材料力学第三章扭转
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材料力学 第三章 扭转
d T dx GI p
d t r Gr dx
Tr tr Ip
Tr tr Ip
上式为等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切 应力的计算公式。
Tr tr Ip
2
b z
t'
dx
c c'
3.4 圆轴扭转时的应力 3.4.1 横截面上的应力 1) 变形几何关系 在小变形条件下, 等直圆杆在扭转时横截面上也 只有切应力。为求得此应力, 需从几何关系、物 理关系和静力关系三个方面着手。 为研究横截面上任一点处切应变随点的位臵而 变化的规律, 先观察一个实验。
3.4 圆轴扭转时的应力 实验:预先在等截面圆杆的表面画上任意两个相 邻的圆周线和纵向线。在杆的两端施加外 力偶矩Me。
3.3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒扭转时, 横截面上 任一点处的切应力t都是相 等的, 而其方向与圆周相切。 横截面上的内力与应力间 的静力关系为:
n
r0 x
t dA
Me
n
t dA r
A
0
t r0 dA t r0 2 r d T
A
对于薄壁圆筒, r可由平均半径r0代替。
M x 0, T M e 0
T Me
取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。
3.2.2 扭矩及扭矩图 扭矩的符号规定如下: 采用右手螺旋法则, 如果 以右手四指表示扭矩的转向, 则姆指的指向离 开截面时的扭矩为正。
反之, 姆指指向截面时则扭矩为负。
3.2.2 扭矩及扭矩图
M2
M3
M1 n
A
M4
B
C
D
M2
M3
M1
材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学：第三章扭转强度
解：
A
TA
Ip
1000 0.015 0.044 (1 0.54 )
63.66MPa32max来自T Wt1000
0.043 (1 0.54 )
84.88MPa
16
min
max
10 20
42.44 MPa
例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之 比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上 的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直
NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
mA
7024
NA n
7024 50 300
1170 N m
mB
mC
7024
NB n
7024 15 300
351 N m
mD
7024 NC n
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半
时，横截面的最大剪应力是原来的 8 倍？
圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
max
T Wt
T
d3
16
Tl Tl
GIp
d4
G
32
例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿45＿ 螺＿旋＿ 面上 发生断裂，其破坏是由 最大拉 应力引起的。 在图上画出破坏的截面。
例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截 面轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A 点的切应力及横截面上的最大和最小切应力。
7024 20 468 N m 300
N A 50 PS N B N C 15 PS N D 20 PS n = 300 rpm
mA 1170 N m mB mC 351 N m mD 468 N m
材料力学力S03扭转
4M
2M
第三章
扭转
8
受扭杆件内力计算的例题
例1： ： 解： T1=M T2=2M T3=-2M 绘出扭矩图 最后总结规律： 最后总结规律： 左上右下” “左上右下” 自己证明。 自己证明。
M M 4M 2M
M
1 T1 1 M
M
2 T2
2
T3 3
2M
M
2M
3
T
第三章 扭转
−2 M
9
受扭杆件内力计算的例题
1.1 变形几何关系
通过实验知，圆截面杆发生扭转变形后： 通过实验知，圆截面杆发生扭转变形后：横截面仍 为平面，仍垂直于轴线，绕圆心刚体旋转； 为平面，仍垂直于轴线，绕圆心刚体旋转；横截面绕圆 心的角位移为扭转角；半径仍为直线段且长度不变。 心的角位移为扭转角；半径仍为直线段且长度不变。 这一规律称为圆截面杆扭转变形的平面假设。 这一规律称为圆截面杆扭转变形的平面假设。 平面假设
例2： ： 如图杆件，已知m，试绘制扭矩图。 如图杆件，已知 ，试绘制扭矩图。
Me
m
Me
l
第三章
扭转
10
受扭杆件内力计算的例题
例2： ： 解： 轴所受力系是连续分布的， 轴所受力系是连续分布的， 无须分段。默认坐标x轴起 无须分段。默认坐标 轴起 点左端，沿轴线向右。 点左端，沿轴线向右。 Me=ml/2 T=Me-mx=m(l/2-x) 该杆上的载荷力系关于杆中 截面对称 可以发现， 的 对称。 截面对称。可以发现，T的 分布关于杆中截面是反对称 分布关于杆中截面是反对称 的。
第三章
扭转
21
习题
• P84, 3-2 • P85, 3-5
第三章
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
第三章扭转
T=Fs×r
材料力学
0
Fs=2 r
0
扭转/圆轴扭转时的应力
一.圆轴扭转时的应力分布规律
T
T
材料力学
扭转/圆轴扭转时的应力
1. 单元格的变化
A
B
C
A B
C
D
D
现象一： 方格的左右两边发生相对错动
横截面上存在切应力
方格的左右两边距离没有发生改变 现象二：
材料力学
横截面上没有正应力
2. 半径的变化
材料力学
扭转/纯剪切
§3.3 纯剪切
材料力学
相关概念
纯剪切：单元体各个面上只承受切应力而没有正应力。
单元体：是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小 的正立方体，以表示几何上的一点。
材料力学
扭转/纯剪切
一.薄壁圆筒扭转时的切应力
纯剪切的变形规律通过薄壁圆筒的纯扭转进 行研究。 受扭前，在薄壁圆筒的表面上用圆周线和 纵向线画成方格。
扭转/圆轴扭转时的变形
两横截面间相对扭转角的计算：
=TL/GIP
T：扭矩；
L：两横截面间的距离； G：切变模量； IP：极惯性矩。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
=TL/GIP
GIP越大，则越小。 GIP称为抗扭刚度。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
`=/L
`：单位长度扭转角（rad/m）。
思路：
最大扭矩
最大切应力
max
校核强度
相等
强度相同，则两轴的最大切应力 求出实心轴直径
材料力学
两轴面积比即为重量比
扭转/圆轴扭转时的应力
计算Wt:
3 Wt=D
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应力是原来的 8 倍？圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
解：
max
T Wt
T
d3
16
6.一直径为D1的实心轴，另一内外径之比α＝d2／D2＝0.8的空 心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大切应力相等。求两 轴外直径之比D2/D1。 解：
由
得：
7.在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴 ，可节省材料的百分比为多少? 解： 设实心轴的直径为 d1 ，由
第三章 扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
例题3.1 传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率
PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的扭矩图.
解: (1)计算外力偶矩 由公式 M e 9549P / n
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
4、圆轴扭转时的变形及刚度计算
Tl
GI P
T 180
GIP
4.图示等截面圆轴上装有四个皮带轮，如何合理安排，现有四种答
案： (A) 将轮C与轮D对调；
1.0
0.2
0.2
0.6
(B) 将轮B与轮D对调；
(C) 将轮B与轮C对调；
(D) 将轮B与轮D对调，然后再将
A
B
C
轮B与轮C对调。
(单位 : kN m) D
5.实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大切
500
AB
T1l1 GIP1
2.5103 750103 80109 π 754 1012
7.55 103
rad
32
BC
T2l2 GIP2
1.5103 500103 80109 π 504 1012
15.28103 rad
40MPa
D2
3
π
16 716.2
1- 4 40106
0.046m=46mm
d2＝0.5D2=23 mm
确定实心轴与空心轴的重量之比
实心轴
空心轴
d1=45 mm
D2＝46 mm d2＝23 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A1
d2 1
32
AC AB BC 7.55103 15.28103 7.73103 rad
§3.5 圆=200Nm，轴的直径d=40mm，材
料的[τ]=40MPa，剪切弹性模量G=80GPa，许可单位长度转 角[φ/]=1 ⁰/m。试校核轴的强度和刚度。
解：1.外力
2.扭矩图
3.直径d1的选取
按强度条件
按刚度条件
4.直径d2的选取
按强度条件
按刚度条件
5.选同一直径时
6.将主动轮按装在两从 动轮之间
受力合理
小结
1、受扭物体的受力和变形特点 2、扭矩计算，扭矩图绘制
3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算
T
IP
max
T Wt
得：
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.4
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最
大切应力不得超过40MPa,空心圆轴
的内外直径之比 = 0.5。二轴长
度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
P
7.5
Mx
T
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
传动轴上主、 从动轮安装的位 置不同，轴所承 受的最大扭矩也 不同。
MB
MC
B
C
MD
MA
D
A
T3
MA
A
T3 M A 1432N m
Tmax 1432N m
318N.m
795N.m
1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
9549
n
9549 100
716.2N m
实心轴
max1
T
WP1
16T πd13
40MPa
d1
3
16 716.2 π 40 106
0.045m=45mm
§3.4 圆轴扭转时的应力
空心轴
max2
T
WP 2
16T
πD23 1 4
45 103
2
1
＝1.28
A2
D2 2
12
46103 1 0.52
传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率
P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，
P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa。 (1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
max
T Wt
1.分别画出图示三种截面上扭转切应力沿半径各点处的分布规律。
T
T
T
(a) 圆截面
(b) 空心圆截面 (c) 薄壁圆截面
T Ip
2. 切应力互等定理是由单元体：
(A) 静力平衡关系导出的； (B) 几何关系导出的；
(C) 物理关系导出的；
(D) 强度条件导出的。
3.切应力互等定理适用情况有下列四种答案： （A）纯剪切应力状态； （B）平面应力状态，而不论有无正应力作用； （C）弹性范围； （D）空间任意应力状态。
例题3.6 已知:传动轴m1=2.5kNm， m2=4kNm， m3=1.5kNm， G=80GPa
求：截面A相对截面C的扭转角 AC
75
解：（1）计算扭矩
50
T1 m1 2.5k N m
T2 m3 1.5kN m
A
（2）计算A、C两截面间的相对扭转角
750
B
C
解：
max
T Wt
T
d3
16
6.一直径为D1的实心轴，另一内外径之比α＝d2／D2＝0.8的空 心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大切应力相等。求两 轴外直径之比D2/D1。 解：
由
得：
7.在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴 ，可节省材料的百分比为多少? 解： 设实心轴的直径为 d1 ，由
第三章 扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
例题3.1 传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率
PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的扭矩图.
解: (1)计算外力偶矩 由公式 M e 9549P / n
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
4、圆轴扭转时的变形及刚度计算
Tl
GI P
T 180
GIP
4.图示等截面圆轴上装有四个皮带轮，如何合理安排，现有四种答
案： (A) 将轮C与轮D对调；
1.0
0.2
0.2
0.6
(B) 将轮B与轮D对调；
(C) 将轮B与轮C对调；
(D) 将轮B与轮D对调，然后再将
A
B
C
轮B与轮C对调。
(单位 : kN m) D
5.实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大切
500
AB
T1l1 GIP1
2.5103 750103 80109 π 754 1012
7.55 103
rad
32
BC
T2l2 GIP2
1.5103 500103 80109 π 504 1012
15.28103 rad
40MPa
D2
3
π
16 716.2
1- 4 40106
0.046m=46mm
d2＝0.5D2=23 mm
确定实心轴与空心轴的重量之比
实心轴
空心轴
d1=45 mm
D2＝46 mm d2＝23 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A1
d2 1
32
AC AB BC 7.55103 15.28103 7.73103 rad
§3.5 圆=200Nm，轴的直径d=40mm，材
料的[τ]=40MPa，剪切弹性模量G=80GPa，许可单位长度转 角[φ/]=1 ⁰/m。试校核轴的强度和刚度。
解：1.外力
2.扭矩图
3.直径d1的选取
按强度条件
按刚度条件
4.直径d2的选取
按强度条件
按刚度条件
5.选同一直径时
6.将主动轮按装在两从 动轮之间
受力合理
小结
1、受扭物体的受力和变形特点 2、扭矩计算，扭矩图绘制
3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算
T
IP
max
T Wt
得：
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.4
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最
大切应力不得超过40MPa,空心圆轴
的内外直径之比 = 0.5。二轴长
度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
P
7.5
Mx
T
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
传动轴上主、 从动轮安装的位 置不同，轴所承 受的最大扭矩也 不同。
MB
MC
B
C
MD
MA
D
A
T3
MA
A
T3 M A 1432N m
Tmax 1432N m
318N.m
795N.m
1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
9549
n
9549 100
716.2N m
实心轴
max1
T
WP1
16T πd13
40MPa
d1
3
16 716.2 π 40 106
0.045m=45mm
§3.4 圆轴扭转时的应力
空心轴
max2
T
WP 2
16T
πD23 1 4
45 103
2
1
＝1.28
A2
D2 2
12
46103 1 0.52
传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率
P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，
P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa。 (1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
max
T Wt
1.分别画出图示三种截面上扭转切应力沿半径各点处的分布规律。
T
T
T
(a) 圆截面
(b) 空心圆截面 (c) 薄壁圆截面
T Ip
2. 切应力互等定理是由单元体：
(A) 静力平衡关系导出的； (B) 几何关系导出的；
(C) 物理关系导出的；
(D) 强度条件导出的。
3.切应力互等定理适用情况有下列四种答案： （A）纯剪切应力状态； （B）平面应力状态，而不论有无正应力作用； （C）弹性范围； （D）空间任意应力状态。
例题3.6 已知:传动轴m1=2.5kNm， m2=4kNm， m3=1.5kNm， G=80GPa
求：截面A相对截面C的扭转角 AC
75
解：（1）计算扭矩
50
T1 m1 2.5k N m
T2 m3 1.5kN m
A
（2）计算A、C两截面间的相对扭转角
750
B
C