高等土力学(李广信)2.4 土的弹性模型

2) 内勒(Naylor)模型
各向等压试验 P=常数的三轴试验
Kt = Ki + α K p Gt = Gi + α G p + β G q
在这个模型的基础上，发展了反映剪胀的模型： 三参数模型
3) 伊鲁米-维鲁伊特(Ilumi-Verruijt)的耦合模型
1 1 dε v＝ dp + dq Kt Ht 1 dε = dq 3Gt
5) Duncau-Chang的讨论 (1) 只能用常规三轴试验确定参数：
d(σ1 − σ 3 ) Et = dε1 Et d(σ1 − σ 3 ) ＝ 2 dε1 1 −ν t
dσ 3 = 0 d(σ1 − σ 3 ) = dσ1
σ3等于常数的平面应 变试验
Et d(σ1 − σ 3 ) 不排水三轴试验 ＝ dε1 1 − A(1 − 2ν t )
2c cosϕ + 2σ 3 sin ϕ (σ1 − σ 3 )f = 1 − sin ϕ 1 (σ1 − σ 3 )ult = b 2c cosϕ + 2σ 3 sin ϕ Rf = b 1 − sin ϕ
模型的切线模量Et
Et =
d (σ1 − σ 3) dε1
ε
a + bε
1
＝
a 2 (a + bε1 )
Ei 2 = pa ε1 ε1 1 + − ( ε1 )95% + ( ε1 )70% σ1 − σ 3 95% σ1 − σ 3 70% σ1 − σ 3 ult
B (σ1 − σ 3 )70％ = pa 3( ε V )70％
(σ1 − σ 3 )f Rf = (σ1 − σ 3 )ult
(σ1-σ3)ult
破坏比Rf
σ1-σ3
(σ1-σ3)f
0
15%
ε1
图2－32破坏比Rf －
(σ1 − σ 3 ) f
2c cos ϕ + 2σ 3 sin ϕ = 1 − sin ϕ
(σ1 − σ 3 )f Rf = (σ1 − σ 3 )ult
{dσ } = [ Di ]{dε }
其中矩阵[Di]一般是一个非对称的切线刚度矩阵
特点与思考 1)应力应变间存在一一对应（固定）关系。 2)应变可恢复，与应力路径无关。 3)何时可退化为胡克定律？ 4)不存在唯一的应变能，不同的应力循环可能导 致产生能量增加。 因而不能保证解的唯一性和稳定性。
2. 格林(Green)弹性理论——超弹性理论 (hyper elastic theory)
所以1/a 代表了双曲线的初始斜 率（模量）
σ1 − σ 3 =
ε
a + bε 1
1
ε1→∝, σ1−σ3=(σ1−σ3)ult=1/b
1/b 代表了曲线应力的极终值
σ1−σ3
Ei=1/a
1 0
(σ1−σ3)ult=1/b
σ1 − σ 3 =
ε
a + bε 1
1
ε1
图2－28 参数a和b的物理意义 －
矩阵表示
1 ν 1 −ν ν 1 −ν [D] = E(1 −ν ) 0 (1 + ν )(1 − 2ν ) 0 0
{σ } = [ D]{ε}
1 对 1 1 − 2ν 0 2(1 −ν ) 0 0 0 0 称
ν
1 −ν 0 0 0
1 − 2ν 2(1 −ν ) 0
dp = Kdε v dq = 3Gdε
1) 多马舒克——维利亚潘(Domaschuk— Valliappan)模型 p＝常数的三轴试验： 设p-εv 之间为幂函数 关系：
εv n p=( ) ε vc
n−1 εV dp Kt = = Ki 1 + n dε v ε Vc
W ε ij 存在一个应变能密度函数： 外力产生应变增量dε —外力作功增量：
B = K bP ( a
σ3
P a
)
m
试验参数Kb, m
4）E-ν模型：假设ε1与-ε3成双曲线关系
ε
1=
f + D(−ε 3 )
−ε 3
−ε3
ε1
= f − Dε 3
d(−ε 3 ) (1 − Dε1 ) f + Dε1 f νt = = 2 dε1 (1 + Dε1 )
d(−ε 3 ) (1 − Dε1 ) f + Dε1 f νt = = 2 dε1 (1 + Dε1 )
E=Et
ν=νt
切线模量
1. Duncan-Chang 双曲线模型 1）基本原理
σ1−σ3
0 图2－27 三轴试验的应力应变曲线 － Kondner在1963年所做的三轴 试验中，应力应变可用双曲 线模拟。
ε1
σ −σ =
1 3
ε
a + bε
1
1
在常规三轴压缩试验中：
σ −σ =
1 3
ε
a + bε
2.4.2 线弹性模型
（广义）胡克定律
广 义 胡 克 定 律 （ 各 向 同 性 ）
1 ε x = E [σ x −ν (σ y + σ z )] ε = 1 [σ −ν (σ + σ )] z x y E y 1 ε z = [σ z −ν (σ x + σ y )] E γ = 2(1 +ν ) τ xy xy E 2(1 +ν ) γ yz = τ yz E 2(1 +ν ) τ zx γ zx = E
E 胡克定律的一般公式： B = 3(1 − 2ν )
E-B模型: 对于同一围压的试验假设体积模量B是常数
70%(σ1-σ 3)f
εv 70%
ε1
图2－33 体积模量B的确定 －
∆p (σ1 − σ 3 )70% B= = ∆ε v 3(ε v )70%
对于同一个围压σ3，B为常数，对于不同的 围压，它与σ3成指数关系
（Et、Eur随着围压σ3的增加而加大)
(Eur> Et ）
Eur = Kur P ( a
lg(Ei/pa)
σ3
P a
)n
n
1
Ei = KP ( a
Kur K 1 (σ3)1 (σ3)2 (σ3)3 图2－31 模量参数的确定： －
σ3
P a
)n
lg(σ3/pa)
初始模量与卸载（再加载）模量
（三个围压的试验在双对数坐标下的结果）
1. 柯西(Cauchy)弹性理论
一般关系式：
σ ij = Fij ( εkl )
σ ij = A0δ ij + A1εij + A2εik ε kj
εij = B0δij + B1σ ij + B2σ ikσ kj
二阶多项式：
增量关系（二阶）：
2 dσ ij = K − G δklδij + 2a2 I1ε δklδij + a3 ( I1ε δkl − ε kl ) δij 3 + ( 2G + a5 I1ε ) δikδ jl + a5εijδkl + a6 ( εljδik + εikδ jl ) dε kl
1− b(σ 1 − σ 3 )
2
σ −σ =
1 3
ε1 =
1
a(σ 1 − σ 3 )
Rf (σ1 − σ 3 )(1 − sin ϕ ) Et = KP ( ) 1 − a P 2c cos ϕ + 2σ 3 sin ϕ a
n
σ3
3）E-B模型 采用切线变形模量和体积模量表示 Et:切线变形模量 Bt:体积模量
A,B,C,D之间要满足一定关系。
讨论 一般需要非常规三轴试验: p=常数。 土的强度受中主应力影响: M=q/p，只有两个变 量p, q不够。（与σ1， σ3表示不同） 矩阵有时不对称。
2.4.4 高阶的非线弹性理论模型
1. 柯西(Cauchy)弹性理论：全量模型 2. 格林(Green)弹性理论——超弹性理论：全量 模型(hyperelastic theory) 3. 次弹性模型(hyporelasticitic model)：增量模型
1 − 2ν 2(1 −ν )
横向各向同性
5个独立的弹性参数：
E、E′、 ν、ν ′、G′
2.4.3非线弹性－增量的广义虎克定律
增 量 广 义 虎 克 定 律 （ 各 向 同 性 ）
1 dε x = E [dσ x −ν (dσ y + dσ z )] dε = 1 [dσ −ν (dσ + dσ )] y z x y E dε z = 1 [dσ z −ν (dσ x + dσ y )] E dγ = 2(1 +ν ) dτ xy xy E 2(1 +ν ) dγ yz = τ d yz E 2(1 +ν ) dτ zx dγ zx = E
ε →0
1
图2－34 泊松比中参数的确定 －
ν →f
i
νi=f=G-F lg(σ3 /pa)
ε1趋近于0，νt→νi
νi与围压σ3成对数关系
d(−ε 3 ) (1 − Dε1 ) f + Dε1 f νt = = 2 dε1 (1 + Dε1 )
ε1 =
νt =
1− b(σ 1 − σ 3 )
a(σ 1 − σ 3 )
(2)非线性强度包线
σ 3 ϕ = ϕ0 − ∆ϕ lg P a