高二数学圆锥曲线(椭圆专题训练)

1、在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

3cos,

sin,

x

y

θ

θ

=

⎧

⎨

=

⎩

（θ为参数），直线l的参

数方程为

4,

1,

x a t

t

y t

=+

⎧

⎨

=-

⎩

（为参数）.

（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l

a.

2、已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1

，P4（1

，）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

22

22

=1

x y

a b

+

2

3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点分

别为12,F F ，离心率为

1

2

，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程；

（2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.

4

、

5、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22

221x y a b

+=()0a b >>，焦距为2.

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）如图，动直线l ：1y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC

的斜率为2k ，且12k k =

M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的

最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.

6、过x 2/a 2+y 2/b 2=1的右焦点F 斜率为1的直线交椭圆于A 、B

两点，且OA+OB 与a=（3，-1）共线，求e

7、x 2/a 2+y 2/b 2=1左右焦点分别为F 1、F 2，e=2/3, A 、B 为椭圆上不同的两点，线段AB 的中垂线与x 轴交于Q （1，0）。（1）点M 为线段AB 中点，求M 横坐标。（2）AF 2+BF 2=3,P 为椭圆上一点，角F 1PF 2=60°，求三角形F 1PF 2的面积

2、（1）由于

34,P P 两点关于y 轴对称，故由题设知

C 经过34,P P 两点 又由

2222

1

113

4a b a

b

+>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上 因此2221

1,1314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224

1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩

故C 的方程为2

214

x y += （2）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k

如果l 与x 轴垂直，设:l x t =，由题设知0t ≠，且||2t <，可得,A B 的坐标分别为

(,,22

t t -

则121k k +==-，得2t =，不符合题设

从而可设:(1)l y kx m m =+≠，将y kx m =+代入2

214

x y +=得 222(41)8440k x kmx m +++-=

由题设可知2

2

16(41)0k m ∆=-+>

设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222844

,4141

km m x x x x k k -+=-=++

而121212

11

y y k k x x --+=

+

121211

kx m kx m x x +-+-=+

121212

2(1)()

kx x m x x x x +-+=

由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=

即222448(21)

(1)04141

m km

k m k k --++-=++ 解得1

2

m k +=-

当且仅当1m >-时，0∆>，于是1

:2

m l y x m +=-+， 所以l 过定点(2,1)- 3、（1）设椭圆的半焦距为c

因为椭圆E 的离心率为

1

2

，两准线之间的距离为8， 所以2

12,

82c a a c

== 解得2,1a c ==

，于是b =

因此椭圆E 的标准方程为22

143

x y +=. （2）由（1）知，12(1

,0),(1,0)F F - 设00(,)P x y ，因为P 为第一象限的点，故000,0x y >>， 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符 当01x ≠时，直线1PF 的斜率为

001y x +，直线2PF 的斜率为001

y

x - 因为1122,l PF l PF ⊥⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-

，直线2l 的斜率为00

1

x y --，