材料力学-03扭转
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2
标题
§3-1、概述
汽车传动轴
一、概
3
述
§3-1、概述
汽车方向盘 4
§3-1、概述
丝锥攻丝
5
§3-1、概述
扭转变形是指杆件受到大小相等,方向 相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用, 使杆件的横截面绕轴线产生转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
6
§3-2、薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒的扭转 横截面只有切应力
横截面形状、大小不变
γ
φ
平面假定 切应力与圆周相切
沿圆周切应变相等
各点切应力相等
AdA r T
T T 2ro2 2 A0
7
§3-2、薄壁圆筒的扭转
二.剪切胡克定律
G
剪切虎克定律
其中，比例常数G 称
为剪切弹性模量。常用单 位GPa
o
o
o T
dA
T
3.静力关系
由合力矩定理 A dA T
极惯性矩
G
G
d
dx
(2)
G d 2dA T
dx A
I p
2dA
A
d
T GI p dx
d T
dx GI p
(3) 切应力公式
T
Ip
(4)
22
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
3、切应力计算
令
抗扭截面系数
确定实心轴与空心轴的重量之比
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为 横截面面积之比：
A1
d2 1
45
103
2
1
＝1.28
A2
D2 2
12
46 103 1 0.52
33
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
例题3-3
已知：P1＝14kW,P2= P3=P1/2，
3
n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=
第三章 扭转
1
第三章 扭 转
§3-1、概述 §3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图 §3-3、圆轴扭转时截面上的应力计算 §3-4、圆轴扭转时的变形计算 §3-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算 §3-6、材料扭转时的力学性质 §3-7、圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3-8、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果 §3-9、扭转超静定问题
πd13
40MPa
d1
3
16 716.2 π 40106
0.045m=45mm
31
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大
切应力不得超过40MPa,空心圆轴的
内外直径之比 = 0.5。二轴长度
相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
空心轴
T T max2
Mx WP 2
16M x
πD23 1 4
40MPa
16 716.2
D2 3 π 1- 4 40106 0.046m=46mm
d2＝0.5D2=23 mm
32
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
实心轴
空心轴
d1=45 mm
D2＝46 mm d2＝23 mm
23
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
4. Ip 与 Wp 的计算
实心轴
24
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
空心轴
令
则
25
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
26
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件 二.切应力互等定理
27
§3-3 纯剪切 切应力互等定理 剪切胡克定律
70mm, d 2=50mm, d3=35mm.
求:各轴横截面上的最大切应力。
解：1、计算各轴的功率与转速 2、计算各轴的扭矩
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW
n1=n2= 120r/min
n3＝n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z1 z3
＝120
36 12
r/min
＝360r/min
28
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
三、纯剪切
切应力
γ - 切应变
单元体截面上只有切应力而无正应力作用，
这种应力状态叫做纯剪切应力状态。
29
下面单元体的切应变分别是？
α
α
α
α
0 2
30
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件例题3-2
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最
E
其中，比例常数E 称为拉
拉压虎克定律 压弹性模量。常用单位GPa 8
§3-2、薄壁圆筒的扭转
对各向同性材料可以证明，弹性常数E、G、 μ存在关系
G E
2(1 )
表明3个常数只有2个是独立的
9
§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩 直接计算
10
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W Pk 1000(N.m)
W
Me
2
n 60
Pk
Pk
11
§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图
12
§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
T = Me
13
§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(3) 扭矩图
18
§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
2Me Me T m T m
2Me
2MeT=Me m mT=-2MMee+Me=-Me 19
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
一、圆轴的扭转时的应力
1、变形几何关系
mn
R
O
mn
dx
mn
Me
mn
平面假定 横截面形状、大小不变 横截面只有切应力 切应力与圆周相切
T = Me
14
§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
15
§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
扭矩图
16
§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
例题3-1
解:
(1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
17
§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩
大切应力不得超过40MPa,空心圆轴
的内外直径之比 = 0.5。二轴长
度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
实心轴
Mx
T
9549
P n
9549 7.5 100
716.2N m
max1
MT x
WP1
16MT x
20
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
m
n
O1
A B
m
d O2 C
C’
D D’ n
dx
A
B
a C
b C’ D
D’
1.几何关系 2.物理关系
tan Rd
dx
tan
d
dx
(1)
G
G
d
dx
(2)
O1
dx
c d
d C’
O2
O1
O2
d’
A
C
B
D
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§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
标题
§3-1、概述
汽车传动轴
一、概
3
述
§3-1、概述
汽车方向盘 4
§3-1、概述
丝锥攻丝
5
§3-1、概述
扭转变形是指杆件受到大小相等,方向 相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用, 使杆件的横截面绕轴线产生转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
6
§3-2、薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒的扭转 横截面只有切应力
横截面形状、大小不变
γ
φ
平面假定 切应力与圆周相切
沿圆周切应变相等
各点切应力相等
AdA r T
T T 2ro2 2 A0
7
§3-2、薄壁圆筒的扭转
二.剪切胡克定律
G
剪切虎克定律
其中，比例常数G 称
为剪切弹性模量。常用单 位GPa
o
o
o T
dA
T
3.静力关系
由合力矩定理 A dA T
极惯性矩
G
G
d
dx
(2)
G d 2dA T
dx A
I p
2dA
A
d
T GI p dx
d T
dx GI p
(3) 切应力公式
T
Ip
(4)
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§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
3、切应力计算
令
抗扭截面系数
确定实心轴与空心轴的重量之比
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为 横截面面积之比：
A1
d2 1
45
103
2
1
＝1.28
A2
D2 2
12
46 103 1 0.52
33
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
例题3-3
已知：P1＝14kW,P2= P3=P1/2，
3
n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=
第三章 扭转
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第三章 扭 转
§3-1、概述 §3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图 §3-3、圆轴扭转时截面上的应力计算 §3-4、圆轴扭转时的变形计算 §3-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算 §3-6、材料扭转时的力学性质 §3-7、圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3-8、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果 §3-9、扭转超静定问题
πd13
40MPa
d1
3
16 716.2 π 40106
0.045m=45mm
31
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大
切应力不得超过40MPa,空心圆轴的
内外直径之比 = 0.5。二轴长度
相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
空心轴
T T max2
Mx WP 2
16M x
πD23 1 4
40MPa
16 716.2
D2 3 π 1- 4 40106 0.046m=46mm
d2＝0.5D2=23 mm
32
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
实心轴
空心轴
d1=45 mm
D2＝46 mm d2＝23 mm
23
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
4. Ip 与 Wp 的计算
实心轴
24
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
空心轴
令
则
25
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
26
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件 二.切应力互等定理
27
§3-3 纯剪切 切应力互等定理 剪切胡克定律
70mm, d 2=50mm, d3=35mm.
求:各轴横截面上的最大切应力。
解：1、计算各轴的功率与转速 2、计算各轴的扭矩
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW
n1=n2= 120r/min
n3＝n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z1 z3
＝120
36 12
r/min
＝360r/min
28
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
三、纯剪切
切应力
γ - 切应变
单元体截面上只有切应力而无正应力作用，
这种应力状态叫做纯剪切应力状态。
29
下面单元体的切应变分别是？
α
α
α
α
0 2
30
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件例题3-2
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最
E
其中，比例常数E 称为拉
拉压虎克定律 压弹性模量。常用单位GPa 8
§3-2、薄壁圆筒的扭转
对各向同性材料可以证明，弹性常数E、G、 μ存在关系
G E
2(1 )
表明3个常数只有2个是独立的
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§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩 直接计算
10
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W Pk 1000(N.m)
W
Me
2
n 60
Pk
Pk
11
§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图
12
§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
T = Me
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§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(3) 扭矩图
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§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
2Me Me T m T m
2Me
2MeT=Me m mT=-2MMee+Me=-Me 19
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
一、圆轴的扭转时的应力
1、变形几何关系
mn
R
O
mn
dx
mn
Me
mn
平面假定 横截面形状、大小不变 横截面只有切应力 切应力与圆周相切
T = Me
14
§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
15
§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
扭矩图
16
§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
例题3-1
解:
(1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
17
§3-3、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩
大切应力不得超过40MPa,空心圆轴
的内外直径之比 = 0.5。二轴长
度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
实心轴
Mx
T
9549
P n
9549 7.5 100
716.2N m
max1
MT x
WP1
16MT x
20
§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
m
n
O1
A B
m
d O2 C
C’
D D’ n
dx
A
B
a C
b C’ D
D’
1.几何关系 2.物理关系
tan Rd
dx
tan
d
dx
(1)
G
G
d
dx
(2)
O1
dx
c d
d C’
O2
O1
O2
d’
A
C
B
D
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§3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件