小结：概率与统计的交汇问题

归纳总结
• 二项分布（ n次独立重复试验—贝努力试验） 的特征： • ① 试验次数是有限的（n）； • ② 每次试验相互独立没有影响. • ③每次试验只有发生A和不发生A两种情况； • ④每次试验A发生的概率都是一样的（p）； • ⑤随机变量X： n次独立重复试验中事件A发 生的次数
2 2 (3)由题意，可知：甲校的优秀率为 ，乙校的优秀率为 ，由题意 11 5 可知， 随机变量 ξ＝0,1,2,3，且 23 0 2 0 ＝ 1 － P(ξ＝0)＝C3
•(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18
人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的 3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X，求X的分布列和期望 E(X)．
(2) 因为 [40,45) 岁年龄段的“低碳族”与 [45,50) 岁年龄段的“低 碳族”的比值为 60∶30＝2∶1，所以采用分层抽样法抽取 18 人， [40,45)岁中有 12 人，[45,50)岁中有 6 人．随机变量 X 服从超几何 分布．
解： (1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器 在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11 的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2， P(X=16)=0.2×0.2=0.04 P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
注意:a.柱状图中的纵坐标为頻数; b.频率分布直方图中的纵坐标为： 频率／组距 c.易错：茎叶图中重复的数据只写了一次
(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征：
①众数、中位数；
1 1 n ②样本平均数 x ＝ (x1＋x2＋„＋xn)＝ xi； n n i＝ 1 ③样本方差 1 s ＝ [(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋„＋(xn－ x )2] n
2
1 n ＝ (xi－ x )2； n i＝ 1
④样本标准差 s＝ ＝ 1 2 2 2 [ x － x ＋ x － x ＋„＋ x － x ] 2 n n 1 1n 2 x － x . ni＝1 i
线性回归方程
ˆ a ˆ bx ˆ 称为线性回归方程， 方程 y
小结：统计与概率交汇问题
北海中学数学组：伞馨慧
• 统计部分主要考查随机抽样、样本估 计总体、线性回归分析，独立性检验的简 单应用，一般是选择题、填空题，试题难 度中等或稍易．若以解答题出现，往往与 概率、离散型随机变量的分布列交汇考 查．
• 在复习统计问题时，要紧紧抓住这些图 表和方法，把图表的含义弄清楚，这样剩 下的问题就是有关的计算和对统计思想的 理解（仔细审题，分析整理数据），在弄 清楚统计问题的基础上，要与概率、离散 型随机变量的分布列、期望、方差密切结 合掌握．（准确地确定概率类型，再计算 处理）
X Y 不大于20 20×200 21 22
20×200+500 20×200+500×2P0.880.080.04
EY＝4080
可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费 用的期望值，故应选n＝19
命题角度二：独立性检验与概率相结合
• 以实际问题为背景，给定数据表，借助 这些数据结合独立事件或对立事件设计概 率及分布列问题．
分组 [110,120) 10 频数
(1)试求x，y的值； (2)根据抽样结果分别估计甲校和乙校的优秀率，若 把频率视为概率，现从乙校学生中任取3人，求优 秀学生人数ξ的分布列和数学期望． 变型（2’）：现已从甲校入样的成绩在 [110,130)分数段的学生中，按分层抽样抽取 了一个容量为7的样本，将此视为一个总体， 从中任取2人参加某项活动，求至多一人在 [120,130)分数段的概率。
2 n ad － bc 附：K2＝ ； a＋bc＋da＋cb＋d
解
(1)由分层抽样知，甲校抽取了 55 人成绩，乙校抽取了 50 人
的成绩．所以，x＝6，y＝7. (2)由以上统计数据填写右面 2×2 列联表如下： 甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计 10 45 55 20 30 50 30 75 105
2 105 × 10 × 30 － 20 × 45 因为 K2＝ ≈6.109＞5.024. 30×75×50×55
故有 97.5%的把握认为这两个学校的数学成绩有差异．
巩固练习1：某班同学进行社会实践，
对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行 了一次生活习惯是否符合低碳观念 的调查，若生活习惯符合低碳观念 的称为“低碳族”，否则称为“非 低碳族”，得到如下统计表：
n=1000 组数
第一组 第二组 第三组
分组
低碳族 的人数
占本组 的频率
各组在总体中 的频率
[25,30) [30,35) [35,40)
120 195 100
60 a
0.6 0.65 p 0.5
0.2
0.3 x
0.2 0.15 0.1 0.05
第四组
第五组
[40,45)
[45,50)
0.4
0.3
(2016· 全国Ⅰ，19)某公司计划购买2台机器，该种机器 使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器 时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机 器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需 决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集 并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零 件数，得下面柱状图
1
2
3
5 15 33 55 P 204 68 68 204 5 15 33 55 所以数学期望 E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝2. 204 68 68 204
分组 频数 [70,80) 2 [80,90) 3 [90,100) 10 [100,110) 15 [140,150)
分组 [110,120) [120,130) [130,140) 6 15 x 3 频数
1
• 乙校：抽取50名学生成绩 分组 频数 [70,80) 1 [80,90) 2 [120,130) 10 [90,100) 9 [130,140) y 7 [100,110) 8 [140,150) 3
y1 y2 总计
x1
x2 总计
a
c a＋c
b
d b＋ d
a＋b
c＋ d a＋b＋c＋d
2 n ad － bc 构造一个随机变量 K2＝ ， a＋bc＋da＋cb＋d
命题角度一：抽样方法、频率分布直方图（表）、 茎叶图与概率的交汇问题
• 准确提取直方图（表）、茎叶图中的信 息是解此类题的关键，借助这些数据结合 独立事件、互斥事件可设计概率、分布列 问题，高考在此结合点处命题有加强的趋 势．

20 3 2 3 1－ ＝ P(ξ＝3)＝C3 5
从而求得 ξ 的分布列为： ξ 0 1 2 3
27 54 36 8 P 125 125 125 125 2 6 故 ξ 的数学期望 E(ξ)＝3× ＝ . 5 5
• (3)由以上统计数据填写下面2×2列联表，若按是 否优秀来判断，是否有97.5%的把握认为两个学 校的数学成绩有差异.
必 备 知 识 方 法
• 必备知识
• 抽样方法 抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样， 分层抽样三种方法。 三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的 公平性，但又各有其特点和适用范围．
• • • • •
用样本估计总体 (1)利用样本频率分布估计总体分布： ①频率分布表，频率分布直方图，柱状图； ②总体密度曲线； ③茎叶图．
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
X的分布列为： X
P
16
17
18
19
20
21
22
0.04 0.16 0.24 0.24 0.2
0.08 0.04
2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值； 解析：由(1)知P(X≤18)＝0.44， P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.
n=?
组数
第一组 第二组 第三组
分组
低碳族 的人数
占本组 的频率
各组在总体中 的频率
[25,30) [30,35) [35,40)
120 195 100
0.6 p 0.5
0.2
x
0.2 0.15 0.1 0.05
第四组
第五组
[40,45)
[45,50)
a
30
0.4
0.3
第六组
[50,55)
15
0.3
30
第六组
[50,55)
15
0.3
• (1)求x、n、a、p的值，；
解 (1)第二组的频率为 1－(0.2＋0.2＋0.15＋0.1＋0.05)＝0.3，所
以 x=0.3 第一组的人数为 120 ＝200， 0.6
200 所以 n＝ ＝1 000. 0.2 第二组的频率为 0.3，所以第二组的人数为 1 000×0.3＝300，所 195 以 p＝ ＝0.65. 300 第四组的频率为 0.03×5＝0.15， 所以第四组的人数为 1 000×0.15 ＝150，所以 a＝150×0.4＝60.
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的 易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的 易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19 与n＝20之中选其一，应选用哪个？