材料力学第3章 扭转
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材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学第三章
解 ϕ = Tl0 = M el0 GI p GI p
33
G=
M el0 ϕI p
= M el0 ϕ ⋅ πd 4
=
150 × 0.1× 32 0.012π × 204 ×10−12
= 79.6 GPa
3-8 设有 1 圆截面传动轴，轴的转速 n = 300 r/min，传递功率 P = 80 kW，轴材料的 许用切应力[τ ] = 80 MPa，单位长度许用扭转角[θ ] = 1.0° / m ，切变模量 G = 80 GPa。试
τ max
= Tmax Wp
≤ [τ ]
3-6 金属材料圆轴扭转破坏有几种形式？ 答 塑性金属材料和脆性金属材料扭转破坏形式不完全相同。塑性材料试件在外力偶作 用下，先出现屈服，最后沿横截面被剪断，如图 a 所示；脆性材料试件受扭时，变形很小， 最后沿与轴线约 45°方向的螺旋面断裂，如图 b 所示。
（2）用简化公式
τ max
=
8FD πd 3
=
8 ×1.5 ×103 × 50 ×10−3 π × 83 ×10−9
= 373 MPa
< [τ ],安全。
讨论：由于 c = D d = 50 8 = 6.25 < 10 ,故应用解（1）中修正公式计算（（1）（2）计算
值相差较大）。
3-7 一圆截面等直杆试样，直径 d = 20 mm，两端承受外力偶矩 M e = 150 N⋅ m 作用。 设由试验测得标距 l0 = 100 mm 内轴的相对扭转角ϕ = 0.012 rad，试确定切变模量 G 。
设计轴的直径。
解 T = 9549 × P = 9549 × 80 = 2546 N ⋅ m
n
300
33
G=
M el0 ϕI p
= M el0 ϕ ⋅ πd 4
=
150 × 0.1× 32 0.012π × 204 ×10−12
= 79.6 GPa
3-8 设有 1 圆截面传动轴，轴的转速 n = 300 r/min，传递功率 P = 80 kW，轴材料的 许用切应力[τ ] = 80 MPa，单位长度许用扭转角[θ ] = 1.0° / m ，切变模量 G = 80 GPa。试
τ max
= Tmax Wp
≤ [τ ]
3-6 金属材料圆轴扭转破坏有几种形式？ 答 塑性金属材料和脆性金属材料扭转破坏形式不完全相同。塑性材料试件在外力偶作 用下，先出现屈服，最后沿横截面被剪断，如图 a 所示；脆性材料试件受扭时，变形很小， 最后沿与轴线约 45°方向的螺旋面断裂，如图 b 所示。
（2）用简化公式
τ max
=
8FD πd 3
=
8 ×1.5 ×103 × 50 ×10−3 π × 83 ×10−9
= 373 MPa
< [τ ],安全。
讨论：由于 c = D d = 50 8 = 6.25 < 10 ,故应用解（1）中修正公式计算（（1）（2）计算
值相差较大）。
3-7 一圆截面等直杆试样，直径 d = 20 mm，两端承受外力偶矩 M e = 150 N⋅ m 作用。 设由试验测得标距 l0 = 100 mm 内轴的相对扭转角ϕ = 0.012 rad，试确定切变模量 G 。
设计轴的直径。
解 T = 9549 × P = 9549 × 80 = 2546 N ⋅ m
n
300
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
第三章扭转
T=Fs×r
材料力学
0
Fs=2 r
0
扭转/圆轴扭转时的应力
一.圆轴扭转时的应力分布规律
T
T
材料力学
扭转/圆轴扭转时的应力
1. 单元格的变化
A
B
C
A B
C
D
D
现象一： 方格的左右两边发生相对错动
横截面上存在切应力
方格的左右两边距离没有发生改变 现象二：
材料力学
横截面上没有正应力
2. 半径的变化
材料力学
扭转/纯剪切
§3.3 纯剪切
材料力学
相关概念
纯剪切：单元体各个面上只承受切应力而没有正应力。
单元体：是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小 的正立方体，以表示几何上的一点。
材料力学
扭转/纯剪切
一.薄壁圆筒扭转时的切应力
纯剪切的变形规律通过薄壁圆筒的纯扭转进 行研究。 受扭前，在薄壁圆筒的表面上用圆周线和 纵向线画成方格。
扭转/圆轴扭转时的变形
两横截面间相对扭转角的计算：
=TL/GIP
T：扭矩；
L：两横截面间的距离； G：切变模量； IP：极惯性矩。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
=TL/GIP
GIP越大，则越小。 GIP称为抗扭刚度。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
`=/L
`：单位长度扭转角（rad/m）。
思路：
最大扭矩
最大切应力
max
校核强度
相等
强度相同，则两轴的最大切应力 求出实心轴直径
材料力学
两轴面积比即为重量比
扭转/圆轴扭转时的应力
计算Wt:
3 Wt=D
材料力学第3章扭转总结
5 圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wt
πd 4 实心圆截面： I P 32
πd 3 Wt 16
πD4 空心圆截面： I （ 4） 1 P 32
πd 3 Wt （ 4） 1 16
6. 强度条件
max [ ]
对于等直圆轴亦即
Tmax [ ] Wt
7. 刚度条件 等直圆杆在扭转时的刚度条件：
圆周扭转时切应力分布特点：
T
max
Tr r Ip
max
d
圆周扭转时切应力分布特点：在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应力r 均相同，其值 与r 成正比，
其方向垂直于半径。
横截面周边上各点处(r r)切应力最大。
即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线 垂直的切应力 和 数值相等，且均指向(或背离)该两个 面的交线——切应力互等定理。
Tmax
180 [ ] GI p
l
Ti li *若为阶梯扭矩、阶梯截面 GI i 1 pi
总结
1 扭转外力特点：
垂直轴线的平面内受一对大小相等、转向相反 力偶作用
变形特点： 杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动
外力矩计算
{M e }Nm
{P}kw 9.55 10 {n} r
3
min
2 扭转时内力：扭矩
扭矩(torque)－－其力偶作用面与横截面平行
Me
T(+) T
T(-)
3
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P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
13
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
Ⅱ. 截面法确定圆轴横截面上的扭矩
传动轴横截面上的扭矩T 可利用截面法来计算。 Me
1MeMe1 T T T = Me
Me
14
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
Ⅲ. 扭矩的正负号规则
M0
MT
33
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
Ⅲ. 剪切胡克定律(Hooke’s law in shear) Me Me
A D BC
l (1) 上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了，这种 直角改变量称为切应变(shearing strain)。 (2) 该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了角，这种
正
M0 MT
负
15
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
Ⅳ. 扭矩图
如果只在轴的两个端截面作用有外力偶 矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是 相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。 当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩 作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的 ，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。
与相对扭转角 成线性正比例关系，从而可知 与 亦成线 性正比关系：
G
这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数G称为 材料的切变模量(shear modulus)。 钢材的切变模量的约值为：G =80GPa
35
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
Ⅳ. 剪切应变能 纯剪切应力状态下的应变能密度
{M e }Nm
12
{P}kw 103 60 {P}kw 9549 2π{n} r {n} r
min
min
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
在传动轴计算中，通常给出传动功率P和转递 n，则传动轴所受的外加扭力矩Me可用下式 计算：
P M e 9549 n [N m]
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转 速，单位为转/分（r/min）。 如 果 功 率 P 的 单 位 用 马 力 （ 1 马 力 =735.5 N•m/s），则
d y d z d x d x d z d y
可得： max [ ]
32
M
z
0
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线 垂直的切应力 和 数值相等，且均指向(或背离)该两个 面的交线——切应力互等定理。
{P}kw
{a }rad {M e }Nm 103 {t}s {M e }Nm rad 103
s
{M e }Nm 2π
{n} r
min
60
103
因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮 的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由 下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
§3-1 扭转的概念和实例 §3-2 外力偶矩的计算 §3-3 纯剪切 §3-4 圆轴扭转时的应力 §3-5 圆轴扭转时的变形 §3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3-7 非圆截面杆扭转的概述
* § 3- 8
扭矩和扭矩图
薄壁杆件的自由扭转
1
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
d A r T 根据应力分布可知 由 A
Me
m r0
r0 d A T，于是有
A
dA
m
x
T T 2 r0 d A r0 (2πr0 ) 2πr0
A
T
2 引进 A0 πr0 ，上式亦可写作
T 2 A0
31
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
T
+
1
T1
x
T2
2
x x
76.4Nm
-
114.6Nm
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
§3-3 纯剪切
r0 一、薄壁圆筒——通常指 10 的圆筒 Me Me m
O r0
m Me m
l
T m 当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力
偶矩——扭矩(torque)
28
T Me
3
22
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
2. 计算各段的扭矩 BC段内： T1 M 2 4.78 kN m
注意这个扭矩是假定为负的 CA段内：T2 M 2 M 3 9.56kN m (负) AD段内：T3 M 4 6.37 kN m
23
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN· m。
24
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
作业：图示传动轴，转速n=500r/min，轮B为主动轮，输入功率 PB=10kW，轮A与轮C均为从动轮，输出功率分别为PA=4kW与PC=6kW 。试计算轴的扭矩，并画扭矩图。
500 M 1 (9.55 10 ) N m 15.9 10 3 N m 15.9 kN m 300 150 3 M 2 M 3 (9.55 10 ) N m 4.78 10 3 N m 4.78 kN m 300 200 3 M 4 (9.55 10 ) N m 6.37 10 3 N m 6.37 kN m 300
角位移称为相对扭转角。
(3) 在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是 r0 不沿壁厚变化的，故有 l ，此处r0为薄壁圆筒的平 均半径。
34
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
Me
Me
A D BC
薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力 不超过
材料的剪切比例极限p时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T )
M
x
0
确定各段圆轴内的扭矩 。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
3 ． 建立 Mx－ x坐标系， 画出扭矩图 建立 Mx － x 坐标系，其 中 x 轴平行于圆轴的轴线， Mx轴垂直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩值，标 在 Mx － x 坐标系中，得到相 应的点，过这些点作 x 轴的 平行线，即得到所需要的扭 矩图。
对处于纯剪切应力状态的单元体(图a)，为计算其上的外 力所作功dW可使左侧面不动，此时的切应力 仅发生在竖直平 面内而只有右侧面上的外力 dydz在相应的位移 dx上作功。
36
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
于是，当材料在线弹性范围内工作时( ≤p，见图b)，有
1 1 d W d z d y d x d x d y d z 2 2
§3-1 扭转的概念和实例
杆的两端承受大小相等、方向相 反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力 偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转 动，这种受力与变形形式称为扭转 （ torsion ）。本章主要分析圆轴扭转时 横截面上的剪应力以及两相邻横截面的 相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强 度与刚度设计方法。
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
扭转的实例
螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶 阻抗力偶
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
扭转的实例
F
F
M
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
构件特征：等圆截面直杆。
以扭转变形
M
为主的杆件
称为轴.
M
受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
MA
MB
MC
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
解：
PA 9549 4 76.4 N m M A 9549 500 n PB 9549 10 191 N m M B 9549 500 n PC 6 M C 9549 9549 n 500 114 .6 N m
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
M
M A 76.4 N m
x
M B 191N m
MA
0 : T1 M A 0
MC 114.6 N m MB2 1 MC
T1 M A 76.4 N m
M
x
0:
T2 MC 0 T2 MC 114.6 N m
Me
Me
A D BC
变形特征：纵向线倾斜一个角度 ，称为剪切角
(切应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对转
动，称为扭转角。
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
工程中承受扭转的圆轴
当两只手 用力相等时， 拧紧螺母的工 具杆将产生扭 转。
请判断哪一杆件
第三章 扭转
Me
m r0
dA
m
横截面上的应力：
x
(1) 只有与圆周相切的切应力( shearing stress )，且圆周上所 有点处的切应力相同；
(2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；
(3) 横截面上无正应力。
30
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例题 1
圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶， 各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其 中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。