工程力学-(材料力学)-9-圆轴扭转的强度与刚度
工程力学试题库-材料力学
材料力学的主要任务就是在满足刚度、强度和稳定性的基础上，以最经济的代价，为构件确定合理的截面形状和尺寸，选择合适的材料，为合理设计构件提供必要的理论基础和计算方法。
连续性假设：认为组成物体的物质密实地充满物体所在的空间，毫无空隙。
均匀性假设：认为物体内各处的力学性能彻底相同。
各向同性假设：认为组成物体的材料沿各方向的力学性质彻底相同。
小变形假设：认为构件在荷载作用下的变形与构件原始尺寸相比非常小。
外力：施加在结构上的外部荷载及支座反力。
内力：在外力作用下，构件内部各质点间相互作用力的改变量，即附加相互作用力。
内力成对浮现，等值、反向，分别作用在构件的两部份上。
应力：截面上任一点内力的集度。
正应力：垂直于截面的应力分量。
切应力：和截面相切的应力分量。
分二留一，内力代替。
可概括为四个字：变形：变形固体形状的改变。
线应变：单位长度的伸缩量。
1、工程构件要正常安全的工作，必须满足一定的条件。
下列除( )项，其他各项是必须满足的条件。
A、强度条件B、刚度条件C、稳定性条件D、硬度条件2、物体受力作用而发生变形，当外力去掉后又能恢复原来形状和尺寸的性质称为( )A．弹性B．塑性C．刚性D．稳定性3、结构的超静定次数等于( )。
A．未知力的数目B．未知力数目与独立平衡方程数目的差数C．支座反力的数目D．支座反力数目与独立平衡方程数目的差数4、各向同性假设认为，材料内部各点的( )是相同的。
A.力学性质B.外力C.变形D.位移5、根据小变形条件，可以认为(A.构件不变形C.构件仅发生弹性变形6、构件的强度、刚度和稳定性(A.只与材料的力学性质有关C.与二者都有关)B.结构不变形D.构件变形远小于其原始尺寸)B.只与构件的形状尺寸有关D.与二者都无关7、在下列各工程材料中， ( )不可应用各向同性假设。
A.铸铁B.玻璃C.松木D.铸铜1. 变形固体的变形可分为____________和_______________。
(仅供参考)第十九章-扭转的强度与刚度计算
一、外力偶矩的计算
前面已经指出 ，使轴产生扭转变形的是外力偶矩。但是作用于轴上的外力偶矩往
往不是直接给出的，而是给定轴所传递的功率和轴的转速。以图 19-3 所示的传动轴为例，
由电动机的转速和功率可以求出传动轴 AB 的转速及通过皮带轮输入的功率。功率由皮
带轮传到轴 AB 上，再经右端的齿轮输出。设通过皮带轮给 AB 轴输入的功率为 N（kW），
因为 1kW=1000N·m/s 因此每秒钟输入功应为 ： W = N ×1000(N ⋅ m)
（a）
电动机是通过皮带轮以力偶矩 Me 作用于 AB 轴上的，若 AB 轴的转速为每分钟 n 转，
则力偶矩 Me 在每秒内完成的功应为 ：
W = 2π × n × Me(N ⋅ m)
(b)
60
因为 Me 所完成的功也就是皮带轮给 AB 轴输入的功，故（a）、（b）两式应相等，这
据微元的平衡要求，不仅左右一对面上有大小相等，方向相反的剪应力 τ ，在上下一对
面也必须有剪应力τ ′ ，而且由力矩平衡条件 ∑ mz = 0 有：
(τtdy)dx = (τ ′tdx)dy
由此得到：
τ =τ′
（19-2）
这表明，在相互垂直的两个微面上，剪应力总是成对出现的，它们数值相等，而方
向均垂直于两微面的交线，或指向或背离这一交线。这就是剪应力互等定理。
利用第三节中的（b）式和（c）式，上式可以写成：
φ
φ
图 19-9
u = 1 τγ 2
再由剪切胡克定律（式 19-3）得：
u = 1 τγ = τ 2 2 2G
46
第四节 圆轴扭转时的应力与变形
一、横截面上剪应力计算公式
圆轴扭转时，在已知横截面上的扭矩后，还应进一步研究横截面上的应力分布规律，
工程力学第八章圆轴的扭转详解
轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIP
单位长度的扭转角为：q =AB/L=T/GIP
扭转刚度条件则为： qmax[q ] ---许用扭转角 机械设计手册建议：[q ]=0.25~0.5/m; 精度高的轴；
[q ]=0.5~1.0/m; 一般传动轴。
整理课件
32
3.扭转圆轴的设计
强度条件： t max T /WT [t ]
Mo
Mo
假想切面
取左边部分
Mo
外力偶
T 内力偶
由平衡方程： T M o 整理课件
平衡
4
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Mo
Mo
T
取左边部分
Mo 假想切面
外力偶
扭矩
由平衡方程：
平衡
Mo
TMo T
取右边部分 T
T 和T 是同一截面上的内力， 应当有相同的大小和正负。
整理课件
扭矩
外力偶
平衡
5
扭矩的符号规定：
Mo
T
正
Mo
T
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 相同 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？相同 变形是否相同？ 不同
2）下列圆轴扭转的切应力分布图是否正确?
T
o
o
o
o
T
T
T
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24
8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态
研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左 右两边为横截面，上下两边为过轴线的径向面。
3) 计算扭转角AC
AC
TAB l AB GIPAB
+ T BC lBC GIPBC
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工程力学下题库
工程力学题库一、填空题（每空1分，共57分）（难度A）第八章轴向拉伸和压缩1. "强度"是构件在外力作用下____________ 的能力。
2. 通常，各种工程材料的许用切应力[T不大于其____________ 切应力。
3. 在材料力学中，对可变形固体的性质所作的基本假设是假设、___________________ 设和 ______________ 假设。
4. 衡量材料强度的两个重要指标是_______________ 和_____________________ 。
5. 由于铸铁等脆性材料的很低，因此，不宜作为承拉零件的材料。
6. 在圆轴的台肩或切槽等部位，常增设_____________________ 结构，以减小应力集中。
7. 消除或改善是提高构件疲劳强度的主要措施。
第九章剪切与扭转1. 应用扭转强度条件，可以解决_______________________ 、 _____________________ 和_____________ _____ —等三类强度计算问题。
2. 在计算梁的内力时，当梁的长度大于横截面尺寸____________ 倍以上时，可将剪力略去不计。
3. 若两构件在弹性范围内切应变相同，则切变模量G值较大者的切应力较______________ 。
4. 衡量梁弯曲变形的基本参数是___________________ 和________________________ 。
5. 圆轴扭转变形时的大小是___________________________________ 用来度量的。
6. 受剪切构件的剪切面总是___________ 于外力作用线。
7. 提高圆轴扭转强度的主要措施：______________________ 和__________________ 。
8. 如图所示拉杆头为正方形，杆体是直径为d圆柱形。
1. 作用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型：___________ 、2. 按照支座对梁的约束情况，通常将支座简化为三种形式：______3. 根据梁的支承情况，一般可把梁简化为以下三种基本形式：____4. ___________________________ 对梁的变形有两种假设：、______________________________________ 。
材料力学课件——扭转的强度与刚度计算
MMnMnⅢⅢMnMⅢMnDMⅢD DMD
351N· m
468N·
(+)m (-)
702N· m
解 （1）计算外力偶矩：
MA
9550 NA n
9550 36.75 300
1170N m
MB
MC
9550 NB n
9550 11 300
351N m
MD
9550 ND n
9550 14.7 300
P B mB
B
mB （a）
P
mB
B
（b）
本章主要内容
▪ 第一节 概述 ▪ 第二节 扭转时的内力 ▪ 第三节 纯剪切、剪应力互等定理、剪切胡
克定律 ▪ 第四节 圆轴扭转时的应力与变形 ▪ 第五节 圆轴扭转时的强度和刚度计算 ▪ 第六节 密圈螺旋弹簧应力及变形的计算 ▪ 第七节 非圆截面等直杆的纯扭转
扭矩
N(kW ) Me 9550 n(r / min ) （Nm)
•当N为马力 扭矩
N(Ps)
Me 7024 n(r / min )（N m)
二、扭矩 扭矩图
扭矩mn符号规定如下：按右手螺旋法则把mn 表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线方向一
致时， mn为正；反之为负。
内力—扭矩
mn
j mn
t dy
nm
x 定理。（rocal
theorem of shear stresses ）
dx
z
▪ 剪应力互等定理（Reciprocal theorem of shear stresses ）
▪ 单元体上两个互垂面上剪应力的大小相等、方
向相反（共同指向交线或背离交线）
▪ 类似可证明 —— 每两个邻近边剪应力值相 等
材料力学-第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
I
C
A
II
D
III
I
II
III
M
x
0
确定各段圆轴内的扭 矩。
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
3 ． 建立 Mx － x 坐 标系，画出扭矩图 建 立 Mx － x 坐 标 系，其中x轴平行于 圆轴的轴线，Mx轴垂 直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩 值，标在 Mx － x 坐标 系中，得到相应的点 ，过这些点作x轴的 平行线，即得到所需 要的扭矩图。
P M e 9549 [N m] n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/ 分（r/min）。 如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s），则
P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 剪应力互等定理 剪切胡克定律
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件 结论与讨论
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
绘出扭矩图：
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
B C
I
外加扭力矩、扭矩与扭矩图 A III D II
I 扭矩Mn-图
II
III
159.2
（+）
（-）
63.7 159.2
M n,max 159.2( N m)
（在CA段和AD段）
工程力学材料力学-知识点-及典型例题
作出图中AB杆的受力图。
A处固定铰支座B处可动铰支座作出图中AB、AC杆及整体的受力图。
B、C光滑面约束A处铰链约束DE柔性约束作图示物系中各物体及整体的受力图。
AB杆：二力杆E处固定端C处铰链约束（1）运动效应：力使物体的机械运动状态发生变化的效应。
（2）变形效应：力使物体的形状发生和尺寸改变的效应。
3、力的三要素：力的大小、方向、作用点。
4、力的表示方法：（1）力是矢量，在图示力时，常用一带箭头的线段来表示力；（注意表明力的方向和力的作用点！）（2）在书写力时，力矢量用加黑的字母或大写字母上打一横线表示，如F、G、F1等等。
5、约束的概念：对物体的运动起限制作用的装置。
6、约束力（约束反力）：约束作用于被约束物体上的力。
约束力的方向总是与约束所能限制的运动方向相反。
约束力的作用点，在约束与被约束物体的接处7、主动力：使物体产生运动或运动趋势的力。
作用于被约束物体上的除约束力以外的其它力。
8、柔性约束：如绳索、链条、胶带等。
(1)约束的特点：只能限制物体原柔索伸长方向的运动。
(2)约束反力的特点：约束反力沿柔索的中心线作用，离开被约束物体。
（）9、光滑接触面：物体放置在光滑的地面或搁置在光滑的槽体内。
（1）约束的特点：两物体的接触表面上的摩擦力忽略不计，视为光滑接触面约束。
被约束的物体可以沿接触面滑动，但不能沿接触面的公法线方向压入接触面。
（2）约束反力的特点：光滑接触面的约束反力沿接触面的公法线，通过接触点，指向被约束物体。
（）10、铰链约束：两个带有圆孔的物体，用光滑的圆柱型销钉相连接。
约束反力的特点:是方向未定的一个力；一般用一对正交的力来表示，指向假定。
（）11、固定铰支座（1）约束的构造特点：把中间铰约束中的某一个构件换成支座，并与基础固定在一起，则构成了固定铰支座约束。
（2）约束反力的特点：固定铰支座的约束反力同中间铰的一样，也是方向未定的一个力；用一对正交的力来表示，指向假定。
()12、可动铰支座（1）约束的构造特点把固定铰支座的底部安放若干滚子，并与支撑连接则构成活动铰链支座约束，又称锟轴支座。
第9章扭转强度与刚度
→
d G dx
（实心截面）
（空心截面）
d G dx
三）静力关系：
d ? dx
A
O
dA
2 d dA T A dA A G dx d G A 2 dA dx
A dA dA dA
令
I p A dA
切应力互等定理
'
a dy
O ' dx
d
c x
z
b
在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。
单元体在其两对互相 垂直的平面上只有切应力 而无正应力的状态称为纯 剪切应力状态。
a
'
d
b
'
c
圆轴扭转时横截面上的应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题） 几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律 物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律 静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。 一）、几何关系： 1、实验： 2、变形规律： 圆周线—形状、大 小、间距不变，各圆周 线只是绕轴线转动了一 个不同的角度。
2
d T GI p dx
d T dx GI p
扭转变形计算式 d 代入物理关系式 G dx 得： T
Ip
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式:
T Ip
二、圆轴中τmax的确定 横截面上 — max
由截面法 T m 199 N m （2）计算极惯性矩 , AC段和CB段 横截面的极惯性矩分别为 D 4 4
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圆轴扭转时的剪应力分析
弹性范围内的 剪应力－剪应变关系
圆轴扭转时的剪应力分析
弹性范围内的剪应力－剪应变关系
剪切胡克定律
t
若在弹性范围内加载，即
圆轴扭转时，其圆柱面上的圆保持不变，都是两个相 邻的圆绕圆轴的轴线相互转过一角度。根据这一变形特征， 假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，并且 绕圆轴的轴线刚性地转过一角度。这就是关于圆轴扭转的平 面假定。所谓“刚性地转过一角度”，就是横截面上的直径 在横截面转动之后依然保持为一直线。
圆轴扭转时的剪应力分析
分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力 和变形的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物 性关系。
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚变形
剪应力互等定理 圆轴扭转时的剪应力分析 承受扭转时圆轴的强度设
计与刚度设计 结论与讨论
唱机的心轴将产生扭转
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
请判断轴受哪些力 将发生什么变形
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
A
C
B
D
A'
C'
B'
t
t D'
当圆轴承受绕轴线转动的外扭 转力偶作用时，其横截面上将只 有扭矩一个内力分量。
不难看出，圆轴受扭后，将产 生扭转变形（twist deformation ），圆轴上的每个微元的直角均 发生变化，这种直角的改变量即 为剪应变。这表明，圆轴横截面 和纵截面上都将出现剪应力分别 用 t 和 t 表示。
剪应力互等定理
y
t
A
C
哪怎微些样元力才能互能不相平能平衡平衡？衡？？
dy
t
x
B
dz
dx D
z
剪应力互等定理
y
哪些力互相平衡？
t
根据力偶平衡理论
A
C
dy
tdydzdx tdxdzdy
t
x
B
dz
dx D
t t
z
剪应力互等定理
y 剪应力互等定理
t
A C
dy
t
B
dz
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
请判断哪些零件 将发生扭转
传动轴
传动轴 将产生扭转
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
请判断哪一部件 将发生扭转
连接汽轮机和发电 机的传动轴将产生扭 转
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
请判断哪一部件 将发生扭转
工程力学
第二篇 材料力学
工程力学
第二篇 材料力学
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算
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第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算
工程上将主要承受扭转的杆件称为轴，当轴的横截面 上仅有扭矩（Mx）作用时，与扭矩相对应的分布内力，其 作用面与横截面重合。这种分布内力在一点处的集度，即 为剪应力。圆截面轴与非圆截面轴扭转时横截面上的剪应 力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的应力 变形分析以及强度设计和刚度设计。
变形协调方程
若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据 上述结论，在dx长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同
的角度d，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，
半径越小者剪应变越小。
圆轴扭转时的剪应力分析
变形协调方程
设到轴线任意远处的剪应变为（），则从图中可得
到如下几何关系：
圆轴扭转时的剪应力分析
平面假定
变形
应变分布
物性关系
应力分布
静力方程
应力公式
圆轴扭转时的剪应力分析
变形协调方程 弹性范围内的剪应力－剪应变关系 静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
圆轴扭转时的剪应力分析
变形协调方程
圆轴扭转时的剪应力分析
变形协调方程
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第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
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工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
请判断哪一杆件 将发生扭转
当两只手用力相等时， 拧紧罗母的工具杆将产生扭 转
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
请判断哪一杆件 将发生扭转
拧紧罗母的工具杆 不仅产生扭转，而且产 生剪切
d
dx
圆轴扭转时的剪应力分析
变形协调方程
d
dx
d
dx
称为单位长度相对扭转角（angle of twist per unit length of the shaft）。
对于两相邻截面，
d const.
dx
为常量，故上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的 剪应变与该点至截面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴 扭转时的变形协调方程。
dx D
z
t t
如果在微元的一对面上
存在剪应力，另一对与剪应力
作用线互相垂直的面上必然垂
直大小相等、方向或相对(两剪
x
应力的箭头相对)或相背(两剪 应力的箭尾相对)，以使微元保
持平衡。微元上剪应力的这种
相互关系称为剪应力互等定理
或剪应力成对定理(theorem of
conjugate shearing stress)
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算
圆轴扭转时的剪应力分析
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圆轴扭转时的剪应力分析
分析圆轴扭转剪应力的方法与分析梁纯弯曲 正应力的方法，基本相同，就是：根据表面变形作 出平面假定；由平面假定得到应变分布，亦即得到 变形协调方程；再由变形协调方程与应力－应变关 系得到应力分布，也就是含有待定常数的应力表达 式；最后利用静力方程确定待定常数，从而得到计 算应力的公式。
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算
剪应力互等定理
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剪应力互等定理
圆轴扭转时，微元的剪切变形现象表明， 圆轴不仅在横截面上存在剪应力，而且在通过 轴线的纵截面上也将存在剪应力。这是平衡所 要求的。
如果用圆轴的相距很近的一对横截面、一对 纵截面以及一对圆柱面，从受扭的圆轴上截取 一微元，微元与横截面对应的一对面上存在剪 应力τ，这一对面上的剪应力与其作用面的面 积相乘后组成一绕z轴的力偶，其力偶矩为 tdydzdx。 为了保持微元的平衡，在微元与纵截面对应的 一对面上，必然存在剪应力τ′，这一对面上的 剪应力也组成一个力偶矩为t 'dxdzdy的力偶。 这两个力偶的力偶矩大小相等、方向相反，才 能使微元保持平衡。