圆轴扭转时的应力与变形

τp = M n ρ/I P
(6-2)
τ 式中， p 为横截面上距圆心 ρ 处的切应力(MPa);Mn为横截面上
的扭矩(N·m); ρ 为横截面上任一点距圆心的距离(mm); IP为横
τ max
Mn o
ρ
Mn o
τ max 截面的极惯性矩，它表
示截面的几何性质，它 的大小与截面形状和尺
a) b)
图6-6 若令Wn=IP/R,则
φ = M n l /( GI P )
(6-9)
GI 式中， P 越大，在相同的扭矩作用下扭转角φ 越小，因此，
它表示圆轴抵抗扭转变形的能力，故 GI P称为抗扭刚度。
为消除轴长度的影响，工程上常采用单位长度上的扭角
θ
来表示，即
θ = φ / l = M n /(GI P )
(6-10)
式(6-10)中θ 的单位为弧度/米(rad/m)，工程实际中常用度/ 米(°/m)来表示，故此式可改为
≈ 0.2 D 3 (1 − a 4 )
(6-7)
例6-3 已知空心轴的外径D =32mm，内径d =24mm，两端受 力偶矩M =156N·m作用，试计算轴横截面上的最大切应力τ max 。 解 (1)计算扭矩 用截面法可求得轴横截面上的扭矩为
Mn = M =156N·m
(2)计算抗扭截面系数Mn
I P = πD 4 / 32 − πd 4 / 32
= πD 4 [1 − (d / D ) 4 ] / 32
或
I P = πD 4 (1 − a 4 ) / 32 ≈ 0.1D 4 (1 − a 4 )
(6-6)
抗扭截面系数 Wn = 2 I P / D = πD 3 (1 − a 4 ) / 16
寸有关(mm4）。 当 ρ =R 时，其值为
τ max = M nR / I P
τ max = M n/W n
(6-3)
τ max就愈小。因此，Wn是横截面抵抗扭转破坏的截面几何量。
式中，Wn称为抗扭截面系数(mm3)。从式(6-3)可知，Wn愈大，
截面的极惯性矩，它表 示截面的几何性质，它 的大小与截面形状和尺 寸有关(mm4）。
Wn = πD 3 (1 − a 4 ) / 16 = {π × 323[1 − (24 / 32) 4 ] / 16}mm3
= 4400mm3
(3)计算最大切应力
τ max = M n /W n = (156 ×103 / 4400) MPa = 35.5MPa
三、圆轴扭转时的变形 圆轴扭转时，任意两横截面间绕轴线产生相对扭转角φ ， 称为扭角，如图6-1所示。 扭角是扭转变形的变形度量，由 图6-1中的几何关系可得 (6-8a) AB =γl, AB = Rφ (6-8b) 则 φ = γl / R 将胡克定律 τ max = Gγ 代入式(6-8a)，即可得扭角的计算公 式：
θ = 180M n 和抗扭截面系数 (1)实心轴 极惯性矩 抗扭截面系数 设直径为D
I P = πD 4 / 32 ≈ 0.1D 4
(6-4)
Wn = 2 I P / D = 2πD 4 /(32 D)
= πD 3 / 16 ≈ 0.2 D 3
(2)空心轴 设外径为D，内径为d，a=d/D 极惯性矩
(6-5)
第三节 圆轴扭转时的应力与变形
一、圆轴扭转时的应力 （一）、观察变形 由图6-5可以看出 1)圆周线的形
M
γ
ϕ
状、大小及相互之 间的距离都没有变
l
a) 图6-5
l
化，但它们绕轴线 b) 发生了相对转动。
2)所有纵向线倾斜了同一角度 γ ，使圆轴表面上的矩形 变为了平行四边形。 (二)、结论
1) 扭转变形时，圆轴相邻横截面间的距离不变，圆轴没 有纵向变形，所以横截面上没有正应力。 2) 扭转变形时，各纵向线同时倾斜了相同的角度，各横 截面绕轴线产生了相对转动， 即相邻横截面上各点都发生了 相对错动，出现了剪切变形，因此横截面上各点都存在着切应 力。又因截面半径长度不变，所以切应力方向与半径垂直。 综上所述，我们知道圆轴扭转时横截面上有垂直半径方向 的切应力。