C．D ．6．（2015•绥化一模）已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（ ）A．B．C．D ．7．（2015•长沙模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D ．8．（2015•朝阳二模）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（ ）A．B．2﹣C．2（2﹣）D ．9．（2015•新余二模）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P 满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）A．B．C．D ．或10．（2015•怀化二模）设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．11．（2015•南昌校级二模）设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．（0，）B．（0，）C．D ．12．（2015•宜宾县模拟）设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（ ）A．B．C．D ．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D ．一l14．（2015•宁城县三模）已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D ．15．（2015•郑州二模）已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D ．16．（2015•绍兴一模）已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D ．17．（2015•兰州模拟）已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（ ）A．B．C．D ．18．（2015•甘肃校级模拟）设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．（2015•青羊区校级模拟）点F 为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D ．﹣120．（2015•包头一模）已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．（2015•甘肃一模）在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．（2015•杭州一模）设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（ ）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣623．（2015•宜宾模拟）直线y=kx与椭圆C ：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C 的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）24．（2015•南宁三模）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]25．（2015•张掖模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．26．（2015•永州一模）已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ）A．B．C．D ．27．（2015•山东校级模拟）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k ＜，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．（2015•鹰潭一模）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．29．（2015•江西校级二模）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（ ）A．B．C．D ．an dAl l th i ng si nt he i rb ei n ga re go 参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．（2015•潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分等腰三角形△F 1F 2P 以F 1F 2为底和以F 1F 2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c 的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a 、c 的不等式，解之即可得到椭圆C 的离心率的取值范围．解答：解：①当点P 与短轴的顶点重合时，△F 1F 2P 构成以F 1F 2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F 1F 2P ；②当△F 1F 2P 构成以F 1F 2为一腰的等腰三角形时，以F 2P 作为等腰三角形的底边为例，∵F 1F 2=F 1P ，∴点P 在以F 1为圆心，半径为焦距2c 的圆上因此，当以F 1为圆心，半径为2c 的圆与椭圆C 有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P ，在△F 1F 2P 1中，F 1F 2+PF 1＞PF 2，即2c+2c ＞2a ﹣2c ，由此得知3c ＞a ．所以离心率e ＞．当e=时，△F 1F 2P 是等边三角形，与①中的三角形重复，故e ≠同理，当F 1P 为等腰三角形的底边时，在e且e ≠时也存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P这样，总共有6个不同的点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e ∈（，）∪（，1）e an dAl l t h i ng si nt he i rb ego od fo rs o点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形，求椭圆离心率e 的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题． 2．（2015•河南模拟）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆时，（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．解答：解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，∴a ＞b ＞0，a ＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B ．an dAl l th i ng si nt he re go od fo rs o 点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关． 3．（2015•湖北校级模拟）已知椭圆（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：AB=NF ，再根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a ，由离心率公式e==由的范围，进一步求出结论．解答：解：已知椭圆（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF ，AN ，AF ，BF 所以：四边形AFNB 为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a ∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccos α+2csin α利用e==n dAl l th i ng si nt he i re go od fo rs o 所以：则：即：椭圆离心率e 的取值范围为[]故选：A 点评：本题考查的知识点：椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型． 4．（2015•西安校级三模）斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘2a 2b 2，求得关于的方程求得e ．解答：解：两个交点横坐标是﹣c ，c所以两个交点分别为（﹣c ，﹣c ）（c ，c ）代入椭圆=1两边乘2a 2b 2则c 2（2b 2+a 2）=2a 2b 2∵b 2=a 2﹣c 2c 2（3a 2﹣2c 2）=2a^4﹣2a 2c 22a^4﹣5a 2c 2+2c^4=0（2a 2﹣c 2）（a 2﹣2c 2）=0l l th i ng si nt he i rb ei n o od fo rs o=2，或∵0＜e ＜1所以e==故选A 点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了椭圆方程中a ，b 和c 的关系． 5．（2015•广西模拟）设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF 2|=x ，在直角三角形PF 1F 2中，依题意可求得|PF 1|与|F 1F 2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．解答：解：设|PF 2|=x ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，∴|PF 1|=2x ，|F 1F 2|=x ，又|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ∴2a=3x ，2c=x ，∴C 的离心率为：e==．故选A ．点评：本题考查椭圆的简单性质，利用三角形边角关系求得|PF 1|与|PF 2|及|F 1F 2|是关键，考查理解与应用能力． 6．（2015•绥化一模）已知椭圆，F 1，F 2为其左、右焦点，P为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C 的离心率e=（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题．n dl l th i ng si nt he i rb ei n ga regood fo rs 分析：在焦点△F 1PF 2中，设P （x 0，y 0），由三角形重心坐标公式，可得重心G 的纵坐标，因为，故内心I 的纵坐标与G 相同，最后利用三角形F 1PF 2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a 、b 、c 的等式，即可解得离心率解答：解：设P （x 0，y 0），∵G 为△F 1PF 2的重心，∴G 点坐标为 G （，），∵，∴IG ∥x 轴，∴I 的纵坐标为，在焦点△F 1PF 2中，|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c∴=•|F 1F 2|•|y 0|又∵I 为△F 1PF 2的内心，∴I 的纵坐标即为内切圆半径，内心I 把△F 1PF 2分为三个底分别为△F 1PF 2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF 1|+|F 1F 2|+|PF 2|）||∴•|F 1F 2|•|y 0|=（|PF 1|+|F 1F 2|+|PF 2|）||即×2c •|y 0|=（2a+2c ）||，∴2c=a ，∴椭圆C 的离心率e==故选A 点评：本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用，椭圆离心率的求法 7．（2015•长沙模拟）已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．ang si nt he i rb ei n ga re go od fo 考点：椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P （m ，n ），由得到n 2=2c 2﹣m 2 ①．把P （m ，n ）代入椭圆得到 b 2m 2+a 2n 2=a 2b 2 ②，把①代入②得到 m 2 的解析式，由m 2≥0及m 2≤a 2求得的范围．解答：解：设P （m ，n ），=（﹣c ﹣m ，﹣n ）•（c ﹣m ，﹣n ）=m 2﹣c 2+n 2，∴m 2+n 2=2c 2，n 2=2c 2﹣m 2 ①．把P （m ，n ）代入椭圆得b 2m 2+a 2n 2=a 2b 2 ②，把①代入②得m 2=≥0，∴a 2b 2≤2a 2c 2，b 2≤2c 2，a 2﹣c 2≤2c 2，∴≥．又 m 2≤a 2，∴≤a 2，∴≤0，故a 2﹣2c 2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C ．点评：本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题． 8．（2015•朝阳二模）椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．2﹣C ．2（2﹣）D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：如图，Rt △MF 2 F 1中，tan60°==，建立关于a 、c 的方程，解方程求出 的值．e an dAl l t h i ng si nn ga re go od 解答：解：如图，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 2F 1=60°，F 1F 2=2c∴MF 2=4c ，MF 1=2c MF 1+MF 2=4c+2c=2a ⇒e==2﹣，故选B ．点评：本题考查直角三角形中的边角关系，椭圆的简单性质，一元二次方程的解法．9．（2015•新余二模）椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．或考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆C 的离心率e 的计算公式即可得出解答：解：∵椭圆C 上的点P 满足，∴|PF 1|==3c ，由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a ，∴|PF 2|=2a ﹣3c ．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a ﹣3c ）≥3c ，3c+2c ≥2a ﹣3c ，化为．∴椭圆C 的离心率e 的取值范围是．故选：C ．点评：本题考查了椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． Al l th i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo r10．（2015•怀化二模）设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F 1PF 2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先根据椭圆定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a ，再利用余弦定理化简整理得cos ∠PF 1F 2=﹣1，进而根据均值不等式确定|PF 1||PF 2|的范围，进而确定cos ∠PF 1F 2的最小值，求得a 和b 的关系，进而求得a 和c 的关系，确定椭圆离心率的取值范围．解答：解：F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），c ＞0，设P （x 1，y 1），则|PF 1|=a+ex 1，|PF 2|=a ﹣ex 1．在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos120°==，解得x 12=．∵x 12∈（0，a 2]，∴0≤＜a 2，即4c 2﹣3a 2≥0．且e 2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是 e ∈．故选A ．点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P 点在短轴的端点时∠F 1PF 2值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题． 11．（2015•南昌校级二模）设A 1，A 2分别为椭圆=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（0，）C ．D ．考点：椭圆的简单性质．n dh i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设P （asin α，bcos α），所以根据条件可得到，b 2换上a 2﹣c 2从而可得到，再根据a ，c ＞0，即可解出离心率的取值范围．解答：解：设P （asin α，bcos α），A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0）；∴，；∴；∴；∴，a ，c ＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C ．点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的顶点的定义，顶点的坐标，由点的坐标求直线的斜率，以及b 2=a 2﹣c 2，椭圆斜率的概念及计算公式，设出P 点坐标是求解本题的关键． 12．（2015•宜宾县模拟）设椭圆C 的两个焦点为F 1、F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于点M ，N ，若|MF 2|=|F 1F 2|，且|MF 1|=4，|NF 1|=3，则椭圆Г的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭（a ＞b ＞0），运用椭圆的定义，可得|NF 2|=2a ﹣|NF 1|=2a ﹣3，|MF 2|+|MF 1|=2a ，即有2c+4=2a ，取MF 1的中点K ，连接KF 2，Allthingsintheirbeingaregoodforso 则KF2⊥MN，由勾股定理可得a+c=12，解得a，c，运用离心率公式计算即可得到．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D．一l考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．n dAl l t h i nhe i rb ei n ga re go od f分析：求出F （﹣c ，0）关于直线x+y=0的对称点A 的坐标，代入椭圆方程可得离心率．解答：解：设F （﹣c ，0）关于直线x+y=0的对称点A （m ，n ），则，∴m=，n=c ，代入椭圆方程可得，化简可得e 4﹣8e 2+4=0，∴e=﹣1，故选：D ．点评：本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．14．（2015•宁城县三模）已知F 1，F 2分别为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），通过|F 1F 2|=2|PF 2|，求出椭圆的离心率e ．解答：解：F 1，F 2分别为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），P 为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|，可得2c=2，即ac=b 2=a 2﹣c 2．可得e 2+e ﹣1=0．intheirbeingare解得e=．故选：D．点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意通径的求法． 15．（2015•郑州二模）已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；作图题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由题意作图，从而设设点Q（x0，y0），从而由2|PF1|=3|QF1|可写出点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；再由椭圆的第二定义可得|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，从而可得3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），从而化简得到x0=﹣，再由|PF2|=|F1F2|及椭圆的第二定义可得3a2+5c2﹣8ac=0，从而解得．解答：解：由题意作图如右图，l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），∵2|PF1|=3|QF1|，∴点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；又∵|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，∴2|MP|=3|QA|，又∵|MP|=﹣c﹣x0+，|QA|=x0+，∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），解得，x0=﹣，∵|PF2|=|F1F2|，∴（c+x0+）=2c；将x0=﹣代入化简可得，angsintheirbeingaregoodfors 3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．点评：本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题．16．（2015•绍兴一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，可得∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，可得|AF2|=c，|AF1|=c．再利用椭圆的定义即可得出．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．n dAl l t h i ng srb ei n ga re go od 又|MF 2|=2|OA|，在Rt △OMF 2中，∴∠AF 2F 1=60°，在Rt △AF 1F 2中，|AF 2|=c ，|AF 1|=c ．∴2a=c+c ，∴=﹣1．故选：C ．点评：本题考查了直角三角形的边角关系及其性质、椭圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．（2015•兰州模拟）已知椭圆C 的中心为O ，两焦点为F 1、F 2，M 是椭圆C 上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：由已知可得2a=|MF 1|+|MF 2|=3|MF 2|，进而在△F 1OM 中，|F 1O|=c ，|F 1M|=a ，|OM|=a ，在△OF 2M 中，|F 2O|=c ，|M0|=|F 2M|=a ，由∠MOF 1=180°﹣∠MOF 2得：cos ∠MOF 1+cos ∠MOF 2=0，结合余弦定理，化简整理，再由离心率公式计算可得答案．解答：解：∵|MF 1|=|MO|=|MF 2|，由椭圆定义可得2a=|MF 1|+|MF 2|=3|MF 2|，即|MF 2|=a ，|MF 1|=a ，在△F 1OM 中，|F 1O|=c ，|F 1M|=a ，|OM|=a ，Ant he i rb ei n ga re go od fo rs o则cos ∠MOF 1==，在△OF 2M 中，|F 2O|=c ，|M0|=|F 2M|=a ，则cos ∠MOF 2==，由∠MOF 1=180°﹣∠MOF 2得：cos ∠MOF 1+cos ∠MOF 2=0，即为+=0，整理得：3c 2﹣2a 2=0，即=，即e 2=，即有e=．故选：D ．点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，主要考查离心率的求法，构造关于a ，c 的方程是解答的关键，难度中档． 18．（2015•甘肃校级模拟）设F 1，F 2分别是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P ，使△PF 1F 2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（0，）C ．（，1）D ．（，1）考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知P （，y ），可得F 1P 的中点Q 的坐标，求出斜率，利用，可得y 2=2b 2﹣，由此可得结论．解答：解：由已知P （，y ），得F 1P 的中点Q 的坐标为（），n dAl l t h i ng si nt hn ga re go od fo rs o ∴，∵，∴y 2=2b 2﹣，∴y 2=（a 2﹣c 2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e ＜1，∴＜e ＜1．故选：C ．点评：本题考查椭圆的离心率的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定F 1P 的中点Q的坐标是解答该题的关键，是中档题． 19．（2015•青羊区校级模拟）点F 为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A 使△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．﹣1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先，写出焦点F 的坐标，然后，根据△AOF 为正三角形，建立等式，求解其离心率．解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F ，根据椭圆的对称性，得直线OP 的斜率为k=tan60°=，∴点P 坐标为：（c ，c ），n dAl l th i ng si nt he i rb ego od fo rs o 代人椭圆的标准方程，得，∴b 2c 2+3a 2c 2=4a 2b 2，∴e=．故选：D ．点评：本题重点考查了椭圆的概念和基本性质，属于中档题．求解离心率的解题关键是想法设法建立关于a ，b ，c 的等量关系，然后，进行求解． 20．（2015•包头一模）已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）和圆O ：x 2+y 2=b 2，若C 上存在点M ，过点M 引圆O 的两条切线，切点分别为E ，F ，使得△MEF 为正三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．[，1）B ．[，1）C ．[，1）D ．（1，]考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，连接OE ，OF ，OM ，由于△MEF 为正三角形，可得∠OME=30°，OM=2b ≤a ，再利用离心率计算公式即可得出．解答：解：如图所示，连接OE ，OF ，OM ，∵△MEF 为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b ，则2b ≤a ，∴，∴椭圆C 的离心率e==．又e ＜1．∴椭圆C 的离心率的取值范围是．故选：C ．an dAl l t h i ng si nt he i rb go od fo rs o 点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21．（2015•甘肃一模）在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+=1（a ＞b ＞0）上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B ，C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（，）B ．（，1）C ．（，1）D ．（0，）考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，设椭圆的右焦点F （c ，0），代入椭圆的标准方程可得：A．根据△ABC 是锐角三角形，可得∠BAD ＜45°，且1＞，化为，解出即可．解答：解：如图所示，设椭圆的右焦点F （c ，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC 是锐角三角形，∴∠BAD ＜45°，∴1＞，化为，n dAl l t h i ng si nt he a re go od fo rs o 解得．故选：A ．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22．（2015•杭州一模）设F 1、F 2为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F 2且与椭圆交于A ，B 两点，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e ，则e 2=（ ）A ．2﹣B ．3﹣C ．11﹣6D ．9﹣6考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：可设|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=m ，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF 1|=m ，|BF 1|=m ，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m ，再由勾股定理，可得a ，c 的方程，运用离心率公式计算即可得到．解答：解：可设|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=m ，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF 1|=m ，|BF 1|=m ，由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a=2m+m ，即m=2（2﹣）a ，则|AF 2|=2a ﹣m=（2）a ，在直角三角形AF 1F 2中，|F 1F 2|2=|AF 1|2+|AF 2|2，即4c 2=4（2﹣）2a 2+4（）2a 2，即有c 2=（9﹣6）a 2，n dAl l t h i ng si n即有e 2==9﹣6．故选D ．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键． 23．（2015•宜宾模拟）直线y=kx 与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）交于A 、B 两点，F 为椭圆C 的左焦点，且•=0，若∠ABF ∈（0，]，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，]B ．（0，]C ．[，]D ．[，1）考点：椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F 2是椭圆的右焦点．由•=0，可得BF ⊥AF ，再由O 点为AB 的中点，OF=OF 2．可得四边形AFBF 2是矩形．设∠ABF=θ，可得BF=2ccos θ，BF 2=AF=2csin θ，利用椭圆的定义可得BF+BF 2=2a ，可得e=，即可得出．解答：解：设F 2是椭圆的右焦点．∵•=0，∴BF ⊥AF ，∵O 点为AB 的中点，OF=OF 2．∴四边形AFBF 2是平行四边形，∴四边形AFBF 2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccos θ，BF 2=AF=2csin θ，BF+BF 2=2a ，∴2ccos θ+2csin θ=2a ，∴e=，sin θ+cos θ=，∵θ∈（0，]，n dAl l th i ng rb ei n ga re go od fo rs o∴∈，∴∈．∴∈，∴e ∈．故选：D ．点评：本题考查了椭圆的定义及其标准方程性质、矩形的定义、三角函数的单调性、两角和差的正弦，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 24．（2015•南宁三模）已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足•=2c 2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．[，]B ．（0，]C ．[，1）D ．[，]考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P （x 0，y 0），则2c 2=，化为．又，可得=，利用，利用离心率计算公式即可得出．解答：解：设P （x 0，y 0），则2c 2==（﹣c ﹣x 0，﹣y 0）•（c ﹣x 0，﹣y 0）=+，化为．an dAl l th i ng si nga re go od fo rs o 又，∴=，∵，∴，∵b 2=a 2﹣c 2，∴，∴．故选：A ．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量数量积运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 25．（2015•张掖模拟）已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是椭圆=1（a ＞b ＞0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P （x 0，y 0），则，可得：=．由于，可得=c 2，化为=，利用，及其离心率计算公式即可得出．解答：解：设P （x 0，y 0），则，∴=．∵，n dAl l th i ng srb ei n ga re go od fo rs ∴（﹣c ﹣x 0，﹣y 0）•（c ﹣x 0，﹣y 0）=c 2，化为=c 2，∴=2c 2，化为=，∵，∴0≤≤a 2，解得．故选：D ．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、不等式的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题． 26．（2015•永州一模）已知两定点A （﹣1，0）和B （1，0），动点P （x ，y ）在直线l ：y=x+2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出直线y=x+2，过A 作直线y=x+2的对称点C ，2a=|PA|+|PB|≤|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a 的最大值，由于c=1，由离心率公式即可得到．解答：解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则c=1，∵P 在直线l ：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A 作直线y=x+2的对称点C ，设C （m ，n ），则由，n dAl l t h i ng b ei n ga re go od fo rs o 解得，即有C （﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a 有最小值，对应的离心率e 有最大值，故选C ．点评：本题主要考查椭圆的定义和椭圆的离心率的求法，考查直线的对称问题，属于中档题． 27．（2015•山东校级模拟）过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若0＜k ＜，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（，1）C ．（0，）D ．（，1）考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出图形，则易知|AF 2|=a+c ，|BF 2|=，再由∠BAF 2是直线的倾斜角，易得k=tan ∠BAF 2，然后通过0＜k ＜，分子分母同除a 2得0＜＜求解．解答：解：如图所示：|AF 2|=a+c ，|BF 2|=，∴k=tan ∠BAF 2=，an dAl l th e i rb ei n ga re go od fo rs 又∵0＜k ＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e ＜1．故选：D ．点评：本题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角，难度不大，但需要灵活运用和转化知识． 28．（2015•鹰潭一模）已知椭圆C 1：=1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2+y 2=b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，过P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B 使得∠BPA=，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用O 、P 、A 、B 四点共圆的性质及椭圆离心率的概念，综合分析即可求得椭圆C的离心率的取值范围．解答：解：连接OA ，OB ，OP ，依题意，O 、P 、A 、B 四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP 中，∠AOP=，∴cos ∠AOP==，∴|OP|==2b ，。
2023届二轮复习 椭圆离心率问题求解 专练
专题 椭圆离心率问题一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦2．（2022·山东·青岛二中高三期中）已知椭圆2222:10)x y C a b a b +=>>（， 过椭圆中心的一条直线与椭圆相交于A ，B 两点，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当()2393ln ln 32a m nb mn mn ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭ 取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A ．15B ．45C D 3．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆左焦点F ，倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F A |＝2|FB |，则椭圆的离心率为（ ）A B ．23C ．12D 4．（2022·陕西·宝鸡中学高三阶段练习（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是12,F F ，斜率为12的直线经过左焦点1F 且交C 于,A B 两点（点A 在第一象限），设12AF F △的内切圆半径为112,r BF F 的内切圆半径为2r ，若123r r =，则椭圆的离心率的值为（ ）.A ．13B C ．12D 5．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点，E 上存在两点A ，B 使得梯形12AF F B 的高为c （其中c 为半焦距），且123AF BF =，则E 的离心率为（ ）A B C D ．136．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）椭圆2213620x y +=的离心率是（ ）A ．13B ．23C ．12D ．347．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则e =（ ）A ．13B ．335-C ．322-D ．723-8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（ ）A 3B ．12C 2D 39．（2022·贵州·高三阶段练习（理））椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>的上顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于x 轴对称，若直线AP ，AQ 的斜率之积为43，则C 的离心率为（ ） A 3B 2 C ．12D ．1310．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ．若22AF BF ⊥，则C 的离心率为（ ）A ．255B ．55C ．45D ．3511．（2022·新疆·伊宁县第二中学高三期中（文））明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为139、6445、107，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为1e 、2e 、3e ，则（ ）A ．132e e e <<B ．231e e e <<C ．123e e e <<D ．213e e e <<12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,123ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．231⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．26⎡⎢⎣⎦C ．63⎦D ．66⎡⎢⎣⎦13．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的左右焦点为F 1、F 2，点P为椭圆上一点，12F PF △的重心、内心分别为G 、I ，若()()1,,00IG λλ=≠，则椭圆的离心率e 等于（ ） A ．12B 2C ．14D 51- 14．（2022·全国·高三专题练习）若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ） A 35B 5C 3D 35 15．（2022·全国·高三专题练习）椭圆C ：2221(3)3x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，经过点1F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2ABF △的周长为16，则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．4C ．12D 16．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴的两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将ABC ∆的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan 3tan tan 0A B C ++=，则椭圆的离心率为（ ）A B ．13C D ．2317．（2023·全国·高三专题练习）已知方程22:(1)(3)(1)(3)E m x m y m m -+-=--，则E 表示的曲线形状是（ ） A ．若13m <<，则E 表示椭圆 B ．若E 表示双曲线，则1m <或3m > C ．若E 表示双曲线，则焦距是定值D ．若E 53m =18．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，则椭圆222214x y a b +=的离心率为（ ）A B ．1316C D 19．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B C D ．1320．（2022·江苏·沭阳县建陵高级中学高三阶段练习）如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为（ ）A 2B 3C 5D 621．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，直线3a x =与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为原点，若三角形AOB 是等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为（ ） A 2B 2C 3D 1422．（2022·全国·高三专题练习）已知点A 、B 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴顶点，P 为椭圆上一点，若直线P A ，PB 的斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．132⎛ ⎝⎭B ．32⎝⎭C ．413⎛ ⎝⎭,D ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭23．（2022·全国·高三专题练习）定义：双曲线22221x y a b -=为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的“伴随曲线”.已知点22,⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的伴随曲线的渐近线方程为12y x =±，则椭圆C 的离心率为（ ） A 3B 2C ．12D 2二、多选题24．（2022·全国·高三专题练习）已知F 为椭圆的焦点，A ，B 分别为椭圆的两个顶点（且A 不是离F 最近的那个顶点），若3AF =，5AB =，则椭圆的离心率可以为（ ）A ．15B C ．23D25．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：2212x y a +=（2a >P （1，1）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足AP PB λ=.动点Q 满足AQ QB λ=-，则下列结论正确的是（ ） A ．3a =B ．动点Q 的轨迹方程为2360x y +-=C ．线段OQ （OD ．线段OQ （O 26．（2022·全国·高三专题练习）若曲线C 的方程为()2222102x y m m m +=>-，则（ ）A ．当m =时，曲线C 表示椭圆，离心率为12B ．当m 时，曲线C 表示双曲线，渐近线方程为y = C ．当1m =时，曲线C 表示圆，半径为1 D ．当曲线C 表示椭圆时，焦距的最大值为427．（2022·全国·高三专题练习）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ，若曲线C 上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线C 的离心率可以是（ ） A ．12B ．23C ．32D ．228．（2022·福建省福州第八中学高三期中）第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>和椭圆2C ：()2222222210x y a b a b +=>>的离心率相同，且12a a >.则下列正确的是（ ）A ．22221212a a b b -<-B ．1212->-a a b bC ．如果两个椭圆2C ，1C 分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆（即矩形的四条边与椭圆2C 均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则122a a =D ．由外层椭圆1C 的左顶点A 向内层椭圆2C 分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线）与1C 交于两点,M N ，1C 的右顶点为B ，若直线AM 与BN 的斜率之积为89，则椭圆1C 的离心率为13. 29．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，上､下顶点分别为1A ､2A ，点P 是C 上异于1A ､2A 的一点，则下列结论正确的是（ ） A ．若C 的离心率为12，则直线1PA 与2PA 的斜率之积为43-B ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2bC ．若C 上存在四个点P 使得12PF PF ⊥，则C 的离心率的范围是2⎛ ⎝⎭D ．若12PF b ≤恒成立，则C 的离心率的范围是30,5⎛⎤⎥⎝⎦三、填空题30．（2022·上海·曹杨二中高三期中）如图，圆柱1OO 的轴截面11ABB A 是正方形，D 、E 分别是边1AA 和1BB 的中点，C 是AB 的中点，则经过点C 、D 、E 的平面与圆柱1OO 侧面相交所得到曲线的离心率是____________．31．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22:1 4x y C m +=的焦距是2，则离心率e 的值是________.32．（2023·全国·高三专题练习）在椭圆221Ax By +=上，12PF F △为焦点三角形，245PF O ︒∠=，115PF O ︒∠=，则椭圆的离心率＝________．33．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，上顶点为B ，点P 为椭圆上一点，且212PF F F ⊥.若1//AB PF ，则椭圆的离心率为______.34．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左､右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为30的直线与过2F 的直线2l 交于P 点，点P 在椭圆上，且1290F PF ∠=.则椭圆C 的离心率=e __________.四、解答题35．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，长轴两端点为A ，B ，如果椭圆上存在点P 使得∠APB =120°，求这个椭圆的离心率的取值范围．36．（2022·全国·高三专题练习）设12,F F 分别是椭圆22221x a C yb＋＝：0a b >>（）的左､右焦点，M 是C 上一点，2MF 与x 轴垂直.直线1MF 与C 的另一个交点为N ，且直线MN 2(1)求椭圆C 的离心率；(2)设()0,1D 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A B ，两点，证明直线AB 过定点，并求出定点坐标.37．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 作斜率为33的直线与C 相交于点A ，B ，且AB OB ⊥，O 为坐标原点，求椭圆C 的离心率．38．（2022·全国·高三专题练习）椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足32BF AB=．求椭圆的离心率. 39．（2022·全国·高三专题练习）圆锥曲线又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，数学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线论》，对圆锥曲线的性质做了系统性的研究，之所以称为圆锥曲线，是因为这些曲线是由一个平面截一个正圆锥面得到的，其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一些曲线．如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别切于点1F ，2F ，该平面与圆柱侧面的交线为椭圆，求这个椭圆的离心率．40．（2022·全国·高三专题练习）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，过原点的直线交椭圆于P ，A两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连AC ，并延长交椭圆于B ，若PA PB ⊥，求椭圆的离心率．41．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>22，过右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，点()2,0M ，设直线MA 与直线MB 的斜率分别为1k ，2k . (1)求椭圆C 的方程；(2)随着直线的变化，12k k +是否为定值？请说明理由.专题 椭圆离心率问题 答案一、单选题 1．【答案】C【分析】解法一：首先利用坐标表示，22342220222c b b PB y a b b c c⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭，讨论对称轴32b b c -≤-和32b b c->-两种情况下是否满足||2PB b ≤，并求椭圆的离心率； 解法二：利用椭圆的参数方程，设为(cos ,sin )P a b θθ，并表示()()222cos sin 4a b b b θθ+-≤，换元后得()()222222230f t a b t b t b a =-++-≥，对任意的[]11t ∈-，恒成立，列式后，可求椭圆的离心率. 【详解】解法一：设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立． 故选：C ． 解法二：由题意可知，由()0,B b ，(cos ,sin )P a b θθ，又||2PB b ≤，()()222cos sin 4a b b b θθ+-≤恒成立.令[]sin ,11t t θ=∈-，，()()222222230f t a b t b t b a =-++-≥对任意的[]11t ∈-，恒成立，()10f -=，所以()222212b a b -≤--，所以222b a ≥，得222a c ≥，即0e <≤； 故选：C【点睛】本题两种方法分别是直接法和参数法，关键是解决恒成立问题，利用二次函数求指定区间上的最值，体现了函数与方程的数学思想，数学抽象及逻辑推理的数学核心素养. 2．【答案】C【分析】设00(,)P x y ，利用斜率公式求得,m n ，结合00(,)P x y 在椭圆上，化简可得22bmn a=-，令1at b=>，利用导数求得使函数取最小值的，根据离心率定义即得. 【详解】由题可知()0()0A a B a -，，，，设00(,)P x y ，则()222202b a x y a -=，而0000,y y m n x a x a ==+-，则2202220y b mn x a a==--， 又2393(ln ||ln ||)32a m nb mn mn ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭22222339ln 3a bb bb a a a ⎛⎫ ⎪=-++ ⎪ ⎪--⎪⎝⎭322339ln 3a a a b b b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令1a t b =>，则322()339ln 3f t t t t t =-+-， 所以()232(3)232639()t t t t t f t t t-+-+-=='， 由()0f t '<，可得13t <<，函数单调递减，由()0f t '>，可得3t >，函数单调递增， 故min ()(3)f t f =，即3ab=时， ()2393ln ln 32a m n b mn mn ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭ 取最小值， 此时22213b e a ⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 故选：C. 3．【答案】B【分析】根据余弦定理，推得,AF BF 长度，根据其比值关系，即可求得结果. 【详解】设椭圆的右焦点为1F ，连接11,AF BF ，如下所示：设AF x =，则12AF a x =-，在∠1AFF 中，由余弦定理可得()222421cos6024x c a x cx+--︒==,整理可得：212b x a c=-，即212b AF a c=-； 在∠1BFF 中，同理可得：212b BF ac =+，故11122211122a c e AF BF a c e ++===--，解得23e =. 故选：B . 4．【答案】B【分析】根据题意得123A B r y r y =-=，进而联立直线与椭圆方程得22244A B b c y y a b+=+，4224A B b y y a b-⋅=+，进而令121A B r y r y λ=-=>，则2116254e λλ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭-，再代入值计算即可得答案.【详解】如图所示，由椭圆定义可得122AF AF a +=，122BF BF a +=， 设12AF F △的面积为1S ，12BF F △的面积为2S ，因为123r r =， 所以，()()()111222112222231122222A A BB a c r c y S r y S r y a c r c y +⨯⋅==⇒=-=+⨯⋅-，即3A B y y =-， 设直线:2l x y c =-，则联立椭圆方程与直线，可得222242222222(4)40x y ca b y b cy b b x a y a b=-⎧⇒+--=⎨+=⎩， 所以，22244A B b cy y a b +=+，4224A B b y y a b -⋅=+ 令121ABr y r y λ=-=>，则()222222221161616254544A B A B y y c c y y a b a c e λλ+--⎛⎫-+==== ⎪+-⎝⎭-， 当123r r λ==时，有221416523533164e e e ⎛⎫-+=-=⇒=⇒= ⎪⎝⎭-. 故选：B【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键. 5．【答案】A【分析】根据123AF BF =，可得12AF BF ∥，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，所以2PF c =，则可求得1230PF F ∠=︒，再结合123AF BF =，建立,,a b c的关系即可得出答案.【详解】如图，因为123AF BF =，所以12AF BF ∥，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边， 作21F P AF ⊥于点P ，则21F P AF ⊥，因为梯形12AF F B 的高为c ，所以2PF c =， 在12Rt F PF 中，122F F c =，则即1230PF F ∠=︒．设1AF x =，则22AF a x =-，在22221121122cos30AF AF F F AF F F =+-︒， 即()2222423a x x c cx -=+-，解得2132b AF x a c==-，同理2232b BF x ac ==+， 又123AF BF =，所以32332a c a c+=-，即223a c =， 所以33c e a ==. 故选：A ．6．【答案】B【分析】求出216c =，从而求出离心率.【详解】由题意得：2236,20a b ==，故222362016c a b =-=-=， 故离心率为162363c e a === 故选：B 7．【答案】B【分析】由题意，结合椭圆定义可得椭圆的短半轴为2，再根据正弦定理求得长半轴，即可由21b e a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭求得离心率【详解】如图所示，伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，伞沿是一个半径为2的圆，故椭圆的短半轴长2b =，圆心到伞柄底端距离2ED =，阳光与地面夹角60ABC ∠=︒，直径4AC =，DE AC ⊥，则45ECD ∠=︒，由正弦定理得()24sin sin sin 1806045sin 60BC AC a A B =⇒=∠∠︒-︒-︒︒，得()()2sin 60452sin 60cos 45cos 60sin 4562sin 60sin 603a ︒+︒︒︒+︒︒===+︒︒， 故23513c b e a a ⎛⎫==-= ⎪⎭-⎝故选：B8．【答案】C【分析】根据已知条件求得椭圆的长半轴和半焦距，由此求得椭圆的离心率.【详解】由题意，设圆柱底面直径为,0d d >，则椭圆短轴长2b d =，椭圆长轴竖直截面如下图所示：由题意及图，可知ABC 为直角等腰三角形，且AB d =， 故,2AC d BC d ==，椭圆的长轴长222,a BC d a ===， 所以2212c a bd =-，所以椭圆的离心率122222d c e a d ===. 故选：C9．【答案】C【分析】设P 点坐标，Q 点与P 点关于x 轴对称，坐标可用P 点坐标表示，代入斜率之积的关系式，再结合椭圆方程，化简可得a 与b 的关系，即可求出离心率. 【详解】()0,A a ，设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则11AP y a k x -=，11AQ y ak x --=， 22111211143AP AQy a y a a y k k x x x ----⋅=⋅==，又2211221y x a b +=，则()2221212b a y x a-=， 所以()222122221243a y a bb a y a -==-，即2234b a =， 所以椭圆C 的离心率22112c b e a a ==-=，故选：C. 10．【答案】B【分析】由22AF BF ⊥求出B 点坐标，代入椭圆方程，可求得离心率.【详解】左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，∠12AF AF a ==，设1BF n =，则22BF n a =-，由22AF BF ⊥，根据勾股定理，有22222AB AF BF =+，即()()2222a n a a n +=+-解得23n a =，即123BF a =， 由(0,)A b ，1(,0)F c -，1AF a =，123BF a =，1,,B F A 三点共线， ∠52(,)33B c b --，代入椭圆方程，有222231523c b a b⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，化简得2215c a =，所以椭圆离心率为5c e a ==故选：B 11．【答案】B【分析】根据椭圆的长轴长与短轴长的定义，结合离心率公式和参数之间的等量关系，可得答案.【详解】因为椭圆的离心率222222222112c c a b b b e a a a a a -⎛⎫===-- ⎪⎝⎭所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大， 因为6410134579<<， 所以231e e e <<. 故选：B. 12．【答案】B【分析】设椭圆得左焦点为F '，连接,AF BF ''，则四边形AFBF '为矩形，从而有2AB FF c '==，由ABF α∠=，可得sin ,cos AF AB BF AB αα==，再根据椭圆的定义计算即可得解.【详解】解：如图所示，设椭圆得左焦点为F '，连接,AF BF ''， 则四边形AFBF '为矩形， 则2,AB FF c AF BF ''===，所以2BF BF BF AF a '+=+=， 在Rt ABF 中，由ABF α∠=，得sin 2sin ,cos 2cos AF AB c BF AB c αααα====， 所以2sin 2cos 2c c a αα+=， 所以11πsin cos 2sin 4c a ααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为,123ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以ππ7π,4312α⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，所以π62sin ,242α⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 所以26,23c e a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. 故选：B.13．【答案】A【分析】设00(,)P x y ，求出重心的坐标，利用12F PF △中面积等积法可求出,a c 的关系，即可得椭圆离心率.【详解】设00(,),P x y G 为12F PF △的重心，G ∴点坐标为00,33x y ⎛⎫⎪⎝⎭，∠()()1,,00IG λλ=≠，∠IG ∠x 轴 ∠I 的纵坐标为03y ， 在12F PF △中，1212||||2,||2PF PF a F F c +==， 121201||||2F PF F F y S =⋅⋅∴△，又∠I 为△F 1PF 2的内心，∠I 的纵坐标3y 即为内切圆半径， 内心I 把△F 1PF 2分为三个底分别为△F 1PF 2的三边，高为内切圆半径的小三角形，12011221(||||||)||.23F PF y S PF F F PF ∴=++△ 0120112211||||(||||||)||223y F F y PF F F PF ∴⋅⋅=++， 即00112||(22)||223y c y a c ⨯⋅=+，2a c ∴=， ∠椭圆C 的离心率12c e a ==. 故选：A 14．【答案】A【分析】由m 是2和8的等比中项求出m 的值，可得到圆锥曲线的方程，根据离心率定义可得结果.【详解】m 是2和8的等比中项，4m ∴=或4m =-，当4m =时，方程为2214y x +=，表示椭圆，2,1,a b c ∴==∴ 当4m =-时，方程为2214y x -=，表示双曲线，1,2,a b c ∴==∴故选：A 15．【答案】A【分析】根据椭圆的定义及2ABF △的周长求出a ，再根据离心率的计算公式即可得解. 【详解】解：由题可知416a =，即4a =，所以椭圆C 的离心率e ==. 故选：A. 16．【答案】A【分析】由三角恒等变换化简可得2tan tan 3A B =，设出C 的坐标，在两个三角形中表示出tan A 和tan B ，再由点C 在椭圆上化简可得,a b 的关系，进而求出离心率．【详解】因为3tan 3tan tan 0A B C ++=可得3sin 3sin sin()cos cos cos()A B A B A B A B ++=+，即3(sin cos sin cos )sin()cos cos cos()A B B A A B A B A B ++=+， 而在三角形中，sin cos cos sin sin()0A B A B A B +=+≠，所以上式可得3cos()cos cos 0A B A B +-= 而cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，所以可得2cos cos 3sin sin A B A B =，即2tan tan 3A B =， 由题意可得(,0)A a -，(,0)B a ，设0(C x ，0)y ，可得2200221x y a b +=，由椭圆的对称性设C 在第一象限，如图所示：在ACD 中，00tan y A x a =+，在ABD △中，00tan y B a x =-， 所以220222000222220000(1)tan tan x b y y y b a A B x a a x a x a x a-====+---， 所以可得2223b a =，所以离心率22231133c b e a a ==-=-=故选：A ．17．【答案】B【分析】根据曲线表示椭圆，求得m 的范围，判断A; 根据曲线表示双曲线，求得m 的范围，判断B ；由B 的分析求双曲线的焦距，可判断C;根据E 2得m 的值，判断D.【详解】由题意得，当13m <<时，22:(1)(3)(1)(3)E m x m y m m -+-=--，即22131x ym m +=--，要表示椭圆，需满足301031m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13m <<且2m ≠， 故A 错误；若E 表示双曲线，则(1)(3)m m --不能为0，故22:(1)(3)(1)(3)E m x m y m m -+-=--化为22131x y m m +=--， 则(1)(3)0m m --<，即1m <或3m >，故B 正确；由B 的分析知，1m <时，23142c m m m =-+-=- ，此时c 不确定，故焦距不是定值，C 错误； 若EA 的分析知，13m <<且2m ≠， 当31m m ->-时，12m <<，此时2223,1,42a m b m c m =-=-=- ， 则42132m m -=-，解得53m = ， 当31m m -<-时，23m <<，此时2221,3,24a m b m c m =-=-=- ， 则24112m m -=-，解得73m = ，故D 错误， 故选：B 18．【答案】C【分析】根据椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率求得22b a，再根据椭圆离心率的公式及可得解.【详解】解：因为椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，12=，解得2234b a =，则椭圆222214x y a b +=的离心率e ==故选：C. 19．【答案】D【分析】由椭圆的定义及题设，求出1||AF 、1||BF 、2||BF ，利用1212πAF F BF F ∠+∠=，由余弦定理建立方程化简即可得解.【详解】因为122||||2F F AF c ==，由椭圆定义知1||22AF a c =-，又112AF F B =，所以1||BF a c =-，再由椭圆定义2||2()BF a a c a c =--=+， 因为1212πAF F BF F ∠+∠=，所以1212cos cos AF F BF F ∠=-∠，所以由余弦定理可得22222211221122112112||||||||||||2||||2||||AF F F AF BF F F BF AF F F BF F F +-+-=-⋅⋅，即222222(22)(2)(2)()(2)()2(22)22()2a c c c a c c a c a c c a c c-+--+-+=--⋅-⋅，化简可得22340a c ac +-=，即23410e e -+=， 解得13e =或1e =（舍去）.故选：D20．【答案】B【分析】由题意如图所示，由球的半径可得|BF |，||BO 的值，进而可得BOF ODM ∠=∠的正弦值，求出||OD 的值，即求出a 的值，由圆柱的底面半径可得2b 的值，即求出b 的值，进而求出的值，再求出离心率的值．【详解】解：如图所示，1BF =，2BO =，1sin 2BOF ∠=，则11sin 2OM ODM OD OD∠===， 2OD ∴=，即2a =，而22b =，即1b =，所以22413c a b =-=-=， 所以离心率32c e a ==， 故选：B ．21．【答案】D 【分析】将3ax =代入C 中，求得AB 坐标，利用三角形AOB 是等腰直角三角形，求得a ，b 的关系，从而求得离心率. 【详解】将3a x =代入C 中，得223a b A ⎛ ⎝⎭，22,3a b B ⎛ ⎝⎭223b a =，即4=b a，4e =． 故选：D. 22．【答案】A【分析】根据椭圆性质22PA PB b k k a ⋅=-结合离心率222221c b e a a==-运算处理．【详解】由题得：222321,43PA PB b k e a k ⎛⎫=-=-∈-- ⎝⋅⎪⎭，所以12e ⎛∈ ⎝⎭故选：A ． 23．【答案】A【分析】根据点在椭圆上及双曲线的渐近线方程，再利用椭圆中,,a b c 之间的关系，结合椭圆的离心率公式即可求解.【详解】由定义可知C 的伴随曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±.由题意可知，12b a =，即2a b =①.将点⎭代入椭圆C 的方程，得222112a b +=②， 联立①②，解得21b =，24,a =即1,2,b a == 所以222413c a b =-=-=，即c =所以椭圆的离心率c e a ==故选：A.二、多选题 24．【答案】AB【分析】假设椭圆的焦点在x 轴上，且点F 为椭圆的右焦点，分情况讨论A 与B 的位置，可得离心率.【详解】不妨设焦点在x 轴上且F 为右焦点，显然A 不会是右顶点，分类讨论：∠若A 为左顶点，B 为右顶点，则32500a c a a c +=⎧⎪=⎪⎨>⎪⎪>⎩，解得5212a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时离心率15c e a ==；∠若A 为左顶点，B为上（下）顶点，则2223500a c b a c a b c +=⎧⎨=-⎪>>⎪⎪>⎩，无解，不满足；∠若A 为上（下）顶点，B为左（右）顶点，则350a a b =⎧=>>⎪⎩，无解，不满足；∠若A 为上（下）顶点，B 下（上）顶点，则3250a b a b =⎧⎪=⎨⎪>>⎩，解得3a =，52b =，c离心率为ce a=， 故选：AB. 25．【答案】ABD【分析】对于A ：利用离心率直接求出3a =；对于B ：设()()()1122,,,,,,A x y B x y Q m n 进行向量坐标化，整理化简得到132m n+=，即可判断出动点Q 的轨迹方程为直线2360x y +-=，故B 正确；对于C 、D ：求出线段OQ 长度的最小值即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】对于A ：由椭圆22:1(2)2x y C a a +=>=，所以3a =，故A 正确；对于B ：设()()()()()11221122,,,,,,1,1,1,1,A x y B x y Q m n AP x y PB x y ∴=--=--1122(,),(,)AQ m x n y QB x m y n =--=--，由,AP PB AQ QB λλ==-，得()()()121212121,11,1,,x x x x x x m m x x m λλλλλλ⎧+=+-=-⎧⎪∴⎨⎨-=--=--⎪⎩⎩两式相乘得()2222121x x m λλ-=-，同理可得()()22222222221122121,1323232x y x y m n y y n λλλλ⎛⎫⎛⎫-=-∴+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意知0λ>且1λ≠，否则与AQ QB λ=-矛盾，1,32m n ∴+=∴动点Q 的轨迹方程为132yx +=，即直线2360x y +-=，故B 正确；对于C 、D ：所以线段OQ 长度的最小值即为原点到直线的距离，OQ ∴min ==， 故C 错误，D 正确. 故选：ABD.26．【分析】根据方程研究曲线的性质，由方程确定曲线形状，然后求出椭圆的,,a b c 得离心率，得焦距判断AD ，双曲线方程中只要把常数1改为0，化简即可得渐近线方程，判断B ，由圆的标准方程判断C ．【详解】选项A，m =时，曲线方程为2211322x y +=，表示椭圆，其中232a =，212b =，则2221c a b =-=，离心率为c e a ===，A 错； 选项B，m 2213x y -=表示双曲线，渐近线方程为2203x y -=，即y x =，B 正确； 选项C ，1m =时，曲线方程为221x y +=，表示圆，半径为1，C 正确； 选项D ，曲线C 表示椭圆时，22222002m m m m ⎧->⎪>⎨⎪≠-⎩201m <<或212m <<，201m <<时，222a m =-，22b m =，222222(0,2)c a b m =-=-∈， 212m <<时，22a m =，222b m =-，222222(0,2)c a b m =-=-∈，所以2(0,2)c ∈，即c ∈，无最大值．D 错． 故选：BC ． 27．【答案】AC【分析】结合椭圆和双曲线的定义和离心率的求法，即可求得结果． 【详解】若曲线是椭圆则其离心率为12122312422F F c c e a a PF PF =====++； 若曲线是双曲线则其离心率为12122332422F F c c e a a PF PF =====--； 故选：AC 28．【答案】BCD【分析】由离心率相同及已知得到22221122->-a b a b 、1221a b a b =，即可判断A 、B ；由()22,F a b在椭圆1C 上得到2211a b a b =，进而判断C ；根据对称性确定,,,A M N B 的坐标，结合斜率两点式得2121AM BNb k k a =判断D. 【详解】A ：由222211222212a b a b a a --=且12a a >，则22221122->-a b a b ，即22221212->-a a b b ，故错误； B ：由222211222212a b a b a a --=，得2212221211b b a a -=-，则1221a b a b =，所以()121121121211a b a a a a b b b b b b -=-=->-，故正确； C ：()22,F a b 满足椭圆1C 方程222222111a b a b +=，又1212a a b b =，则2211a b a b =，所以22121a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12a a =故正确；D ：由对称性知：M 、N 关于x 轴对称，()1,0A a -，()00,M x y ，()00,N x y -，()1,0B a ，001AM y k x a =+，001BN y k x a -=-，则222101222011222220101189AM BN b x b y a b k k x a x a a -+-====--，13e ==，故正确. 故选：BCD. 29．【答案】BD【分析】A. 设00(,)P x y ，12PA PA k k ⋅34=-，所以该选项错误；B. 求出12PF F △的面积为2121||||,2PF PF b ⋅⋅=所以该选项正确；C.求出(2e ∈，所以该选项错误； D. 若12PF b ≤恒成立，所以305e <≤，所以该选项正确.【详解】解：A. 设00(,)P x y ，所以2200221x y a b+=，因为2214,2,23c e a c a b a ==∴=∴=，所以222220000221,34443x y x y b bb +=∴+=.所以12220002000PA PA y b y b y b k k x x x -+-⋅=⋅=2220203344b x b x --==-，所以该选项错误； B. 若12PF PF ⊥，则2221212||||2,||||4,PF PF a PF PFc +=+=所以212||||2,PF PF b ⋅=则12PF F △的面积为2121||||,2PF PF b ⋅⋅=所以该选项正确；C. 若C 上存在四个点P 使得12PF PF ⊥，即C 上存在四个点P 使得12PF F △的面积为2b ，所以2222122,,,(,1)22c b b c b c a c e ⋅⋅>∴>∴>-∴∈，所以该选项错误； D. 若12PF b ≤恒成立，所以222222,244()a c b a c ac b a c +≤∴++≤=-，所以235230,05e e e +-≤∴<≤，所以该选项正确.故选：BD三、填空题30．【答案】22##122【分析】根据平面与圆柱的截线为椭圆，求出椭圆的长半轴长和短半轴长，即可求出半焦距，由椭圆的离心率定义求解即可.【详解】设圆柱1OO 的轴截面，即正方形的边长为2，设1C 是弧11B A 的中点，且与C 关于圆柱的中心对称，由题意可知，截面曲线为椭圆，椭圆的短轴长为2，长轴2212222C C += 所以长半轴长 2,a = 短半轴长1b = ， 故半焦距为 221c a b - , 所以椭圆的离心率为2c e a ==， 2 31．【答案】125【分析】分椭圆的焦点在x ，y 轴上，由椭圆的方程可得a 的值，再由焦距为2可得的值，求出椭圆的离心率．【详解】由椭圆的方程可得0m >，且4m ≠，焦距为2，可得22c =，即1c =， 当焦点在x 轴上时，则2a m =，24b =，可得2224c a b m =-=-， 由题意可得41m -=，所以5m =，这时离心率c e a ==； 当焦点在y 轴上时，则24a =，即2a =，这时离心率12c e a ==， 综上，离心率为12故答案为：1232【分析】由已知，在焦点三角形12PF F △ ，根据正弦定理可知12122112sin sin sin PF PF F F PF OPFO F PF ==∠∠∠，然后借助椭圆的定义以及题中给的焦点三角形的两个底角即可直接求解离心率.【详解】由已知，12PF F △为焦点三角形，由正弦定理可知;12122112sin sin sin PF PF F F PF O PFO F PF ==∠∠∠，即12122121sin sin sin()PF PF F F PF O PFO PF O PFO +=∠+∠∠+∠，所以 12211221sin()sin sin F F PF O PFO e PF PF PF O PFO ∠+∠==+∠+∠sin 60sin 60sin15sin 45sin(4530)sin 45︒︒︒︒︒︒︒===+-+33【分析】根据题意结合1212//=l l k k ⇒列式求解可得2b c =，再利用222a b c =+及ce a=运算求解.【详解】由题意可得：()()()21,0,0,,,,,0b A a B b P c F c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭则()12200,02ABPF b b bb a kk a ac c ac--====---- ∠1//AB PF ，则1ABPF k k =，即22b b a ac=，解得：2b c = ∠225a b c c =+=，则555c c e a c===故答案为：55.34．【答案】31-##13-+【分析】求出2PF 、1PF ，利用椭圆的定义可得出关于a 、的等式，即可求得椭圆C 的离心率的值.【详解】在12Rt F PF △中，1230PF F ∠=，1290F PF ∠=，则2PF c =，122F F c =，则2211223PF F F PF c =-，由椭圆的定义可得()12312PF PF c a +==，则3131c e a =+. 31.四、解答题35．【答案】6⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则APB ∠的最大值大于等于120︒即可，即当P 为短轴端点时，60APO ∠≥︒即可，再结合离心率公式，即可求解．【详解】点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则APB ∠的最大值大于等于120︒即可， 即当P 为短轴端点时，60APO ∠≥︒即可，tan tan60aAPO b∠=≥︒e又01e <<，∴该椭圆的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎣⎭． 36．【答案】(2)证明见解析，定点10,3G ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）结合题意得2,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而根据直线MN220c a -=，即210e -=，再解方程即可得答案； （2）结合（1）得圆C 的方程为2212x y +=，进而设直线AB 的方程为()()1122,,,,y kx m A x y B x y =+，再与椭圆方程联立结合韦达定理和0DA DB ⋅=整理化简得13m =-或1m =，再检验1m =不满足题意，进而得直线AB 经过y 轴上定点10,3G ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）由题意知，点M 在第一象限，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，M ∴的横坐标为.当x c =时，2by a =，即2,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又直线MN的斜率为4，所以2212tan 22b b a MF F c ac ∠==，即222b a c ==-，即220,c a -=则210e -=，解得e =e =即e =（2） 解：已知()0,1D 是椭圆的上顶点，则1b =，由（1）知e ==a = 所以，椭圆C 的方程为2212x y +=， 设直线AB 的方程为()()1122,,,,y kx m A x y B x y =+，联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()()()222124210*k x kmx m +++-=， 所以()2121222214,1212m km x x x x k k--+==++， 又()()1122,1,,1DA x y DB x y =-=-，()()()()121212121111DA DB x x y y x x kx m kx m ⋅=+--=++-+-()()()22121211(1)k x x k m x x m =++-++-()()()2222221411(1)1212m km k k m m k k --=+⋅+-⋅+-++ ()()()()2222222211412(1)012m k k m m k m k -+--++-==+，化简整理有23210m m --=，得13m =-或1m =. 当1m =时，直线AB 经过点D ，不满足题意；. 当13m =-时满足方程()*中Δ0>， 故直线AB 经过y 轴上定点10,3G ⎛⎫- ⎪⎝⎭.37 【分析】由题意可得π6BAF ∠=，2a OB =，从而可得点B 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得a 与b 的关系，根据222c a b =-可得与b 的关系，由离心率公式直接求解即可.【详解】由题易知OA a =，π6BAF ∠=，2a OB =，则4a B ⎛- ⎝⎭.代入椭圆C 的方程，可得2222311616a a a b +=，所以225a b=，即a .所以2c b ==，所以c e a ==． 38．【分析】根据BFAB=2a 与2b ，结合c e a =与222c a b =-即可求离心率.【详解】解：()22222433BFa b a a b AB ===⇒=+⇒=，离心率为c e a == 39．【答案】【分析】作出截面，根据平面与球相切的性质，结合直角三角形中各边的关系与勾股定理等，求解椭圆的基本量即可. 【详解】设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>． 作出几何体的轴截面图，如图所示，点M ，N 是P 圆柱内两个内切球的球心，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，其中O 是12O O 与12F F 的交点，12PQ O O ⊥．根据圆的切线的性质，可得2⊥MF AB ，1NF AB ⊥， 由题意，可知126OO OO ==，21212MF MO NO NF ====， 所以4OM ON ==，所以12OF OF ===c =，所以在2OMF △中，221sin 42MOF ∠==，则230MOF ∠=︒， 所以60AOQ ∠=︒， 所以||2||41cos 2OQ OA AOQ ===∠，即a ＝4，所以椭圆的离心率c e a ===40．【答案】2【分析】设1122(,),(,)P x y B x y ，得到11(,)A x y --，结合PA PB ⊥，得到112112()112()2y y y x x x -⋅=-，又由2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减得2121221212()()()()y y y y b x x x x a -+=--+，求得2212b a =，进而求得椭圆的离心率．【详解】设1122(,),(,)P x y B x y ，则12120,0,x x x x >>≠，且11(,)A x y --， 所以112121112121,,2PA PB AB y y y y y y k k k x x x x x x -+====-+， 因为PA PB ⊥，所以112112()1()y y y x x x -=--，所以112112()112()2y y y x x x -⋅=-， 又因为2222112222221,1x y x y a b a b+=+=， 两式相减得222212122211()()0x x y y a b---=，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a -+=--+， 所以2212b a =，所以2221c b e a a =-． 41．【答案】(1)2212x y += (2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据焦距，求得c 值，根据离心率，求得a 值，根据a ，b ，c 的关系，可得2b ，即可得答案.（2）当直线l 斜率为0，即为x 轴时，分析可得120k k +=；当直线l 斜率不为0时，设直线的方程为：1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线与椭圆联立，可得关于y 的一元二次方程，利用韦达定理，可得12y y +、12y y ⋅表达式，根据斜率公式，化简整理，即可得证.（1）因为焦距22c =，所以1c =，因为离心率2c e a ==，所以a = 所以2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）当直线l 斜率为0，即为x 轴时，则120,0k k ==，所以120k k +=；当直线l 斜率不为0时，设直线的方程为：1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 与椭圆联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 整理得()222210m y my ++-=， 2244(2)(1)0m m ∆=-+⨯-> 所以12222m y y m +=-+，12212y y m ⋅=-+， 所以1111121y y k x my ==--，2222221y y k x my ==--， 所以()()()121212121212201111my y y y y y k k my my my my -++=+==----. 综上所述：12k k +为定值0.。
椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A． B．C．D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B． C． D．﹣120．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣623．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，1）24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，] C．[，1）D．[，]25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．解答：解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c，﹣c）（c，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．解答：解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G（，），∵，∴IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴=•|F1F2|•|y0|又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF 1|+|F1F2|+|PF2|）||∴•|F1F2|•|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率e==故选A7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．解答：解：如图，在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c ∴MF2=4c，MF1=2cMF1+MF2=4c+2c=2a⇒e==2﹣，故选B．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B． C． D．或解答：解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e的取值范围是．故选：C．10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是e∈．故选A．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．解答：解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．13．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A 是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l解答：解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：D．14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，可得2c=2，即ac=b2=a2﹣c2．可得e2+e﹣1=0．解得e=．故选：D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：由题意作图如右图，l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），∵2|PF1|=3|QF1|，∴点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；又∵|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，∴2|MP|=3|QA|，又∵|MP|=﹣c﹣x0+，|QA|=x0+，∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），解得，x0=﹣，∵|PF2|=|F1F2|，∴（c+x0+）=2c；将x0=﹣代入化简可得，3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A． B．C．D．解答：解：∵|MF1|=|MO|=|MF2|，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，即|MF2|=a，|MF1|=a，在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，则cos∠MOF1==，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，则cos∠MOF2==，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，即为+=0，整理得：3c2﹣2a2=0，即=，即e2=，即有e=．故选：D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）解解：由已知P（，y），得F1P的中点Q的坐标为（），答：∴，∵，∴y2=2b2﹣，∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：C．19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B．C．D．﹣1解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60°=，∴点P坐标为：（c，c），代人椭圆的标准方程，得，∴b2c2+3a2c2=4a2b2，∴e=．故选：D．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]解答：解：如图所示，连接OE，OF，OM，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C的离心率的取值范围是．故选：C．21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）解：如图所示，解答：设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣6解答：解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（）2a2，即有c2=（9﹣6）a2，即有e2==9﹣6．故选D．23．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，1）解答：解：设F2是椭圆的右焦点．∵•=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．故选：D．24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，] C．[，1）D．[，]解解：设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=+，答：化为．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：设P（x，y0），则，∴=．∵，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=c2，化为=c2，∴=2c2，化为=，∵，∴0≤≤a2，解得．故选：D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．解解：由题意知c=1，离心率e=，答：椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值，故选C．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）解答：解：如图所示：|AF|=a+c，|BF2|=，2∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．解解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．答：②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．。
椭圆中的离心率问题
专题4 椭圆中的离心率问题一、选择题1.已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，左、右两焦点分别为12,F F ,若12AF F ∆为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A.12B.C.13D.2.若12,F F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当12PF PF ⊥,且1230PF F ∠=︒,则椭圆的离心率为（ ）A.1B.C. 1D.3.若椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，线段12F F 被抛物线 ()220y bx b =>的焦点分成5：3的两段，则此椭圆的离心率为（ ）A.1617B.C.45D.4.如图，己知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，12PF PF ⊥，直线1PF 与y 轴交于点Q ，若4bOQ =,则椭圆C 的离心率为（ ）A.B.C.12D.235.已知ABCDEF 为正六边形，若A 、D 为椭圆W 的焦点，且B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则椭圆W 的离心率为( )A.1B. 1C.D.6.如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，A ，B 分别为椭圆的上、下顶点，P 是椭圆上一点，AP //BF 、|AF |=|PB |,记椭圆的离心率为e ，则2e = ( ).A.B.C.12D.7.设椭圆()2222:12x y C a a b+=>的左、右焦点分别为12,F F ，直线l y x t =+：交椭圆C 于点A ，B ，若1F AB ∆的周长的最大值为12，则C 的离心率为( )A.B.C.D.598.设F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，P 是C 上的点，圆2229a x y +=与直线PF交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则C 的离心率为（ ）A.B.C.D.二、多选题9.椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>>, 12,F F 分别为左、右焦点，12,A A 分别为左、右顶点，P 为椭圆上的动点，且12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥恒成立，则椭圆C 的离心率可能为（ ）A.12B.C.D.10.已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>> 的左右焦点分别12F F 、，过1F 且斜率为2的直线交椭圆E 于p 、Q 两点，若12PF F ∆为直角三角形，则该椭圆C 的离心率e =（ ）A.1B.C. 1D.11.已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ,，若椭圆M 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四点，且从12F F ,，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为（ ）A.B.C.D.12.的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>>,12A A ,分别为左、右顶点，12B B ,分别为上、下顶点，12F F ,分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ） A. 2112212A F F A F F ⋅=B. 11290F B A ∠=︒C. 1PF x ⊥轴，且21//PO A BD. 四边形221AB A B 的内切圆过焦点12F F ,三、填空题13.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>,左焦点F (-c ，0)，右顶点A (a ，0)，上顶点B (0，b )，满足0FB AB ⋅=则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿.14.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>, 以原点为圆心，半径为椭圆C 的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆C 的离心率为_______.15.如图，过原点O 的直线AB 交椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 于A ，B 两点，过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ，AQ 分别交椭圆C 于点P ，Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若34AM AP =,则椭圆C 的离心率是________.16.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F ,，点P 在椭圆上且同时满足；①12F F P ∆是等腰三角形；②12F F P ∆是纯角三角形；③线段12F F 为12F F P ∆的腰；④椭圆C 上恰好有4个不同的点P .则椭圆C 的离心率的取值范围是_______. 【提高题】 一、选择题1.10的化简结果为（ ）A. 2212516x y +=B. 2212516y x +=C. 221259x y +=D. 221259y x +=2.如果方程22143x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A. ()3,4B. 7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 73,2⎛⎫⎪⎝⎭D. 7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭3.“1<m <5”是“方程 22215x y m m+=--表示椭圆”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设定点 (()()120,3, 0,3F F -.动点P 满足条件()1290PF a PF a a-=->则点P 的轨迹是（ ） A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段5.(多选题)己知P 是椭圆 22197x y +=上一点，椭圆的左、右焦点分别为12F F ,，且121cos 3F PF ∠=,则（ ）A. 12PF F ∆的周长为12B. 1PF F S ∆=C.点P 到x 轴的距离为D. 122PF PF ⋅=6.(多选题)设P 是椭圆22:12x C y +=上任意一点12F F ,是椭圆C 的左、右焦点，则（ ）A. 12PF PF +=B. 1222PF PF -<-<C.1212PF PF ≤⋅≤D. 2101PF PF ≤⋅≤二、填空题7.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (-3，0)和C (3，0)，顶点B 在椭圆 2212516x y +=上，则sin sin 2sin A CB+=___________.8.已知 12F F ,是椭圆 22197x y +=的两个焦点A 为椭圆上一点，且12AF F ∠=45°，则12AF F ∆的面积为＿＿＿，此时 2AF =________.9.如图把椭圆 2212616x y += 的长轴AB 分成8等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于127P P P ⋯，，，七个点，F 是椭圆的焦点，则127PFP F P F +++=______.10.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F (1，0)，A ，B 为椭圆C 的左右顶点，且3AF FB =，则椭圆C 的方程为______.三、解答题11.如图所示，在圆()22:125C x y ++=内有一点A (1，0).Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程.12.如图，椭圆 ()2222:10x y C a b a b +=>>经过点41,33M ⎛⎫⎪⎝⎭且点M 到椭圆的两焦点的距离之和为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若R , S 是椭圆C 上的两个点线段RS 的中垂线l 的斜率为12且直线)与BS 交于点P , O 为坐标原点，求证：P 、O 、M 三点共线.。
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椭圆离心率问题专题练习
1． 已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若
75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为
2.椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等
于
2
1
∣AF ∣，椭圆的离心率为
3.椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过
焦点，椭圆的离心率为
4. 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，椭圆的离心率为
5.以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两 点，如果∣MF ∣=∣MO ∣，椭圆的离心率为
6. 如图所示，A 、B 是椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两个端点，F 2是右焦点，
且AB ⊥BF 2，椭圆的离心率为
7.已知直线L 过椭圆
122
22=+b
y a x （a>b>0）的 顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 距离为2
a
，椭圆的离心率为 ·
8.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
6021=∠PF F ，椭圆离心率e 的取值范围为
9.椭圆12222=+b y a x （a>b>0）和圆x 2＋y 2=(c b +2
)2有四个交点，其中c 2=a 2－b 2
, 椭圆离心
率e 的取值范围为
10.设椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 、B ，若椭圆上存在一
点Q ，使∠AQB=120º，椭圆离心率e 的取值范围为
11.设椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆上存在一点Q ，
使∠F 1QF 2=120º，椭圆离心率e 的取值范围是
12．椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 1的直线交椭圆于P 、Q 两点，且
OP ⊥OQ ，椭圆的离心率e 的取值范围是
13．已知椭圆M ：122
22=+b
y a x （a>b>0），D （2，1）是椭圆M 的一条弦AB 的中点，点
、
P （4，－1）在直线AB 上，椭圆M 的离心率是
14．如图，从椭圆上一点P 向X 轴作垂线，垂足恰好通过椭圆的一个焦点1F ，此时椭圆长轴的一个端点A 和短轴的一个端点B 的连线与OP 平行，椭圆的离心率是
】
15．如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F 均在椭圆上，椭圆的离心率
《
|
参考答案
1.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若
75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为
3
6 2． 椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离
等于
2
1
∣AF ∣，求椭圆的离心率.（36）
3． 椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过
焦点，求椭圆的离心率.（
2
1
5-） 4． 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆
的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，求椭圆的离心率.（13-） 5． 《 6． 以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两 点，
如果∣MF ∣=∣MO ∣，求椭圆的离心率.（13-）
7． 如图所示，A 、B 是椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两个端点，F 2是右焦点，
且AB ⊥BF 2，求椭圆的离心率. （
21
5-） 8． 已知直线L 过椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的
顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 、
距离为
2
a
，求椭圆的离心率.（36）。
9． 已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
6021=∠PF F ，求椭圆离心率e
的取值范围。
⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡1,21 10．
椭圆12222=+b y a x （a>b>0）和圆x 2＋y 2=(c b +2
)2有四个交点，其中c 2=a 2－b 2
, 求
椭圆离心率e 的取值范围。
（
5
3
55<<e ） 11．
设椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 、B ，若椭圆上
存在一点Q ，使∠AQB=120º，求椭圆离心率e 的取值范围。
（
e ≤2
3
<1）. 12．
设椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆上存在一点Q ，
使∠F 1QF 2=120º，求椭圆离心率e 的取值范围。
(
13
6
<≤e )
12．椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 1的直线交椭圆于P 、Q 两点，且
OP ⊥OQ ，求椭圆的离心率e 的取值范围。
（
12
1
5<≤-e ）。
13．已知椭圆M ：122
22=+b
y a x （a>b>0），D （2，1）是椭圆M 的一条弦AB 的中点，点
P （4，－1）在直线AB 上，求椭圆M 的离心率。
（
2
2
） (
14．如图，从椭圆上一点P 向X 轴作垂线，垂足恰好通过椭圆的一个焦点1F ，此时椭圆长
轴的一个端点A 和短轴的一个端点B 的连线与OP 平行，求椭圆的离心率。
（
2
2
）
、
15．如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F 均在椭圆上，求椭圆的离心率 （ 13- ）
解：以AD 所在直线为X 轴，AD 中点为坐标原点建立坐标系。
设正六边形的边长为r ，则椭圆的半焦距r
c =，易知ΔAOF
3c
12222=+b y a x 中，得：143422
22=+b c a c ，∴ 432
22
22
=-+c a c a c ，即：
41132
2
=-+e e 4132
22
=-+e
e e ，,13,324,048),1(43)1(2
242222±=±==+--=+-e e e e e e e e 又13,10-=
∴<<e e
法二：如图，连结AE ，易知0
90=∠AED ，设
c ED c EA c AD ===,3,2则，由椭圆定义，
有：a ED EA 2=+，a c 2)13(=+， ∴131
32-=+==a c e 椭圆
12
22
2=+b y a x (a ＞b ＞0)的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过椭圆
的焦点，则椭圆的离心率e =
2
1
5- ．提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c ，
又等于直角三角形AOB 斜边上的高，∴由面积得：22b a r ab +⋅=，但c r =。