圆轴扭转时的应力(材料力学)
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材料力学(第五版)扭转切应力
p
q
a’ b’
φ 圆轴两端面的
相对扭转角
M
d’
e
M
φ q R
e
c’
qq平面相对于pp的相对扭转 角为： d 圆轴表面的切应变γ 为：
p p
q
d c
p
a a
Rd a a d R ad dx dx
ρ
b
q
d R (a ) dx
b
现研究圆轴内部的切应变
圆轴内部的切应变
作 业
3-1
3-2
3-7
3-8
d G (c ) dx
0
0
d maxGR dx
R
三、静力关系
M
e
T dA ) (
A
T
代入: 得:
d G ( c ) dx
d 2 T G dA dx A
dA
令: 得:
IP dA
D
1
max
D2
扭转时切应力沿半径线性分布，圆心部分的 材料未能充分发挥作用。
例题
已知： P1=14kW,
P2= P3= P1/2=7 kW
n1= n2= 120r/min, z1=36, z3=12; d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm
求:各轴横截面上的最大切应力。
P1=14kW， P2= P3=7 kW n1= n2= 120r/min
p
q
a’ b’
M
d’
e
M
e
c’
p
q
因为各圆周线大小、形状、间距都不变
2、沿同一圆周线上的切应力 大小相等
材料力学-第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
B
I
C
A
II
D
III
I
II
III
M
x
0
确定各段圆轴内的扭 矩。
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
3 ． 建立 Mx － x 坐 标系，画出扭矩图 建 立 Mx － x 坐 标 系，其中x轴平行于 圆轴的轴线，Mx轴垂 直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩 值，标在 Mx － x 坐标 系中，得到相应的点 ，过这些点作x轴的 平行线，即得到所需 要的扭矩图。
P M e 9549 [N m] n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/ 分（r/min）。 如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s），则
P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 剪应力互等定理 剪切胡克定律
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件 结论与讨论
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
绘出扭矩图：
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
B C
I
外加扭力矩、扭矩与扭矩图 A III D II
I 扭矩Mn-图
II
III
159.2
（+）
（-）
63.7 159.2
M n,max 159.2( N m)
（在CA段和AD段）
I
C
A
II
D
III
I
II
III
M
x
0
确定各段圆轴内的扭 矩。
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
3 ． 建立 Mx － x 坐 标系，画出扭矩图 建 立 Mx － x 坐 标 系，其中x轴平行于 圆轴的轴线，Mx轴垂 直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩 值，标在 Mx － x 坐标 系中，得到相应的点 ，过这些点作x轴的 平行线，即得到所需 要的扭矩图。
P M e 9549 [N m] n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/ 分（r/min）。 如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s），则
P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 剪应力互等定理 剪切胡克定律
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件 结论与讨论
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
绘出扭矩图：
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
B C
I
外加扭力矩、扭矩与扭矩图 A III D II
I 扭矩Mn-图
II
III
159.2
（+）
（-）
63.7 159.2
M n,max 159.2( N m)
（在CA段和AD段）
《工程力学：第七章+圆轴扭转时的应力变形分析与强度和刚度设计》
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 一、扭转的概念 复习 Me
mA
阻抗力 偶
主动力 偶
me
受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 主要发生扭转变形的杆——轴。
Mx 16M x 16 1.5kN m 103 max＝ ＝ 3 ＝ ＝50.9MPa 3 4 -3 4 WP πD 1 π 90mm 10 1 0.9传动轴的强度是安全的。
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 2．确定实心轴的直径 根据实心轴与空心轴具有同样数值的最大剪应力的要求， 实心轴横截面上的最大剪应力也必须等于 50.9MPa 。若设实 心轴直径为d1，则有
b b
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 T 一、 扭转强度计算 变截面圆轴: max W [ ] 1、强度条件： p
max
max
对脆性材料 [ ] 对韧性材料 [ ]
b
nb
材料力学 圆轴扭转内力、应力
dx GIP
T
IP
27
§ 3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
Mechanic of Materials
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线 弹性材料，在小变形时的 等圆截面直杆。
τ
O
② 式中： —该点到圆心的距离。
T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 IP—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
重点：扭转内力、应力。 难点：切应力互等定理的证明。 学时安排：2
Mechanic of Materials
第八讲内容目录 第三章 扭 转
§ 3.1 扭转的概念和实例和实例 § 3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图 § 3.3 纯剪切 § 3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
目录
§ 3.1 扭转的概念和实例
§3-4 圆轴扭转时横截面上的应力
约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：
G
E 2(1
)
22
Mechanic of Materials
§ 3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力公式推导思路 （一）几何方面：
扭转时，圆轴的表面 变形和薄壁圆筒表面变形 相似。实验现象：
M
A
9549
36 300
1146N.m
MB
MC
9549
11 300
350N.m
MD
9549
T
IP
27
§ 3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
Mechanic of Materials
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线 弹性材料，在小变形时的 等圆截面直杆。
τ
O
② 式中： —该点到圆心的距离。
T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 IP—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
重点：扭转内力、应力。 难点：切应力互等定理的证明。 学时安排：2
Mechanic of Materials
第八讲内容目录 第三章 扭 转
§ 3.1 扭转的概念和实例和实例 § 3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图 § 3.3 纯剪切 § 3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
目录
§ 3.1 扭转的概念和实例
§3-4 圆轴扭转时横截面上的应力
约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：
G
E 2(1
)
22
Mechanic of Materials
§ 3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力公式推导思路 （一）几何方面：
扭转时，圆轴的表面 变形和薄壁圆筒表面变形 相似。实验现象：
M
A
9549
36 300
1146N.m
MB
MC
9549
11 300
350N.m
MD
9549
第9章圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7kW
n1=n2= 120r/min
转速与齿数成反比，所以有
1
36
3 ＝1 × ＝ 120 ×
r/min＝360r/min
3
12
2. 根据 = 9549
N ⋅ m 计算各轴的扭矩
3
Mx1=T1=1114 N.m
Mx2=T2=557 N.m
Mx3=T3=185.7 N.m
大连大学
10
9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形
A
B
D ▪ 不难看出，圆轴受扭后，将
产生扭转变形（twist
deformation），圆轴上的每
个微元的直角均发生变化，
这种直角的改变量即为切应
C'
变。这表明，圆轴横截面和
纵截面上都将出现切应力分
τ
别用 和 表示。
D'
A'
B'
大连大学
横截面上的切应力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的
应力变形分析以及强度设计和刚度设计。
▪ 分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力和变形的方法基
本相同。依然借助于平衡、变形协调与物性关系。
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计
▪ 9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形
▪ 9.2 切应力互等定理
3. 设计螺栓等间距分布时的直径d
利用1中所得的结果，应用剪切假定计算的强度条件，有
2
=
=
≤
2
8××
4×
×
4
螺栓直径 ≥
大连大学
= 35.2mm
n1=n2= 120r/min
转速与齿数成反比，所以有
1
36
3 ＝1 × ＝ 120 ×
r/min＝360r/min
3
12
2. 根据 = 9549
N ⋅ m 计算各轴的扭矩
3
Mx1=T1=1114 N.m
Mx2=T2=557 N.m
Mx3=T3=185.7 N.m
大连大学
10
9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形
A
B
D ▪ 不难看出，圆轴受扭后，将
产生扭转变形（twist
deformation），圆轴上的每
个微元的直角均发生变化，
这种直角的改变量即为切应
C'
变。这表明，圆轴横截面和
纵截面上都将出现切应力分
τ
别用 和 表示。
D'
A'
B'
大连大学
横截面上的切应力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的
应力变形分析以及强度设计和刚度设计。
▪ 分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力和变形的方法基
本相同。依然借助于平衡、变形协调与物性关系。
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计
▪ 9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形
▪ 9.2 切应力互等定理
3. 设计螺栓等间距分布时的直径d
利用1中所得的结果，应用剪切假定计算的强度条件，有
2
=
=
≤
2
8××
4×
×
4
螺栓直径 ≥
大连大学
= 35.2mm
圆轴扭转时的强度条件
圆轴扭转时的强度条件
圆轴扭转时的强度条件可以通过研究轴材料的变形和破坏来确定。
以下是圆轴扭转时的强度条件：
1. 扭转强度：圆轴在扭转时会受到扭矩的作用，扭矩会产生剪应力。
扭转强度是指材料在扭转作用下能够承受的最大剪应力。
扭转强度与材料弹性模量、截面形状和尺寸有关。
2. 疲劳强度：圆轴在长时间的扭转作用下可能会发生疲劳破坏。
疲劳强度是指材料在循环载荷作用下能够承受的最大应力范围，它与材料的疲劳寿命有关。
3. 断裂强度：圆轴在扭转超过其承受能力时可能会发生断裂破坏。
断裂强度是指材料在正常使用条件下能够承受的最大应力，它与材料的断裂特性有关。
为了满足圆轴的强度条件，一般采取以下措施：
1. 选择合适的轴材料，保证其扭转强度和断裂强度满足工程要求。
2. 根据应力分布的特点，设计合理的截面形状和尺寸，以提高扭转强度和疲劳强度。
3. 对于长期扭转作用下的轴，可以采取热处理等工艺措施来提高其强度和耐疲劳性能。
需要注意的是，圆轴的强度条件与其几何形状、材料特性、工作条件等因素密切相关，因此在具体设计时需要进行详细的力学计算和强度分析。
13-1应力状态理论-材料力学
• (3)式中两式相减与(4)式比较:
max min
max
22
my in
maxx2
y
2
2 xy
• (3)式中两式相加:
mmmmianiaxnx
maxx2mx yi2nyx2
x
2
2. 应力圆作法
y
yx
B
xy
A x
x y
2
a (x ,xy)
fc
o
Re
b (y ,yx)
•在- 坐标中，取对应于单元体A、B面的点a、b； • a、b两点连线交轴于c点； •以c为圆心ac为半径作圆。
x y
2
a (x ,xy)
fc
o
Re
b (y ,yx)
9、单向应力状态：三个主应力中只有一个主应力不等于零的 应力状态叫单向应力状态。例如：拉压杆 叫单向应力状态，纯弯曲状态。
■原始单元体的画法（各侧面应力已知的单元体）
P
P
1、截取无限小六面体作为单元体；
1）截取横截面； 2）在横截面上平行于边缘截取小矩形； 3）从横截面开始沿边缘截取小立方体；
2、分析单元体各个面的含义，分清哪个面是横截面；
杆
轴
I p梁
M y
Iz
x
x
QS
z
Izb
z
z
zx zy
xz yz
y
xy
yx
y
3、原始单元体：各侧面应力已知的单元体
M y
Iz
QSz
梁
Izb
材料力学 第7章 扭转
Me
T Me
m
m Me
xn
2. 扭矩的符号规定
Me
T
T矢量的方向与截面外法线方 向相同时为正，反之为负。
n
x
T Me
7.2 扭矩和扭矩图
3. 扭矩图 (1) 定义：扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。 (2) 扭矩图的绘制步骤： ① 确定扭矩随截面位置的变化规律， ② 建立扭矩坐标系， ③ 画扭矩图。
7.2 扭矩和扭矩图
例7-1 已知一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 PA=36kW， 从动轮输出 PB=PC=11kW，PD=14kW，求指定截面的扭矩。
解： 1. 计算外力偶矩
MB
B
MA
9549
PA n
1146(N m)
MC
1
2n
C
A
1
2 MA
MD
3
D
3
M B MC 350N m
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
钻杆
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
传动轴
第七章 扭转
7.1 引言 7.2 扭矩和扭矩图 7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算 7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
一、圆轴扭转时的变形
dφ T dx GIP dφ T dx
WP
πD13 16
D1
3 16Tmax 3 16 1.5 106
π[ τ ]
π 60
50mm
D1
(2) 空心轴
τ max
Tmax WP
[τ]
WP
πD23 (1 16
α4 )
d2
D2
T Me
m
m Me
xn
2. 扭矩的符号规定
Me
T
T矢量的方向与截面外法线方 向相同时为正，反之为负。
n
x
T Me
7.2 扭矩和扭矩图
3. 扭矩图 (1) 定义：扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。 (2) 扭矩图的绘制步骤： ① 确定扭矩随截面位置的变化规律， ② 建立扭矩坐标系， ③ 画扭矩图。
7.2 扭矩和扭矩图
例7-1 已知一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 PA=36kW， 从动轮输出 PB=PC=11kW，PD=14kW，求指定截面的扭矩。
解： 1. 计算外力偶矩
MB
B
MA
9549
PA n
1146(N m)
MC
1
2n
C
A
1
2 MA
MD
3
D
3
M B MC 350N m
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
钻杆
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
传动轴
第七章 扭转
7.1 引言 7.2 扭矩和扭矩图 7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算 7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
一、圆轴扭转时的变形
dφ T dx GIP dφ T dx
WP
πD13 16
D1
3 16Tmax 3 16 1.5 106
π[ τ ]
π 60
50mm
D1
(2) 空心轴
τ max
Tmax WP
[τ]
WP
πD23 (1 16
α4 )
d2
D2
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A
dA T
dA
(扭矩定义)
横截面上的扭矩应与截面一侧的外力偶矩相平衡
d d 2 T dA G dA G dA A A A dx dx
Ip
A
2 dA
Ip
横截面对形心的极惯性矩
(截面二次极矩，单位为m4)
d T GI p dx
圆轴扭转时的应力
材料力学（第五版） 刘鸿文 主编
1、变形几何关系
Me
p q
Me
圆周线长度形状不变，各圆周线 间距离不变，只是绕轴线转了一个 微小角度；纵向平行线仍然保持为 直线且相互平行，只是倾斜了一个 微小角度。
x
p
q
Me
圆轴扭转的平面假设：
p q
Me
p
x
q
圆轴扭转变形前原为平 面的横截面，变形后仍 保持为平面，形状和大 小不变，半径仍保持为 直线；且相邻两截面间 的距离不变。
I p 2dA
A
其中D为圆截面直径
2
0
R
0
3dd
R 4
2
D 4
32
Wt
Ip R
R3
2
D3
16
在空心轴的情况下：
I p dA
2 A
2
0
D
2dBiblioteka dd34 4
2
D 32
D
3
4
d
4
D
1 32
d 0.945 D Wt 0.2 D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm3
（2） 强度校核
max
T 1930 6 66.7 10 Pa 6 Wt 29 10 66.7MPa [ ] 70MPa
d D
Wt
扭转强度条件： max
1 16
4
Tmax Wt
例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动 轴，外径 D=89mm、壁厚 =2.5 mm， 材料为20号钢，使用时的最大扭矩 T=1930N·m,[ ]=70 MPa. 校核此轴 的强度。
解：（1）计算抗扭截面模量
满足强度要求
d G dx
T Ip
R
TR max Ip
在圆截面边缘上有最大切应力：
TR T max Ip Ip R
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
max
T Wt
(单位：m3)
公式适用条件：
1）圆杆
2）
max p
I p与 Wt 的计算
在实心轴的情况下：
( sin tan )
2、物理关系
根据剪切胡克定律
G
d G G dx
距圆心为 处的切应力：
d dx
尚未求出
3、静力关系
Me
dA
微分面积：
dA dd
dA上的微内力对圆心的力矩： 对上式进行积分：
p d c p
q a
p d
q a e
d
O
d
a' b
b′
c
R
q
O a ' e′ b
p
b′
R
q
dx
边缘上a点的错动距离：
dx
距圆心为处的切应变：
aa Rd
则a点的切应变：
d dx
d dx
—扭转角
aa Rd d R ad dx dx
沿x轴的变化率。
dA T
dA
(扭矩定义)
横截面上的扭矩应与截面一侧的外力偶矩相平衡
d d 2 T dA G dA G dA A A A dx dx
Ip
A
2 dA
Ip
横截面对形心的极惯性矩
(截面二次极矩，单位为m4)
d T GI p dx
圆轴扭转时的应力
材料力学（第五版） 刘鸿文 主编
1、变形几何关系
Me
p q
Me
圆周线长度形状不变，各圆周线 间距离不变，只是绕轴线转了一个 微小角度；纵向平行线仍然保持为 直线且相互平行，只是倾斜了一个 微小角度。
x
p
q
Me
圆轴扭转的平面假设：
p q
Me
p
x
q
圆轴扭转变形前原为平 面的横截面，变形后仍 保持为平面，形状和大 小不变，半径仍保持为 直线；且相邻两截面间 的距离不变。
I p 2dA
A
其中D为圆截面直径
2
0
R
0
3dd
R 4
2
D 4
32
Wt
Ip R
R3
2
D3
16
在空心轴的情况下：
I p dA
2 A
2
0
D
2dBiblioteka dd34 4
2
D 32
D
3
4
d
4
D
1 32
d 0.945 D Wt 0.2 D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm3
（2） 强度校核
max
T 1930 6 66.7 10 Pa 6 Wt 29 10 66.7MPa [ ] 70MPa
d D
Wt
扭转强度条件： max
1 16
4
Tmax Wt
例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动 轴，外径 D=89mm、壁厚 =2.5 mm， 材料为20号钢，使用时的最大扭矩 T=1930N·m,[ ]=70 MPa. 校核此轴 的强度。
解：（1）计算抗扭截面模量
满足强度要求
d G dx
T Ip
R
TR max Ip
在圆截面边缘上有最大切应力：
TR T max Ip Ip R
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
max
T Wt
(单位：m3)
公式适用条件：
1）圆杆
2）
max p
I p与 Wt 的计算
在实心轴的情况下：
( sin tan )
2、物理关系
根据剪切胡克定律
G
d G G dx
距圆心为 处的切应力：
d dx
尚未求出
3、静力关系
Me
dA
微分面积：
dA dd
dA上的微内力对圆心的力矩： 对上式进行积分：
p d c p
q a
p d
q a e
d
O
d
a' b
b′
c
R
q
O a ' e′ b
p
b′
R
q
dx
边缘上a点的错动距离：
dx
距圆心为处的切应变：
aa Rd
则a点的切应变：
d dx
d dx
—扭转角
aa Rd d R ad dx dx
沿x轴的变化率。