大学物理第四章--功和能
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大学物理第04章_功和能
Ek
1 2
mv2
单位：（J）
设质点m在力的作用下沿 曲线从a点移动到b点
dr
b
元功：
F
dW F dr F cosds a
F cos
ma
m dv dt
dW
F
cosds m
dv ds dt
mvdv
总功：
W
dW
v2 v1
mvdv
1 2
m(v22
v12 )
质点的动能定理：
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
对系统内所有质点求和
i
n
n
n
n
Wi内 Wi外 Ek2i Ek1i
fi
i 1
i 1
i 1
i 1
W内 W外 Ek 2 Ek1
质点系的动能定理：
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和 内力作功之代数和。
值得注意：
内力做功可以改变系统 的总动能。
例3 如图所示，用质量为M的铁锤把质量为m 的钉子 敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深 度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入 1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完 全相同，问第二次能把钉子敲入多深？
dxi dyj dzk
bx ax
Fxdx
by ay
Fydy
bz az
Fzdz
在自然坐标系中
F F e Fnen dr dse
W
b
F dr
a
b
a F e
Fnen
dse
s1 s0
F
ds
附:功率的定义：
功率是反映作功快慢程度的物理量。
功率： 单位时间内所作的功。
大学物理 第四章功和能(必看)
2GMr2 r1 (r1 r2 )
v2
2GMr1 r2 (r1 r2 )
例 题 18
r2
r1
解： 1）
EP近 - EP远
GMm GMm 1 1 ( ) ( ) GMm( ) r1 r2 r2 r1
2）法一：
1 Mm 1 Mm 2 机械能守恒： mv12 G mv2 G 2 r1 2 r2
角动量守恒：
解得： v1
mv1r1 mv2 r2
2GMr2 r1 (r1 r2 )
根据动能定理例题66已知一质点在x轴上运动其fx关系如图所示则质点运动从0到10m过程中f所作的功例题77有一倔强系数为的弹簧竖直放置下端悬一质量为的小球先使弹簧为原长而小球恰好与地面接触再将弹簧缓慢地提起直到小球能脱离地面为止
第四章
功和能 教学基本要求 基本概念
例题分析
一、教学基本要求 掌握功的概念，能计算直线运动情况下变 力的功。
2
2
8、一人从10m深的井中提水。起始时桶中装有8kg
例题8
的水，桶的质量为2kg，由于水桶漏水，每升高1m
要漏去0.2kg的水，求：1）水桶匀速的从井底提到
井口，外力作功；2）将水桶以0.2m/s2 的加速度提
升到井口，外力作功。
解： 1）匀速运动时，满足：F mg
建立坐标如图所示，在任意位置， 水桶的总质量为：
Ek
1 mv 2 2
保守力：如果一对力的功与相对路径的形状无关， 只决定于相互作用质点的始末位置，这样的一对力 （简称一个力）称为保守力。（反之称为非保守力）
F dr 0
L
势能：质点系内的相互作用力是保守力，则存在着一
v2
2GMr1 r2 (r1 r2 )
例 题 18
r2
r1
解： 1）
EP近 - EP远
GMm GMm 1 1 ( ) ( ) GMm( ) r1 r2 r2 r1
2）法一：
1 Mm 1 Mm 2 机械能守恒： mv12 G mv2 G 2 r1 2 r2
角动量守恒：
解得： v1
mv1r1 mv2 r2
2GMr2 r1 (r1 r2 )
根据动能定理例题66已知一质点在x轴上运动其fx关系如图所示则质点运动从0到10m过程中f所作的功例题77有一倔强系数为的弹簧竖直放置下端悬一质量为的小球先使弹簧为原长而小球恰好与地面接触再将弹簧缓慢地提起直到小球能脱离地面为止
第四章
功和能 教学基本要求 基本概念
例题分析
一、教学基本要求 掌握功的概念，能计算直线运动情况下变 力的功。
2
2
8、一人从10m深的井中提水。起始时桶中装有8kg
例题8
的水，桶的质量为2kg，由于水桶漏水，每升高1m
要漏去0.2kg的水，求：1）水桶匀速的从井底提到
井口，外力作功；2）将水桶以0.2m/s2 的加速度提
升到井口，外力作功。
解： 1）匀速运动时，满足：F mg
建立坐标如图所示，在任意位置， 水桶的总质量为：
Ek
1 mv 2 2
保守力：如果一对力的功与相对路径的形状无关， 只决定于相互作用质点的始末位置，这样的一对力 （简称一个力）称为保守力。（反之称为非保守力）
F dr 0
L
势能：质点系内的相互作用力是保守力，则存在着一
《大学物理》第四章功和能
地球的半径为6.37 106 m，地球绕太阳公转的速度 为 29.8 km / s ，试求Ｖ１、Ｖ２、Ｖ３。
v
29.8km / s
S
S
E
r0 ~ 109 m
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
解：(1)
G0
mM E RE 2
m v12 RE
v1 gRE 7.9103 m / s
（２）
开始在距地面 R 处自由下落。
求：它到达地球表面时的速度。 A m
解： E pA = E pB =
GMm 2R
GMm R
BR
地球 R
M
由机械能守恒定律：
GMm 2R
+
0
=
GMm R
+
1 2
mv
2
v=
GM R
例7：航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙 速度Ｖ１，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度 Ｖ２，脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度Ｖ３，设
zk
b b
W
F dr
a
a
Fxi Fy j Fzk
dxi dyj dzk
b
a Fxdx Fydy Fzdz
4
功的基本性质：
合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数
和。
W
b a
b
a F1
F
dr
dr
b a
b
a F2
F1 F2 Fn
ra
r
dr
r dr
b
F
G0
Mm r2
er
W
G rb
ra
0
v
29.8km / s
S
S
E
r0 ~ 109 m
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
解：(1)
G0
mM E RE 2
m v12 RE
v1 gRE 7.9103 m / s
（２）
开始在距地面 R 处自由下落。
求：它到达地球表面时的速度。 A m
解： E pA = E pB =
GMm 2R
GMm R
BR
地球 R
M
由机械能守恒定律：
GMm 2R
+
0
=
GMm R
+
1 2
mv
2
v=
GM R
例7：航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙 速度Ｖ１，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度 Ｖ２，脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度Ｖ３，设
zk
b b
W
F dr
a
a
Fxi Fy j Fzk
dxi dyj dzk
b
a Fxdx Fydy Fzdz
4
功的基本性质：
合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数
和。
W
b a
b
a F1
F
dr
dr
b a
b
a F2
F1 F2 Fn
ra
r
dr
r dr
b
F
G0
Mm r2
er
W
G rb
ra
0
大学物理 第四章
b
b a
质点动能定理：
5
§4.2 动能定理
质点系动能定理
F1
b
f1 = − f 2
r11
m
m
r2
2
F2
O 外力做功A外 内力做功A内
a
A内 + A外 = E k 2 − E k 1
质点系动能定理
质点系总动能
6
§4.2 动能定理
例4.2：已知一质量为m的质点做平面曲线运动，其运动方程为 试求在t=0到t=π/2ω时间内质点所受合外力的功。
解：（利用动能定理）
t=0 t=π/2ω
7
A = F • r = Fr cosθ
重力做功：
§4.3 保守力做功、势能
dA = − mg cos αds = − mgdy
重力做功只与 质点始末位置 有关，与质点 经过路径无关
8
§4.3 保守力做功、势能
弹簧弹性力做功：
弹簧弹性力做功只与质 点始末位置有关，与质 点经过路径无关
第四章 功和能
做功是物体能量改变的原因之一，是物 体机械能改变的唯一原因。
主要内容： 一个定理：动能定理 一个原理：功能原理 一个定律：机械能守恒定律 三个概念：功、动能、势能
§4.1 力的空间累积效应
功的定义：
A = F • r = Fr cos θ
元功的定义：
θ
r
θ
dA = F cos θdr = F • dr
解：
平衡方程为：
力F做功：
4
§4.2 动能定理
b Aab = ∫a F • dr = ∫a F cos αdr
b
力F对质点m沿曲 线从a到b做的功：
b a
质点动能定理：
5
§4.2 动能定理
质点系动能定理
F1
b
f1 = − f 2
r11
m
m
r2
2
F2
O 外力做功A外 内力做功A内
a
A内 + A外 = E k 2 − E k 1
质点系动能定理
质点系总动能
6
§4.2 动能定理
例4.2：已知一质量为m的质点做平面曲线运动，其运动方程为 试求在t=0到t=π/2ω时间内质点所受合外力的功。
解：（利用动能定理）
t=0 t=π/2ω
7
A = F • r = Fr cosθ
重力做功：
§4.3 保守力做功、势能
dA = − mg cos αds = − mgdy
重力做功只与 质点始末位置 有关，与质点 经过路径无关
8
§4.3 保守力做功、势能
弹簧弹性力做功：
弹簧弹性力做功只与质 点始末位置有关，与质 点经过路径无关
第四章 功和能
做功是物体能量改变的原因之一，是物 体机械能改变的唯一原因。
主要内容： 一个定理：动能定理 一个原理：功能原理 一个定律：机械能守恒定律 三个概念：功、动能、势能
§4.1 力的空间累积效应
功的定义：
A = F • r = Fr cos θ
元功的定义：
θ
r
θ
dA = F cos θdr = F • dr
解：
平衡方程为：
力F做功：
4
§4.2 动能定理
b Aab = ∫a F • dr = ∫a F cos αdr
b
力F对质点m沿曲 线从a到b做的功：
大学物理《功和能》课件
A
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
大学物理-第4章功与能
由于保守力的功只由路径的始、末位置确定，这就说明一定存在状态
重 大
函数，使得保守力的功可用状态函数的变化表示。
数
理 学
势能 potential energy
院
势能（势能函数）是由物体的相对位置决定的函数，与保守力做功
赵 有关，是状态函数。
承
均 1.势能差
物体在保守力场中 a, b 两点的势能 Ep ra , Ep rb 之差等于质点由
重
大
数 非保守力 non-conservative force
理
学
院
做功不仅与物体的始末位置有关，且与做功路径有关，称为非保守力。
赵 承 均
物体沿闭合路径绕行一周，保守力力所做的功恒为零。非保守力则无 此特性。
保守力
重力 弹力 万有引力 静电力
非保守力
摩擦力 ......
…… 爆炸力
第一篇 力学
二、势能
一、功 work
第一篇 力学
§4.1 功、功率
物体在外力作用下，在力的方向上发生了一段位移，则外力对物体作
重 功。功表征了力对空间的累计效应。
大
数 理
1.恒力做功 work done by uniform force
学
院
在恒力 F 作用下质点沿直线发生了一段位移 r ，则在此过程中，
力对质点所做的功按以下计算：
第一篇 力学
解：物体受万有引力，物体以初速度 v 发射，脱离地球引力至少在无穷 远处的速度为 0，
重
大 数 理 学
初态动能：
Eko
1 2
mv2
院
赵 末态动能： r , v 0, Ek 0
承 均
大学物理课件第4章-功和能
如图,求船从离岸 x1处移到 x2 处的 过程中,力 F 对船所作的功.
F
解:判别F 是否为变力作功(大小不变,方
向变元),功属于dW变力作F功.建dx立坐F标,取dx元过co程sa
h
o x2
a
dx x x1 x
cosa x
x2 h2 x
dW F dx
x2 h2
功在数值上等于示功图
F
曲线下的面积。
3. 功率
0 x1
x2 x
dx
平均功率: P =ΔΔWt
瞬时功率:
P
= lim
Δt 0
Δ Δ
Wt =
dW dt
=
F
. dr
dt
= F .v
[ 例1 ] 有一单摆，用一水平力作用于m
使其极其缓慢上升。当θ 由 0 增大到 0 时，
求: 此力的功。
{
F T sinθ T cosθ mg
两边平方
v 2 v12
由动量守恒
2v1
v2
v 22
v
v1
v2
由机械能守 恒（ 势能无变化）
v2
v12
v
2 2
v1 v2 0 两球速度总互相垂直
例8：已知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，
如图，求质点下滑至最低点时给木块的压力.
解：
mv MV 0
•2.碰撞分类
正碰 斜碰
（从碰撞前后两球中心连线角度分类 ）
弹性碰撞 非弹性碰撞 完全非弹性碰撞
一般非弹性碰撞
（从碰撞能量损失角度分类）
例7：在平面上两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于
第四章 功和能
第一篇力学第4章功和能第4章功和能Work & Energy第1节功功率第2节动能动能定理第3节保守力势能第4节功能原理机械能守恒定律d rαrr 'ab Fod d A F r =⋅所做的总功d b ab a A F r =⋅⎰d cos b F S α=⎰d cos b aF r α=⎰Work & Power第1节功功率1.功——力的空间积累效应将质点由a 移动到b ，F力相应于元位移d rF , 力对质点所做的功为:——元功tt +d t合力做的功：注意：d b ab aA F r=⋅⎰可见:合力对物体所做的功等于其中各个分力分别对该物体所做功的代数和。
若有多个力同时作用在质点上，则d bab a A F r =⋅⎰ d 12(...)b a F F r=++⋅⎰d d 12...b b a a F r F r =⋅+⋅+⎰⎰...A A ++=21(1)力对质点所做的功, 不仅与始、末位置有关，而且往往与路径有关。
2.功率平均功率：瞬时功率(功率)：——做功的快慢功率：力在单位时间内所做的功A P t∆∆=d d 0lim t A A P tt ∆∆∆→==d d A F r=⋅ d d r F F v t =⋅=⋅ P F v∴=⋅单位: 瓦特符号W 1W ＝1J·s －1当额定功率一定时,负荷力越大,可达到的速率就越小;负荷力越小,可达到的速率就越大。
这就是为什么汽车在上坡时走得慢,下坡时走得例1.如图所示,一匹马以平行于圆弧形路面的拉力拉着质量为m 的车沿半径为R 的圆弧形路面极缓慢地匀速移动,车与路面的滑动摩擦系数为μ，求:车由底端A 被拉上顶端B 时,各力对车所做的功。
解:车受4个力的作用拉力F 、摩擦力f ，沿切向路面支持力N 指向圆心O重力mg 竖直向下在切向与法向有:sin 0F f mg θ--=Nf μ=而()cos sin F mg μθθ∴=+cos 0N mg θ-=拉力的功:d B F A A F S=⎰31[]mgR μ=+d 600(cos sin )mg R μθθθ=+⎰R O R AB θo60重力的功d 600sin g A mg R θθ=-⋅⎰d()600cos mgR θ=⎰/2mgR =-摩擦力的功d 0Sf A f S=-⎰d 600cos mg R μθθ=-⋅⎰μmgR 23-=路面支持力N 的功为零.RORABθo60例2.一人从H ＝10m 深的水井中提水,开始时,桶中装有M ＝10kg 的水(忽略桶的质量).由于水桶漏水,每升高1m 要漏出0.2kg 的水,求将水桶匀速地从井中提到井口的过程中,人所做的功。
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a
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
1）沿圆弧（a—b）；2）沿直径（a—b）
解： Aab
W Ek
1 2
mv末2
1 2
mv始2
1 mA2
2
1 mB2
2
1 m2
2
A2
B2
说明
1、动能是状态量，任一运动状态对应一定的 动能。 2、EK=EKB-EKA为动能的增量，增量可正可 负，视功的正负而变。 3、动能是质点因运动而具有的做功本领。
例4、一链条总长为l ，质量为m。放在桌面上并使其
b
fs
dr
b
fs
dr
圆弧 a
a
m fs dr
a
Rb
(b)
fs ds mg R
(a)
Aab fs r mg2R 直径
摩擦力的功与路径有关 一定是负的吗？
§3-2 动能 动能定理
一、动能：物体因运动而具有的能量，称为动能。
拉力对小环所做的功为 -0.207 J B
提示：
A (E P2 - EP1)
R
(
1 2
k x22
1 2
k x12
)
A
O
c
x2 2R l0 R x1 2R l0 2 1 R
例11.如图，质量 m 为 0.1kg 的木块，在W一外 个 W水非平保面内上 和E
(A) 1 m2 A2 B2
2
(C)
1
m
2
A2 B2
2
(B) m 2 A2 B2
2
(D) m 2 B2 A2
解：
v
dr
A sin ti B costj
dt
v A22 sin2 t B22 cos2 t
EPa
势能参考点 f保
dr
AAB
(a)
势能零点可根据需要任意选取，对不同的 势能零点，势能不同，势能差是一定的。
三.常见的几种保守力和相应的势能
1)重力势能 EP mgh 地面为势能零点
2)弹性势能
EP
1 2
k x2
以弹簧原长为 势能零点
3)万有引力势能
EP
G
Mm r
以无限远为 势能零点
下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数 为，令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开 桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条 离开桌面时的速率是多少？
解：(1)建坐标系如图 f mg(l x) / l f
l-a
dr
O
a
Af
f d r l mg (l x)dx
F
Fx
i
Fy
j
Fzk
dr dxi dyj dzk
W
F
dr
(Fxi Fy j Fzk ) (dxi dyj dzk )
xb xa
Fx
dx
yb ya
Fy dy
zb za
Fz
dz
解析式：A
b
a
(
Fx
解：据功的定义式
W F dr
Ｂ
v
B f ds cos A
Ａ
f
Bmg cosds f N mg A
mgR
若物体直接从A至B， W mg2R
说明：摩擦力做功除与始末位置有关，
还与中间过程有关。
F
Ｂ
OAB
Ａ
W
1 2
k xA2
1 2
例.设两粒子之间的相互作用力为排斥力，
其变化规律为 f
k r3
，k为常数。若取无
穷远处为零势能参考位置，试求两粒子
相距为r时的势能。（从定义出发）
例：一弹簧原长l0=0.1m，倔强系数k=50N/m，
其一端固定在半径为R=0.1m的半圆环的端点A， 另一端与一套在半圆环上的小环相连。在把小环 由半圆环中点B移到另一端C的过程中，弹簧的
二、变力做功 曲线运动
如果力是位置(时间）的函数，质
点在力的作用下沿一曲线运动，
则功的计算如下：
元位移：dr
在元位移 dr中将力
视为恒力
F
dr
b
元功：
dA F dr
从a到b，力对质点做功：
a
b
b
b
A a dA
a F d r
F dr cos
a
对直角坐标系 ，有
一个倔强系数k为 20 N/m 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由
原长压缩了0.4 m。假设木块与水平面间的滑动摩擦系数
k 0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率 v为多少？
解：法一. 用功能原理求
FN
系统：木块 + 轻弹簧+地球
WFf E
Ep 0
（2）t=3s时的功率为
P dW dt
4 t 5 324(W ) 3
二、势能
在保守力场，可引入一个只与两质点相对位
置有关的函数，E
势能函数。
P
保守力做功与
势能的关系 AAB
b
f保 dl
EPa
EPb
Ep
a
若选末态为势能零点 Epb 0
任意状态A
的势能为：
(B) W1 0,W2 0,W3 0
(C) W1 0,W2 0,W3 0 ０ t1
t(s) t2 t3 t4
(D) W1 0,W2 0,W3 0
W
1 2
mv末2
1 2
mv始2
例５质点的运动方程为
r
A cos ti
B sin tj，
则在外力作用下，从 t 0到t 时间内，外力做功为：
vB vA
1 2
mvB2
1 2
mvA2
W Ekk末B EEkkA初EEk k
dr
Ft
vB
B
F
L
合外力对物体所做的功＝物体的动能的增量
－－－－动能定理
定义：Ek=mv2/2 为质点的动能
Ek
1 2
mv 2
p2 2m
Ek状态量
AAB=EKB-EKA
A EK
动能定理
b a F2 dr
b a FN dr
A1ab A2ab ANab
合力的功等于各分力沿同一路径所 做的功的代数和
讨论
单位：J 量纲：ML2T－2
功的其它单位：1eV=1.6×10-19J 1erg＝10-7J
1）A是标量 但有正负：取决于力与位移 的夹角。
f2
Gm1m2 r3
r
m2
AAB A f2 dr （一对力的功）
r
B
A
Gm1m2 r3
r dr
rB Gm1m2 dr
rA
r2
m1
A rA
11 AAB Gm1m2 ( rB rA )
如果一对力做功与相对路径的形状无关，而只决定于相 互作用的质点的始末相对位置，这样一对力就叫保守力。
——判别式；充要条件
非保守力：凡作功与路径有关的力。或 F dS 0的力。 如摩擦力、磁力等。
讨论 1、只要有保守力，就可引入相应的势能。
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
1）沿圆弧（a—b）；2）沿直径（a—b）
解： Aab
W Ek
1 2
mv末2
1 2
mv始2
1 mA2
2
1 mB2
2
1 m2
2
A2
B2
说明
1、动能是状态量，任一运动状态对应一定的 动能。 2、EK=EKB-EKA为动能的增量，增量可正可 负，视功的正负而变。 3、动能是质点因运动而具有的做功本领。
例4、一链条总长为l ，质量为m。放在桌面上并使其
b
fs
dr
b
fs
dr
圆弧 a
a
m fs dr
a
Rb
(b)
fs ds mg R
(a)
Aab fs r mg2R 直径
摩擦力的功与路径有关 一定是负的吗？
§3-2 动能 动能定理
一、动能：物体因运动而具有的能量，称为动能。
拉力对小环所做的功为 -0.207 J B
提示：
A (E P2 - EP1)
R
(
1 2
k x22
1 2
k x12
)
A
O
c
x2 2R l0 R x1 2R l0 2 1 R
例11.如图，质量 m 为 0.1kg 的木块，在W一外 个 W水非平保面内上 和E
(A) 1 m2 A2 B2
2
(C)
1
m
2
A2 B2
2
(B) m 2 A2 B2
2
(D) m 2 B2 A2
解：
v
dr
A sin ti B costj
dt
v A22 sin2 t B22 cos2 t
EPa
势能参考点 f保
dr
AAB
(a)
势能零点可根据需要任意选取，对不同的 势能零点，势能不同，势能差是一定的。
三.常见的几种保守力和相应的势能
1)重力势能 EP mgh 地面为势能零点
2)弹性势能
EP
1 2
k x2
以弹簧原长为 势能零点
3)万有引力势能
EP
G
Mm r
以无限远为 势能零点
下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数 为，令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开 桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条 离开桌面时的速率是多少？
解：(1)建坐标系如图 f mg(l x) / l f
l-a
dr
O
a
Af
f d r l mg (l x)dx
F
Fx
i
Fy
j
Fzk
dr dxi dyj dzk
W
F
dr
(Fxi Fy j Fzk ) (dxi dyj dzk )
xb xa
Fx
dx
yb ya
Fy dy
zb za
Fz
dz
解析式：A
b
a
(
Fx
解：据功的定义式
W F dr
Ｂ
v
B f ds cos A
Ａ
f
Bmg cosds f N mg A
mgR
若物体直接从A至B， W mg2R
说明：摩擦力做功除与始末位置有关，
还与中间过程有关。
F
Ｂ
OAB
Ａ
W
1 2
k xA2
1 2
例.设两粒子之间的相互作用力为排斥力，
其变化规律为 f
k r3
，k为常数。若取无
穷远处为零势能参考位置，试求两粒子
相距为r时的势能。（从定义出发）
例：一弹簧原长l0=0.1m，倔强系数k=50N/m，
其一端固定在半径为R=0.1m的半圆环的端点A， 另一端与一套在半圆环上的小环相连。在把小环 由半圆环中点B移到另一端C的过程中，弹簧的
二、变力做功 曲线运动
如果力是位置(时间）的函数，质
点在力的作用下沿一曲线运动，
则功的计算如下：
元位移：dr
在元位移 dr中将力
视为恒力
F
dr
b
元功：
dA F dr
从a到b，力对质点做功：
a
b
b
b
A a dA
a F d r
F dr cos
a
对直角坐标系 ，有
一个倔强系数k为 20 N/m 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由
原长压缩了0.4 m。假设木块与水平面间的滑动摩擦系数
k 0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率 v为多少？
解：法一. 用功能原理求
FN
系统：木块 + 轻弹簧+地球
WFf E
Ep 0
（2）t=3s时的功率为
P dW dt
4 t 5 324(W ) 3
二、势能
在保守力场，可引入一个只与两质点相对位
置有关的函数，E
势能函数。
P
保守力做功与
势能的关系 AAB
b
f保 dl
EPa
EPb
Ep
a
若选末态为势能零点 Epb 0
任意状态A
的势能为：
(B) W1 0,W2 0,W3 0
(C) W1 0,W2 0,W3 0 ０ t1
t(s) t2 t3 t4
(D) W1 0,W2 0,W3 0
W
1 2
mv末2
1 2
mv始2
例５质点的运动方程为
r
A cos ti
B sin tj，
则在外力作用下，从 t 0到t 时间内，外力做功为：
vB vA
1 2
mvB2
1 2
mvA2
W Ekk末B EEkkA初EEk k
dr
Ft
vB
B
F
L
合外力对物体所做的功＝物体的动能的增量
－－－－动能定理
定义：Ek=mv2/2 为质点的动能
Ek
1 2
mv 2
p2 2m
Ek状态量
AAB=EKB-EKA
A EK
动能定理
b a F2 dr
b a FN dr
A1ab A2ab ANab
合力的功等于各分力沿同一路径所 做的功的代数和
讨论
单位：J 量纲：ML2T－2
功的其它单位：1eV=1.6×10-19J 1erg＝10-7J
1）A是标量 但有正负：取决于力与位移 的夹角。
f2
Gm1m2 r3
r
m2
AAB A f2 dr （一对力的功）
r
B
A
Gm1m2 r3
r dr
rB Gm1m2 dr
rA
r2
m1
A rA
11 AAB Gm1m2 ( rB rA )
如果一对力做功与相对路径的形状无关，而只决定于相 互作用的质点的始末相对位置，这样一对力就叫保守力。
——判别式；充要条件
非保守力：凡作功与路径有关的力。或 F dS 0的力。 如摩擦力、磁力等。
讨论 1、只要有保守力，就可引入相应的势能。