第04章-功和能

b f r dr f r dsa(b)m a
f r dr
R
b
fr
b
ds mg R
(a )
Aab
直
a

f r dr mg 2 R
4.4 保守力
以重力做功为例：
A

b
a ( 沿L )
f dr
一对作用力和反作用力的功：
8
dA f1 dr1 f 2 dr2
f1 f 2 f12 (dr1 dr2 ) f12 d( r1 r2 )
B B A A
dr1 r1
O
m1
f2
f1
dr2
m2
于是 E K
（轨道动能） （内动能或自旋动能）
1 1 2 Mvc mi v i'2 2 2 i
即 E K Ekc Ek
---- 柯尼希定理
质点系的动能等于质心运动动能 Ek c ，与质点系中各质点 相对质心的动能 E`k 之和。
A
讨论

b
a ( 沿L )
f dr
11
Aext Aint EkB EkA
A


h2 h1
b
a
b mg dr mg dr cos a
AAB
h2
B A
f1 dr12
mgdh
重力做功与路径无关，即
b
L1 L2
( mgh2 mgh1 )
dh

b
a
mg dr
r dr
r
a

A
i i i
Li
f i dri
(b)
(b)
(
i
f i ) dr
L
dr ds
(a )
A Ai
i

F合 dr
(a )
a
对质点:各力作功之和等于合力作的功
dr f2
f1
b
Li
A
2)质点系问题
( 沿L1 )

b
a
mg dr
( 沿L2 )
h1
O
' r r
a
dr
mg
也可以写成
mg dr 0
一对万有引力做的功

dr dr m2 rB r dr r L
m1
rA
A

b
a ( 沿L )
f dr
12
B Aext Aint EkB EkA
vc :质心速度 vi' : 质点相对质心的速度
A

b
a ( 沿L )
6 f dr
1 1 Aab mvb 2 mva 2 2 2
1 vc vc ( mi ) vc ( mi vi' ) 1 mi vi' vi' 2 2 i i i
F E p
保守力等于势能的负梯度
势能曲线
18
E p h mgh
1 2 E p x kx 2 m1m2 E p r G r
Ep Ep

E p h E p x E p
mg kx
m1m2 G 2 r r
Ep
r
末态为势能零点
2)弹性势能
以弹簧原长为势能零点
3)万有引力势能
Mm E P G r
以无限远为势能零点
E p h mgh
1 2 E p x kx 2 m1m2 E p r G r
势能参考点
EPa

f 保 dr
16
A保 E P
(a)
讨论
h
x
重力势能曲线
弹性势能曲线
引力势能曲线
19
势能曲线应用 1. 由势能曲线求保守力。 6 由保守力作功等于势能减少，即 5 4 fdx dE x 3 2 dE x 1 f
b
力的空间累积
功
v
dv
v dv cos v dv
dv v dv v dv cos dv
dv v dv

质点的动能
1 2 p2 Ek mv 2 2m
v dv vdv
1 1 2 质点的动能定理 Aab Ekb Eka mvb mva 2 2 2 合力对质点所作的功等于该质点动能的增量。
r12
r2
AAB dA
f1 dr12
一对作用力和反作用力所做的总功等于其中一个质点受 的作用力与两个质点间的相对位移的点积。
9
一对内力作功
AAB
作用力 f1 做功是否为0？ 反作用力 f 2做功是否为0？
做功之和是否为0？
B A
f1 dr12

b
a ( 沿L )
f dr
5
Aext Aint EkB EkA
所有外力对质点系做的功和内力对质点系 做的功之和等于质点系总动能的增量。
质点系的动能定理
1 质点系的动能： k mi vi2 设 vi vc vi' , E i 2
1 m (v v ' ) (v v ' ) Ek i c i 2 i c i
二.质点系的动能定理
A
两个质点组成的质点系 1 1 2 Aab mvb mva 2 对m1: 2 2 B1 B1 1 1 2 2 F1 dr1 f1 dr1 m1v1 B m1v1 A A1 A1 2 2 对m2: v1B v2 B B2 B1 B2 B2 1 1 2 2 F2 dr2 f 2 dr2 m2v2 B m2v2 A F1 f1 A2 A2 2 2 A B v2 v1 F2 对整个系统： B1 B2 B1 B2 f2 F1 dr1 F2 dr2 f1 dr1 f 2 dr2 A1 A2 A1 A2 v1 2 v1 A A B vv2 A 1 1 1 1 2 2 2 2 m1v1 B m2v2 B ( m1v1 A m2v2 A ) A1 2 2 2 2 A2
Aext Aint EkB EkA
cr ' rc i ri m 0 i
1 Mv 2 v Mv ' 1 m v '2 c c c 2 2 i i ' i
第2项中 vc'
m v
i
i i
M
是质心相对本身速度, vc 0
Ekc Ek
m2
对质点有：
A Ai
i
(b)

F合 dr
(a )
即，各力作功之和等于合力作的功。 但对质点系：各力作功之和不一定等于合力的功。
4.2 质点的动能定理
一.质点的动能定理
A

b
a ( 沿L )
f dr
4
mc b A f dr ma dr a a b dv b m dr m dv v a dt a b 1 1 2 2 m vdv mvb mva a 2 2
( L)
Q P f dr f dr f dr 0
p L1 Q L2
保守力: 沿任意闭合回路做功为零的力 ， 或做功与具体路径无 关的（一对）力称为保守力 。
4.5-4.7 势能
A ( mgh2 mgh1 )
GMm GMm A ( ) ( ) r2 r1 1 2 1 2 A ( kx2 kx1 ) 2 2
rB
r dr r | dr | cos
r dr
13
实际上，除了重力、万有引力, 还有弹性力、静电力都
具有上述特点： 任意两点间做功与具体路径无关 , 即

Q P
f dr

Q P
f dr
L1
P
L1
L2
L2
Q
或者， 沿任意闭合回路做功为 零， 即
7
1 1 2 Aab mvb mva 2 2 2
1） 内力也会改变系统的总动能 2） 质点系的三个运动定理各司其职
Aext Aint EkB EkA
动量定理
角动量定理
动能定理
t2
F外dt P
t1
t2
M 外dt L
t1
A外 A内 EK
4.3 一对力的功

dl
fl
dE p f dl f cos dl f l dl dE p fl l dl
A保 E P
(a)
保守力沿某一方向的投影等于其相关势能在该方向的 空间变化率的负值。 E p E p E p Fz Fy E p E p ( x y z ) Fx z y x F Fx i Fy j Fz k ( i j k ) E p x y z i j k x y z
A

b
a ( 沿L )
f dr
r
a